两年(22-23)高考数学真题专题分类汇编专题三 函数（2份打包，原卷版+教师版）

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专题三 函数 真题卷题号考点考向2023新课标1卷4函数的基本性质复合函数的单调性、已知函数单调性求参10对数运算、对数函数对数运算、对数函数解决实际问题11函数的基本性质、函数的极值抽象函数的奇偶性、求抽象函数的函数值、极值点定义2023新课标2卷4函数的基本性质利用奇偶性求参2022新高考1卷12函数的基本性质对称性、周期性的综合应用2022新高考2卷8函数的基本性质奇偶性、周期性的综合应用2021新高考1卷13函数的基本性质利用奇偶性求参2021新高考2卷7比较大小利用对数函数的单调性比较大小8函数的基本性质奇偶性、周期性的综合应用14函数的基本性质基本初等函数的性质2020新高考1卷6指数运算、对数运算指数、对数运算解决实际问题8函数的基本性质单调性、奇偶性的综合应用2020新高考2卷7函数的单调性与最值利用单调性求参数的取值范围8函数的基本性质单调性、奇偶性的综合应用12对数函数新定义问题、对数运算、对数函数的性质、不等式的性质 【2023年真题】1.（2023·新课标I卷 第4题） 设函数在区间单调递减，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 【答案】D 【解析】【分析】本题考查复合函数的单调性，为较易题.【解答】解：结合复合函数单调性的性质，易得，所以a的取值范围是故选2.（2023·新课标II卷 第4题）若为偶函数，则(    )A.  B. 0 C.  D. 1【答案】B 【解析】【分析】本题考查利用函数的奇偶性求解函数的解析式，为基础题.【解答】解：为偶函数，，，，故选3.（2023·新课标I卷 第10题）（多选） 噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，p是实际声压下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10
 
 混合动力汽车10
 
 电动汽车10
 40
 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为，，，则(    )A.  B.  C.  D. 【答案】ACD 【解析】【分析】本题考查了对数函数的实际应用，属于中档题.利用公式声压级公式结合每种汽车声压级范围计算即可逐项判断.【解答】解：，，，所以A正确，，，所以B错误，，所以C正确，，，所以D正确．故选ACD4. （2023·新课标I卷 第11题）（多选）已知函数的定义域为，，则(    )A.  B.
C. 是偶函数 D. 为的极小值点【答案】ABC 【解析】【分析】本题主要考查抽象函数的奇偶性、函数的极值点，属中档题.通过赋值法，可判断ABC选项.对于D选项可设常函数 ，进行排除.【解答】解：选项A，令，则，则，故A正确;选项B，令，则，则，故B正确;选项C，令，则，则，再令，则，即，故C正确;选项D，不妨设为常函数，且满足原题，而常函数没有极值点，故D错误.故选：【2022年真题】5.（2022·新高考I卷 第12题）（多选）已知函数及其导函数的定义域为R，记若，均为偶函数，则(    )A.  B.  C.  D. 【答案】BC 【解析】【分析】本题主要考查导函数与原函数的关系，函数的对称性及奇偶性，属于难题.利用函数的奇偶性及周期性，导函数与原函数的关系逐项分析即可.【解答】解：由为偶函数可知关于直线对称，
由为偶函数可知关于直线对称，
结合，根据关于直线对称可知关于点对称，
根据关于直线对称可知：关于点对称，
综上，函数与均是周期为2的周期函数，所以有，所以A不正确;
，，，故，所以C正确.
，，所以B正确;
又，所以，所以D不正确.6.（2022·新高考II卷 第8题）若函数的定义域为R，且，，则(    )A.  B.  C. 0 D. 1【答案】A 【解析】【分析】本题考查函数性质的应用，涉及函数的周期与赋值法的应用。【解答】解：令得
故，，
消去和得到，故周期为
令，得，
，
，
，
，
，
故

即【2021年真题】7.（2021·新高考I卷 第13题）已知函数是偶函数，则__________.【答案】1 【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，属于基础题.
利用即可求出a的值.【解答】解：函数是偶函数； ，化简可得，解得，故答案为8.（2021·新高考II卷 第7题）已知，，，则下列判断正确的是(    )A.  B.  C.           D. 【答案】C 【解析】【分析】本题考查了对数的单调性与大小比较，合理转化是关键.
利用对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.【解答】解：，
即故选9.（2021·新高考II卷 第8题）设函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数，则  (    )A.  B.  C.  D. 【答案】B 【解析】【分析】本题是对函数奇偶性和周期性的综合考查.
推导出函数是以4为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.【解答】解：因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，所以，，即，故函数是以4为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选10.（2021·新高考II卷 第14题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数：_________.①；②当时，；③是奇函数．【答案】答案不唯一，均满足 【解析】【分析】本题是开放性问题，合理分析所给条件找出合适的函数是关键，属于中档题.
根据幂函数的性质可得所求的【解答】解：取，则，满足①，，时有，满足②，的定义域为R，又，故是奇函数，满足③.故答案为：答案不唯一，均满足【2020年真题】11.（2020·新高考I卷 第6题）基本再生数与世代间隔T是新冠肺炎流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间单位：天的变化规律，指数增长率 r与，T近似满足有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(    )A. 天 B. 天 C. 天 D. 天【答案】B 【解析】【分析】本题结合实际问题考查指数对数化简求值，属于中档题.
根据题意，先将，代入，求得r，再由题意即可求解.【解答】解：将，代入，
得，由得，
当增加1倍时，，
所需时间为故选12.（2020·新高考I卷、II卷 第8题）若定义在R上的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是(    )A.  B.
C.  D. 【答案】D 【解析】【分析】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查运算求解及逻辑推理能力，属于一般题.
根据题意，不等式可化为 或，从而利用奇函数性质及函数的单调性求解即可.【解答】解：根据题意，不等式可化为 或，由奇函数性质得，在上单调递减，所以或，
解得或满足的x的取值范围是故选13.（2020·新高考II卷 第7题）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是(    )A. B. C.  D. 【答案】D 【解析】【分析】本题考查复合函数单调性的求法，属于中档题．
由对数式的真数大于0求得函数的定义域，令，由外层函数是其定义域内的增函数，结合复合函数的单调性可知，要使函数在上单调递增，需内层函数在上单调递增且恒大于0，转化为，即可得到a的范围．【解答】解：由，得或令，外层函数是其定义域内的增函数，要使函数在上单调递增，则需内层函数在上单调递增且恒大于0，则，即的取值范围是故选：14.（2020·新高考I卷 第12题）（多选）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1，2，，n，且，，定义X的信息熵(    )A. 若，则
B. 若，则随着的增大而增大
C. 若=，，则随着n的增大而增大
D. 若，随机变量Y的所有可能取值为1，2，，m，且+，，则【答案】AC 【解析】【分析】本题以信息熵的定义为载体，涉及了对数运算，利用导数研究函数的单调性，作差法的运用等，旨在考查学生接收新知识，运用新知识的意识，考查化简变形、运算求解能力，属于难题．
对于A选项，求得，由此判断出A选项的正确性；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出，利用对数函数的性质可判断出C选项的正确性；对于D选项，计算出，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项的正确性.【解答】解：A选项中，由题意知，此时，故A正确；
B选项中，由题意知，且，
，
设， ，
则，
当时，，当时，，
故当 时，随着的增大而增大，
当 时，随着的增大而减小，故B错误；
C选项中，由题意知，
故随着n的增大而增大，故C正确；
D选项中，由题意知，
，
 
 
 
故D错误.
故答案为：