2022-2023学年四川省达州市达川区百节中心学校八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省达州市达川区百节中心学校八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列电视台的台标，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，则的长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

5.  一个多边形的每个外角都等于，则这个多边形的边数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列变形中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图在中，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置，使得，则度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  关于的分式方程的解为正数，则字母的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，▱的对角线与相交于点，，若，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图所示，一次函数、为常数，且与正比例函数为常数，且相交于点，则不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.  若分式的值为，则的值为______．

12.  多项式因式分解得，则 ______ ．

13.  已知一次函数为常数，且，与的部分对应值如下表所示：

那么不等式的解集是______．

14.  如图，在中，，，，点是边上一动点不与、重合，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在射线上的点处，当为直角三角形时，的长为______ ．

15.  如图，在射线、上分别截取、，使，连接，在、，上分别截取、，使，连接；依此类推，若，则 ______ ．

 

三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）

16.  解方程：

17.  先化简代数式，再从，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值．

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
分解因式：
；
．

19.  本小题分
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

20.  本小题分
如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，且，求证：．

21.  本小题分
如图，在▱中，是的中点，连接并延长交的延长线于点．
求证：；
连接，若，求证：．

22.  本小题分
如图，已知在中，，，于点，点、分别在和上，，于点．
若平分，求证：；
若点是一个动点，点运动到的中点时，满足题中条件的点也随之在直线上运动到点，请直接写出与的数量关系．不必写解答过程

 

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为：、、．
将向左平移个单位，画出平移后的．
将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的此时四边形的形状是______ ．
在平面上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在请直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

 

24.  本小题分
某校为美化校园，计划对面积为的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用天．
求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？
若学校每天需付给甲队的绿化费用为万元，乙队为万元，要使这次的绿化总费用不超过万元，至少应安排甲队工作多少天？

25.  本小题分
如图，在中，，，在的同侧作任意，．
若，是中点如图，求证：；
下面是小明的证明过程，请你将它补充完整：
证明：设与相交于点，
，，
．
，
______ ．
是的中点，，
______ ．
又，
≌．
．
若如图，在上是否存在一点，使得是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请在图中确定点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由；
当时，线段，与满足怎样的数量关系？请直接写出．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、是中心对称图形，故C选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后求解．
本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：在数轴上表示时，其点应是空心，方向为向右，
因此，综合各选项，只有选项符合；
故选：．
直接利用在数轴上表示时点是否为空心或实心，方向是向左或向右进行判断即可．
此题考查了在数轴上表示不等式的解集．解题的关键是明确在数轴上表示不等式的解集的方法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了因式分解的相关知识；熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．找到符合的形式的式子即可．
【解答】
解：，正确；
B.，不能利用完全平方公式分解因式，故此选项错误；
C.，不能利用完全平方公式分解因式，故此选项错误；
D.，不能利用完全平方公式分解因式，故此选项错误．
故选A．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键。此类题要通过作辅助线来联系各角之间的关系，证明为等边三角形即可。
连接，，由垂直平分线的性质得到，，再通过等腰三角形的性质得到，进而得到是等边三角形，再通过线段间的关系转化，得到，即可解答。
【解答】
解：连接，，

的垂直平分线交于，交于，的垂直平分线交于，交于，
，．
，
，


，，

是等边三角形，

，




故选C。  

5.【答案】 

【解析】解：．
故这个多边形是六边形．
故选：．
根据多边形的边数等于除以每一个外角的度数列式计算即可得解．
本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和、多边形的每一个外角的度数、多边形的边数三者之间的关系是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式不能约分，不符合题意；
D、原式，不能约分，不符合题意，
故选：．
各项计算得到结果，即可做出判断．
此题考查了分式的加减法，以及分式的基本性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：绕点逆时针旋转到的位置，
，，
，
，
，
，
；
故选：．
根据旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质得，然后根据平行线的性质由得，则，再根据三角形内角和计算出即可．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：分式方程去分母得：，
解得：，
根据题意得：且，
解得：且．
即字母的取值范围为．
故选：．
将分式方程化为整式方程，求得的值，然后根据解为正数，求得的范围，但还应考虑分母即．
本题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为．
 

9.【答案】 

【解析】解：▱的对角线与相交于点，
，，
，，，
，
，
，
，
；
故选：．
由直角三角形的性质求出的长，由勾股定理求出，得出，再由勾股定理求出，即可求出的长．
本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知：的坐标是，
当时，一次函数的图象在的上方，
即，
故选D．
根据图象求出的坐标，根据图象可以看出当时，一次函数的图象在的上方，即可得出答案．
本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的理解和掌握，能根据图象得出当时是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
根据分式的值为零的条件可以得到，从而求出的值．
【解答】
解：由分式的值为零的条件得，
由，得，
由，得．
综上，得，即的值为．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：因式分解得，得
，，
，
，．
解得，，
故答案为．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．
本题考查了因式分解的意义，利用因式分解得出相等整式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：当时，，
根据表可以知道函数值随的增大而减小，
故不等式的解集是．
故答案是：．
由表格得到函数的增减性后，再得出时，对应的的值即可．
此题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：中，，，
，即．

，，
．
由翻折的性质可知：，
．
为直角三角形，
．
．
由翻折的性质可知：，
．
．
在中，，
，即．
．
中，根据特殊锐角三角函数值可求得，然后由翻折的性质可求得，从而可求得，故此，由翻折的性质可知：，故此，所以，最后在中利用特殊锐角三角函数值即可求得的长．
本题主要考查的是翻折的性质和特殊锐角三角函数值的应用，掌握翻折的性质和特殊锐角三角函数值是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，
同理，
，
，
．
故答案为：．
根据等腰三角形两底角相等用表示出，依此类推即可得到结论．
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．
 

16.【答案】解：原方程化为：，
解得：，
经检验是原方程的解，
原方程的解为． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

17.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
 

18.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

19.【答案】解：，
解不等式得：，
， 
 ，
解不等式得：，
， 
  ，
在数轴上表示不等式组的解集：

不等式组的解集是   ． 

【解析】根据一元一次不等式组的解法，求出两个不等式的解集，然后求出公共解集即可．
本题主要考查了一元一次不等式组的解法，注意在数轴上表示时，有等号的用实心圆点表示，没有等号的用空心圆圈表示．
 

20.【答案】证明：为等边三角形，
，．
在和中，，
≌，
． 

【解析】根据等边三角形的性质可得出、，结合即可证出≌，再根据全等三角形的性质即可得出．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，利用全等三角形的判定定理证出≌是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
为中点，
，
在与中，
，
≌，
；

，，
，
≌，
，
． 

【解析】由在▱中，是的中点，利用，即可判定≌，继而证得结论；
由，，可得，又由≌，可得，然后利用三线合一，证得结论．
此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

22.【答案】解：如图，

，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
平分，
，
，
在和中

≌，
．
与的数量关系是如图，

理由是：设，则，
则，
由≌，得，
，，
，，
，由勾股定理得：，
即，，
与的数量关系是． 

【解析】求出，，，求出≌，即可得出答案；
设，求出，，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质等知识点的综合应用，主要考查学生的推理和计算能力．
 

23.【答案】如图，为所作；

平行四边形；
存在．
满足条件的点的坐标为或或． 

【解析】

解：见答案；
如图，为所作，此时四边形的形状是平行四边形．
故答案为平行四边形；

见答案．
【分析】
利用点平移的坐标规律写出点、、平移后的对应点、、，然后描点即可得到；
利用关于原点对称的点的坐标特征写出、的坐标，即可得到；利用对角线互相平分的四边形为平行四边形可判断四边形的形状；
分类讨论：分别以、、为对角线画平行四边形可得到满足条件的点，然后写出对应的点坐标．
本题考查了作图平移变换：确定平移后图形的基本要素平移方向、平移距离；作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．也考查了平移的性质和平行四边形的性质．  

24.【答案】解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是，
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、；
设应安排甲队工作天，根据题意得：
，
解得：，
答：至少应安排甲队工作天． 

【解析】此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验．
设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用天，列出方程，求解即可；
设应安排甲队工作天，根据这次的绿化总费用不超过万元，列出不等式，求解即可．
 

25.【答案】   

【解析】解：由题意，得
根据直角三角形的性质就可以得出：或；
由等式的性质就可以得出；
故答案为：，；
存在．
理由：如图，在上截取，
，，
．
在和中，
，
≌，
，．
，
，
即，
为等腰直角三角形；
当时，．
理由：如图，在上截取，
，，
．
在和中，
，
≌，
，．
，
，
即，
为等腰直角三角形；
．
，
，
；

当时，；
理由：如图，在上取一点，使，
，，
．
在和中，
，
≌，
，．
，
，
即，
为等腰直角三角形，
．
，
，
．
综上所述：或．
根据直角三角形的性质和中点的性质就可以的得出结论；
存在．在上截取，由条件可以得出，≌，就有，，得出而得出结论；
当时，如图，在上截取，由条件可以得出，≌，就有，，得出是等腰直角三角形，就可以得出，就可以得出当事实，如图，在上取一点，使，由条件可以得出，≌，就有，，得出是等腰直角三角形，就可以得出，就可以得出．
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．