苏科版八年级下册9.1 图形的旋转练习题

第9章　中心对称图形——平行四边形

9.1　图形的旋转

基础过关全练

知识点1　旋转的相关概念

1.下列图案中,不能由一个基本图形通过旋转而构成的是 (　　)

A         B         C            D

2.(2021山东济南历下期中)如图,有一个装饰灯,阴影部分每绕对称中心顺时针旋转90度就闪烁一次,此图为第一次闪烁,照此规律,第2 021次闪烁呈现出来的图案是              (　　)

A　　B　　C　　D

知识点2　旋转的性质

3.(2022江苏东台第五教育联盟月考)如图,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A'OB',若∠AOB=25°,则∠AOB'的度数是　              (　　)

A.25°　　　　B.35°　　　　C.40°　　　　D.85°

4.(2021江苏灌云期末)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,点D是斜边上任意一点,将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E,则线段DE长度的最小值是　　　　. 

5.【教材变式·P58习题T2变式】如图,四边形ABCD是正方形,E是AD上任意一点,延长BA到F,使得AF=AE,连接DF,BE.

(1)旋转△ADF可得到哪个三角形?

(2)旋转中心是哪一点?旋转了多少度?

(3)指出BE与DF的关系,并说明理由.

知识点3　旋转作图

6.(2020江苏盐城大丰期中)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,有一个△ABC,作出△ABC绕点O旋转180°的△A'B'C'(不写作法,但要标出字母),并直接写出△ABC的面积.

7.(2019江苏苏州中考)如图,△ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕A点旋转到AF的位置,使得∠CAF=∠BAE,连接EF,EF与AC交于点G.

(1)求证:EF=BC;

(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.

能力提升全练

8.(2021江苏苏州工业园区期中,8,)如图,在方格纸中,格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙,则旋转中心是              (　　)

A.格点A　　　　B.格点B

C.格点C　　　　D.格点D

9.(2021江苏常州二十四中期中,5,)如图,在△ABC中,∠BAC=108°,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C',若点B'恰好落在BC边上,且AB'=CB',则∠C'的度数为              (　　)

A.18°　　　　B.20°　　　　C.24°　　　　D.28°

10.(2021江苏南京联合体期中,5,)如图,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,连接BD、CD、CE.下列结论中,不一定正确的是              (　　)

A.AC=AE　　　　      B.∠BAD=∠CAE

C.∠ABD=∠ACE　　　　D.BD=CD

11.【半角模型】(2022江苏苏州振华中学期中,3,)如图,在Rt△ABC中,AB=AC,D、E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ADC绕点A顺时针旋转90°后,得到△AFB,连接EF,给出下列结论:①∠EAF=45°;②BE=CD;③ EA平分∠CEF;④BE2+DC2=DE2,其中一定正确的是              (　　)

A.①②③　　　　  B.①②④

C.①②③④　　　　D.①③④

12.【新素材·冬奥会】(2022吉林中考,11,)第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素.如图,这个图案绕着它的中心旋转角α(0°<α<360°)后能够与它本身重合,则∠α可以为

　　　　度.(写出一个即可) 

13.(2022江苏南京联合体一模改编,14,)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8.将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C',BC的延长线交B'C'于点D,BC交AB'于点E.若B'C'∥AB,求CD的长.

素养探究全练

14.【推理能力】(2022山东青岛市北期中)在等边△ABC中,D是边AC上一点,连接BD,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,连接ED,BC=5,BD=4,给出四个结论,①△BDE是等边三角形;②AE∥BC;③△ADE的周长是9;④∠ADE=∠BDC.其中正确的是              (　　)

A.②③④　　　　B.①③④

C.①②④　　　　D.①②③

15.【空间观念】探索新知:

如图①,射线OC在∠AOB的内部,图中共有3个角:∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍,则称射线OC是∠AOB的“巧分线”.

(1)一个角的平分线　　　　这个角的“巧分线”;(填“是”或“不是”) 

(2)如图②,若∠MPN=α,且射线PQ是∠MPN的“巧分线”,则∠MPQ=　　　　　　　　　　　;(用含α的代数式表示出所有可能的结果) 

深入研究:

如图②,若∠MPN=60°,且射线PQ绕点P从PN的位置开始,以每秒10°的速度逆时针旋转,当PQ与PN所夹的角为180°时停止旋转,设旋转的时间为t秒.

(3)当t为何值时,射线PM是∠QPN的“巧分线”?

(4)若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转,并与PQ同时停止,请直接写出当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时t的值.

答案全解全析

基础过关全练

1.C　A、B、D选项中的图案都可以由一个基本图形通过旋转构成,故选C.

2.C　由题意可知,每旋转一次,旋转角为90°,即每4次旋转一周,

∵2 021÷4=505……1,

∴第2 021次与第1次的图案相同.故选C.

3.B　∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△A'OB',

∴∠BOB'=60°.

∵∠AOB=25°,

∴∠AOB'=∠BOB'-∠AOB=60°-25°=35°.故选B.

4.

解析　由旋转的性质得,CD=CE,∠DCE=60°,

∴△CDE为等边三角形,

∴CD=CE=DE,

∴当CD最短时,DE最短,

易知当CD⊥AB时,CD最短,

此时,S△ABC=AB·CD,

即AC·BC=AB·CD,

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,

由勾股定理得AC==8.

∴6×8=10CD,

∴CD=,

∴线段DE长度的最小值是,故答案为.

5.解析　∵四边形ABCD是正方形,

∴AD=AB,∠FAD=∠EAB=90°,

又∵AF=AE,

∴△ADF绕点A顺时针旋转90°可得△ABE.

(1)旋转△ADF可得到△ABE.

(2)旋转中心是A点,旋转了90°.

(3)BE=DF,且BE⊥DF.理由如下:

如图,延长BE交FD于点G,

由旋转可知BE=DF,∠1=∠4,

∵∠2=∠3,∠3+∠4=90°,

∴∠1+∠2=90°,

∴∠DGE=90°,即BE⊥DF.

6.解析　如图,△A'B'C'即为所求.

△ABC的面积为2×3-.

7.解析　(1)证明:∵∠CAF=∠BAE,

∴∠CAF+∠EAC=∠BAE+∠EAC,

即∠EAF=∠BAC.

∵线段AC绕A点旋转到AF的位置,

∴AC=AF.

在△ABC与△AEF中,

∴△ABC≌△AEF(SAS),

∴BC=EF.

(2)∵AB=AE,∴∠ABC=∠AEB,∵∠ABC=65°,

∴∠BAE=180°-65°×2=50°,

∴∠FAG=∠BAE=50°.

∵△ABC≌△AEF,∠ACB=28°,

∴∠F=∠C=28°,

∴∠FGC=∠FAG+∠F=50°+28°=78°.

能力提升全练

8.B　根据图形旋转的性质:图形旋转前后对应点与旋转中心的距离相等可以判断,三角形甲绕点B旋转可得三角形乙.故选B.

9.C　∵AB'=CB',

∴∠C=∠CAB',

∴∠AB'B=∠C+∠CAB'=2∠C,

∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C',

∴∠C=∠C',AB=AB',

∴∠B=∠AB'B=2∠C,

∵∠B+∠C+∠CAB=180°,

∴3∠C=180°-108°,

∴∠C=24°,

∴∠C'=∠C=24°,故选C.

10.D　∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,

∴AC=AE,∠BAD=∠CAE,AB=AD,

∴∠ABD=∠ADB,∠ACE=∠AEC,

∴∠BAD+∠ABD+∠ADB=∠BAD+2∠ABD=180°,

 ∠CAE+∠ACE+∠AEC=∠CAE+2∠ACE=180°,

∴∠ABD=∠ACE,

故A、B、C中的结论均正确;

根据已知条件无法判断BD=CD,

∴BD不一定等于CD,故D中的结论不一定正确.

故选D.

11.D　在Rt△ABC 中,AB=AC,

∴∠C=∠ABC=45°,

∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后,得到△AFB,

∴△AFB≌△ADC,

∴AF=AD,∠CAD=∠BAF,

∴∠DAF=∠BAC=90°,

∵∠BAC=90°,∠DAE=45°,

∴∠BAE+∠DAC=45°,

∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=∠DAC+∠BAE=45°,故①正确;

∵∠FAE=∠DAE=45°,AF=AD,

在△FAE和△DAE中,

∴△FAE≌△DAE(SAS),

∴EF=DE,∠FEA=∠DEA,

即EA平分∠CEF,故③正确;

∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后,得到△AFB,

∴∠FBA=∠C=45°,BF=DC,

∵∠ABC=45°,

∴∠FBE=45°+45°=90°,

在Rt△FBE中,由勾股定理得BE2+BF2=EF2,

∵BF=DC,EF=DE,

∴BE2+DC2=DE2,故④正确;

根据已有条件无法判断BE与DC的数量关系,故BE=DC不一定成立.故选D.

12.60或120或180或240或300(写出一个即可)

解析　这个图案对应着如图所示的一个正六边形,则∠1==60°,

∵0°<α<360°,

∴角α可以为60°或120°或180°或240°或300°,

故答案为60或120或180或240或300(写出一个即可).

13.解析　设CE=x,∵B'C'∥AB,

∴∠BAB'=∠B',

由旋转的性质得∠B=∠B',AC'=AC=6,

∴∠BAE=∠B,

∴AE=BE=8-x,

在Rt△ACE中,由勾股定理得AE2=CE2+AC2,

∴(8-x)2=x2+62,解得x=,

∴CE=,

∴AE=BE=8-,

∵AB2=AC2+BC2=100,

∴AB'=AB=10,

∴B'E=AB'-AE=.

∵B'C'∥AB,

∴∠B'=∠BAE=∠ABE=∠EDB',

∴DE=B'E=,

∴CD=DE-CE=2,故CD的长为2.

素养探究全练

14.D　∵△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,

∴BD=BE,∠DBE=60°,

∴△BDE是等边三角形,

∴①正确;

∵△ABC为等边三角形,

∴BA=BC,∠ABC=∠C=∠BAC=60°,

∵△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,

∴∠BAE=∠BCD=60°,

∴∠BAE=∠ABC,

∴AE∥BC,∴②正确;

∵∠BDC=∠BAC+∠ABD>60°,∠BDE=60°,

 ∴∠ADE≠∠BDC,∴④错误;

∵△BDE是等边三角形,

∴DE=BD=4,

而△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,

∴AE=CD,

∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+4=5+4=9,∴③正确.

故选D.

15.解析　(1)是.

(2)当∠MPQ=α时,射线PQ是∠MPN的“巧分线”.

(3)分三种情况:

(i)10t=60+×60,解得t=9;

(ii)10t=2×60,解得t=12;

(iii)10t=60+2×60,解得t=18.

故当t为9或12或18时,射线PM是∠QPN的“巧分线”.

(4)分三种情况:

(i)10t=(5t+60),解得t=2.4;

(ii)10t=(5t+60),解得t=4;

(iii)10t=(5t+60),解得t=6.

故当t为2.4或4或6时,射线PQ是∠MPN的“巧分线”.