2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市拜泉县八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市拜泉县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列二次根式中，是最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，▱中，过对角线的交点，，，，则四边形的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若点、都在函数为常数的图象上，则和的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

4.  将一组数据中的每一个数减去后，所得新的一组数据的平均数是，则原来那组数据的平均数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，在中，，分别是，的中点，，是上一点，且，连接，，若，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知等腰三角形的周长是，底边长是腰长的函数，则下列图象中，能正确反映与之间函数关系的图象是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  已知，是实数，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，已知直线：与直线：在第一象限交于点若直线与轴的交点为，则的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图所示，矩形中，平分交于，，则下面的结论：
是等边三角形；；；，
其中正确结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

11.  函数的自变量的取值范围是______．

12.  当个整数从小到大排列后，其中位数为，如果这组数据的唯一众数是，那么这个数的和的最大值是______ ．

13.  已知直角三角形的两条边长为，，那么斜边上的中线长是______．

14.  如果一组数据，，，的方差是，则另一组数据，，，的方差是______ ．

15.  如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于的不等式的解是______．

16.  如图所示，在长方形中，，，将长方形沿折叠，点落在处，则重叠部分的面积为______ ．

17.  如图，已知直线：，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于，过点作直线的垂线交轴于点，；按此作法继续下去，则点的坐标为______．

三、解答题（本大题共7小题，共49.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：；
计算：．

19.  本小题分
先化简，再求值，其中，．

20.  本小题分
如图，在正方形中，为对角线，为上一点，连接、．
求证：≌；
当，时，求的长．

21.  本小题分
某学校为了解该校七年级学生的身高情况，抽样调查了部分同学，将所得数据处理后，制成扇形统计图和频数分布直方图部分如下每组只含最低值不含最高值，身高单位：，测量时精确到：

请根据所提供的信息计算身高在范围内的学生人数，并补全频数分布直方图；
样本的中位数在统计图的哪个范围内？
如果上述样本的平均数为，方差为；该校八年级学生身高的平均数为，方差为，那么______ 填“七年级”或“八年级”学生的身高比较整齐．

22.  本小题分
如图，在四中八年级学生耐力测试赛中，甲、乙两学生跑的距离米与时间秒之间的函数关系的图象分别为折线和线段根据图象的信息，解答以下问题：
甲同学前秒跑了______米，______同学先到终点．
出发后第几分钟两位同学第一次相遇？本次测试的全程是多少米？
两位同学第二次相遇是在距终点多远的地方？

23.  本小题分
综合与实践：
实践操作：如图，在中，，，以为边，在外作等边，是的中点，连接并延长交于如图，将图中的四边形折叠，使点与点重合，折痕为．
问题解决：
图中的线段与的长度比是______ ．
请在图中证明四边形是平行四边形；
探索发现：
图中的 ______ ．

 

24.  本小题分
综合与探究．
如图，平面直角坐标系中，矩形的两条邻边分别在轴、轴上，对角线，点的坐标为．
______ ， ______ ．
把矩形沿直线对折使点落在点处，直线与、、的交点分别为，，，求直线的解析式问题中的结论可直接使用．
若点在轴上，则在平面直角坐标系中的轴及轴的下方，是否存在这样的点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据平行四边形的中心对称性得：，
▱的周长
四边形的周长▱的周长．
根据平行四边形的中心对称性，可知把平行四边形分成两个相等的部分，先求平行四边形的周长，再求的长，即可求出四边形的周长．
主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：
平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；
平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．平行四边形是中心对称图形．
 

3.【答案】 

【解析】解：
，
该函数是随着的增大而减小，
，
，
故选：．
根据一次函数的变化趋势即可判断与的大小．
本题考查一次函数的性质，解题的关键是判断与的大小关系，本题属于中等题型．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平均数的定义及公式．根据平均数公式：进行计算即可求出．
【解答】
解：由题意知，新的一组数据的平均数．
．
，即原来那组数据的平均数为．
故选B．  

5.【答案】 

【解析】解：如图，，是的中点，
，；
，分别是，的中点，
为的中位线，
，
故选：．
如图，首先证明，继而得到；证明为的中位线，即可解决问题．
该题主要考查了三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形的中位线定理、直角三角形的性质等几何知识点是解题的基础和关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，，
，
在和中，
，
≌，
，
，的面积分别为和，
，
的面积是，
故选：．
先根据同角的余角相等证明，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得，则的面积为，于是得到问题的答案．
此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明≌是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
所以，，
由三角形的三边关系得，，
解不等式得，，
解不等式的，，
所以，不等式组的解集是，
正确反映与之间函数关系的图象是选项图象．
故选：．
先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出的取值范围，然后选择即可．
本题考查了一次函数图象，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，难点在于利用三角形的三边关系求自变量的取值范围．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了非负数的性质
首先根据非负数的性质可求出、的值，进而可求出的值．
【解答】
解：原式可化为：，
则，即；，即；
．
故选B．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了两条直线的相交问题，以及一次函数图象上点的特征．首先根据直线与轴的交点为，求出、的关系；然后求出直线、直线的交点坐标，根据直线、直线的交点横坐标、纵坐标都大于，求出的取值范围即可．
【解答】
解：直线与轴的交点为，
，

解得
直线：与直线：的交点在第一象限，

解得．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，正确；
四边形是矩形，
，
，
，
，
，错误；
，
，
平分，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，正确；
，
根据等底等高的三角形面积相等得出，正确；
故选：．
根据矩形性质求出，根据角求出即可得出三角形是等边三角形，求出，即可判断，求出，，相加即可求出，根据等底等高的三角形面积相等得出．
本题考查了矩形性质，平行线性质，角平分线定义，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用．
 

11.【答案】且 

【解析】解：根据题意得且，
所以且．
故答案为
根据分母不为零和被开方数不小于零得到且，然后求出两不等式的公共解即可．
本题考查了函数自变量的取值范围：自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义，当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为五个整数从小到大排列后，其中位数是，这组数据的唯一众数是，
所以这个数据分别是，，，，，其中或，或．
所以这个数的和的最大值是．
故答案为：．
根据中位数和众数的定义分析可得答案．
主要考查了根据一组数据的中位数来确定数据的能力．将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．注意：找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

13.【答案】或 

【解析】解：当是斜边长时，斜边上的中线长是：，
当是直角边长时，斜边长，
则斜边上的中线长是，
综上所述：斜边上的中线长是或，
故答案为：或．
分是斜边长、是直角边长两种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：数据，，，的方差是，
数据，，，是在原数据的基础上每个加上，其波动幅度不变，所以其方差是，
故答案为：．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义．
 

15.【答案】 

【解析】解：当时，，
即不等式的解集为．
故答案为．
观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以关于的不等式的解集为．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

16.【答案】 

【解析】解：由于折叠可得：，，
又，
≌，
，
设，则，
在中，，
解之得：，
，
，
故答案为：．
因为为边上的高，要求的面积，求得即可，求证≌，得，设，则在中，根据勾股定理求，所以．
本题考查了勾股定理的正确运用，本题中设，根据直角三角形中运用勾股定理求是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：直线的解析式是，
，．
点的坐标是，轴，点在直线上，
，
．
又，即
．
同理，，
，

．
点的坐标是．
故答案是：．
本题需先求出和的长，再根据题意得出，求出的长等于，即可求出的坐标．
本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．
 

18.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】直接利用二次根式的性质化简，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

19.【答案】解：原式

，
当，时，原式． 

【解析】先算括号里面的，再算除法，分式化为最简根式后，把、的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意分式混合运算的顺序，其次要注意把结果化为最简分式．
 

20.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
≌；
解：连接交于点，如图：

四边形是正方形，
，，，，
，
，
由知，
，
，
． 

【解析】由正方形的性质可得，即可得证；
连接交于点，，则，根据正方形的性质可求出，且，在中利用锐角三角函数即可求解．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定，特殊角的函数值的知识，掌握以上知识是解题关键．
 

21.【答案】八年级 

【解析】解：总数为：，则的频数为：或．
根据数据正确补全频数分布直方图，如下图：
第和个数的平均数在的范围内，所以样本的中位数在的范围内；
方差越小，数据的离散程度越小，所以八年级学生的身高比较整齐．
故答案为：八年级．
根据的频数和百分比求总数．从而求出的频数，根据数据正确补全频数分布直方图即可；
根据中位数的确定方法求解；
利用方差的意义判断．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用；考查了中位数和方差的意义．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

22.【答案】  甲 
设线段解析式为，把，代入得，
解得，
线段解析式为，
当时，，．
出发后第分钟两位同学第一次相遇，
设线段解析式为，把代入得，
线段解析式为，
当时，，
本次测试的全程是米．

设线段解析式为，把，代入得
解得，
线段解析式为．
由解得，
，
两位同学第二次相遇是在距终点米的地方． 

【解析】解：由图象可知，甲同学前秒跑了米，甲先到终点．
故答案为，甲．

见答案；
见答案．
利用图象信息即可解决问题．
先求出线段的解析式，再求出与的交点坐标，由此即可解决线段的解析式，求出点坐标即可解决问题．
利用方程组求出与的交点坐标即可解决问题．
本题考查一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是读懂图中信息，灵活应用待定系数法确定函数解析式，属于中考常考题型．
 

23.【答案】：   

【解析】解：，，，
，
，
是等边三角形，
，
：：：；
故答案为：：；
证明：是等边三角形，
，
，
，
，
，
，即，
，为中点，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：设，
是等边三角形，，
，
，
将四边形折叠，使点与点重合，
，
由，知，，
，即，
解得，
，
，
故答案为：．
由，，，可得，根据是等边三角形，得，即可得：：；
由是等边三角形，得，即知，故即，根据，为中点，可得，，故AE，从而四边形是平行四边形；
设，可得，根据将四边形折叠，使点与点重合，知，由，得，解得，．
本题考查四边形综合应用，涉及等边三角形性质及应用，平行四边形判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握掌握折叠的性质，应用勾股定理列方程解决问题．
 

24.【答案】   

【解析】解：四边形是矩形，
，，
则，
，则，
，，
故答案为：，；
连接，，

矩形沿直线对折使点落在点处，
是的垂直平分线，，，则，，
，，≌，
，则四边形是菱形，
，
设，则，
在中：，
即，
解得：，
，，
，，
设直线的解析式为，
将、坐标代入得：
，
解得：，
直线的解析式为．
设，
，，
，
当时，
即，解得：时，点在轴上方，舍去
，
由中点坐标可得：，
得，
即：；

当时，，
解得：时，点与点重合，舍去，
，
由中点坐标可得：，
得，
即：；

当时，，
由勾股定理可得：，即，解得：，
此时点在轴上方，故不符合题意，

综上，当的坐标为或时，使得以、、、为顶点的四边形是菱形．
由矩形的性质及勾股定理求得的值，即可得结果；
根据矩形沿直线对折使点落在点处，证得四边形是菱形，得到，设，则，利用勾股定理在中：，即，解得：，从而确定，，利用待定系数法求直线的解析式，即可解答；
设，根据勾股定理可得，分三种情况：
当时，当时，当时，分别进行讨论求解即可．
此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：折叠的性质，坐标与图形性质，勾股定理，矩形的性质，菱形的判定及性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握性质是解本题的关键．