2022-2023学年湖南省长沙市华益中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省长沙市华益中学七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  年春节假期全国国内旅游出游达人次，同比增长请你将  用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各式计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  已知关于的方程的解是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  点在第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列命是真命题的是(    )

A. 同角的余角相等 B. 相等的角是对顶角
C. 垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 内错角相等

6.  如图，下列各组条件中，能得到的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  若，其中，为两个连续的整数，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，直线，若，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  明代算法统宗有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒位客人；薄酒三瓶，可以醉倒位客人，如今位客人醉倒了，他们总共饮瓶酒试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒瓶，薄酒瓶根据题意，可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，在两个完全相同的大长方形中各放入五个完全一样的白色小长方形，得到图与图若，则图与图阴影部分周长的差是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  在实数，，，，，每两个之间一次多一个中，无理数有______ 个

12.  若多项式的值为，则多项式的值为______ ．

13.  如果，其中，为有理数，那么 ______ ．

14.  已知轴，的坐标为，，则点的坐标是______ ．

15.  已知关于、的二元一次方程组的解也是方程的解，则的值为______ ．

16.  如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解下列方程和方程组：
；
．

19.  本小题分
已知、在线段上．
如图，图中共有______ 条线段：
如图，若：：，：：，且，求的长度．

20.  本小题分
如图，在建立了平面直角坐标系的方格纸中，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形．
请写出各顶点的坐标；
求的面积；
把平移得到，点经过平移后对应点为，请在图中画出，并写出、的坐标．

21.  本小题分
若方程与方程的解相同，求的值．
在的条件下，求关于、的方程组的解．
善于研究的小益同学发现，无论取何值，中方程组的解与之间都满足一个关系式，求这个关系式．

22.  本小题分
某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多元，购进甲种商品件与购进乙种商品件的进价相同．
求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共件，所用资金为元甲种商品在进价的基础上提高后标价，又以折优惠售出；乙商品售出后，每件可获利元，则甲、乙两种商品全部售出后共可获利多少元？

23.  本小题分
已知：如图，，，，，．
求证：；
求的度数．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶华益点”其中为常数，且例如：点的“阶华益点”为点，即点的坐标为．
若点的坐标为，求它的“阶华益点”的坐标；
若点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到了点，点的“阶华益点”位于坐标轴上，求点的坐标．
已知、，在第一象限内是否存在横、纵坐标均为整数的点，它的“阶华益点为正整数”使得四边形的面积为？如果存在，请求出的值和点坐标；如果不存在请说明理由．

25.  本小题分
已知直线，直线分别截、于点、，点在直线、之间不在直线上，连接，．
如图，求证：；
如图，过作射线，平分，若，，求的度数；
如图，若平分，是上一点，连接，若，，求的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：将  用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】 

【解析】解：，不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意；
B.，选项错误，不符合题意；
C.，选项正确，符合题意；
D.，选项错误，不符合题意．
故选：．
根据合并同类项，去括号法则，逐一进行判断即可．
本题考查了整式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：
，
移项合并得：，
解得：．
故选：．
把代入方程计算即可求出的值．
此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，解题关键是掌握一元一次方程的解的定义．
 

4.【答案】 

【解析】解：点位于第二象限，
点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
点距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，
点的坐标为．
故选：．
首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标．
此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
 

5.【答案】 

【解析】解：、同角的余角相等，是真命题，符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，例如等腰直角三角形的两锐角相等，但不是对顶角，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，内错角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：．
根据余角的概念、对顶角的概念、平行线的判定和性质判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
故A不符合题意；
，
，
故B符合题意；
由，不能判定，
故C不符合题意；
由，不能判定，
故D不符合题意；
故选：．
根据平行线的判定定理判断求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
又，其中，为两个连续的整数，
，，
．
故选：．
由被开方数的范围确定出的范围，进而求出与的值，再把与的值代入，根据有理数的乘方法则，计算即可得到结果．
本题考查了估算无理数的大小、有理数的乘方，解本题的关键在正确得出与的值．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示，

，
，，
．
故选：．
首先根据平行线的性质求出，，然后利用角的和差求解即可．
本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
 

9.【答案】 

【解析】解：设有好酒瓶，薄酒瓶，
根据“总共饮瓶酒”可得：
根据“好酒一瓶，可以醉倒位客人；薄酒三瓶，可以醉倒位客人，如今位客人醉倒了”，可得：

综上：，
故选：．
根据题意，列方程求解即可．
此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组．
 

10.【答案】 

【解析】解：设小长方形的宽为，长为，大长方形的宽为，
由图得，
由图得，，
，
，
图中阴影部分的周长为：，
图中阴影部分的周长为：，
阴影部分的周长之差为：．
故选：．
设小长方形的宽为，长为，大长方形的宽为，表示出、、、之间的关系，然后求出阴影部分周长之差即可．
本题考查了整式的加减，列代数式，正确得出各图中阴影部分周长的代数式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：是分数，它不是无理数；
，，它们均为整数，那么它们不是无理数；
，，每两个之间一次多一个是无限不循环小数，它们是无理数；
则无理数有个；
故答案为：．
无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，其定义是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，



，
故答案为：．
根据题意得，整理代数式并代入进行计算即可得解．
本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
，
故答案为：．
根据有理数的意义列出方程组，再求解．
本题考查了实数是运算，理解有理数是意义是解题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：轴，点的坐标为，
、两点纵坐标都是，
又，
当点在点左边时，的坐标为，
当点在点右边时，的坐标为．
故答案为：或．
先由轴，可得、两点纵坐标相等，再根据，分点在点左边和右边，分别求点坐标即可．
本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上所有点纵坐标相等，根据、两点的距离及相对位置，分类求解．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
由，得
，
二元一次方程组的解也是方程的解，
，
解得．
故答案为：．
由可得，从而得到，即可求解．
本题考查利用二元一次方程组解的情况求参数，观察所给方程的特征，考虑用整体代入法求解是解题的关键．
 

16.【答案】秒或秒 

【解析】解：，，
，，
分三种情况：

如图，与在的两侧时，
，，
要使，则，
即，
解得；
旋转到与都在的右侧时，
，，
要使，则，
即，
解得；
旋转到与都在的左侧时，
，，
要使，则，
即，
解得，
此情况不存在．
综上所述，当时间的值为秒或秒时，与平行．
故答案为：秒或秒．
分与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】由绝对值、立方根、算术平方根、乘方的运算法则进行化简，然后计算加减即可得到答案．
本题考查了绝对值、立方根、算术平方根、乘方的运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
 

18.【答案】解：，
两边同除以得：，
，
，
解得：；
，
由得：，
将代入得：，
解得：，
将代入得：，
故方程组的解为． 

【解析】利用立方根的定义进行计算即可；
按照解二元一次方程组的步骤进行计算即可．
本题考查立方根的应用和解二元一次方程组，它们均为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

19.【答案】 

【解析】解：图中线段有：，，，，，共条；
设，
因为：：，：：，
所以，．
因为，，
所以，
解得，
所以．
根据线段的定义可求出线段的数量；
设，表示出、，根据列方程求解即可．
本题考查了线段的定义，线段的和差，以及一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：，，；


；
作图如下：、的坐标分别为：，，
 

【解析】利用坐标系可得答案；
利用矩形面积减去周围多于三角形面积；
根据点平移后的对应点位置可得三角形向右平移个单位，然后再向上平移个单位，然后作出图形即可．
此题主要考查了作图--平移变换，关键是掌握组成图形的关键点平移后的位置．
 

21.【答案】解：一元一次方程的解为，
将代入方程得：，
解得：，
的值为；
将代入原方程得：，
即，
得：，
将代入得：，
解得：，
在的条件下，关于、的方程组的解为；
原方程组可变形为，
得：，
无论取何值，中方程组的解与之间都满足一个关系式是． 

【解析】解一元一次方程，可求出的值，再将其代入方程中，求出值即可；
将代入原方程，解之即可得出结论；
将原方程组变形，再利用，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的解、解一元一次方程以及解二元一次方程组，解题的关键是：通过解一元一次方程，求出的值；代入的值，求出方程组的解；根据方程组中两方程间的关系，找出．
 

22.【答案】解：设甲种商品每件的进价是元，乙种商品每件的进价是元，
依题意得：，
解得：，
答：甲种商品每件的进价是元，乙种商品每件的进价是元；
设该商场从厂家购进了甲种商品件，则购进乙种商品件，
依题意得：，
解得：，
则，
元，
答：甲、乙两种商品全部售出后共可获利元． 

【解析】设甲种商品每件的进价是元，乙种商品每件的进价是元，由题意：甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多元，购进甲种商品件与购进乙种商品件的进价相同．列出二元一次方程组，解方程组即可；
可设该商场从厂家购进了甲种商品件，则购进乙种商品件，根据所用资金恰好为元的等量关系列出方程可求该商场从厂家购进了甲种商品的件数，乙种商品的件数，即可解决问题．
此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元一次方程．
 

23.【答案】证明：，，
，
，
，
，
；
解：设度，则，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】先证明，根据平行线的性质得出，，等量代换即可得出答案；
设度，则，，根据平行线的性质得出，进而列出，求出，再根据平行线的性质即可得出答案．
本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题关键．
 

24.【答案】解：，，
点的“阶华益点”的坐标为；
点先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到，
，
，，
的“阶华益点”的坐标为，
又位于坐标轴上，
或，
或，
的坐标为或；
的“阶华益点”的坐标为．

，
，
又，
根据三角形的等积变形原理，
，
点一定在线段上，
，
，
，
，
又，，均为正整数，
当，即时，，
则，或，，
当，即时，，
则，
．
综上所述，时，的坐标为或，时，的坐标为． 

【解析】根据点是点的“阶华益点”求解即可；
根据点的“阶华益点”位于坐标轴上，构建方程求解；
的“阶华益点”的坐标为，根据四边形的面积为，构建方程求解．
本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
 

25.【答案】证明：过点作，

，
，，
，
，
，
即：．
解：，，
，，
由的结论可知：，
平分，
，
，
，
，
．
解：设，，
，
，
，
，
，
平分，
，
即：，
，
由的结论得：，
即：，
整理得：，
为的一个外角，
，
又，
，
即：，
． 

【解析】过点作从而得，再证，从而得，据此可得出结论；
先由，得，，再由的结论得，进而由平分得，然后根据可得，据此即可求出的度数；
设，，则，由得，再由角平分线的定义得，进而可求出，然后由的结论得，即，最后再由三角形的外角定理得，据此可得出，进而可得出答案．
此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补．