初中数学苏科版八年级下册9.1 图形的旋转精品一课一练

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9.1 图形的旋转

旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点转动一个角度，叫作图形的旋转。
【补充说明】如图所示，是绕定点O逆时针旋转得到的，其中点A与点A’叫作对应点，线段OB与线段叫作对应线段，与叫作对应角，点叫作旋转中心，（或）的度数叫作旋转的角度。
【注意】
1)图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定.
2)旋转中心可以在图形内，也可以是图形外。
【图形旋转的三要素】旋转中心、旋转方向和旋转角。
旋转的特征：1）对应点到旋转中心的距离相等（例：OA与OA’）；
2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角(∠AOA’=∠BOB’=45°)；
3）旋转前后的两个图形全等（△ABO≌△A’B’O）。
旋转作图的步骤方法：
1)确定旋转中心、旋转方向、旋转角；
2）找出图形上的关键点；
3）连接图形上的关键点与旋转中心，然后按旋转方向分别将它们旋转一定的角度，得到关键点的对应点；
4）按原图的顺序连接这些对应点，即得旋转后的图形。
 
【题型一】判断生活中的旋转现象
【典题】（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）下列运动属于旋转的是 （        ）
A．篮球的运动 B．气球升空的运动
C．钟表钟摆的摆动 D．一个图形沿某直线对折的过程
【答案】C
【分析】根据旋转的定义进行判断即可．
【详解】解：A．篮球的运动不一定是旋转，故A不符合题意；
B．气球升空的运动属于平移，不属于旋转，故B不符合题意；
C．钟表钟摆的摆动属于旋转，故C符合题意；
D．一个图形沿某直线对折的过程是轴对称，不属于旋转，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了旋转的定义，解题的关键是熟练掌握旋转的定义．
巩固练习
1（ê）（2021春·甘肃兰州·七年级校考期中）下列现象中，不属于旋转变换的是（    ）．
A．钟摆的运动 B．电梯的升降运动
C．方向盘的转动 D．大风车的转动
【答案】B
【分析】根据旋转的概念求解即可．旋转是物体围绕一个点或一个轴做圆周运动．
【详解】解：A．钟摆的运动属于旋转变换，故不符合题意；
B．电梯的升降运动不属于旋转变换，故符合题意；
C．方向盘的转动属于旋转变换，故不符合题意；
D．大风车的转动属于旋转变换，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了旋转的概念，解题的关键是熟练掌握旋转的概念．
2（ê）（2023秋·广东韶关·九年级统考期末）下列现象：①地下水位逐年下降，②传送带的移动，③方向盘的转动，④水龙头的转动；其中属于旋转的有（    ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据旋转的概念解答即可．
【详解】解：①地下水位逐年下降，不是旋转现象；
②传送带的移动，不是旋转现象；
③方向盘的转动，是旋转现象；
④水龙头的转动，是旋转现象，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的判断，解题的关键是掌握旋转的概念：在平面内，将一个图形沿某一个定点转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．
3（ê）（2022秋·全国·九年级专题练习）你能区分下列哪些是平移现象？哪些是旋转现象吗？

【答案】(1)(2)(3)是平移现象，(4)(5)(6)是旋转现象．
【分析】将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫作图形的平移运动；把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转；据此解答即可．
【详解】(1)(2)(3)是平移现象，(4)(5)(6)是旋转现象．
【点睛】本题是考查平移、旋转的意义．平移与旋转的相同点是图形的大小、形状不变，不同点是平移不改变图形的方向，旋转改变图形的方向．
【题型二】找旋转中心、旋转角、对应点
【典题】（2023秋·河北石家庄·七年级校考期末）如图，三角形经过旋转后到达三角形的位置，下列说法正确的是（    ）

A．点A不是旋转中心 B．是一个旋转角
C． D．
【答案】D
【分析】根据旋转的性质分别进行判断．
【详解】解：A、点A是旋转中心，故错误，不合题意；
B、不是旋转角，故错误，不合题意；
C、，，故错误，不合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
巩固练习
1（ê）（2022春·甘肃兰州·八年级校考期中）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（    ）

A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】B
【分析】连接、、，作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交点即为旋转中心．
【详解】解：如图，

由绕某点旋转一定的角度，得到，则连接、、，
作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，
三条线段的垂直平分线正好都过点B，
旋转中心是点B．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的基本性质，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，旋转中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
2（ê）（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，将绕点旋转得到，若，，，，则下列说法：①点的对应点是点；②；③；④；⑤旋转中心是点；⑥旋转角为.其中正确的是（    ）

A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．③④⑤⑥ D．①②③④⑤⑥
【答案】A
【分析】根据旋转的性质即可得到结论．
【详解】解：将绕点旋转得到，，，，，
点的对应点是点，故①正确，
，故②错误，
，故③正确，
，故④正确，
旋转中心是点，故⑤正确，
旋转角不一定为，故⑥错误，
故选：A.
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
3（ê）（2022秋·河北保定·九年级统考期中）如图，经过旋转后到达的位置，，下列说法错误的是（　　）

A．点是旋转中心 B．是一个旋转角
C．顺时针旋转，则至少旋转 D．逆时针旋转，则至少旋转
【答案】B
【分析】根据旋转三要素分别进行判断．
【详解】解：A、经过旋转后到达的位置，则旋转中心为点，说法正确，故该选项不符合题意；
B、，是旋转角，原说法错误，故该选项符合题意；
C、由可得，顺时针旋转，则至少旋转，说法正确，故该选项不符合题意；
D、由可得，逆时针旋转，则至少旋转，说法正确，故该选项不符合题意
故选：B
【点睛】本题考查了旋转三要素：找旋转中心、旋转角和对应点，解题关键是熟练掌握旋转三要素．
4（ê）（2022·七年级单元测试）（1）如图1，在正方形网格中，画出 △ABC绕点O逆时针旋转图形．
（2）如图2，在正方形网格中，将格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点与点，点与点，点与点是对应点．
①请通过画图找到旋转中心，将其标记为点O；
②直接写出旋转角的度数．

【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②
【分析】（1）根据题意，画出图形，即可求解；
（2）①连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求；
②通过观察网格图得出结论即可．
【详解】解∶（1）如图所示， 即为所求；

（2）①连接CC1、AA1，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求；如图所示，点O即为所求；
②如图所示，根据网格图得：∠COC1=α=90°．

【点睛】本题主要考查了作图——旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
【题型三】根据旋转的性质求解
【典题】（2022春·四川成都·八年级统考期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解．
【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，
∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
巩固练习
1（ê）（2022春·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，将绕着点O顺时针旋转，得到（点C落在外），若，，则最小旋转角度是（    ）

A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【分析】直接利用已知得出∠AOC的度数，再利用旋转的性质得出对应边之间夹角，得出答案即可．
【详解】∵∠AOB= 30°，∠BOC = 10°，
∴∠AOC=∠AOB+∠COB = 30°+ 10°= 40°
∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，
∴最小旋转角为∠AOC = 40°．
故选： C．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，正确得出∠AOC的度数是解题关键．
2（ê）（2022春·江西吉安·八年级校考期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用旋转的性质得AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，所以选项A、C不一定正确
再根据等腰三角形的性质即可得出，所以选项D正确；再根据∠EBC
=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB判断选项B不一定正确即可．
【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到，
∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，
∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=，
∴选项A、C不一定正确，
∴∠A =∠EBC，
∴选项D正确．
∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于，
∴选项B不一定正确；
故选D．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．
3（ê）（2022春·广东湛江·八年级校考期末）如图，在中，，．将绕点逆时针方向旋转，得到，连接．则线段的长为（    ）

A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据旋转性质可知，，再由勾股定理即可求出线段的长．
【详解】解：∵旋转性质可知，，
∴，
故选：B．
【点睛】此题主要考查旋转的性质和勾股定理求出直角三角形边长，解题关键是根据旋转性质得出是等腰直角三角形．
4（êê）（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，O是正内一点，，，．将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段，下列结论错误的是（    ）

A．点O与的距离为4 B．
C．S四边形AOBO′ D．
【答案】D
【分析】证明，得是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，进而可判断．
【详解】解：如图1，连接OO′，

由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，
∴∠1＝∠3，
又∵OB＝O′B，AB＝BC，
∴，
又∵∠OBO′＝60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′＝OB＝4．
故A正确；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A＝5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，
∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，
故B正确；
S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′═×3×4+×42＝6+4，
故C正确；
如图2

将绕点顺时针旋转60°到位置，
同理可得，
故D错误；
故选D．
【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
5（ê）．（2022春·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）如图，点是等边内的一点，，将绕点顺时针旋转得到，连接．

(1)求的度数．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质可得：，，即可证得是等边三角形，即可求解；
（2）由旋转的性质得，，，由为等边三角形，得，可证得是直角三角形，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：由旋转的性质得：，，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
；
（2）解：由旋转的性质得，，，
，
，
为等边三角形，
，
在直角中，．
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的有关知识，熟练掌握和运用旋转的性质是解决本题的关键．
6（êê）（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，△ABC和△DCE都是等边三角形．

探究发现
(1)△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由；
拓展运用
(2)若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC=30°，AD=3，CD=2，求BD的长；
(3)若△DCE绕点C旋转，△ABC和△DCE的边长分别为1和2，当△BCD的面积最大时，AE的长为______．
【答案】(1)全等，证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）依据等式的性质可证明∠BCD=∠ACE，然后依据SAS可证明△ACE≌△BCD；
（2）由（1）知：BD=AE，利用勾股定理计算AE的长，可得BD的长；
（3）当B、C、E三点在一条直线上时，△BCD的面积最大，过A作AF⊥BC于F，先根据平角的定义得∠ACD=60°，利用特殊角的三角函数可得AF的长，最后根据勾股定理可得AE的长．
【详解】（1）解：全等，理由是：
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，，
∴△ACE≌△BCD（ SAS）；
（2）解：如图，由（1）得：△BCD≌△ACE，

∴BD=AE，
∵△DCE是等边三角形，
∴∠CDE=60°，CD=DE=2，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=30°+60°=90°，
在Rt△ADE中，AD=3，DE=2，
∴，
∴BD=；
（3）解：CD⊥BC时，△BCD的面积最大，
由（1）得△ACE≌△BCD，
∴AE=BD=，
故答案为：．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
7（êê）（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读与理解：如图1，等边△BDE按如图所示方式设置．
操作与证明：
（1）操作：固定等边ABC，将BDE绕点B按逆时针方向旋转120°，连接AD，CE，如图2；在图2中，请直接写出线段CE与AD之间具有怎样的大小关系．
（2）操作：若将图1中的BDE，绕点B按逆时针方向旋转任意一个角度α（60°＜α＜180°），连接AD，CE，AD与CE相交于点M，连BM，如图3；在图3中线段CE与AD之间具有怎样的大小关系？∠EMD的度数是多少？证明你的结论．
猜想与发现：
（3）根据上面的操作过程，请你猜想在旋转过程中，∠DMB的度数大小是否会随着变化而变化？请证明你的结论．

【答案】（1）EC＝AD；（2）EC＝AD，∠EMD＝60°，见解析；（3）∠DMB的度数大小不变，见解析
【分析】（1）利用证明即可；
（2）利用证明，得，，再利用三角形内角和定理可得答案；
（3）过点作于点，于点，由（2）中全等知，则平分，得．
【详解】解：（1）；
将绕点按逆时针方向旋转，
，
在和中，
，
，
；
（2），，理由如下：
将绕点按逆时针方向旋转度，
，
与是等边三角形，
，，
，
，，
，
，
（3）不变，理由如下：
过点作于点，于点，

，
，，
，
平分，
，
的度数大小不变．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是证明．
【题型四】画旋转后的图形
【典题】（2022春·安徽宿州·八年级统考期末）如图所示，正方形网格中，为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．

(1)把沿方向平移后，点移到点，在网格中画出平移后得到的；
(2)把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后的．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用平移的性质画图，即对应点都移动相同的距离；
（2）利用旋转的性质画图，对应点都旋转相同的角度．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；

（2）如图所示：即为所求．
【点睛】本题主要考查了平移变换、旋转变换作图，做这类题时，理解平移、旋转的性质是关键．
巩固练习
1（ê）（2022春·山东菏泽·八年级统考期中）如图1，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段，线段在网格线上，
画出线段关于线段所在直线对称的线段(点分别为的对应点)；
将线段，绕点，顺时针旋转得到线段，画出线段．

【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）先找出A，B两点关于MN对称的点A1，B1，然后连接A1B1即可；
（2）根据旋转的定义作图可得线段B1A2．
【详解】（1）如图所示，即为所作；

（2）如图所示，即为所作．
【点睛】本题主要考查作图-旋转与轴对称，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称的定义与性质．
2（ê）（2022春·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：

(1)将△ABC向上平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1绕坐标原点O顺时针方向旋转90°，出旋转后的△A2B2C2．
【答案】(1)见解析;
(2)见解析．
【分析】（1）利用点平移的坐标规律写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2即可．
（1）
解：如图，△A1B1C1为所作；

（2）
解：如图，△A2B2C2为所作；
【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
【题型五】利用旋转设计图案
【典题】（2021春·八年级单元测试）下面四个图案中，不能由基本图案旋转得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】A、可由一个基本“花瓣”绕其中心经过7次旋转，每次旋转45°得到；
B、可由一个基本“菱形”绕其中心经过5次旋转，每次旋转60°得到；
C、可由一个基本”直角三角形”绕其中心绕其中心经过5次旋转，每次旋转60°得到；
D、不能由基本图案旋转得到．
故选D．
巩固练习
1（ê）（2021春·广东茂名·八年级统考期中）如图所示，该图案是经过(    )

A．平移得到的 B．旋转或轴对称得到的
C．轴对称得到的 D．旋转得到的
【答案】D
【详解】观察图案的形状可知：圆内的三个树叶形可以通过将一个树叶形旋转两次得到，
故选：D
2（ê）（2021春·全国·八年级专题练习）下列四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的图案是（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别根据旋转的定义及平移的定义逐项分析即可．
【详解】解：A、B、C、D四个选项中的图形都可以看成是图形的一半旋转180°得到，
若一个图形可以通过某一个基本图形平移得到，则这个图形可以分成几个相同的基本图形，且基本图形之间对应点的连线应该是平行的，
故A、B、D不能由平移得到，只有C选项的图形，可看成是由基本图形

通过平移得到．
故选C．
【点睛】本题主要考查旋转和平移的定义，掌握平移和旋转的特征是解题的关键．
3（ê）（2021春·八年级课时练习）相信同学们都玩过万花筒，如图是某个万花筒的造型，图中的小三角形均是全等的等边三角形，那么图中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为旋转中心（    ）

A．顺时针旋转60°得到 B．顺时针旋转120°得到
C．逆时针旋转60°得到 D．逆时针旋转120°得到
【答案】D
【分析】根据旋转的意义，找出图中菱形和菱形的对应点的变化情况，结合等边三角形的性质即可选择答案．
【详解】解：根据旋转的意义，观察图片可知，菱形可以看成是把菱形以为中心逆时针旋转得到．
故选：D．
【点睛】本题考查了图形的旋转变化，解题的关键是要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．
【题型六】求旋转对称图形的旋转角度
【典题】（2022春·江苏南京·八年级校考阶段练习）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察图形，从图形的性质可以确定旋转角，然后进行判断即可得到答案．
【详解】解：A图形顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合，故不符合题意；
B图形顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合，故符合题意；
C图形顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合，故不符合题意；
D图形顺时针旋转60°后，能与原图形完全重合，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了旋转对称图形的旋转角．解题的关键在于熟练掌握旋转对称图形的定义即把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转角度叫做旋转角．
巩固练习
1（ê）（2022春·山东枣庄·八年级统考期末）在冬奥会开幕式上，美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案本身的设计呈现出充分的美感，它是一个中心对称图形．其实“雪花”图案也可以看成自身的一部分围绕图案的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【分析】根据图形的对称性，用360°除以6计算即可得解．
【详解】解：∵360°÷6=60°，
∴旋转角是60°的整数倍，
∴这个角的度数可以是60°．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
2（ê）（2022春·江苏徐州·八年级校联考阶段练习）如图，以点为旋转中心旋转如图所示的图形，若旋转后的图形与原图形重合，是旋转角可以为（　　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
【详解】解：O为圆心，连接三角形的三个顶点，
即可得到∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，
所以旋转120°或240°后与原图形重合．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转对称的性质，找到旋转角是解题的关键．
3（ê）（2021春·广东·八年级专题练习）如图，是正五边形，该图形绕它的中心至少旋转（    ）可以跟自身重合．

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正五边形的每个中心角相等且其和为360°即可得到结论．
【详解】根据正五边形的性质，每个中心角的相等，则每个中心角的度数为360°÷5=72°，故该图形绕它的中心至少旋转72度可以跟自身重合．
故选：D．
【点睛】本题考查了图形的旋转及正多边形的性质，关键是抓住正多边形的中心角相等这一性质，问题即解决．