四川省雅安中学2022-2023学年高二数学（文）下学期期中试题（Word版附解析）

高二第二次月考数学试卷（文科）

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1. 已知命题，则为（    ）

A.  

B.  

C.  

D.  

【答案】C

【解析】

【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题.

【详解】含有量词的命题的否定步骤为：替换量词，否定结论.

所以为.

故选:C

2. 用反证法证明命题“设，，为实数，若是无理数，则，，至少有一个是无理数”时，假设正确的是（    ）

A. 假设，，不都是无理数 B. 假设，，至少有一个是有理数

C. 假设，，都是有理数 D. 假设，，至少有一个不是无理数

【答案】C

【解析】

【分析】反证法中“，，至少有一个是无理数”的假设为“假设，，都不是无理数”，对照选项即可得到答案.

【详解】依题意，反证法中“，，至少有一个是无理数”的假设为“假设，，都不是无理数”,即“假设，，都是有理数”.

故选：C.

3. 已知函数的导函数则的极值点的个数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】求出的根，确定变号根的个数即可得．

【详解】由得，，，

或时，，不是极值点，

或时，，时，，因此都极值点．极点点有2个．

故选：C．

4. 极坐标的直角坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据直角坐标与极坐标转化的规则计算.

【详解】设点A的直角坐标为 ，极坐标为 ，则有 ，

，并且点 在第三象限，解得 ；

故选：C.

5. 若复数满足，则（    ）

A. 2 B.  C. 3 D. 5

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数除法法则和复数的模长公式计算即可.

【详解】，

.

故选：D.

6. 将曲线按照伸缩变换后得到的曲线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由可得，代入曲线整理即可得出答案.

【详解】由可得，

代入曲线中，

得，即，

故选：A.

7. 关于线性回归描述，下列命题错误的是（    ）

A. 回归直线一定经过样本点的中心 B. 残差平方和越小，拟合效果越好

C. 决定系数越接近1，拟合效果越好 D. 残差平方和越小，决定系数越小

【答案】D

【解析】

【分析】根据线性回归的性质判断即可

【详解】对A，回归直线一定经过样本点的中心正确；

对B，残差平方和越小，拟合效果越好正确；

对C，决定系数越接近1，拟合效果越好正确；

对D，残差平方和越小，拟合效果越好，决定系数越接近1，故D错误；

故选：D

8. 已知曲线在点处的切线方程为, 则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据导数的几何意义,求出导函数,令结合切线的斜率求出,再将点坐标代入切线方程求出即可得到结果.

【详解】根据导数的运算公式

,

当时,,

,即.

满足方程,

即,

.

故选:A.

9. 为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用导数研究各函数的单调性，结合奇偶性判断函数图象，即可得答案.

【详解】A：，即在定义域上递增，不符合；

B：，

在上，在上，在上，

所以在、上递减，上递增，符合；

C：由且定义域为，为偶函数，

所以题图不可能在y轴两侧，研究上性质：，故递增，不符合；

D：由且定义域为R，为奇函数，

研究上性质：，故在递增，

所以在R上递增，不符合；

故选：B

10. 若，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】AB选项一组，CD选项一组，分别构造函数，利用函数的单调性进行比较即可

【详解】对于AB选项:；

构造函数，A项可变成；B项可变为

求导得，令即

所以，函数单调递减；，函数单调递增，

因为，且，所以无法判断的大小关系，故AB错误

对于CD选项：;

构造函数，C项变为；D项变为

求导得，令即

所以，单调递增；，单调递减；

因为，根据单调性可得，即

故选：C

11. 函数恰有两个零点，则实数k的范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】注意到，，结合函数单调性，可知当时函数恰有两个零点.

【详解】.

当时，，则在R上单调递增，不合题意；

当时，令，则，

则在上单调递减，在上单调递增.

又注意到，

则当函数恰有两个零点时，，则.

故选：C

12. 已知函数，若函数（a为常数）有三个零点，则实数a的取值范围为（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】分段函数，利用导数研究函数单调性，逐段分析函数单调性及极值、端点值；原题意等价于与有三个交点，结合的图象分析，即可求解.

【详解】当时，则，可得，

令，解得；令，解得；

则在上单调递增，在上单调递减，且时,函数值为正，

故；

当时，则，

则在上单调递增，在上单调递减，

故；

综上所述：的图象如下图所示：

令，则，

原题意等价于与有三个交点，

由图象可得：实数a的取值范围为.

故选：B.

二、填空题

13. 下列三句话：①陈某打人；②陈某犯法；③打人犯法.若按照演绎推理的“三段论”排列，属于小前提的是___________.（填序号）

【答案】①

【解析】

【分析】按照“三段论”排列即可得到小前提；

【详解】解：该演绎推理按照“三段论”排列，大前提是“打人犯法”，小前提是“陈某打人”，结论是“陈某犯法”.

故答案为：①.

14. 已知函数，则在处的切线方程是__________．

【答案】

【解析】

【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程点斜式得到答案.

【详解】由，

得，

，

又，

在处的切线方程为

，即.

故答案为：.

15. 在研究两个变量的线性相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条曲线的周围，令，求得回归直线方程，则该模型的回归方程为______________

【答案】

【解析】

【分析】由回归直线方程可得：，解出，问题得解．

【详解】由回归直线方程得：，

整理得：，

所以该模型的回归方程为

【点睛】本题主要考查了方程思想及计算能力，属于基础题．

16. 在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点，z对应的点为点，则点与点之间距离的最小值_________________

【答案】

【解析】

【分析】根据已知条件，集合复数模公式，求出点Z的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解.

【详解】设，

，

,即，

化简整理可得 ，

复数的对应点的轨迹，

对应的点为点，

点与点之间距离的最小值为，

故答案：

三、解答题

17. 甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：

（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？

附：，

【答案】（1）A，B两家公司长途客车准点的概率分别为，   

（2）有

【解析】

【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；

（2）根据表格中数据及公式计算，再利用临界值表比较即可得结论.

【小问1详解】

根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，

设A家公司长途客车准点事件为M，

则；

B共有班次240次，准点班次有210次，

设B家公司长途客车准点事件为N，

则.

A家公司长途客车准点的概率为；

B家公司长途客车准点的概率为.

【小问2详解】

列联表

=，

根据临界值表可知，有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.

18. 设集合，，.

（1）若，求和；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出集合、，再根据集合的交、并、补运算即可求解；

（2）由充分不必要条件知，再求出的取值范围即可.

【小问1详解】

，则或，

当时，，

所以，.

【小问2详解】

因为“”是“”的充分不必要条件，所以，

又，

所以，解得，

所以实数的取值范围为.

19. 在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.

（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）当θ∈(0,π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.

【答案】（1）x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据极坐标与直角坐标的关系，即可写出圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）联立圆O和直线l方程求交点，将其转化为极坐标即可.

【详解】（1）圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，

∴圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，

直线l：，即ρsin θ－ρcos θ＝1，

∴直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.

（2）由得

故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.

20. 已知函数在处取得极值2.

（1）求a，b的值：

（2）求函数在上的最值.

【答案】（1）的值为，的值为2；   

（2）最小值为2，最大值为.

【解析】

【分析】（1）利用极值的定义列方程求解；

（2）利用导数讨论函数在的单调性，结合极值和区间端点处的函数值即可求最值.

【小问1详解】

，，

在处取得极值2，

且，

即，解得，

此时，

由，可得，在上单调递减，

由，可得， 在上单调递增，

所以在处取得极值，符合题意，

所以的值为，的值为2；

【小问2详解】

由（1）有，，

由，可得，在上单调递减，

由，可得， 在上单调递增，

时，在上单调递减，在上单调递增，

因此在处取得极小值，即为最小值，

，，，，

在处取得最大值，

综上所述，在上的最小值为2，最大值为.

21. 已知圆：经过椭圆：的两个焦点和两个顶点，点，直线：与椭圆交于两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求的值．

【答案】（1）   

（2）1

【解析】

【分析】（1）根据题意找出，，利用即可；

（2）设，，联立直线与椭圆方程消元，写出韦达定理，然后表示出直线与直线的斜率、，由题意得，将条件代入化简即可.

【小问1详解】

由题意知：椭圆的焦点在轴上，

圆：与轴交点为，即为椭圆的焦点，

圆：与轴交点为，即为椭圆的上下顶点，

∴，，

∴，

∴椭圆的标准方程为：．

【小问2详解】

设，，由，

得，

则，，

又，

∴直线的斜率，

直线的斜率，

∴，

解得，

故所求的值为1．

22. 已知函数．

（1）当时，求的图象在处的切线方程；

（2）当时，求函数的极值点；

（3）若函数有两个零点，求实数m的取值范围．

【答案】（1）   

（2）极小值点为，极大值点为   

（3）

【解析】

【分析】（1）对函数求导，结合导数的几何意义求解；

（2）对函数求导，然后结合导数的正负及极值点的定义求解；

（3）由，采用参变分离等价转化，“函数有两个零点”等价于“直线与曲线有两个交点”，然后结合函数的图象与性质求解．

【小问1详解】

当a＝2时，函数，，

则，

∴，又∵，

∴的图象在处的切线方程为，即．

【小问2详解】

，，

当a＜－4时，由可得，且，

当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，

则函数在处取得极小值，在处取得极大值，

故函数的极小值点为，极大值点为．

【小问3详解】

，，

由，得，

所以“函数有两个零点”等价于“直线与曲线有两个交点”，

对函数求导，得，

当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，

故时，函数取得极小值，

又；当时，，

根据以上信息作出函数的大致图象，如图，

所以当时，直线与曲线有两个交点．

所以当时，函数有两个零点．