四川省宜宾市第四中学2023届高三文科数学三诊模拟试题（Word版附解析）

宜宾市四中高2020级高三三诊模拟考试

文科数学

第I卷  选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合，则

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】，

，

故选：D.

2. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为

A. -6 B. -2 C.  D. 6

【答案】A

【解析】

【分析】由复数的运算法则化简，纯虚数实部为0，虚部不为0，解出结果.

【详解】由题意得，

∵ 复数是纯虚数，

∴且，解得．

故选：A．

3. 已知数列为等差数列，且，则的值为(    )

A.  B. 45 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据等差数列的性质计算直接得出结果.

【详解】由题意知，为等差数列，且，则

，

故选：B.

4. 已知向量，，且与的夹角为，则（    ）

A.  B. 1 C. 或1 D. 或9

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求的值.

【详解】解：由题意可得，

求得，或，

故选：C.

【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．

5. 下列有关命题的说法正确的是（    ）．

A. 命题“若，则”的否命题为：“若，则”

B. “”是“”的必要不充分条件

C. 命题“，使得”的否定是：“，均有”

D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题

【答案】D

【解析】

【分析】根据否命题，命题的否定，充要条件的相关概念依次判断各选项.

【详解】对于A：命题“若，则”的否命题为：“若，则”．因为否命题应为“若，则”，故A错误．

对于B：“”是“”的必要不充分条件．因为，应为充分条件，故B错误．

对于C：命题“，使得”的否定是：“，均有”．

因为命题的否定应为，均有．故C错误．

由排除法得到D正确．

故选：D

【点睛】本题主要考查了命题的否定，四种命题，充分条件必要条件的判断，考查了学生对相关概念的理解辨析.

6. 已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】依题意画出几何体的直观图，结合图形可知该几何体为棱长为2的正方体中挖去一个圆锥，根据体积公式计算可得；

【详解】解：由三视图可知，该几何体为棱长为2正方体中挖去一个圆锥，故其体积为：，

故选：A.

7. 为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才．某学校在不加重学生负担的前提下．提供个性、全面的选修课程．为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高条形图，根据条形图，下列结论正确的是（    ）

A. 样本中不愿意选该门课的人数较多

B. 样本中男生人数多于女生人数

C. 样本中女生人数多于男生人数

D. 该等高条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数

【答案】B

【解析】

【分析】根据等高条形图直接判断各个选项即可.

【详解】对于A，由图乙可知，样本中男生，女生都大部分愿意选择该门课，

则样本中愿意选该门课的人数较多，A错误；

对于BCD，由图甲可知，在愿意和不愿意的人中，都是男生占比较大，

所以可以确定，样本中男生人数多于女生人数，B正确，CD错误.

故选：B．

8. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：，，，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求.

【详解】解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有，

其和等于16的结果，共2种等可能的结果，

故概率

故选：B.

【点睛】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.

9. 将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的对称轴中与y轴距离最近的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由平移变换得出平移后的解析式，再由正弦函数的性质求解.

【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象.

由可得，函数的对称轴为.

其中y轴距离最近的是.

故选：D

10. 在三棱柱中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是与的交点，则AD与平面所成角的正弦值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】取的中点，连、，通过证明平面，可知是AD与平面所成的角，在直角三角形中可求出结果.

【详解】取的中点，连、，如图：

依题意三棱柱为正三棱柱，设棱长为，则，，

因为、分别是和的中点，所以，所以平面，

所以，所以，

因为，，，所以平面，

所以是AD与平面所成的角，

所以.

所以AD与平面所成角的正弦值是.

故选：C

11. 若，，，则，，的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用基本不等式及合理放缩，结合对数运算性质即可得到答案.

【详解】运用基本不等式，以及放缩技巧，得，

，

故选：D.

12. 已知函数和有相同的极大值，则（    ）

A. 0 B. 2 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用导数，先求得的极大值，然后根据与有相同的极大值求得.

详解】求导，令，解得，令，解得，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴在处取得极大值，

，令，解得，令，解得，

∴上单调递增，在上单调递减，

∴在处取得极大值，

依据题意，和有相同的极大值，故，解得.

故选：A

第II卷  非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若实数，满足不等式组则的最大值是____________.

【答案】2

【解析】

【分析】画出可行域，当直线经过点时，有最大值，代入求解即可

【详解】如图，画出可行域，当直线经过点时，最大，所以当，时，.

故答案为：2

14. 的内角，，的对边分别为，，，且，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和同角三角函数基本关系即可确定的值.

【详解】由题意结合正弦定理有：

，

即，

整理变形可得：，

，即.

【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，正弦定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

15. 已知，是双曲线的左、右焦点，为右支上一点，若，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围为__________．

【答案】

【解析】

【分析】由双曲线的几何性质求解

【详解】由题意得，而，

解得，即，故

故答案为：

16. 已知函数，给出下列四个命题：

①是函数的一个周期；    ②函数的图象关于原点对称；

③函数的图象过点；    ④函数为上的单调函数.

其中所有真命题的序号是__________.

【答案】①②③

【解析】

【分析】直接利用三角函数的性质，函数的周期性和对称性及函数的导数和单调性的关系判断①、②、③、④的结论．

【详解】函数，

对于①：，故函数的最小正周期为，故①正确；

对于②：函数故函数的图像关于原点对称，故②正确；

对于③：当时，，故③正确；

对于④：由于，所以，由于，由于的导数有正有负，所以函数在上有增有减，所以函数在上不是单调函数.故④错误．

故选：①②③．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分.

17. 已知数列{}的前n项和为，且．

（1）求数列{}的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

【答案】（1）   

（2）（）．

【解析】

【分析】（1）由与的关系得出数列{}的通项公式；

（2）由错位相减法得出前n项和．

【小问1详解】

由得，

当时，

，

当时，满足，

所以数列{}通项公式为

【小问2详解】

由，

∴

，两式错位相减得

所以（）．

18. 已知某种商品的价格（单位：元）和需求量（单位：件）之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据（对应的需求量因污损缺失）：

经计算得，，，由前组数据计算出的关于的线性回归方程为.

（1）估计对应的需求量y（结果保留整数）；

（2）若对应的需求量恰为（1）中的估计值，求组数据的相关系数（结果保留三位小数）.

附：相关系数，.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）计算前五组数据价格、需求量，，代入回归直线方程求出值，再代入即可；

（2）求出六组数据价格、需求量的平均值，，以及与相关系数有关的数值，代入计算即可.

【小问1详解】

记前五组数据价格、需求量的平均值分别为，，

由题设知，.

因为回归直线经过样本中心，所以，解得.

即，

所以时对应的需求量（件）.

【小问2详解】

设六组数据价格、需求量的平均值分别为，，则，，，，.

所以相关系数.

19. 在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，且．

（1）求证：平面；

（2）求四棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）取的中点，连接，，运用勾股定理证明，再结合已知条件证明，运用线面垂直的判定定理证得平面；（2）结合（1）中的结果，作，可得棱锥的高，即可计算出棱锥体积.

【详解】解：（1）取的中点，连接，，因为，，，

所以，从而．

因为，分别为，的中点，所以；

由，，得为等腰直角三角形，则，

又，

所以平面，

又平面，所以，

又，所以平面．

（2）由（1），得平面，平面，则平面平面．

过点作，垂足，则平面．

由（1），，又，，

所以，从而，

所以，

所以四棱锥的体积．

20. 已知曲线在处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1) ，(2)

【解析】

【分析】(1)由题意利用切线与导函数的联系和切线所经过的点即可确定a,b的值；

(2)将原问题转化为函数在给定区间上单调性的问题，利用导函数研究函数单调性的方法即可确定实数的取值范围.

【详解】（1）由得，，

由题意得即，又，，

解得，.

（2）由（1）知，，

即为 ，

由知，上式等价于函数 在为增函数，

，即，令，，，

时，；时，；时，

在上单调递减，在上单调递增，

，则，即，所以实数的范围为.

【点睛】本题主要考查导数研究函数的切线方程，导数研究恒成立问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

21. 设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．

（1）求的方程；

（2）在轴上是否存在一定点，使得_________？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

从①点关于轴的对称点与，三点共线；②轴平分这两个条件中选一个，补充在题目中“__________”处并作答．

注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）当直线垂直于轴时，点的横坐标为，根据抛物线的定义，，则C的方程可求；

（2）若选①，设直线的方程为：，与抛物线方程联立，结合韦达定理求得直线的斜率，得直线的方程即可判断；

若选②，设直线的方程为：，与抛物线方程联立，设，由题意，结合韦达定理得对任意的恒成立，则，得出答案．

【小问1详解】

当直线垂直于轴时，点的横坐标为

根据抛物线的定义，，

则抛物线方程为：．

【小问2详解】

若选①，若直线轴，则该直线与曲线只有一个交点，不合题意，

，设直线的方程为：，设，，

联立，得，恒成立

得，

直线的斜率

直线的方程为

由，化简得

直线过定点，存在

若选②，若直线轴，则该直线与曲线只有一个交点，不合题意，

，设直线的方程为：

设，，设

联立，得，恒成立

得，

轴平分

，即对任意的恒成立，则．

存在．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．

（选修4-4 极坐标与参数方程）

22. 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求直线和曲线的直角坐标方程；

（2）从原点引一条射线分别交曲线和直线于两点，求的最大值．

【答案】（1）直线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：.   

（2）

【解析】

【分析】（1）消去参数可得曲线的直角坐标方程；利用两角和的余弦公式和，可得直线的直角坐标方程；

（2）设射线方程为（），将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程，并将代入可得，将代入可得，再利用辅助角公式可求出的最大值.

【小问1详解】

由，得，

即,

所以曲线的直角坐标方程为：.

由，得，

得，即，

将，代入得，

所以直线的直角坐标方程为：.

综上所述：直线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：.

【小问2详解】

设射线方程为（），

将，代入，得，

得，

将代入，得，得，

由，得，

将代入，得()，，得，

所以

（其中，，），

因为，所以，

又，所以，

所以当时，即，即（其中，，）时，取得最大值.

（选修4-5 不等式选讲）

23. 已知函数的最大值为4（其中）.

（1）求的值；

（2）若，求的最小值.

【答案】（1）3；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据绝对值三角不等式可求得m的值；

（2）运用柯西不等式可求得最小值.

【详解】解：(1).，

又，所以m=3.

（2）.由（1）知，由柯西不等式有：，

当且仅当时等号成立

所以，，所以最小值为.