2022-2023学年四川省达州市渠县龙凤中心学校八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省达州市渠县龙凤中心学校八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在数学表达式：，，，，，中，是一元一次不等式的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.  下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列各式中，无论取何值，分式都有意义的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在中，点，分别为，的中点，若，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  解分式方程的结果为(    )

A.  B.  C.  D. 无解

6.  如图，直线与相交于点，若点的横坐标为，则关于的不等式的解集是(    )

 

A.  B.  C.  D.

7.  已知，，为三边，且满足，则它的形状为(    )

A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

8.  如图，将周长为的沿方向平移得到，则四边形的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在中，，，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点使为等腰三角形，符合条件的点有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

10.  平面直角坐标系内有点，，三点，请确定一点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则的点的坐标不可以是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  不等式组的最小整数解是______．

12.  多项式因式分解得，则______，______．

13.  若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是______．

14.  如图，在中，，，，为的中点，，则的面积为______．

15.  已知非零实数、满足，则的值等于______ ．

16.  如图，中，，，为边上一动点，为平面内一点，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，则的最小值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

 

四、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
分解因式：
；
．

19.  本小题分
解分式方程：．

20.  本小题分
如图，是等边三角形，，，垂足分别为点，，，相交点，连接．
判断的形状，并说明理由；
求证：．

21.  本小题分
如图，已知是的边上的一点，，，，且满足，是的中线．
判断的形状，并说明理由；
求证：是的平分线．

22.  本小题分
如图，已知，，，．
求证：四边形是平行四边形；
若，，求的长．

23.  本小题分
在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为，，．
将各顶点的横坐标不变，纵坐标分别减去，得到，在图中画出，并写出是由经过怎样的平移变换得到的？
将绕坐标原点顺时针旋转，得，在图中画出，并写出点的对应点的坐标．

24.  本小题分
下面是某同学对多项式进行因式分解的过程
解：设
原式第一步
第二步
第三步
第四步
该同学第二步到第三步运用了因式分解的______．
A.提取公因式
B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式
D.两数差的完全平方公式
该同学在第四步将用所设中的的代数式代换，这个结果是否分解到最后？______填“是”或“否”如果否，直接写出最后的结果______．
请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．

25.  本小题分
为了我市创建全国文明城市，区里积极配合，计划将西区道路两旁的人行道进行改造，经调查知：若该工程由甲工程队单独做刚好在规定时间内完成，若该工程由乙工程队单独完成，则所需天数是甲单独完成时间的倍，如果甲、乙两工程队合作天后，那么余下的工程由乙工程队单独来做还需天才能完成．
问：甲、乙单独完成这项工程各需要多少天？
已知甲工程队做一天需付给工资万元，乙工程队做一天需付给工资万元，现该工程由甲、乙两工程队合做来完成，区里准备了工程工资款万元，请问区里准备的工程工资款是否够用？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据不等式的定义，依次分析可得：，，，，，，这些不等式中只有个式子符合一元一次不等式定义，而是等式，是代数式，
故选：．
根据不等式的定义，用“”、“”、“”、“”、“”等不等号表示不相等关系的式子是不等式，依次判断个式子即可．
本题考查不等式的定义，根据不等式的定义判断即可，难度不大．
 

2.【答案】 

【解析】

【解答】
解：、是整式的乘法运算，故选项错误；
B、右边不是整式乘积的形式，故选项错误；
C、，正确；
D、右边不是整式乘积的形式，故选项错误．
故选：．
【分析】
根据因式分解的定义作答．因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，熟练地掌握因式分解的定义是解题关键．  

3.【答案】 

【解析】解：、时，，分式无意义，故本选项不符合题意；
B、时，，分式无意义，故本选项不符合题意；
C、时，，分式无意义，故本选项不符合题意；
D、无论取何值，，分式都有意义，故本选项符合题意．
故选：．
根据分式有意义，分母不等于对各选项分析判断即可得解．
本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：分式无意义分母为零；分式有意义分母不为零；分式值为零分子为零且分母不为零．
 

4.【答案】 

【解析】解：点，分别为，的中点，
是的中位线，
，
，
，
故选：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：方程的两边同乘，
得：
解得：．
检验：把代入，即不是原分式方程的解．
则原分式方程无解．
故选：．
观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
此题考查了分式方程的求解方法．此题比较简单，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系．观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以不等式的解集为，从而求得答案．
【解答】
解：由图象可知，当时，，
即不等式的解集为．
故选B．  

7.【答案】 

【解析】解：，
，或，
即或，
的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：．
由，可得：，或，进而可得或，进而判断的形状为等腰三角形或直角三角形．
此题考查了利用边判断三角形的形状，有两边相等的三角形是等腰三角形，满足的三角形是直角三角形．
 

8.【答案】 

【解析】解：沿方向平移得到，
，，
的周长为，
，
四边形的周长．
故选：．
先根据平移的性质得到，，然后利用等线段代换得到四边形的周长．
本题考查平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行或共线且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
 

9.【答案】 

【解析】解：当是底边时，作的垂直平分线分别与，轴负半轴相交，共两个交点，都符合条件；
当是腰时，以点为圆心长为半径画圆分别与轴正半轴，负半轴，轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件；
以点为圆心长为半径画圆分别与轴正半轴，负半轴，轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件，
因此共有个符合条件的点．
故选：．
分两种情况推论，当是底边时，当是腰时，即可判断．
本题考查等腰三角形，关键是分两种情况推论．
 

10.【答案】 

【解析】解：平面直角坐标系内有点，，三点，连接，，构成，过的顶点作其对边平行线，分别交于、、，如图所示：

在平行四边形中，，
，，
向左平移个单位长度、向上平移个单位长度得到，
，
由点的平移可得；
在平行四边形中，，
，，
向右平移个单位长度、向上平移个单位长度得到，
，
由点的平移可得；
在平行四边形中，，
，，
向左平移个单位长度、向下平移个单位长度得到，
，
由点的平移可得；
综上所述，符合题意的点、或三种情况．
故选：．
结合平行四边形性质，利用点的平移分三种情况即可得到答案即可得到答案．
本题考查利用点的平移求平行四边形顶点坐标，涉及平行四边形性质及点的平移法则，熟练掌握点的平移法则是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的最小整数解为：，
故答案为：．
按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，然后再确定其范围内的最小整数，即可解答．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
 

12.【答案】； 

【解析】解：，

，
，
故答案为：，．
将展开，得到，使得与的系数对应相等即可．
本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．
 

13.【答案】且 

【解析】解：关于的分式方程的解为：，
分式方程有可能产生增根，
，
，
关于的分式方程的解是非负数，
，
解得：，
综上，的取值范围是：且．
故答案为：且．
求得分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可求解．
本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解分式方程一定要注意有可能产生增根的情况，这是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接．

，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，证明，利用勾股定理求出，求出的面积，可得结论．
本题考查等腰三角形的性质，直角三角形度的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线构造特殊三角形解决问题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据，可得，即，
，
将代入，得：
．
故答案为：．
将通过变形得到，将变式代入，即可解答．
本题考查了分式的值，根据已知条件得到是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：当是平行四边形的对角线，且时，的长最小，和交于，作于，连接，

在平行四边形中，，，
，
，
的面积，
，
，
四边形是矩形，
．
长的最小值是．
故答案为：．
当是平行四边形的对角线，且时，的长最小，作于，连接，由勾股定理．三角形的面积公式求出的长，即可解决问题．
本题考查求线段长的最小值，关键是明白：当是平行四边形的对角线，且时，的长最小
 

17.【答案】解：由得，，
由得，，
所以不等式组的解集为：，
 

【解析】首先解两个不等式，然后确定不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解决本题的关键是掌握点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点．
 

18.【答案】解：

；



． 

【解析】首先提取公因式，然后利用平方差公式继续进行因式分解；
先提取公因式，再利用完全平方公式把原式进行因式分解即可．
本题考查了完全平方公式，分组分解法分解因式，要先把式子整理，再分解因式．
 

19.【答案】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
即原分式方程无解． 

【解析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

20.【答案】解：是等边三角形，
理由：是等边三角形，且，，
，，，，
，
是等边三角形．
证明：由知：、分别是的中线，
、分别是的角平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】证明，，即可解决问题；
证明，即可解决问题．
本题考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：是等腰三角形，理由如下，
，
，
，
，
是等腰三角形．
证明：如图，取的中点，连接，则
由得，，
，，
点是的中点，是的中点，
，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
是的平分线． 

【解析】将式子“”因式分解，求得，得到的形状；
取的中点，连接，先证明≌，得到，然后由得到点是的中点，从而得到，得到，最后得到，即可得证是的平分线．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义，解题的关键是通过将条件因式分解“”因式分解得到是等腰三角形．
 

22.【答案】证明：，，
垂直平分，
，
，
，
，，，
≌，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：过作于，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，
由≌，
，，
，
≌，
，
，
． 

【解析】根据线段垂直平分线的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，根据平行四边形的判定即可得到结论；
过作于，根据勾股定理和矩形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，为所作；是由向下平移个单位长度得到的；
如图，为所作，点的坐标为．
 

【解析】利用各顶点的横坐标不变，纵坐标分别减去得到、、的坐标，再描点可得到，利用所画图形可确定两三角形的变换过程；
利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
 

24.【答案】  否   

【解析】解：第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式．
故选：；
否，最终结果为．
故答案为：否，；
设，
则原式



．
分析第二步到第三步，可以得出直接应用完全平方公式的结论；
明确最后的结果括号中的式子仍然可用完全平方公式因式分解，即可判断是否彻底；
首先设，对原式换元并利用乘法分配律化简，再根据完全平方公式变换；接下来，只需将所设换回上述所得式子中，就能得到因式分解的结果．
此题考查的是因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．
 

25.【答案】解：设规定时间是天，由题意得：
．
解得：，
经检验，是所列方程的根，
乙：天．
答：甲需要天，乙需要天．
由知甲工程队单独做需天，乙工程队单独做需天，
则甲乙两工程队合作需要的天数是：天，
所需工程工资款为：万万，
故该区里准备的工程工资款是够用．
答：该区里准备的工程工资款是够用． 

【解析】本题是工程问题，也就是总工作量、效率与时间问题，根据题意，规定时间就是甲单独需要的时间，所以设规定时间是天，那么甲单独完成的时间就是天，乙单独完成的时间为，甲乙一天的工作效率分别为，，甲、乙两工程队合作天的工作量表示为，乙又单独干了天表示为，没交代具体工作量是多少的情况下，一般是总工作量为，所以列方程：，解答即可．
由可以知道甲乙分别单独做需要的时间，用工作量除以两队合作一天的工作效率就是二者合作所用的时间，就可以进一步求出所需的工资款，作出判断，是否够用．
本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即根据题意找出等量关系列出方程解出分式方程检验作答．注意：分式方程的解必须检验．