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2024届高考数学第一轮复习:文科数学2010-2019高考真题分类训练之专题五 平面向量第十三讲 平面向量的概念与运算答案
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专题五 平面向量
第十三讲 平面向量的概念与运算
答案部分
1.A【解析】通解 如图所示,
.故选A.
优解
.故选A.
2.B【解析】,故选B.
3.C【解析】由,可知,∴.
由,可知,∴,故,
连接,则,且,∴,
∴
.故选C.
4.A【解析】由两边平方得,,即,则,故选A.
5.A【解析】因为为非零向量,所以的充要条件是.因为,则由可知的方向相反,,所以,所以“存在负数,使得”可推出“”;而可推出,但不一定推出的方向相反,从而不一定推得“存在负数,使得”,所以“存在负数,使得”是“”的充分而不必要条件.
6.B【解析】设,,∴,,
,
∴,故选B.
7.A【解析】由题意得,
所以,故选A.
8.C【解析】由题意,得,即,
所以,所以,故选C.
9.B【解析】对于A选项,设向量、的夹角为,∵,∴A选项正确;对于B选项,∵当向量、反向时,,∴B选项错误;对于C选项,由向量的平方等于向量模的平方可知,C选项正确;对于D选项,根据向量的运算法则,可推导出,故D选项正确,综上选B.
10.C【解析】由题意可得,,所以.故选C.
11.A【解析】.
12.A【解析】由 ①, ②,①②得.
13.B【解析】由题意得,两边平方化简得,
解得,经检验符合题意.
14.B【解析】设,若的表达式中有0个,则
,记为,若的表达式中有2个,则,
记为,若的表达式中有4个,则,记为,又,
所以,
,
,∴,故,设的夹角为,
则,即,又,所以.
15.B【解析】对于A,C,D,都有∥,所以只有B成立.
16.B【解析】由于,令,而是任意实数,所以可得的最小值为
,
即,则知若确定,则唯一确定.
17.C【解析】∵,,
所以=.解得,选C
18.C【解析】因为,所以,所以四边形的面积为,故选C.
19.D【解析】由题意,设,则,过点作的垂线,垂足为,
在上任取一点,设,则由数量积的几何意义可得,
,,
于是恒成立,相当于恒成立,
整理得恒成立,只需
即可,于是,因此我们得到,即是的中点,
故△是等腰三角形,所以.
20.A【解析】,所以,这样同方向的单位向量
是.
21.A【解析】=(2,1),=(5,5),则向量在向量方向上的射影为
22.C【解析】建立平面直角坐标系,令向量的坐标,
又设,代入得,
又的最大值为圆上的动点到原点的距离的最大值,
即圆心(1,1)到原点的距离加圆的半径,即.
23.D【解析】因为⊥,所以可以A为原点,分别以,所在直线为
x轴,y轴建立平面直角坐标系.设B1(a,0),B2(0,b),O(x,y),
则=+=(a,b),即P(a,b).
由||=||=1,得(x-a)2+y2=x2+(y-b)2=1.
所以(x-a)2=1-y2≥0,(y-b)2=1-x2≥0.
由||<,得(x-a)2+(y-b)2<,
即0≤1-x2+1-y2<.
所以<x2+y2≤2,即.
所以||的取值范围是,故选D.
24.B【解析】利用向量加法的三角形法则,易的①是对的;利用平面向量的基本定理,易的②是对的;以的终点作长度为的圆,这个圆必须和向量有交点,这个不一定能满足,③是错的;利用向量加法的三角形法则,结合三角形两边的和大于第三边,即必须,所以④是假命题.综上,本题选B.平面向量的基本定理考前还强调过,不懂学生做得如何.
25.C【解析】正确的是C.
26.C【解析】,则
,所以不垂直,A不正确,同理B也不正确;
,则,所以共线,故存在实数,使得,
C正确;若,则,此时,所以D不正确.
27.B【解析】,由∥,得,解得
28.D【解析】∵,由,得,
∴,解得.
29.C【解析】三角形的面积S=,而
30.B【解析】若与共线,则有,故A正确;
因为,而,所以有,
故选项B错误,故选B.
31.【解析】,因为,且,
32.【解析】依题意=,根据向量垂直的充要条件可得
,所以.
所以,即.
33.7【解析】∵,∴
所以,解得.
34.2【解析】由题意,所以,即.
35.【解析】,,则
,
.
36.【解析】由可得
37.3【解析】由可得,,由=+
得,即
两式相加得,
所以
所以.
38.【解析】因为,所以,解得.
39.【解析】由题意,所以.
40.-3【解析】由题意得:
41.9【解析】因为,,
所以.
42.1【解析】由题意,
所以,解得.
43.【解析】由题可知,不妨,,设,
则,,所以,
所以.
44.【解析】由,得为的中点,故为圆的直径,
所以与 的夹角为.
45.【解析】∵,∴由,
得,故的面积为.
46.②④【解析】S有下列三种情况:
,
,
∵,∴,
若,则,与无关,②正确;
若,则,与有关,③错误;
若,则,④正确;
若,则
∴, ∴,⑤错误.
47.【解析】∵,∴可令,∵,
∴,即,解得得.
48.【解析】∵,∴,∴,
∵,∴.
49.2【解析1】
因为,,所以,
又,所以
即.
【解析2】由几何意义知为以,为邻边的菱形的对角线向量,又,
故
50.2【解析】=====0,解得=.
51.2【解析】在正方形中,,,
所以.
52.【解析】向量与的夹角为,且所以.由得,,
即,所以,
即,解得.
53.【解析】
,所以的最大值为2.
54.【解析】因为E为CD的中点,所以.
,因为,
所以,
即,所以,解得.
55.4【解析】如图建立坐标系,
则,
,
由,可得,∴
56.【解析】
57.(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)由,得.设与同向的单位向量为,则且,解得故.即与同向的单位向量的坐标为.
(Ⅱ)由,得.设向量与向量的夹角为,则.
58.【解析】
.
59.【解析】如图,向量与在单位圆内,因||=1,||≤1,且以向量,为邻边的平行四边形的面积为,故以向量,为边的三角形的面积为,故的终点在如图的线段上(∥,且圆心到的距离为),因此夹角的取值范围为.
60.【解析】由题意知,即,
即,化简可求得.
61.1【解析】向量+与向量-垂直,∴,
化简得,易知,故.
62.【解析】设与的夹角为,由题意有
,所以,因此,所以.
63.-1【解析】,由,得,
所以=-1.
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