高考数学三轮冲刺考前20天终极冲刺攻略： 导数与其他知识的综合问题 含答案解析
展开核心考点解读——导数与其他知识的综合问题(解答题)
利用导数研究不等式问题（II） 利用导数研究方程根的问题（II） 利用导数研究恒成立、存在性问题（II） 利用导数解决实际问题（最优化问题）（II） | |
| 1.涉及本单元知识的考题，一般在解答题中结合函数的图象进行分类讨论，作为压轴题进行考查． 2.从考查难度来看，本单元的考点综合性比较高，试题难度相对较大，高考中通常利用函数的求导法则和导数的运算性质，考查函数的的基本性质等，同时要结合其他知识进行考查，如数列、不等式等． 3.从考查热点来看，利用导数研究函数的综合问题是高考命题的热点，也是难点.注意分类讨论思想、数形结合思想的综合应用． |
| 1.利用导数研究不等式问题 利用导数方法研究不等式问题，主要的技巧是灵活构造函数，通过函数的性质解决不等式问题，通常要利用函数的单调性以及函数的最值. 函数的单调性是研究不等式问题的有利武器之一，构造函数后，要重视对函数单调性的应用.同时要注意分类讨论思想的应用. 2.利用导数研究方程的根的问题 当函数具有极值点时，在这个极值点左、右两侧，函数的单调性是不同的，可以结合函数图象的变化趋势确定方程的根的情况.如果函数在定义域内有唯一的极大（小）值点，那么该极大（小）值点就是最大（小）值点，当最大（小）值点大于（小于）零且左、右两侧均出现小于（大于）0的函数值时，函数就出现两个零点，也就是说方程就有两个不同的实数根；若只出现一侧的函数值符号相反，则说明函数有一个零点，方程只有一个实数根.利用导数研究方程的根，要结合函数的极值点进行考查，同时注意函数单调性的变化趋势. 3.利用导数研究恒成立问题、存在性问题，通常采用分类讨论思想或分离参变量的方法，通过函数的单调性研究函数的最值，利用最值去研究恒成立问题、存在性问题，此类问题最后都化归为与函数最值有关的问题. 4.利用导数解决实际问题（最优化问题） (1)生活中常遇到求利润最大，用料最省，效率最高等实际问题，这些问题通常称为最优化问题. (2)利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤： 5.导数与其他知识的综合应用最后都要化归为利用导数研究函数的单调性、极值以及最值问题，因此要熟练掌握利用导数研究函数性质的一般方法，并能够进行延伸、拓展. |
1．（2017高考新课标Ⅰ，理21）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围.
2．（2017高考新课标III，理21）已知函数.
（1）若，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值.
3.(2016高考新课标I，理21)已知函数有两个零点.
（1）求a的取值范围；
（2）设x1，x2是的两个零点，证明：.
4.(2016高考新课标II，理21)（1）讨论函数的单调性，并证明当>0时，；
（2）证明：当 时，函数 有最小值.设g（x）的最小值为，求函数的值域.
5. (2015高考新课标Ⅱ，理21)设函数．
(1)证明：在单调递减，在单调递增；
(2)若对于任意，都有，求的取值范围．
1．已知函数．
（1）当时，试判断函数的单调性；
（2）若，求证：函数在上的最小值小于．
2．已知函数，.
（1）若曲线与曲线在它们的交点处的公共切线为，求，，的值；
（2）当时，若，，求的取值范围.
1．已知函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）若是方程的两个不同的实数解，证明：.
真题回顾：
1.（1）的定义域为，，
（ⅰ）若，则，所以在单调递减.
（ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增.
（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即.
又，故在有一个零点.
设正整数满足，则.
由于，因此在有一个零点.综上，的取值范围为.
2.（1）的定义域为.
①若，因为，所以不满足题意；
②若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点.
由于，所以当且仅当a=1时，.故a=1.
（2）由（1）知当时，.令得.从而
.
故.而，所以的最小值为.
3.（1）．
（i）设，则，只有一个零点．
（ii）设，则当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．又，，取满足且，则
，故存在两个零点．
（iii）设，由得或．
若，则，故当时，，因此在单调递增．又当时，所以不存在两个零点．
若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．综上，的取值范围为．
（2）不妨设，由（Ⅰ）知，，在单调递减，所以等价于，即．
由于，而，所以
．
设，则．所以当时，，而，故当时，．从而，故．
4.（1）的定义域为.
且仅当时，，所以在单调递增，因此当时，所以
（2）由（I）知，单调递增，对任意因此，存在唯一使得即，
当时，单调递减；当时，单调递增.
因此在处取得最小值，最小值为
于是，由单调递增
所以，由得
因为单调递增，对任意存在唯一的
使得所以的值域是综上，当时，有最小值，的值域是
5.(Ⅰ) ．
若，则当时，，；当时，，．
若，则当时，，；当时，，．
所以，在单调递减，在单调递增．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意，的充要条件是即①，设函数，则．当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增．又，，故当时，．当时，，，即①式成立．当时，由的单调性，，即；当时，，即．综上可知，的取值范围是．
【名师点睛】(Ⅰ)先求导函数，根据的取值范围讨论导函数在和的符号即可；(Ⅱ)恒成立，等价于．由是两个独立的变量，故可求研究的值域，由(Ⅰ)可得最小值为，最大值可能是或，故只需，从而得关于的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解．
名校预测
1．【解析】（1）由题可得，设，则，所以当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以，因为，所以，即，所以函数在上单调递增．
（2）由（1）知在上单调递增，因为，所以，所以存在，使得，即，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，令，，则恒成立，所以函数在上单调递减，所以，所以，即当时，
故函数在上的最小值小于．
2．【解析】（1）设它们的公共交点的横坐标为，则 .
，则，①；
，则，②.由②得，由①得.
将，代入得，∴，.
（2）由，得，即在上恒成立，令 ，则 ，
其中在上恒成立，∴在上单调递增，在上单调递减，
则，∴.故的取值范围是.
专家押题
1．【解析】（1）依题意，， 令，则，解得，
故函数的单调增区间为.
（2）不妨设，由得，，令， 令，则， 由题意，知方程有两个根， 即方程有两个根，不妨设，．令，则，由可得，由可得， 当时，是增函数，当时，是减函数．故结合已知有 ．
要证，即证，即证，即证，
即证，即证．又，即证，
令，下面证对任意的恒成立．
．
，∴，
∴．
∵，∴，
∴在上是增函数，∴，∴得证.
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