2022-2023学年福建省漳州一中碧湖校区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省漳州一中碧湖校区七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式中，计算结果等于的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则的补角为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  圆的周长公式为，下列说法正确的是(    )

A. 常量是 B. 变量是、、
C. 变量是、 D. 常量是、

4.  下列说法正确的是(    )

A. 了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式
B. 为了直观地介绍某款牛奶各营养成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图
C. 一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖次必有次中奖
D. “投掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为必然事件

5.  九年级学生李明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在烧开水时，水温达到水就会沸腾，下表是小红同学做“观察水的沸腾”试验时所记录的时间和水温的数据：

在水烧开之前即，水温与时间之间的关系为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列说法错误的个数(    )
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；平面内，互相垂直的两条直线一定相交；
有公共顶点且相等的角是对顶角；直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.  为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中打捞条鱼，如果在这条鱼中有条鱼是有记号的，则鱼塘中鱼的条数可估计为(    )

A. 条 B. 条 C. 条 D. 条

9.  已知，，，则、、的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，长方形纸片，为边上一点，将纸片沿折叠，点落在点处，将纸片沿折叠，点落在点处，且恰好在线段上若，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  请将这个数用科学记数法表示为______ ．

12.  如图，，，，则______．

13.  袋中装有个黑球和个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是白球的概率为”，则这个袋中白球大约有______个．

14.  若是一个完全平方式，则 ______ ．

15.  如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则边上的高长为______ ．

16.  现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图，已知点为的中点，连结，将乙纸片放到甲的内部得到图已知甲、乙两个正方形边长之和为，图的阴影部分面积为，则图的阴影部分面积为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.  今年“五一”假期期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有转动圆盘的机会如图，如果规定当圆盘停下来时指针指向就中一等奖，指向或就中二等奖，指向或或就中纪念奖；指向其余数字不中奖．
转动转盘中一等奖、二等奖、三等奖的概率是分别是多少？
顾客中奖的概率是多少？
“五一”这天有人参与这项活动，估计获得一等奖的人数是多少？

四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
先化简再求值：，其中，．

19.  本小题分
计算：
；
；
；

 

20.  本小题分
如图，平分，点为上一点．
请用直尺和圆规过点作直线，交于点不写作法，保留作图痕迹；
在的条件下，若，求的度数．

21.  本小题分
如图，已知，，垂足分别为、，，试说明：请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．
解：，已知，
______ ，
______ ．
______ ______
已知．
______ ．
______
______ ．

22.  本小题分
甲、乙两车早上从城车站出发匀速前往城车站，在整个行程中，两车离开城的距离与时间的对应关系如图所示：
，两城之间距离是多少？
求甲、乙两车的速度分别是多少？
乙车出发多长时间追上甲车？

23.  本小题分
阅读理解：把个数、、、排列成，我们称之为二阶行列式，规定其运算法则为，例如：请解答下列各题：
计算的值；
若，求的值．

24.  本小题分
如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形如图所示

观察左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式______ ；
已知，，则 ______ ；
请应用这个公式完成下列计算：．

25.  本小题分
已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、．
如图，若，求的度数．
在的条件下，已知的平分线交的平分线于点，求的度数．
如图，若点是下方一点，平分，平分，已知，证明：为定值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据同底数幂的乘法法则计算即可．
本题考查同底数幂的乘法，一定要记准法则才能做题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
的补角．
故选：．
根据互补的两角之和为，可得出答案．
本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互补的两角之和为．
 

3.【答案】 

【解析】解：圆的周长公式为，
变量是、，常量是、，故C正确；
故选：．
根据函数的定义：对于函数中的每个值，变量按照一定的法则有一个确定的值与之对应；来解答即可．
本题考查了常量与变量，函数的定义：设和是两个变量，是实数集的某个子集，若对于中的每个值，变量按照一定的法则有一个确定的值与之对应，称变量为变量的函数，记作；变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量．
 

4.【答案】 

【解析】解：了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故该选项正确，符合题意；
B.为了直观地介绍某款牛奶各营养成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，故该选项不正确，不符合题意；
C.一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖次可能有次中奖，故该选项不正确，不符合题意；
D.“投掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为随机事件，故该选项不正确，不符合题意；
故选：．
根据调查方式，统计图的使用，概率的意义，事件的分类逐项分析判断即可求解．
本题考查了调查方式，统计图的使用，概率的意义，事件的分类，掌握以上知识是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，
他遇到绿灯的概率为：．
故选：．
利用十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，遇到每种信号灯的概率之和为，进而求出即可．
本题考查了概率公式，掌握遇到每种信号灯的概率之和为是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：开始时温度为，每增加分钟，温度增加，
温度与时间的关系式为：．
故选：．
由表知开始时温度为，再每增加分钟，温度增加，即每增加分钟，温度增加，可得温度与时间的关系式．
本题考查了求函数的关系式，关键是得出开始时温度为，每增加分钟，温度增加．
 

7.【答案】 

【解析】解：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，不合题意；
平面内，互相垂直的两条直线一定相交，故正确，不合题意；
有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，故错误，符合题意；
直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故错误，符合题意；
错误的个数为个，
故选：．
根据垂线的性质，相交线，对顶角，点到直线的距离分别判断．
本题考查了垂线的性质，相交线，对顶角，点到直线的距离，解决本题的关键是熟练掌握以上基础知识．
 

8.【答案】 

【解析】解：
．
故选C．
首先求出有记号的条鱼在条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
本题考查了统计中用样本估计总体的思想．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则是解本题的关键．
先把，，转化为底数为的幂，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘化简．然后根据指数的大小即可比较大小．
【解答】
解：，
，
．
则．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：由折叠的性质得：，，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
由折叠的性质得，，再证，然后证，即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、折叠的性质等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：；
故答案为：．
利用科学记数法的表示方法，进行表示即可．
本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：，，为整数，是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，

，
，
，
，
，
故答案为．
根据平行线的性质可得，再结合对顶角相等及平角的定义可求解的度数．
本题主要考查平行线的性质，垂线的定义，平角的定义，运用平行线的性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意知，
解得，
经检验是分式方程的解，
这个袋中白球大约有个．
故答案为：．
用白球的个数除以球的总个数等于列出关于的方程，解之即可．
本题考查了概率公式的应用，掌握概率所求情况数与总情况数之比是关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：因为是一个完全平方式，
所以，
，，
，，
故答案为：或．
根据完全平方式得出，求出即可．
本题考查了完全平方公式的应用，注意：完全平方式有两个：．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图看到，点从运动到的过程中，先从开始增大，到达点时达到最大，对应图可得此时，即；
点从运动到的过程中，先减小，到达时达到最小，对应图可得此时；
而后又开始增大，到达点时达到最大，即，所以为等腰三角形．
由图形和图象可得，时，，
过点作于，则．

故AC边上的高长为．
故答案为：．
由图看到，点从运动到的过程中，先从开始增大，到达点时达到最大，对应图可得此时，即；点从运动到的过程中，先减小，到达时达到最小，对应图可得此时；而后又开始增大，到达点时达到最大，即，所以为等腰三角形．据此可得边上的高长为．
本题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质．把图形和图象结合理解得到线段长度是解决本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设甲正方形的边长为，乙正方形的边长为，
根据题意可得：，
，
，
，
是的中点，
，
，．
．
故答案为：．
设甲正方形的边长为，乙正方形的边长为，根据题意可得：，根据完全平方和公式得到，即两个正方形的面积和，结合图形用正方形的面积和减去和的面积，即可求出阴影部分的面积．
本题考查完全平方和公式的运用，正确对完全平方和公式进行变形时解题的关键．
 

17.【答案】解：由题意可知：一等奖概率：，二等奖概率：，三等奖的概率：；
，，，，， 份数之和为 ，
转动圆盘中奖的概率为：；
获得一等奖的概率是，
“五 一”这天有  人参与这项活动，估计获得一等奖的人数为：人 ． 

【解析】分别求出数字，和，和和所占的份数即可求出转动转盘中一等奖、二等奖、三等奖的概率；
求出，，，，， 份数之和即可得到顾客中奖的概率；
由可知获一等奖的概率，进而可求出获得一等奖的人数．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

18.【答案】解：


，
当，时，原式． 

【解析】先运算括号里的整式，合并同类项后再运算除法，化简后将、的值代入即可．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则，完全平方公式，多项式乘以多项式法则，整式的除法法则是解题的关键．
 

19.【答案】解：

；



；


；


． 

【解析】先算幂的乘方和积的乘方，再算单项式乘单项式；
先变形，再利用平方差公式计算即可；
先算乘方，零指数幂，负指数幂，再算加减法；
根据整式的四则运算法则计算即可．
本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则．
 

20.【答案】解：如图所示，作；

平分，，
，
由作图可知：，
，
． 

【解析】根据平行线的作法即可得到答案；
根据角平分线的性质、平行线的性质、邻补角即可得到答案．
本题考查了平行线的作图方法，角平分线的定义、平行线的性质，灵活运用所学知识是解题关键．
 

21.【答案】垂直的定义  同位角相等，两直线平行    两直线平行，同旁内角互补  同角的补角相等    两直线平行，同位角相等 

【解析】解：，已知，
垂直的定义，
 同位角相等，两直线平行．
两直线平行，同旁内角互补，
已知．
同角的补角相等．
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；；两直线平行，同位角相等．
根据平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等知识一一判断即可．
本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：由图象可知、两城之间距离是千米；
由图象可知，甲的速度千米小时，
乙的速度千米小时，
甲、乙两车的速度分别是千米小时和千米小时；
设乙车出发小时追上甲车，
由题意：，
解得：，
乙车出发小时追上甲车． 

【解析】根据图象即可得出结论；
根据图象，利用路程除以时间可得甲、车两车速度；
由题意列方程解决问题．
本题考查从函数图象获取信息、行程问题等知识，解题的关键是学会利用函数解决实际问题，学会转化的思想，把问题转化为方程，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：原式
，
．
，即，




． 

【解析】根据材料给的二阶行列式计算方法，整式的混合即可求解；
根据材料给的二阶行列式计算方法，整式的混合运算，整体代入求值即可求解．
本题主要考查定义新运算，整式混合运算的综合，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
 

24.【答案】   

【解析】解：如图，大正方形面积是，小正方形面积是，
阴影部分面积大正方形面积小正方形面积，
如图，长方形的宽，长方形的长，
长方形的面积，
由拼接可知：阴影部分面积相等，可以得到公式，
故答案为：；
，，
，
故答案为：；




．
分别求出两个图中阴影部分面积，可得公式；
根据平方差公式，，已知代入即可求出答案；
先利用平方差公式变形，再约分即可得到答案．
本题主要考查有理数的混合运算、平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题．
 

25.【答案】解：如图所示，过点作，

，
，
，，
，
，
．
如图所示，过点作，

，，，

平分，平分，

，
，
，，
；
如图所示，将与的交点记作，

平分，且，
，，
平分，
，
设，
，
由同理可得，，
，
，
在中，，
，即为定值． 

【解析】过点作，利用平行线的性质求解；
分别过点和作，，利用平行的性质得到对应的角度关系，进而求取的值；
根据角平分线的定义求出，，，设，求出，，相减即可证明．
本题主要考查平行的常见模型，对于平行的辅助线添加，可过转折点处作已知直线的平行线，再利用平行的性质求解．关于度数的定值问题，可以借助代数式求证．