四川省泸县第五中学2023届高三文科数学三诊模拟试题（Word版附解析）

泸县五中高2020级高三三诊模拟考试

文科数学

第I卷  选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，若，则a的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据，分，和三种情况讨论即可.

【详解】因为，且，

若，则，不符题意，

若，则，与题意矛盾，

若，则，

由，所以，

即a的取值范围为.

故选：C.

2. 欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则的虚部为（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】B

【解析】

【分析】由欧拉公式和复数除法运算可求得，由复数虚部定义求得结果

【详解】由欧拉公式知：

，，

，

的虚部为．

故选：B

3. 2022年3月15日国家统计局发布了截止到2022年前两个月的主要经济数据，其中按消费类型分零售额同比增速折线图如图所示，下列说法中错误的是（    ）

A. 2022年1-2月份，餐饮收入同比增速为8.9% B. 2022年1-2月份，商品零售同比增速为6.5%

C. 2021年每月的餐饮收入的同比增速为正 D. 2021年每月的商品零售的同比增速为正

【答案】C

【解析】

【分析】根据折线图逐一判断即可

【详解】由图可知A正确；由图可知B正确；对于C，由图可知2021年8月，11月同比增速为负，故C错误；由图可知，D正确

故选：C

4. 在等比数列中，已知，则等于（    ）

A. 128 B. 64 C. 64或 D. 128或

【答案】D

【解析】

【分析】由等比数列的性质可得，求出的值，再结合条件求出公比，进而即得.

【详解】由等比数列的性质可得，

∴或，

设数列的公比为，因为，

当时，，即，则；

当时，，即，则.

故选：D .

5. 设函数，则（    ）

A. 2 B. -2 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先计算，再计算．

【详解】，

∴.

故选：A．

【点睛】本题考查分段函数，分段函数求函数值时分类计算，根据自变量的取值范围选取不同的表达式计算．

6. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则该双曲线的标准方程为

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】对选项逐一分析排除，由此得出正确选项.

【详解】对于A选项，双曲线渐近线为，不符合题意.对于B选项，双曲线的渐近线为，且过点，符合题意.对于C选项，双曲线的渐近线为，但不过点，不符合题意.对于D选项，双曲线的渐近线为，不符合题意.综上所述，本小题选B.

【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线标准方程的求法，属于基础题.

7. 设是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A. 若，，，则

B. 若，，则

C. 若，，，，，则

D. 若，，，则

【答案】C

【解析】

【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，若，，，则与的关系可能是平行、相交或异面，

所以A错误；

对于B中，若，，则的关系可能是平行或异面，故错误；

对于C中，若，，，，则，

因为，所以，故C正确；

对于D中，因为，，，所以与相交或平行，所以D错误.

故选：C.

8. 在边长为2的正六边形中，（    ）

A. -6 B.  C.  D. 6

【答案】A

【解析】

【分析】结合正六边形的性质、向量数量积的运算求得.

【详解】如图，因为正六边形的边长为2，

，，

所以

.

故选：A

9. 已知是圆柱上底面的一条直径，是上底面圆周上异于，的一点，为下底面圆周上一点，且圆柱的底面，则必有（    ）

A. 平面平面 B. 平面平面

C. 平面平面 D. 平面平面

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，先证平面，即可由线面垂直推证面面垂直.

【详解】因为是圆柱上底面的一条直径，

所以，又圆柱的底面，所以，

因为，所以平面.

又平面，所以平面平面.   

故选：B.

点睛】本题考查由线线垂直推证面面垂直，属基础题.

10. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，给出下列关于的结论：

①它的图象关于直线对称；②它的最小正周期为

③它的图象关于点对称；④它在上单调递增.

其中所有正确结论的编号是（    ）

A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ②③④

【答案】B

【解析】

分析】

由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论.

【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，

得到函数的图象.

令，求得，不是最值，故的图象不关于直线对称，故①不正确；

它的最小正周期为，故②正确；

当时，，故的图象关于点对称，故③正确；

在上，，没有单调性，故④错误，

故选：B.

【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查三角函数的对称性、周期性和单调性，属于基础题.

11. 定义在上的函数满足，且为偶函数，当时，，则（    ）

A. 0 B.  C.  D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】由和为偶函数，可知的周期为4，且的图象关于直线对称，利用函数的周期性和对称性将条件进行转化即可得出答案.

【详解】因为，所以的周期为4．

又为偶函数，所以的图象关于直线对称，

则．

故选：A.

12. 已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据a2+b2+2c2＝8，得到，由余弦定理得到，由正弦定理得到，两式平方相加得，而，两式结合有，再用基本不等式求解.

【详解】因为a2+b2+2c2＝8，

所以，

由余弦定理得，

即①

由正弦定理得，

即②

由①，②平方相加得，

所以，

即，所以，

当且仅当且即时，取等号.

故选：B

【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

第II卷  非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 一组数据1，a，4，5，8的平均数是4，则这组数据的方差为_______

【答案】

【解析】

【分析】根据平均数和方差的计算公式，即可求解.

【详解】由平均数的计算公式，可得，可得，

所以方差.

故答案为：.

14. 若实数x，y满足约束条件，则的最小值为______．

【答案】3

【解析】

【分析】先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最小值．

【详解】作出约束条件，表示的平面区域（如图示：阴影部分）：

由得A（,），

由得，平移，

易知过点A时直线在y上截距最小，此时，产生

所以的最小值为．

故答案为：3

【点睛】本题考查了简单线性规划问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义．

15. 已知直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为______

【答案】1或-1

【解析】

【详解】因为△ABC是等腰直角三角形，所以圆心C(1，－a)到直线ax＋y－1＝0的距离

d＝rsin 45°＝，即，所以a＝±1.

16. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是____．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：不等式变形为．当时，，故实数a的取值范围是；当时，，记，，故函数递增，则，故；当时，，记，令，得或（舍去），当时，；当时，，故，则．综上所述，实数的取值范围是．

考点：利用导数求函数极值和最值．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分.

17. ，，分别为锐角内角A，，的对边.已知.

（1）求；

（2）若，试问的值是否可能为5?若可能，求的周长；若不可能，请说明理由.

【答案】（1）；（2）不可能，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）由正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求出；

（2）由余弦定理得出，得出为钝角，与已知矛盾.

【详解】解：（1）因为，

由正弦定理可得，即.

再由余弦定理得，所以.

因为，所以.

（2）假设，则由余弦定理，得，

所以，

所以为钝角，

这与为锐角三角形矛盾，

故的值不可能为5.

18. 某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案（1）规定每日底薪50元，快递骑手每完成一单业务提成3元：方案（2）规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元．该快递公司记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）随机选取一天，估计这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；

（Ⅱ）若骑手甲、乙、丙选择了日工资方案（1），丁、戊选择了日工资方案（2）．现从上述5名骑手中随机选取2人，求至少有1名骑手选择方案（2）的概率；

（Ⅲ）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）

【答案】（Ⅰ）0.4；（II）（Ⅲ）选择方案（1），理由见解析

【解析】

【分析】（Ⅰ）将这三组的频率求出，再相加即可得到答案；

（Ⅱ）利用列举法和古典概型的概率公式计算可得结果；

（Ⅲ）利用频率分布直方图计算出快递公司人均日快递量的平均数，根据平均数计算出两种方案下骑手的人均日收入，比较可得结果.

【详解】（Ⅰ）设事件为“随机选取一天．这一天该快递公司的骑手的人均日快递业务量不少于65单”

依题意，快递公司的人均日快递业务量不少于65单的频率分别为：0.2、0.15、0.05，

因为，所以估计为．

（Ⅱ）设事件B为“从五名骑手中随机选取2人．至少有1名骑手选择方案（2）”

从五名骑手中随机选取2名骑手，有10种情况，

即{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{甲，戊}，{乙，丙}，{乙，丁}，{乙，戊}，{丙，丁}，{丙，戊}，{丁，戊}

其中至少有1名骑手选择方案（2）的情况为{甲，丁}，{甲，戊}，{乙，丁}，{乙，戊}，{丙，丁}，{丙，戊}，{丁，戊}共7种情况，所以．

（Ⅲ）快递公司人均日快递量的平均数是：

因此，方案（1）日工资约为元，

方案（2）日工资约为元元，

故骑手应选择方案（1）.

【点睛】本题考查了利用频率分布直方图计算频率、平均数，考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

19. 如图1，在梯形中，，且，是等腰直角三角形，其中为斜边.若把沿边折叠到的位置，使平面平面，如图2.

（1）证明：；

（2）若为棱的中点，求点到平面的距离.

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）证明平面，则有；

（2）等体积法求点到平面的距离.

【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，为斜边，

∴.

∵平面平面，平面平面，平面

∴平面，

∵平面，

∴；

（2）解：由（1）知，平面，

由题意可得，，，

则，，

∵为棱的中点，

∴，

∴，

在中，，，，

∴，

即，

则的面积为，

设点到平面的距离为

∵，

∴，

∴.

【点睛】本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质，点到平面距离的求法，考查直观想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题.

20. 已知椭圆的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在第一象限，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）在轴上是否存在点，满足对于过点的任一直线与椭圆的两个交点，，都有为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）存在点，满足为定值．.

【解析】

【分析】（1）根据题意得出，及，直线与椭圆联立解出即可得出椭圆方程；

（2）设出直线方程（要分类讨论），联立直线与椭圆，将向量的数量积用的形式表示，再利用韦达定理整理并分析出得到定值的条件即可求解.

【详解】（1）由，及，得，设椭圆方程为，联立方程组得．则，

所以．所以．

所以椭圆的方程为．

（2）当直线不与轴重合时，设，联立方程组

得．

设，，，则有，．

于是

，

若为定值，则有，得，．

此时：当直线与轴重合时，，，

也有．

综上，存在点，满足为定值．

【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：

（1）得出直线方程，设交点为，；

（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；

（3）写出韦达定理；

（4）将所求问题或题中关系转化为（或）形式；

（5）代入韦达定理求解.

21. 已知函数.

（1）求的解析式及单调区间；

（2）若存在实数，使得成立，求整数的最小值.

【答案】（1）；单调递增区间为，单调递减区间为；（2）0.

【解析】

【分析】（1）首先求函数导数，并赋值，求函数的解析式，并利用导数求函数的单调区间；（2）由题意转化为，设函数，利用导数求函数的最小值，根据求的最小值.

【详解】（1），

令，得.

令，得.

则，，且在上单调递增，，

且当时，；当时，，

则，且单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）因为，所以.

令，则，易知在上单调递增.

又，，

则存在唯一，使得，

且当时，；当时，，

则函数在上单调递减，在上单调递增，

所以.

又，，即，

则.

因为，所以.

因为存在实数，使得成立，

所以，又，则整数的最小值为0.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质以及根据不等式能成立，求参数的取值范围，重点考查逻辑推理能力，计算能力，属于中档题型，本题的第二问的关键是根据零点存在性定理，确定极小值点的范围.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．

（选修4-4 极坐标与参数方程）

22. 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）将曲线和直线化为直角坐标方程；

（2）过原点引一条射线，分别交曲线和直线于，两点，射线上另有一点满足，求点的轨迹方程.

【答案】（1），   

（2）（去掉）

【解析】

【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换

（2）利用极径的应用建立等量关系，进一步求出直角坐标方程

【小问1详解】

由C的参数方程：，

∴C：，

由得∴.

【小问2详解】

设，，

则，，即，

由得即，

∴即，

∵∴M的轨迹方程为（去掉）.

（选修4-5 不等式选讲）

23. 已知正数m，n，p满足．

（Ⅰ）比较与的大小关系，并说明理由；

（Ⅱ）若，求p的最大值．

【答案】（Ⅰ）．理由见解析；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】（Ⅰ）根据条件，利用基本不等式，可知，由绝对值三角不等式，可知，进一步得到；

（Ⅱ）由，可知，然后由，利用基本不等式求出的最小值，再求出p的最大值．

【详解】解（Ⅰ）∵，

，

∴，当且仅当时等号成立，

∴．

∵，

∴．

（Ⅱ）∵，∴，即，

∴，

当且仅当时等号成立，

∵，∴，∴，

∴p的最大值是．

【点睛】本题考查对数运算，考查绝对值不等式的最值，利用重要不等式求最值，属于中档题.