+浙江省绍兴市新昌县西郊中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷

2021-2022学年浙江省绍兴市新昌县西郊中学九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若关于的函数是二次函数，则的取值范围(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，点、、是上的三个点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  有五张质地、大小、反面都相同的不透明卡片，正面分别写着数字，，，，，把它们的正面向下，随机摆放在桌面后任意抽取一张，则抽出的数字是奇数的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  将二次函数的图象向上平移个单位长度，得到的二次函数的表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，绕点逆时针旋转得到，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，是正六边形的外接圆，是弧上一点，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，的半径为，以为圆心，为半径的弧交于、点，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知锐角，如图：
在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接；
分别以点，为圆心，长为半径作弧，交弧于点，；
连接，．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是(    )

A.  B. 若则
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  若一个正多边形的一个内角是，则这个正多边形是正______边形．

12.  如图，直线，直线和被直线，，所截，如果截得线段，，，那么线段的长为______．

13.  如图，为内接的直径，，为上一点，，劣弧的长为______ ．

14.  若二次函数的图象与轴有两个不相同的交点，则的取值范围是______．

15.  在平面直角坐标系中，抛物线是常数，的部分图象如图所示，直线是它的对称轴．若一元二次方程的一个根的取值范围是，则它的另一个根的取值范围是______．

16.  如图，直线经过的圆心，且与交于，两点，点在上，且，点是上的一个动点与圆心不重合，直线与相交于另一点，若，则 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
某校月份举行了八年级生物实验考查，有和两个考查实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验，小明、小丽都参加了本次考查．
小丽参加实验考查的概率是______ ；
用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验考查的概率．

18.  本小题分
如图，已知点、的坐标分别是，将绕点按逆时针方向旋转后得到．
画出不要求写出作法；
求旋转过程中线段所扫过的面积．

19.  本小题分
已知二次函数 ．
将化成的形式；
求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
当时，求的范围．

20.  本小题分
已知在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点，如图．
求证：；
若大圆的半径，小圆的半径，且圆到直线的距离为，求的长．

21.  本小题分
如图，是的直径，、两点在上，若，
求的度数；
若，，求的半径．

22.  本小题分
月日，“灿都”台风中心在新昌正南方向公里，以千米小时的速度向新昌移动此时小芳因家有急事，不得不外出，他开车从新昌以千米小时的速度向正西方向行驶．
当小芳出发小时时，请问小芳与台风中心相距多远？
何时小芳离台风中心最近，最近距离为多少？

23.  本小题分
如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点．
求证：．
若弧，求的度数．
过点作于点，若，，求弧的长．

24.  本小题分
如图，点为轴负半轴上一点，交轴于、两点，交轴于、两点，点为劣弧上一个动点，连接，，且，．

如图，求点的坐标和的度数；
如图，若平分交于点，小明认为当点在运动时，线段的长度始终不发生变化，只要连接即可证明请完成小明的证明．
如图，连接，当点在运动时不与、两点重合，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：关于的函数是二次函数，
，
则的取值范围：．
故选：．
直接利用二次函数的定义分析得出答案．
此题主要考查了二次函数的定义，正确掌握二次函数的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
利用圆周角定理直接求解即可．
本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理解决问题．
 

3.【答案】 

【解析】解：共有个数字，奇数有个，
抽出的数字是奇数的概率是．
故选：．
根据有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，其中奇数有，，，共个，再根据概率公式即可得出答案．
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

4.【答案】 

【解析】解：二次函数的顶点坐标为：，
图象向上平移个单位长度后顶点坐标为：，
二次函数的表达式为：．
故选：．
由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式只要根据原抛物线的顶点坐标，求出平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

5.【答案】 

【解析】解：绕点逆时针旋转得到，
，
，
即的度数是．
故选：．
先根据旋转的性质得到，然后计算即可．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，，
六边形是正六边形，
，
，
故选：．
构造圆心角，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得答案即可．
本题考查了正多边形和圆以及圆周角定理的知识，解题的关键是正确的构造圆心角，难度不大．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
直接利用比例的合比性质得到答案即可．
考查了比例的性质，牢记比例的合比性质是解答本题的关键，难度不大．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可知，，
四边形是菱形，是正三角形，
，，
，
故选：．
先判断四边形是菱形，是正三角形，再根据菱形的性质和正三角形的性质进行计算即可．
本题考查垂径定理，判断边形是菱形，是正三角形是正确解答的前提．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图象可知，，
，
选项不符合题意，
对称轴为，
，
选项符合题意，
由抛物线的顶点位置可知，
，
，
，
选项不合题意，
抛物线与轴右侧的交点的横坐标为，对称轴为，
抛物线与轴左侧的交点为，
即，
选项不合题意，
故选：．
根据二次函数的图象与系数即可判断．
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记二次函数解析式中系数对图象位置的影响，决定开口方向，、决定对称轴，决定图象与轴的交点．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，，
由作法得，
，所以A正确；
，
当时，为等边三角形，
，
，所以B正确；
，
，
，所以C正确；
，
，所以D错误．
故选：．
连接，，由作法得，则根据圆周角、弧、弦的关系可对进行判断；当时，为等边三角形，则，于是根据圆周角、弧、弦的关系可对进行判断；根据圆周角定理直接对进行判断；根据两点之间线段最短可对进行判断．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理．
 

11.【答案】六 

【解析】解：外角是，
，则这个多边形是六边形．
故答案为：六．
一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是度，利用除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
 

12.【答案】 

【解析】解：直线，
，
，，，
，
．
故答案为：．
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

是直径，，
，
，
，
的长，
故答案为：．
如图，连接求出圆心角，利用弧长公式求解即可．
本题考查圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得：
解得：，
故答案为：．
由题意得：，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
 

15.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴的一个交点在到之间，
一个根，
对称轴为直线，
一元二次方程的一个根的取值范围是．
故答案为：．
根据抛物线的对称性解答即可．
本题考查了二次函数与轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，准确识图是解题的关键．
 

16.【答案】或或 

【解析】解：根据题意，画出图，
在中，，
，
在中，，
，
又，
，
在中，，
即，
整理得，，
．
当在线段的延长线上如图，
，
，
，
，
在中，，
把代入得：
，
，
，则
；
当在线段的反向延长线上如图，

，
，
，
，
，
，
；
故答案为：或或．
点是直线上的一个动点，因而点与线段有三种位置关系，在线段上，点在延长线上，点在的延长线上．分这三种情况进行讨论即可．
本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质，先假设存在并进行分类讨论是进行解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：小丽参加实验考查的概率是，
故答案为：；
列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中小明、小丽都参加实验考查的有种结果，
所以小明、小丽都参加实验考查的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】解：如图，为所作；

，，
线段所扫过的面积． 

【解析】利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点即可；
根据扇形的面积公式计算．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了扇形面积的计算．
 

19.【答案】解：

；
，
该二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是；
，
，，
抛物线 开口向上，
当或时，． 

【解析】本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，灵活运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
利用配方法把一般式化为顶点式；
根据二次函数的性质解答；
求出的解，解答即可．
 

20.【答案】证明：过作于点，
则，，
，即；

解：由可知，且，连接，，
，
，，
． 

【解析】过作，根据垂径定理得到，，从而得到；
由可知，且，连接，，再根据勾股定理求出及的长，根据即可得出结论．
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：，
，
是的直径，
，
；
连接，
是的直径，
，
，，
，
的半径为． 

【解析】求出的度数，继而在中，可求出的度数；
连接，则可得，在中求出，继而可得的半径．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理的内容是解题的关键，此题难度不大．
 

22.【答案】解：设点表示新昌，点表示台风中心初始位置，点表示小芳出发小时的位置，点表示台风中心移动小时后的位置，
由题意得，公里千米，千米，千米，

千米，
在中，由勾股定理得千米，
答：小芳与台风中心相距千米；
设小时后小芳离台风中心最近，最近距离为千米，
由题意得


，
，
当时，有最小值，最小值为千米，
答：小时后小芳离台风中心最近，最近距离为千米． 

【解析】先根据题意构造直角三角形，然后根据题意表示出两条直角边的长，最后根据勾股定理即可求出小芳出发小时时，与台风中心相距的路程；
设小时后小芳离台风中心最近，最近距离为千米，同求法，利用二次函数的最值解答即可．
本题考查了解直角三角形的应用，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．
 

23.【答案】证明：连接，
是的直径，
，即，
又，
；
解：弧，
，
；
解：如图，连接，
，，
，
又，
∽，
，
由于，可设，则，，
，
解得，
经检验是原方程的根，
即，
，
，，
是的中位线，
，，
，
是正三角形，
，
弧的长为 

【解析】根据圆周角定理以及等腰三角形的性质可得答案；
利用圆周角定理以及三角形内角和定理可求出答案；
根据等腰三角形的性质可求出，再利用相似三角形的判定和性质得出，进而求出，进而求出，再由三角形中位线定理以及正三角形的性质求出相应的圆心角度数和圆的半径，由弧长公式可求出答案．
本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及弧长的计算方法，掌握圆周角定理，等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及弧长的计算方法是正确解答的前提．
 

24.【答案】解：如图，连接，．

，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
；

不发生变化．

证明：如图，连接，则，
，，
平分，
，
，
；

如图，在的延长线上截取，连接，，，则，

由可知，
，
在和中，
，
≌，
，，
是以为底角的等腰三角形，
过点作于，则，
，
． 

【解析】连接，则，然后利用勾股定理就可求出的长，从而求出点的坐标，证明是等边三角形，求出，由圆周角定理可得出的度数；
不发生变化，连接，利用等弧所对的圆周角相等可证明，是一个固定值，所以不发生变化．再利用勾股定理就可求出的长即是的长；
在的延长线上截取，连接，，，则，证明≌，由全等三角形的性质得出，，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．