广东省梅州市五华县华阳中学2022-2023学年八年级下学期开学考试数学试题（解析版）

2022-2023学年度第二学期梅州市五华县华阳中学八年级数学开学测试题

一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．

1. 下列计算正确的是(   )

A. 3x﹣x＝3 B. a3÷a4＝

C. (x﹣1)2＝x2﹣2x-1 D. (﹣2a2)3＝﹣6a6

【答案】B

【解析】

【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．

【详解】A.原式＝2x，故A错误；

B. a3÷a4＝，计算正确，故B正确.

C.原式＝x2﹣2x+1，故C错误；

D.原式＝﹣8a6，故D错误；

故选B．

【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则.

2. 八边形的外角和是（   ）

A. 360° B. 720° C. 1080° D. 1440°

【答案】A

【解析】

【分析】根据任何多边形的外角和都为360度进行求解即可．

【详解】解：八边形的外角和是360°，

故选A．

【点睛】本题主要考查了多边形外角和，熟知多边形外角和为360度是解题的关键．

3. 计算正确的是（　　）

A. a B. a5 C. a6 D. a9

【答案】B

【解析】

【分析】由同底数幂的乘法法则进行计算即可．

【详解】解：．

故选：B．

【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，掌握几个同底数的幂相乘，底数不变，指数相加是关键．

4. 下列四个选项中，计算结果最大的是（　　）

A.  B. |﹣2| C. （﹣2）0 D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先求出每个选项中的数的大小，然后根据：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，判断出计算结果最大的是哪个即可．

【详解】解：|﹣2|＝2，（﹣2）0＝1，

∵2＞＞1＞﹣，

∴|﹣2|＞＞（﹣2）0＞﹣，

∴四个选项中，计算结果最大的是：|﹣2|．

故选：B．

【点睛】本题考查的知识点是比较实数的大小，0指数幂，需要注意选项C,任意不为0的数的0次幂都为1，此选项是本题的易错点.

5. 下列图形中，不是轴对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据轴对称图形的定义“平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形”逐项判断即可．

【详解】A、不是轴对称图形，符合题意

B、是轴对称图形，不符题意

C、是轴对称图形，不符题意

D、是轴对称图形，不符题意

故选：A．

【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟记定义是解题关键．

6. 下列平面图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有（    ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】B

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断即可得解．

【详解】解：∵A．既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；

B．是轴对称图形，但不是中心对称图形．故本选项不符合题意；

C．既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；

D．是轴对称图形，但不是中心对称图形．故本选项不符合题意；

∴共有个既是轴对称图形又是中心对称图形

故选：B

【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．判断轴对称图形关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形关键是寻找对称中心，图形旋转后与原图形重合．

7. 若（x+2）（x-3）=x2+ax+b，则a，b的值分别为（   ）

A. -1，-6 B. -5，-6 C. -5， 6 D. -1，6

【答案】A

【解析】

【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件即可求出a与b的值．

【详解】解：∵（x+2）（x3）=x2x6=x2+ax+b，

∴a=1，b=6．

故选：A．

【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（  ）

A  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，再利用速度路程时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于的分式方程，此题得解．

【详解】解：规定时间为天，

慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，

又快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，

．

故选：B．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

9. 下列运算中，正确的是（     ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据幂的运算法则即可依次判断．

【详解】A.不能计算，故错误；   

B.，正确；

C.，故错误；   

D.，故错误；

故选B．

【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式与法则．

10. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①△ECF的面积为；②△AEG的周长为8；③EG2＝DG2+BE2；其中正确的是（　　）

A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③

【答案】C

【解析】

【分析】先判断出∠H＝90°，进而求出AH＝HF＝1＝BE．进而判断出△EHF≌△CBE（SAS），得出EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，判断出△CEF是等腰直角三角形，再用勾股定理求出EC2＝17，即可得出①正确；先判断出四边形APFH是矩形，进而判断出矩形AHFP是正方形，得出AP＝PH＝AH＝1，同理：四边形ABQP是矩形，得出PQ＝4，BQ＝1，FQ＝5，CQ＝3，再判断出△FPG∽△FQC，得出,求出PG＝，再根据勾股定理求得EG＝，即△AEG的周长为8，判断出②正确；先求出DG＝，进而求出DG2+BE2＝，在求出EG2=≠，判断出③错误，即可得出结论．

【详解】解：如图，在正方形ABCD中,AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4,∠B＝∠BAD＝90°,

∴∠HAD＝90°,

∵HF∥AD,

∴∠H＝90°,

∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°,

∴∠AFH＝∠HAF.

∵AF＝,

∴AH＝HF＝1＝BE.

∴EH＝AE+AH＝AB﹣BE+AH＝4＝BC,

∴△EHF≌△CBE（SAS）,

∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE,

∵∠BCE+∠BEC＝90°,

∴HEF+∠BEC＝90°,

∴∠FEC＝90°,

∴△CEF是等腰直角三角形,

在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4,

∴EC2＝BE2+BC2＝17,

∴S△ECF＝EF•EC＝EC2＝,故①正确:

过点F作FQ⊥BC于Q,交AD于P,

∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD,

∴四边形APFH是矩形,

∵AH＝HF,

∴矩形AHFP是正方形,

∴AP＝PH＝AH＝1,

同理：四边形ABQP是矩形,

∴PQ＝AB＝4,BQ＝AP1,FQ＝FP+PQ＝5,CQ＝BC﹣BQ＝3,

∵AD∥BC,

∴△FPG∽△FQC,

∴,

∴,

∴PG＝,

∴AG＝AP+PG＝,

在Rt△EAG中，根据勾股定理得，EG＝,

∴△AEG周长为AG+EG+AE＝=8，故②正确；

∵AD＝4，

∴DG＝AD﹣AG＝

∴DG2+BE2＝+1＝,

∵EG2＝（）2＝≠,

∴EG2≠DG2+BE2,故③错误,

∴正确的有①②,

故选:C.

【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用,结合了全等三角形,勾股定理,三角形相似等知识点解题.

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11. 如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是__________

【答案】3

【解析】

【分析】由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．

【详解】解：∵AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形．

∵∠A=36°，

∴∠C=∠ABC=72°．

∵BD平分∠ABC交AC于D，

∴∠ABD=∠DBC=36°，

∵∠A=∠ABD=36°，

∴△ABD是等腰三角形．

∵∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，

∴△BDC是等腰三角形．

∴共有3个等腰三角形．

故答案为3．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．

12. 已知一个三角形的三条边长为2、7、，则的取值范围是_______．

【答案】5x9

【解析】

【详解】根据三角形三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和得：7−2<x<7+2，

即5<x<9.

13. 各分母系数（都是整数）的最小公倍数与所有字母的___________的积叫做最简公分母，它类似于小学分数中的_____________．

【答案】    ①. 最高次幂    ②. 最小公倍数

【解析】

【分析】根据最简公分母的定义“几个分式中各分母系数（都是整数）的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积叫做这几个分式的最简公分母”，解题即可．

【详解】几个分式中各分母系数（都是整数）的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积叫做这几个分式的最简公分母．

故答案为：最高次幂；最小公倍数

【点睛】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键．

14. 因式分解：__．

【答案】

【解析】

【分析】利用十字相乘法因式分解即可．

【详解】解：

故答案为：．

【点睛】此题考查的是因式分解，掌握利用十字相乘法因式分解是解决此题的关键．

15. 如图，点，，，为正方形四边中点，连接，，，．若，则四边形的面积是________．

【答案】20

【解析】

【分析】根据正方形的性质得，，则四边形DEBG为平行四边形，即，根据三角形的中位线得，同理可得，，利用SAS得，则，根据角之间的关系得，同理可得，，即可得四边形MNPQ为矩形，利用AAS可证，则，则，即可得四边形MNPQ为正方形，设MQ=x，则，，在中，根据勾股定理得，进行计算即可得．

【详解】解：∵点E，F，G，H为正方形ABCD四边中点，

∴，，

∴四边形DEBG为平行四边形，

∴，

∴，

同理可得，，

在和中，

∴（SAS），

∴，

∵，

∴，

∴，

同理可得，，

∴四边形MNPQ为矩形，

在和中，

∴（AAS），

∴，

∴，

∴四边形MNPQ为正方形，

设MQ=x，则，，

在中，根据勾股定理得，

，

∴四边形MNPQ的面积为：20，

故答案为：20．

【点睛】本题考查了中点四边形，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，解题的关键是掌握这些知识点．

16. 如图，等边三角形纸片ABC的边长为8，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 ___．

【答案】8

【解析】

【分析】由等边三角形的性质可得∠B＝∠C＝60°，利用平行线的性质可求得∠DEF＝∠DFE＝60°，即可得△DEF为等边三角形，结合三等分点的意义可得△DEF的周长即为AB的长，进而可求解．

【详解】解：∵△ABC为等边三角形，

∴∠B＝∠C＝60°，AB=BC=AC

∵DE∥AB，

∴∠DEF＝∠B＝60°，

∵DF∥AC，

∴∠DFE＝∠C＝60°，

∴△DEF为等边三角形，

∴DE＝DF＝EF，

∵点E，F是BC边的三等分点，

∴BC＝3EF，

∵AB＝8，

∴△DEF的周长为：DE+DF+EF＝3EF＝AB＝8，

故答案为8．

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质与判定，平行线的性质，证明△DEF为等边三角形是解题的关键．

17. 如图，在等腰中，，．以点为旋转中心，旋转，点分别落在点处，直线交于点，那么的值为_______．

【答案】或．

【解析】

【分析】作于，如图，设，计算出，，则，分类讨论：当绕点顺时针旋转30°得到，如图1，利用旋转的性质得，，，则，再计算出，，接着利用得到，于是可计算出的值；当绕点逆时针旋转得到，如图2，证明得到，然后计算的值．

【详解】作于，如图，设，

∵，

∴，

在中，∵，

∴，，

∴，

当绕点B顺时针旋转得到，如图1，交于，

∴，，，

∵，

∴，

在中，，

∴，

∵，

∴，

∴；

当绕点B逆时针旋转得到，如图2，

∴，，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

综上所述，的值为或．

故答案为或．

【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系．

三、解答题：第18，19．20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分．

18. 当为何值时，关于的方程会产生增根?

【答案】

【解析】

【分析】先将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，可知增根为，再将代入，即可得出的值．

【详解】方程可转化为，

方程有增根

增根是

把代入，得

【点睛】本题考查了分式方程的增根，先把分式方程转化为整式方程，若整式方程的解使分式方程的分母为0，则这个整式方程的解就是分式方程的增根．

19. 已知：点在上，点在上，和相交于点，，．求证：

【答案】见解析

【解析】

【分析】利用证，即可得到．

【详解】证明：在和中，

，

，

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，利用证是解题的关键．

20. 已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．

求证： DE=BF．

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】由同角的余角相等知，∠FAB=∠DAE，由正方形的性质知，AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，则ASA证得△AFB≌△ADE即可证得DE=BF．

【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=∠ADE=∠ABF=90°

∵EA⊥AF，

∴∠BAF+∠BAE=∠BAE+∠DAE=90°，

∴∠BAF=∠DAE，

∴Rt△ABF≌Rt△ADE，

∴DE=BF

21. 已知：如图，，，.

求证：.

【答案】见解析

【解析】

【分析】由得，再由证得，以及，即可证明三角形全等.

【详解】∵，

∴

∵

∴

∴

在和中

∵ 

∴.

【点睛】此题考查全等三角形的判断，依据条件得到边或角相等，由此确定三角形全等的条件.

22. 已知，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．

【答案】见解析

【解析】

【详解】解：结论：四边形ABCD是平行四边形

证明：∵DF∥BE

∴∠AFD＝∠CEB

又∵AF＝CE  DF＝BE，

∴△AFD≌△CEB（SAS）

∴AD＝CB ∠DAF＝∠BCE

∴AD∥CB

∴四边形ABCD是平行四边形

23. 如图，点B、C、D在同一直线上，AB=AD=CD，∠C＝36°.求∠BAD的度数.

【答案】∠BAD= 36°

【解析】

【分析】题中给出了相等的边，以及角的度数，再让求其它角的度数，这就需要利用“等边对等角”、“三角形的内角和是180°”，以及三角形的内角与外角的关系进行解答．

【详解】∵AD=DC,∴∠DAC=∠C=36°，

∴∠ADB=∠DAC+∠C=72°.

∵AB=AD,∴∠B=∠ADB=72°，

∴∠BAD=180°−∠B−∠ADB=180°−72°−72°=36°.

故答案为36°.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质.

24. 如图，在等边三角形内有一点，且，，，求的度数和等边三角形的边长．

【答案】，

【解析】

【分析】将绕点B逆时针选转，画出旋转后的图形，连接，可得是等边三角形，而由勾股定理逆定理得为直角三角形，所以得到 ，进而得到∠BPC；过点B做，交的延长线于点M，由，求出BM和，根据勾股定理即可求解 的边长．

【详解】∵是等边三角形

∴

将绕点B顺时针选转，连接

∴AP'=CP=1，，∠BPC=，

∵

∴

∴是等边三角形

∴，

∵=1，AP=2

∴

∴为直角三角形

∴

过点B做，交的延长线于点M

∴，

∴

∴

由勾股定理得：

∴等边三角形的边长为．

【点睛】本题考查了勾股定理即勾股定理逆定理的应用，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的边角关系，旋转的性质，正确作出辅助线并能根据性质进行证明是本题的关键．

25. 已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE ，设∠BAD=α，∠CDE=β．

（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．

①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°， 那么α=_______，β=_______．

②求α、β之间的关系式．

（2）是否存在不同于以上②中的α、β之间的关系式？若存在，求出这个关系式，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）①20°，10°；②α=2β；（2）见解析．

【解析】

【详解】（1）①∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE=70°，∠DAE=40°，又∵AB=AC，∠ABC=60°，∴∠BAC=∠C=∠ABC=60°，∴α=∠BAC-∠DAE=60°-40°=20°，β=∠AED-∠C=70°-60°=10°；

②设∠ABC=x，∠ADE=y，则∠ACB=x，∠AED=y，在△DEC中，y=β+x，在△ABD中，α+x=y+β，∴α=2β．

（2）如图1，点E在CA延长线上，点D在线段BC上，设∠ABC=x，∠ADE=y，则∠ACB=x，∠AED=y，在△ABD中，x+α=β-y，在△DEC中，x+y+β=180°，∴α=2β-180°．

当点E在CA延长线上，点D在CB的延长线上，如图2,同①的方法可得α=180°−2β.

考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．