四川省泸县第四中学2023-2024学年高三理科数学三诊模拟试题（Word版附解析）

泸县四中高2020级高三三诊模拟考试

理科数学

本试卷共4页．考试结束后，只将答题卡交回

第I卷  选择题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知为实数集，集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先将集合，化简，再利用集合的交集运算可得答案.

【详解】，即，解得，

，

又，或，

或，

.

故选：B.

2. 已知复数z满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，由复数的运算即可得到，从而得到结果.

【详解】因为，则，即，

所以.

故选:C

3. 某工厂生产了根钢管，其钢管内径(单位：)服从正态分布，工作人员通过抽样的方式统计出，钢管内径高于的占钢管总数的，则这批钢管内径在到之间的钢管根数约为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用正态分布的特征，求出即可计算出这批钢管内径在到之间的钢管根数.

【详解】，，故这批钢管内径在到之间的钢管数约为根.

故选：C

【点睛】正态分布的问题通常利用正态曲线的特点解题：

（1）对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。

（2）均匀变动性：正态曲线由均数所处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%。

关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，正态分布的概率密度函数曲线呈钟形。

4. 已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为（    ）

A.  B. 5 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先作出可行域，进而利用可以看作点和点的距离的平方，数形结合可得解.

【详解】由不等式组作出可行域如图所示：

可以看作点和点的距离的平方，

由题可知当到直线距离最小时，z有最小值，

此时

故选：D.

5. 已知是抛物线：的焦点，若点在抛物线上，则（    ）

A. 3 B.  C. 4 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知条件求出点A、F的坐标，代入两点间的距离公式即可得解.

【详解】点在抛物线上，，则，

又抛物线：的焦点，故．

故选：C

6. 已知．，则p是q的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】首先对命题中的取值情况进行分析，求出其范围，然后根据充分条件与必要条件的相关知识得出结论.

【详解】对于命题：，，

令，，根据图象的平移得出两函数图象，如图所示：

根据图象可知，要使，则

又命题

p是q必要不充分条件.

故选：B.

7. 已知函数的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（    ）

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度

C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

【答案】A

【解析】

【分析】依据图象可知，可得，然后代入点计算可得，最后根据平移知识可得结果.

【详解】有图象可知：，则

所以，将点代入解析式可得

由图象可知：，又，所以令，

所以，只需将函数向左平移个单位长度

则可得到的图象，

故选：A

8. 的展开式中的系数为（    ）

A. 5 B. 30 C. 1080 D. 2160

【答案】C

【解析】

【分析】表示5个因式的乘积，所以它的展开式中含的项是由其中一个因式取，其中两个因式取，剩下的两个因式取得到的，从而可求得结果

【详解】解：表示5个因式的乘积，所以它的展开式中含的项是由其中一个因式取，其中两个因式取，剩下的两个因式取得到的，

所以的系数为，

故选：C

9. 如图所示，四边形是边长为2的菱形，是边上靠近的三等分点，为的中点，则（    ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】选为基底，其他向量用基底表示后计算数量积可得．

【详解】解：∵，，

∴

.

故选：C.

10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，点，，，，，分别是棱，，，，，的中点，现在截面内随机取一点，则此点满足的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】连接交平面于，则为和的交点，设，用表示，然后解出的范围，即可判断点轨迹，利用几何概型概率的计算求出要求的概率．

【详解】解：连接交平面于，则为和的交点，

由正方体的性质可得平面，∴，

设，∵，

∴，即，

∴满足的点的轨迹所围成的面积为，

又截面面积为，

故所求概率．

故选：D．

【点睛】关键点点睛：本题考查几何概型概率的计算，解答的关键就是将问题转化为平面区域型几何概型问题，利用数形结合思想求解．

11. 已知双曲线： ，点为的左焦点，点为上位于第一象限内的点，关于原点的对称点为，，，则的离心率为（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可知：四边形PFQF1为平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得∠OPF1=90°，在△QPF1中，利用勾股定理即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率e

【详解】由题意可知：双曲线的右焦点F，由P关于原点的对称点为Q，

则 ∴四边形PFQF1为平行四边形，

则 由|PF1|=3|F1Q|，根据双曲线的定义- =2a，

∴=a，∵|OP|=b，=c，∴∠OPF=90°，

在△QPF中， =2b， =3a， =a，

∴则（2b）2+a2=（3a）2，整理得：b2=2a2，

则双曲线的离心率 故选B

【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查求双曲线的离心率，一般思路是根据已知条件，建立起a，b之间的关系，再结合a2+b2=c2，从而求出e的值.

12. 已知函数，，，，给出以下四个命题：①为偶函数；②为偶函数；③的最小值为0；④有两个零点．其中真命题的是（    ）．

A. ②④ B. ①③ C. ①③④ D. ①④

【答案】C

【解析】

【分析】分别表示出和，判断其奇偶性，利用导数研究其单调性和最值以及零点，从而做出判断，得到答案.

【详解】函数，

∵，

定义域为，关于原点对称

，

∴为偶函数，①正确；

∵的定义域不关于原点对称，

∴为非奇非偶函数，②错误；

∵，

∴当时，；当时，．

∴在上单调递减，在上单调递增，∴．

考查函数，令，，则或，

当时，单调递增，单调递减，∴单调递减；

当时，单调递增，单调递增，∴单调递增，

∴时，∴，又为偶函数，

∴时，∴，③正确．

考查函数，令得，

∵，∴，又，，

∴直线与函数恰有两个交点，故有两个零点，④正确．

故选：C．

【点睛】本题考查判断复合函数的奇偶性和单调性，零点存在定理研究函数的零点个数，属于中档题.

第II卷  非选择题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量，满足，，，则与的夹角为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据，得到，再利用向量的夹角公式求解.

【详解】因为向量满足，

所以，则，

所以，

因为，

所以，

故答案为：.

14. 某地区高考改革，实行“”模式，即“”指语文、数学、外语三门必考科目，“”指在物理、历史两门科目中必选一门，“”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有_______.（用数字作答）

【答案】

【解析】

【分析】

本题可分在物理、历史两门科目中只选一门以及在物理、历史两门科目中选两门两种情况进行计算，然后相加，即可得出结果.

【详解】若在物理、历史两门科目中只选一门，则有种；

若在物理、历史两门科目中选两门，则有种，

则共有种，

故答案为：.

【点睛】本题考查通过排列组合解决有多少种不同的组合方式的问题，考查学生从题目中提取信息的能力，考查推理能力，考查分类讨论思想，是简单题.

15. 已知函数的最大值为-1，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】求出f(x)在x>0时的值域，根据f(x)的最大值为-1可以确定f(x)在x<0时的值域，从而求出a的范围．

【详解】当x>0时，f(x)=，，

∴当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

∴；

∴要使f(x)的最大值为-1，则在x<0时恒成立，

即在x<0时恒成立，

令，，

则，

∴．

故答案为：．

16. 在中，，是的平分线，且，则实数的取值范围_____.

【答案】

【解析】

【分析】在和中，利用正弦定理可求得；利用余弦定理可构造方程组，得到，结合的范围和余弦函数的值域可求得的取值范围.

【详解】

，，

在和中，由正弦定理得：，，

，即；

设，则，，

在和中，由余弦定理得：，，

即，，；

，，，.

故答案为：.

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且存在实数λ满足2an+1=λan+4，n∈N*.

（1）求λ的值及通项公式an；

（2）求数列的前n项和Sn.

【答案】（1）λ=2，an=2n-1；（2）Sn=2n+2-n2-2n-4.

【解析】

【分析】

（1）设等差数列{an}的公差为d，然后退项相减便可得出结果；

（2）求出数列的通项公式，然后利用分组求和法求出前n项和.

【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，d≠0，

由2an+1=λan+4(n∈N*)，    ①

得2an=λan-1+4(n∈N*，n≥2)，    ②

两式相减得，2d=λd，又d≠0，所以λ=2.

将λ=2代入①可得2an+1=2an+4，即2d=4，所以d=2.

又a1=1，所以an=1+(n-1)×2=2n-1；

（2）由（1）可得=2(2n-n)-1=2n+1-(2n+1)，

所以Sn=(22+23+…+2n+1)-[3+5+…+(2n+1)]==2n+2-n2-2n-4.

【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.

18. 如图，在三棱柱中，四边形为菱形，为的中点，底面为等腰直角三角形，

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

【分析】（1）利用等腰三角形三线合一可得；利用勾股定理可证得；根据线面垂直判定定理可证得结论；（2）以为原点建立空间直角坐标，利用空间向量法求解出平面和平面的法向量，利用数量积计算夹角，可求得二面角的余弦值.

【详解】（1）证明：为的中点，   

又四边形为菱形，为的中点，

可得，，       

平面，平面，

平面

（2）以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系

可知：，，，

，，

设平面的法向量

则，令，则，   

设平面的法向量

则，令，则，   

又二面角为锐二面角，设二面角为

即二面角的余弦值为：

【点睛】本题考查线面垂直关系证明、空间向量法求解二面角的问题，要明确的是二面角等于两个平面法向量所成角或所成角的补角.

19. 央视春晚长春分会场，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人的零下春晚现场表演了精彩的节目.石墨烯发热服的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺到衣服内.

（1）从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有材料、材料供选择，研究人员对附着在材料上再结晶做了次试验，成功次；对附着在材料上再结晶做了次试验，成功次.用二列联表判断：是否有的把握认为试验是否成功与材料和材料的选择有关？

（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有四个环节：①透明基底及胶层；②石墨烯层；③银浆线路；④表面封装层．前三个环节每个环节生产合格的概率为，每个环节不合格需要修复的费用均为元；第四环节生产合格的概率为，此环节不合格需要修复的费用为元，问：一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要多少修复费用？

附：，其中.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】（1）补全二联表，求出下结论即可；（2）设为一次生产出石墨烯发热膜为合格品所需的修复费用，写出X的可能取值，求概率进而求得期望即可

【详解】（1）列表

没有把握认为实验是否成功与材料和材料的选择有关．

（2）设为一次生产出石墨烯发热膜为合格品所需的修复费用，则X的可能取值为0，100，200，300，400，500，600，700，计算概率：

【点睛】本题考查独立性检验，离散型随机变量的均值，准确列出二联表，准确计算各随机变量的概率是关键，是基础题

20. 如图所示已知抛物线的焦点为F，准线为，过点的直线交抛物线于，两点.且.

（1）求抛物线方程；

（2）若点B在准线上的投影为E，是上一点，且，求面积的最小值及此时直线AD的方程.

【答案】（1）；（2）8，或

【解析】

【分析】（1）由点的坐标和，可得，进而求出抛物线的方程.

（2）设，由对称性可得，由，可得，由，可得，进而可得直线AD的方程，求出和点B到直线AD的距离，进而求出的最小值和直线方程.

【详解】（1）依题意，

即，即.

所以抛物线方程.

（2）设，，则，

设，联立，，

所以可得

因为，，所以·

故直线.

由，得，所以.

所以

设点B到直线AD的距离为，则.

所以 .当且仅当.即

时，直线AD的方程为：.

时，直线AD的方程为：

【点睛】本题考查了抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系、三角形的面积、基本不等式的应用等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.

21. 已知,

（1）求函数的单调区间；

（2）若不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）函数在区间上单调递增，在区间上单调递减   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出导数，在定义域内，解不等式得增区间，解不等式得减区间；

（2）题设不等式可变形为，分别设，，求出它们的导数，通过解相应不等式得出单调区间，求出最值，恰好是时，取最小值，最最大值，因此要使原不等式恒成立，只要即可．

【小问1详解】

由得：，

由于定义域为，

所以由得：或，

所以由得：或，

即得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；

【小问2详解】

由不等式恒成立，

即恒成立，

设得

，

因为它们的定义域，所以易得：

函数在上单调递减， 上单调递增；

函数在上单调递增， 上单调递减；

这两个函数在处，有最小值，有最大值，

所以要使不等式恒成立，

则只需满足，即.

【点睛】本题关键点是把不等式转化为，分别，，然后求得的最小值和的最大值，解不等式即可.解决不等式恒成立问题的一般方法是通过分离参数法，把不等式化为（或），然后求的最小值（或最大值），也就是说恒成立，只要恒成立即可，并不一定要．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

（选修4-4 极坐标与参数方程）

22. 在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）若曲线上恰有三个点到曲线的距离为，求的值．

【答案】（1）（不同时为）；   

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据极坐标和直角坐标互化原则直接求解即可；

（2）当，时可得方程，结合对称性可得曲线围成的图形，结合图形分析可构造方程求得的值.

【小问1详解】

由知：，则，

曲线的直角坐标方程为：（不同时为）；

由得：，

即，曲线的直角坐标方程为：.

【小问2详解】

当，时，曲线：，即；

结合对称性可得曲线围成的图形如下图所示，

曲线上恰有三个点到曲线的距离为，或，

解得：或.

（选修4-5 不等式选讲）

23. 已知的最小值为．

（1）求的值；

（2）若正实数满足，证明：．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据绝对值三角不等式可求得，即可求出的值.

（2）由（1）中的结果，结合柯西不等式即可证明.

【小问1详解】

，

当且仅当时等号成立，

【小问2详解】

由柯西不等式得：

，