2022-2023学年四川省达州市宣汉县南坝中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省达州市宣汉县南坝中学八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若，则下列不等式变形错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各组数中，不能作为一个直角三角形的三边长的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.  若多项式可分解为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若分式中的，的值同时扩大到原来的倍，则分式的值  (    )

A. 是原来的倍 B. 是原来的倍 C. 是原来的 D. 不变

5.  如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿方向平移得到若，，，则图中阴影部分面积为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在平面直角坐标系中，若已知点，则下列结论一定不成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  一次函数和的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  某农场开挖一条米的渠道，开工后，每天比原计划多挖米，结果提前天完成任务，若设原计划每天挖米，那么求时所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，在平行四边形，是、的交点，过点与垂直的直线交边于点，若的周长为，则平行四边形的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，，，为边上一点，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为点、，连接，将平移得到点、的对应点分别为点、，连接，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  定义新运算：，则不等式的正整数解为______ ．

12.  如图，是的平分线，于点，，，，则        ．

13.  已知，则的值是______．

14.  如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为，小正方形的顶点为格点，点，，为格点，点为与网格线的交点，则______．

15.  如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点与、相交于点、，若，，，那么四边形的周长是______．

16.  如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，下列结论：
≌；；．
其中正确的是______ 填序号

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.  因式分解

 

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上．

 

19.  本小题分
先化简，再求值：，请在范围内选择一个你喜欢的整数代入求值．

20.  本小题分
如图，在中，，将绕点逆时针旋转到的位置，使得．
请判断的形状，并说明理由．
求的度数．
 

21.  本小题分
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在格点上．
画出将向左平移个单位长度得到的；
画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
求线段在旋转过程中扫过的面积．

22.  本小题分
在边长为的等边三角形中，点是上一动点，以每秒个单位长度的速度从点向点运动，设运动时间为秒．
如图，若点是上一定点，，，求的值；
如图，若点从点向点运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？

23.  本小题分
如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，连接并延长至点，使得，连接，．
求证：四边形是平行四边形；
若，求的长．

24.  本小题分
我市某镇组织辆汽车装运完、、三种脐橙共吨到外地销售．按计划，辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：

设装运种脐橙的车辆数为，装运种脐橙的车辆数为，求与之间的函数关系式；
如果装运每种脐橙的车辆数都不少于辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；
若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．

25.  本小题分
在中，，，点为的中点．
如图，为线段上任意一点，将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连结，过点作，交直线于点．
若，求的度数；
判断与的数量关系并加以证明．
如图，若为线段的延长线上任意一点，中的其他条件不变，你在中得出的结论是否发生改变，给出证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
选项A不符合题意；
，
，
选项B不符合题意；
，
，
选项C符合题意；
，
，
选项D不符合题意，
故选：．
根据不等式的性质进行运算辨别即可．
此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能根据不等式的变化正确选择对应的性质．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，，
，
以三条线段，，为边能组成直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
以三条线段，，为边能组成直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
以三条线段，，为边不能组成直角三角形，
故C符合题意；
D、，，
，
以三条线段，，为边能组成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，，
，，
．
故选：．
根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把利用多项式乘法法则展开即可求解．
本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论依题意分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可．
【解答】
解：分式中的、的值同时扩大到原来的倍，得．
故选B．  

5.【答案】 

【解析】解：沿方向平移得到，
，≌，
，，
即，

故选：．
先根据平移的性质得到，≌，则，，所以，然后根据梯形的面积公式计算即可．
本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行或共线且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：由勾股定理可得：，
当时，有最小值，
的最小值为，
不能为，
选项不符合题意，，，都有可能，符合题意，
故选：．
根据勾股定理得到，再利用配方法求解的最小值，再求解的最小值，从而可得答案．
本题考查的是配方法的应用，根据勾股定理列出方程、灵活运用配方法是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：不等式，
去括号得：，
移项得：，
一次函数和的图象如图所示，其交点为，
根据图象得：．
．
故选：．
所求不等式移项整理后，结合图象及两直线的交点横坐标确定出解集，表示在数轴上即可．
此题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，以及两条直线相交或平行问题，利用了数形结合的思想．
 

8.【答案】 

【解析】解：原计划用时为：，实际用时为：，
根据题意，得：．
故选：．
本题的关键描述语是：“提前天完成任务”；等量关系为：原计划用时实际用时．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长为，
的周长为：．
▱的周长为厘米，
故选：．
由平行四边形的对角线相交于点，，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可根据的周长等于求得平行四边形的周长即可．
此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
由旋转的性质可得，，由勾股定理得到，由“”可证≌，可得，于是得到结论．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用性质解决问题是本题的关键
【解答】
解：，，
，，
将绕点逆时针旋转得到，
，，，，
，
；
，
，
，
平移得到，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：根据新定义的运算方法可得，，即，
解得，
而的正整数为，
故答案为：．
根据新定义的运算得出，求出的正整数解即可．
本题考查一元一次不等式的整数解，理解新定义的运算是正确解答的关键，求出一元一次不等式的解集是得出正确答案的前提．
 

12.【答案】 

【解析】解：过点作于点，

是的平分线，，
，
，，
，
．
故答案为：．
首先过点作于点，由是的平分线，，根据角平分线的性质，可得，然后由，求得答案．
此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式，
，且由题意可得，
，
，
原式，
故答案为：．
利用完全平方公式将原式进行进行变形后，然后结合等式的性质将已知条件进行变形，从而利用整体思想代入求值．
本题考查分式的化简求值，掌握完全平方公式的结构是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图：连接，，设与交于点，

由题意得：
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
故答案为：．
连接，，设与交于点，根据勾股定理的逆定理先证明是等腰直角三角形，从而可得，再根据题意可得，然后利用三角形的外角，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
四边形的周长．
故答案为：．
先证明≌，得出，，可求得，即可得出四边形的周长，进而可求解．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：绕点顺时针旋转后，得到，
，，，．
，
，
≌，
．
在中，，
．
正确．
故答案为：．
首先根据旋转的性质可得，，，，接下来结合全等三角形的判定定理可得≌；然后利用全等三角形的性质与勾股定理进行解答即可．
本题侧重考查关于旋转的题目，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质．
 

17.【答案】解：原式；
原式． 

【解析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式


，
在范围内的整数有，，，
，，
，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：是等腰三角形，理由如下：
将绕点逆时针旋转到的位置，
，
是等腰三角形；
，
，
，
，
，
将绕点逆时针旋转到的位置，
． 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
由旋转的性质可得，可得结论；
由等腰三角形的性质可得，由旋转的性质可求解．  

21.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求，；

由勾股定理得，
线段在旋转过程中扫过的面积为． 

【解析】根据平移的性质即可画出图形；
根据旋转的性质即可画出图形，从而得出点的坐标；
由勾股定理得，再代入扇形面积公式即可．
本题主要考查了作图平移变换，旋转变换，扇形的面积等知识，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，是等边三角形，，
，，
又，
，
是等边三角形，
，
由题意可知：，则，
，
解得：，
当的值为时，；
如图，当点在边上时，

此时不可能为等边三角形；
当点在边上时，

若为等边三角形，则，
由题意可知，，，
，
即：，解得：，
当时，为等边三角形． 

【解析】由平行线的性质得，，从而得出是等边三角形，列方程求解即可；
 根据点所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形、等腰三角形的综合运用，以动点问题为背景，根据等边三角形、等腰三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键．
 

23.【答案】证明：点为的中点，
．
，
四边形是平行四边形；

解：四边形是平行四边形，
，，
在中，，，
，
由勾股定理得到，
，
解得：，
． 

【解析】由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；
由平行四边形的性质可得，，在中，，，则，，解得，即可求得的长．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及含度角的直角三角形，利用直角三角形的性质求线段的长度是解答本题的关键．
 

24.【答案】解：根据题意，装运种脐橙的车辆数为，装运种脐橙的车辆数为，
那么装运种脐橙的车辆数为，
则有：
整理得：且为整数；

由知，装运、、三种脐橙的车辆数分别为，，．
由题意得：
解得：
因为为整数，
所以的值为，，，，，所以安排方案共有种．
方案一：装运种脐橙车，种脐橙车，种脐橙车；
方案二：装运种脐橙车，种脐橙车，种脐橙车，
方案三：装运种脐橙车，种脐橙车，种脐橙车，
方案四：装运种脐橙车，种脐橙车，种脐橙车，
方案五：装运种脐橙车，种脐橙车，种脐橙车；

设利润为百元则：

的值随的增大而减小．
要使利润最大，则，
故选方案一百元万元
答：当装运种脐橙车，种脐橙车，种脐橙车时，获利最大，最大利润为万元． 

【解析】等量关系为：车辆数之和；
关系式为：装运每种脐橙的车辆数；
总利润为：装运种脐橙的车辆数装运种脐橙的车辆数装运种脐橙的车辆数，然后按的取值来判定．
解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系．确定的范围，得到装在的几种方案是解决本题的关键．
 

25.【答案】解：，，
为等腰直角三角形，
，
又，
，
，
，
，
如图，延长交于点，

，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是的中点，
，即，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
不变．
证明：设交于，

和是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】证明，由三角形外角和定理可求出答案；
证得是等腰直角三角形，证得，，证明≌，可得出结论；
由为等腰直角三角形，可得出，，证得≌，即可得出结论．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形外角定理，三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键．