【重难点讲义】浙教版数学七年级上册-第13讲 一元一次方程概念及其解法考点分类复习

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第13讲 一元一次方程概念及其解法考点分类复习
六大考点概括：一元一次方程的概念、等式的基本性质、方程的解、解一元一次方程、含绝对值的一元一次方程、一元一次方程的同解问题。
考点一 一元一次方程的概念
【知识点睛】
v 一元一次方程：只含有 1个未知数（元），未知数的最高次数是1次的整式方程叫做一元一次方程。
【类题训练】
1．下列是一元一次方程的是（　　）
A．x+2y＝3 B．3x﹣2 C．x2+x＝6 D．
【分析】根据只含一个未知数，未知数的次数是1的整式方程判断即可．
【解答】解：A．x+2y＝3，含有两个未知数，不符合题意；
B．3x﹣2，不是方程，不符合题意；
C．x2+x＝6，未知数的最高次数为2，不符合题意；
D． ，符合题意；
故选：D．
2．解关于x的方程：ax＝b，下列说法正确的是　 　.（按字母顺序填写所有正确结论的序号，如abc）
a．方程的解为x＝；
b．当a≠0，x＝；
c．当a＝0，b＝0时，x为任意值；
d．当a＝0，b＝0时，原方程无解；
e．当a＝0，b≠0，原方程无解．
【分析】根据方程的解的定义解决此题．
【解答】解：a．根据等式性质，当a≠0，这个方程的解为x＝，那么a不正确．
b．与a同理，那么b正确．
c．当a＝0，b＝0时，x为任意值，那么c正确．
d．与c同理，那么d不正确．
e．当a＝0，b≠0，原方程无解，那么e正确．
综上：正确的有bce．
故答案为：bce．
3．在有理数范围内定义一个新的运算法则“*”；当a≥b时，a*b＝ab；当a＜b时，a*b＝ab．根据这个法则，方程4*（4*x）＝256的解是x＝　 　．
【分析】根据运算法则当a≥b时，a*b＝ab；当a＜b时，a*b＝ab，分类讨论4与x的大小关系求解．
【解答】解：由题意得①当x≤4时，
4*（4*x）＝4*（4x），
当4≥4x时，4*（4x）＝4＝256，
解得x＝1．
当4＜4x时，4*（4x）＝4x+1＝256，
解得x＝3．
②当x＞4时，4*（4*x）＝4*（4x）＝16x＝256，
解得x＝16．
故答案为：1，3，16．
4．小红在解关于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2时，误将方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解为x＝1，则原方程的解为　 　．
【分析】把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，求出a的值，再把a的值代入原方程求解即可．
【解答】解：把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，
得3+1＝3a﹣2，
解得a＝2，
故原方程为﹣3x+1＝6﹣2，
﹣3x＝3，
解得x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
5．已知下列各式：①x﹣2＝；②0.4x＝1；③＝2x﹣2；④x﹣y＝6；⑤x＝0；⑥x+π＞3；⑦x﹣2；⑧2+3＝5x；⑨x2﹣1＝0．其中一元一次方程有 （填正确答案的序号）
【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．即可判断．
【解答】解：根据一元一次方程定义可知：
一元一次方程有②⑤⑧．
故答案为：②⑤⑧
6．已知（m﹣1）x|m|﹣2022＝2025是关于x的一元一次方程，则m＝　 　．
【分析】根据一元一次方程的定义得出m﹣1≠0且|m|＝1，再求出m即可．
【解答】解：∵（m﹣1）x|m|﹣2022＝2025是关于x的一元一次方程，
∴m﹣1≠0且|m|＝1，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
7．若（k﹣2）x|k|﹣1﹣3＝0是关于x的一元一次方程，那么k2﹣2k+1的值为（　　）
A．1 B．9 C．1或9 D．0
【分析】根据已知条件得出k﹣2≠0且|k|﹣1＝1，求出k的值，再求出答案即可．
【解答】解：∵（k﹣2）x|k|﹣1﹣3＝0是关于x的一元一次方程，
∴k﹣2≠0且|k|﹣1＝1，
解得：k＝﹣2，
∴k2﹣2k+1＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）+1＝9，
故选：B．
8．当a＝　 　时，方程（a2﹣1）x2+（2﹣2a）x﹣3＝0是关于x的一元一次方程．
【分析】根据一元一次方程的定义列出关于a的方程组，求出a的值即可．
【解答】解：∵（a2﹣1）x2+（2﹣2a）x﹣3＝0是关于x的一元一次方程，
∴，
解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
9．已知代数式M＝3（a﹣2b）﹣（b+2a）．
（1）化简M；
（2）如果（a+1）x2+4xb﹣2﹣3＝0是关于x的一元一次方程，求M的值．
【分析】（1）首先去括号，然后再合并同类项即可；
（2）根据一元二次方程定义可得a+1＝0，b﹣2＝1，再解可得a、b的值，然后再代入（1）化简的式子可得答案．
【解答】解：（1）M＝3（a﹣2b）﹣（b+2a）＝3a﹣6b﹣b﹣2a＝a﹣7b；

（2）由题意得：a+1＝0，b﹣2＝1，
解得：a＝﹣1，b＝3，
则M＝﹣1﹣7×3＝﹣22．
考点二 等式的基本性质
【知识点睛】
v 等式的基本性质
等式的概念
表示相等关系的式子，叫做等式

等式
的性质
性质1
如果a=b，那么 a±c=b±c
性质2
如果a=b，那么 a·c=b·c ；
如果a=b，那么
等式的传递性
如果a=b，b=c，那么 a=c
【类题训练】
10．下列运用等式性质进行的变形，正确的是（　　）
A．若ac＝bc，则a＝b B．若 ＝，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝b D．若﹣x＝6，则x＝﹣2
【分析】根据等式的性质，逐项进行判断即可．
【解答】解：A．若ac＝bc，c≠0，则a＝b，因此选项A不符合题意；
B．若 ＝，则a＝b，因此选项B符合题意；
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，因此选项C不符合题意；
D．若﹣x＝6，两边都乘以﹣3得x＝﹣18，因此选项D不符合题意；
故选：B．
11．下列说法中，正确的有（　　）
A．等式两边各加上一个式子，所得的结果仍是等式
B．等式两边各乘以一个数，所得的结果仍是等式
C．等式两边都除以同一个数，所得的结果仍是等式
D．一个等式的左右两边分别与另一个等式的左右两边相加，所得的结果仍是等式
【分析】根据等式的性质进行判断即可．
【解答】解：A、根据等式性质1，等式两边都加上同一个整式，所得结果仍是等式，故本选项错误，不符合题意；
B、等式的两边都乘以同一个实数，所得的结果仍是等式，故本选项错误，不符合题意；
C、根据等式性质2，等式两边都除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式，故本选项错误，不符合题意；
D、一个等式的左右两边分别与另一个等式的左右两边相加，所得的结果仍是等式，正确，符合题意；
故选：D．
12．若x+y＝5，2x﹣3y＝10，则x﹣4y的值为（　　）
A．15 B．﹣5 C．5 D．3
【分析】利用等式的性质进行变形就可得到结果．
【解答】解：x+y＝5①，2x﹣3y＝10②，
②﹣①得x﹣4y＝5，
故选：C．
13．设■，●，▲分别表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，则在■，●，▲中，质量最小的是（　　）

A．■ B．● C．▲ D．无法确定
【分析】设■，●，▲的质量分别为a，b，c，由天平可知①2a＞a+c，②3b＜2c，根据①求出2a＞2c，求出2a＞2c＞3b，求出a＞c＞b，再得出选项即可．
【解答】解：设■，●，▲的质量分别为a，b，c，
由天平可知：①2a＞a+c，②3b＜2c，
由①，得a＞c，
所以2a＞2c，
∴2a＞2c＞3b，
即a＞c＞b，
质量最小的是“●”，
故选：B．
14．若a＝+，其中a，b，c是实数，则（　　）
A．b+c＝a B．b+c＝ C．b+c＝ D．b+c＝abc
【分析】根据等式性质，等式两边乘以bc即可选出正确答案．
【解答】解：∵a＝+．
根据等式的性质，等式两边乘以bc，等式仍然成立．
∴a•bc＝•bc+•bc．
∴abc＝c+b．
故选：D．
考点三 方程的解
【知识点睛】
v 方程的解：使方程成立的未知数的值
【类题训练】
15．若方程x+2a＝﹣3的解为x＝1，则a为（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】把x＝1代入方程得出1+2a＝﹣3，求出方程的解即可．
【解答】解：∵方程x+2a＝﹣3的解为x＝1，
∴1+2a＝﹣3，
解得a＝﹣2．
故选：D．
16．已知关于x的方程x﹣＝﹣2有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（　　）
A．﹣23 B．23 C．﹣34 D．34
【分析】直接解方程进而利用非负整数的定义分析得出答案．
【解答】解：x﹣＝﹣2，
则6x﹣（2﹣ax）＝2x﹣12，
故6x﹣2+ax＝2x﹣12，
（4+a）x＝﹣10，
解得：x＝﹣，
∵﹣是非负整数，
∴a＝﹣5或﹣6，﹣9，﹣14时，x的解都是非负整数，
则﹣5﹣6﹣9﹣14＝﹣34．
故选：C．
17．定义新运算“※”如下：当a≥b时，a※b＝ab+b；当a＜b时，a※b＝ab﹣a．
（1）﹣3※2＝　 　；若5※b＝12，则b＝　 　；
（2）若（2x﹣1）※（x+2）＝0，则x＝　 　．
【分析】（1）根据a、b的大小关系，由所提供的计算方法进行计算即可；
（2）分两种情况进行解答，即当2x﹣1≥x+2和2x﹣1＜x+2两种情况，按照提供的方法进行计算即可．
【解答】解：（1）∵﹣3＜2，
∴﹣3※2＝﹣3×2﹣（﹣3）
＝﹣6+3
＝﹣3；
当5≥b时，5※b＝5b+b＝12，解得b＝2，
当5＜b时，5※b＝5b﹣5＝12，解得b＝＜5（舍去），
∴b＝2，
故答案为：﹣3，2；
（2）当2x﹣1≥x+2时，即x≥3时，
（2x﹣1）※（x+2）＝0，
即（2x﹣1）（x+2）+（x+2）＝0，
整理得，x2+2x＝0，
解得x＝0或x＝﹣2，
又x≥3，
因此x＝0或x＝﹣2不符合题意，舍去；
当2x﹣1＜x+2时，即x＜3时，
（2x﹣1）※（x+2）＝0，
即（2x﹣1）（x+2）﹣（2x﹣1）＝0，
整理得，2x2+x﹣1＝0，
解得x＝﹣1或x＝，
又x＜3，
因此x＝﹣1或x＝都符合题意，
故答案为：﹣1或．
考点四 解一元一次方程
【知识点睛】
v 解一元一次方程的一般步骤及注意事项：
步骤
名 称
方 法
注 意 事 项
1
去分母
在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）
①不含分母的项也要乘以最小公倍数；②分子是多项式的一定要先用括号括起来
2
去括号
去括号法则（可先分配再去括号）
注意正确的去掉括号前带负数的括号
3
移项
把未知项移到议程的一边（左边），常数项移到另一边（右边）
移项一定要改变符号
4
合并同类项
分别将未知项的系数相加、常数项相加
单独的一个未知数的系数为“±1”
5
系数化为“1”
在方程两边同时除以未知数的系数（即方程两边同时乘以未知数系数的倒数）
不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母）
*6
检根x=a
方法：把x=a分别代入原方程的两边，分别计算出结果。
①若左边＝右边，则x=a是方程的解；
②　若左边≠右边，则x=a不是方程的解。
注：当题目要求时，此步骤必须表达出来。
v 上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五个步骤；解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；
v 对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解
【类题训练】
18．方程3x﹣2（x﹣3）＝5去括号变形正确的是（　　）
A．3x﹣2x﹣3＝5 B．3x﹣2x﹣6＝5 C．3x﹣2x+3＝5 D．3x﹣2x+6＝5
【分析】由去括号法则可得3x﹣2（x﹣3）＝3x﹣2x+6．
【解答】解：3x﹣2（x﹣3）＝3x﹣2x+3×2＝3x﹣2x+6＝﹣x+6，
故选：D．
19．解方程，去分母正确的是（　　）
A．2（2x+1）＝1﹣3（x﹣1） B．2（2x+1）＝6﹣3x﹣3
C．2（2x+1）＝6﹣3（x﹣1） D．3（2x+1）＝6﹣2（x﹣1）
【分析】根据等式的性质去分母解决此题．
【解答】解：，去分母得2（2x+1）＝6﹣3（x﹣1）．
故选：C．
20．下列方程变形不正确的是（　　）
A．4x﹣3＝3x+2变形得：4x﹣3x＝2+3
B．3x＝2变形得：
C．2（3x﹣2）＝3（x+1）变形得：6x﹣4＝3x+3
D．变形得：4x﹣1＝3x+18
【分析】各项方程变形得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、4x﹣3＝3x+2变形得：4x﹣3x＝2+3，不符合题意；
B、3x＝2变形得：x＝，不符合题意；
C、2（3x﹣2）＝3（x+1）变形得：6x﹣4＝3x+3，不符合题意；
D、x﹣1＝x+3变形得：4x﹣6＝3x+18，符合题意．
故选：D．
21．解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“﹣1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x＝2，则方程正确的解是（　　）
A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C． D．
【分析】根据“在去分母的过程中，右边的“﹣1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x＝2”可得x＝2是方程2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1的解，进而求出a的值，再根据求解一元一次方程的步骤进行求解即可．
【解答】解：由题意得，
x＝2是方程2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1的解，
所以a＝，
则正确解为：
去分母得，2（2x﹣1）＝3（x+）﹣6，
去括号得，4x﹣2＝3x+1﹣6，
移项合并同类项得，x＝﹣3，
故选：A．
22．关于x的方程﹣x＝+1变形正确的是（　　）
A．﹣x＝+1
B．﹣x＝+1
C．﹣10x＝+100
D．﹣100x＝+100
【分析】根据等式的基本性质进行变形即可．
【解答】解：﹣x＝+1，
＝
即，
故选：B．
23．定义运算：a⊕b＝5a+4b，那么当x⊕9＝61时，⊕x＝　 　．
【分析】根据a⊕b＝5a+4b，由x⊕9＝61，得x＝5，进而解决此题．
【解答】解：∵x⊕9＝61，
∴5x+36＝61．
∴x＝5．
∴⊕x＝⊕5＝5×+4×5＝．
故答案为：．
24．如图的框图表示了琳琳同学解方程+1＝的流程，你认为琳琳同学在解这个方程的过程中从第　 　步开始出现问题，正确完成这一步的依据是　 　．

【分析】琳琳同学在解这个方程的过程中从第三步开始出现问题，应该是：4x﹣9x＝3+2﹣6，正确完成这一步的依据是等式的基本性质1．
【解答】解：琳琳同学在解这个方程的过程中从第三步开始出现问题，正确完成这一步的依据是等式的基本性质1．
故答案为：三；等式的基本性质1．
25．整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值：
x
﹣2
﹣1
0
1
2
mx+n
﹣12
﹣8
﹣4
0
4
则关于x的方程﹣mx+n＝8的解为（　　）
A．x＝﹣3 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2
【分析】首先根据题意，可得：n＝﹣4，m+n＝0，据此求出m的值是多少；然后根据解一元一次方程的方法，求出关于x的方程﹣mx+n＝8的解为多少即可．
【解答】解：∵x＝0、1时，mx+n的值分别是﹣4、0，
∴n＝﹣4，m+n＝0，
∴m＝4，
∴﹣4x﹣4＝8，
移项，可得：﹣4x＝8+4，
合并同类项，可得：﹣4x＝12，
系数化为1，可得：x＝﹣3．
故选：A．
26．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b两数中较大的数，例如max{2，﹣4}＝2．则方程max{x，﹣x}＝3x+4的解为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣1或﹣2 D．1或2
【分析】分类讨论x与﹣x的大小，利用题中的新定义化简已知方程，求出解即可．
【解答】解：当x＞﹣x，即x＞0时，已知方程变形得：x＝3x+4，
解得：x＝﹣2＜0，舍去；
当x＜﹣x，即x＜0时，已知方程变形得：﹣x＝3x+4，
解得：x＝﹣1，
则方程的解为﹣1．
故选：A．
27．解下列方程：
（1）4x﹣3＝7﹣x； （2）4x﹣2（3x﹣2）＝2（x﹣1）；

（3）2﹣＝． （4）；

（5） ． （6）．

（7）． （8）．

【分析】（1）通过移项、合并同类项、x的系数化为1解决此题．
（2）通过去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1解决此题．
（3）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
（4）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为解决此题．
（5）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1解决此题．
（6）方程去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1即可．
（7）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1，即可求解．
（8）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1解决此题．
【解答】解：（1）∵4x﹣3＝7﹣x，
∴4x+x＝7+3．
∴5x＝10．
∴x＝2．
（2）∵4x﹣2（3x﹣2）＝2（x﹣1），
∴4x﹣6x+4＝2x﹣2．
∴4x﹣6x﹣2x＝﹣2﹣4．
∴﹣4x＝﹣6．
∴x＝．
（3）去分母，可得：12﹣2（2x+1）＝3（1+x），
去括号，可得：12﹣4x﹣2＝3+3x，
移项，可得：﹣4x﹣3x＝3﹣12+2，
合并同类项，可得：﹣7x＝﹣7，
系数化为1，可得：x＝1．
（4）∵，
∴6x﹣3（3x+2）＝18﹣2（5x﹣2）．
∴6x﹣9x﹣6＝18﹣10x+4．
∴6x﹣9x+10x＝18+4+6．
∴7x＝28．
∴x＝4．
（5），
方程两边同乘3，得x﹣4＝9﹣2（x﹣4）．
去括号，得x﹣4＝9﹣2x+8．
移项，得x+2x＝9+8+4．
合并同类项，得3x＝21．
x的系数化为1，得x＝7．
∴这个方程的解为x＝7．
（6）
去分母，得3（2x﹣1）＝x﹣2，
去括号，得6x﹣3＝x﹣2，
移项，得6x﹣x＝3﹣2，
合并同类项，得5x＝1，
系数化成1，得x＝．
（7），
5（2x+1）＝15﹣3（x﹣1），
10x+5＝15﹣3x+3，
10x+3x＝18﹣5，
13x＝13，
x＝1．
（8）∵，
∴30（0.6x+0.5）﹣100（0.03x+0.2）＝2（x﹣9）．
∴18x+15﹣3x﹣20＝2x﹣18．
∴18x﹣3x﹣2x＝﹣18+20﹣15．
∴13x＝﹣13．
∴x＝﹣1．
28．对于方程＝1，某同学解法如下：
解：方程两边同乘6，得2x﹣3（x﹣1）＝1①
去括号，得2x﹣3x﹣3＝1②
合并同类项，得﹣x﹣3＝1③
移项，得﹣x＝4④
∴x＝﹣4⑤
（1）上述解答过程从第 　 　步开始出现错误．
（2）请写出正确的解答过程．
【分析】（1）观察解题过程，找出出错的步骤即可；
（2）写出正确的解答过程即可．
【解答】解：（1）上述解答过程从第①步开始出现错误；
（2）正确解答过程为：
方程两边同乘6，得2x﹣3（x﹣1）＝6，
去括号，得2x﹣3x+3＝6，
合并同类项，得﹣x+3＝6，
移项，得﹣x＝3，
∴x＝﹣3．
29．我们知道，，…
因此关于x的方程＝120的解是 　 　；
当于x的方程＝2021的解是 　 　（用含n的式子表示）．
【分析】先化简，再合并同类项，最后将x的系数化为，进而解决此题．
【解答】解：∵＝120，
∴（1﹣）x+．
∴＝120．
∴．
∴x＝160．
∵＝2021，
∴．
∴．
∴．
∴x＝．
故答案为：x＝160，x＝．
30．如果两个方程的解相差k，k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k—后移方程”．例如：方程x﹣3＝0是方程x﹣1＝0的“2—后移方程”．
（1）若方程2x+3＝0是方程2x+5＝0的“a—后移方程”，则a＝　 　；
（2）若关于x的方程4x+m+n＝0是关于x的方程4x+n＝0的“2—后移方程”，求代数式m2+|m+1|的值；
（3）当a≠0时，如果方程ax+b＝1是方程ax+c﹣1＝0的“3—后移方程”，求代数式6a+2b﹣2（c+3）的值．
【分析】（1）分别求出两个方程的解即可得到答案；
（2）分别求出两个方程的解，再根据“2—后移方程”的定义求出m的值即可得到答案；
（3）分别求出两个方程的解，再根据“2—后移方程”的定义求出3a+b﹣c＝0，然后把3a+b﹣c＝0整体代入所求代数式求解即可．
【解答】解：（1）∵2x+3＝0，
∴，
∵2x+5＝0，
∴，
∵，
∴方程2x+3＝0是方程2x+5＝0的“1—后移方程”，
∴a＝1，
故答案为：1；
（2）∵4x+m+n＝0，
∴，
∵4x+n＝0，
∴，
∵关于x的方程4x+m+n＝0是关于x的方程4x+n＝0的“2—后移方程”，
∴，
∴m＝﹣8，
∴m2+|m+1|
＝（﹣8）2+|﹣8+1|
＝64+7
＝71；
（3）∵ax+b＝1，
∴，
∵ax+c﹣1＝0，
∴，
∵方程ax+b＝1是方程ax+c﹣1＝0的“3—后移方程”，
∴，
∴1﹣b﹣1+c＝3a，
∴3a+b﹣c＝0，
∴6a+2b﹣2（c+3）
＝6a+2b﹣2c﹣6
＝2（3a+b﹣c）﹣6
＝﹣6．
考点五 解含绝对值的一元一次方程
【知识点睛】
v
【类题训练】
31．方程|2x+1|＝5的解是（　　）
A．2 B．﹣3 C．±2 D．2或﹣3
【分析】绝对值等于5的数有±5，根据题意列出方程2x+1＝5或2x+1＝﹣5，然后解出答案．
【解答】解：根据题意，原方程可化为：2x+1＝5或2x+1＝﹣5，
解得x＝2或x＝﹣3，
故选：D．
32．如果|2x+3|＝|1﹣x|，那么x的值为（　　）
A．﹣ B．﹣或1 C．﹣或﹣2 D．﹣或﹣4
【分析】根据绝对值的意义得到2x+3＝1﹣x或2x+3＝﹣（1﹣x），然后解两个一次方程即可．
【解答】解：∵|2x+3|＝|1﹣x|，
∴2x+3＝1﹣x或2x+3＝﹣（1﹣x），
∴x＝﹣或x＝﹣4．
故选：D．

33．若|2x﹣3|﹣3+2x＝0，则代数式2x﹣5的绝对值等于（　　）
A．2x﹣5 B．5﹣2x C．﹣2 D．﹣5
【分析】根据已知得出|2x﹣3|＝3﹣2x，求出2x﹣3≤0，求出x的范围，根据x的范围确定2x﹣5＜0，根据负数的绝对值等于它的相反数求出即可．
【解答】解：∵|2x﹣3|﹣3+2x＝0，
∴|2x﹣3|＝3﹣2x，
即一个数的绝对值等于它的相反数，
∴2x﹣3≤0，
即x≤，
∴2x﹣5≤3﹣5＝﹣2＜0，
∴|2x﹣5|＝﹣（2x﹣5）＝5﹣2x．
故选：B．
34．先阅读下列解题过程，然后解答问题．
解方程：|x﹣5|＝2．
解：当x﹣5≥0时，原方程可化为x﹣5＝2，解得x＝7；
当x﹣5＜0时，原方程可化为x﹣5＝﹣2，解得x＝3．
所以原方程的解是x＝7或x＝3．
（1）解方程：|2x+1|＝7．
（2）已知关于x的方程|x+3|＝m﹣1．
①若方程无解，则m的取值范围是 　 　；
②若方程只有一个解，则m的值为 　 　；
③若方程有两个解，则m的取值范围是 　 　．
【分析】（1）类比题干的解题过程，根据绝对值的定义，解决问题（1）．
（2）根据绝对值的非负性，任意a，|a|≥0．进而解决问题（2）．
【解答】解：（1）当2x+1≥0时，原方程可化为2x+1＝7，解得x＝3；
当2x+1＜0时，原方程可化为2x+1＝﹣7，解得x＝﹣4．
∴原方程的解是x＝3或x＝﹣4．
（2）①∵任意a，|a|≥0，
∴若关于x的方程|x+3|＝m﹣1无解，则m﹣1＜0．
∴m＜1．
②若关于x的方程|x+3|＝m﹣1只有一个解，则m﹣1＝0．
∴m＝1．
③若关于x的方程|x+3|＝m﹣1有两个解，则m﹣1＞0．
∴m＞1．
故答案为：①m＜1；②1；③m＞1．
35．某班数学兴趣小组探索绝对值方程的解法．
例如解绝对值方程：|2x|＝1．
解：分类讨论：当x≥0时，原方程可化为2x＝1，它的解是x＝．
当x＜0时，原方程可化为﹣2x＝1，它的标是x＝﹣．
∴原方程的解为x＝或x＝﹣．
（1）依例题的解法，方程|x|＝3的解是 　 　．
（2）在尝试解绝对值方程|x﹣2|＝3时，小明提出想法可以继续依例题的方法用分类讨论的思想把绝对值方程转化为不含绝对值方程，试按小明的思路完成解方程过程；
（3）在尝试解绝对值方程|x﹣3|＝5时，小丽提出想法，也可以利用数形结合的思想解绝对值方程，在前面的学习中我们知道，|a﹣b|表示数a，b在数轴上对应的两点A、B之间的距离，则|x﹣3|＝5表示数x与3在数轴上对应的两点之间的距离为5个单位长度，结合数轴可得方程的解是 　 　；
（4）在理解上述解法的基础上，自选方法解关于x的方程|x﹣2|+|x﹣1|＝m（m＞0）；（如果用数形结合的思想，简要画出数轴，并加以必要说明）．
【分析】（1）根据题所给的例子，求解方程即可；
（2）根据（1）的解法，利用整体思想解方程即可；
（3）根据绝对值的几何意义可得数轴上与3的点距离是5的点分别是8或﹣2，即可求解方程；
（4）分类讨论求解方程即可．
【解答】解：（1）当x≥0时，原方程可化为x＝3，它的解是x＝6，
当x＜0时，原方程可化为﹣x＝3，它的解是x＝﹣6，
∴原方程的解为x＝6或x＝﹣6，
故答案为：x＝6或x＝﹣6；
（2）当x≥2时，原方程可化为x﹣2＝3，它的解是x＝5，
当x＜2时，原方程可化为﹣x+2＝3，它的解是x＝﹣1，
∴原方程的解为x＝5或x＝﹣1，
故答案为：x＝5或x＝﹣1；
（3）数轴上与3的点距离是5的点分别是8或﹣2，
∴方程的解是x＝8或x＝﹣2，
故答案为：x＝8或x＝﹣2；
（4）当x≥2时，x﹣2+x﹣1＝m，解得x＝；
当1＜x＜2时，2﹣x+x﹣1＝m，可得m＝1；
当x≤1时，2﹣x+1﹣x＝m，解得x＝；
∴当m＝1时，方程有无数解；当0＜m＜1时，方程无解；当m＞1时，x＝或x＝．
考点六 一元一次方程的同解问题
【知识点睛】
v 一元一次方程的同解问题通常会含有另一个参数字母
v 此类问题分两类：
1) 给出的两个一元一次方程中，一个方程完全确定，另一个方程含参数；
解决办法：①求出完全确定的方程的解
②将解出的方程的解代入到含参数的方程，解出参数字母的值；
2) 给出的两个一元一次方程都含有参数字母；
解决办法：①分别求出两个方程的解，用含参数字母的表达式表示
②让两个方程的解的表达式相等，解出参数字母的值；
【类题训练】
36．关于x的方程kx＝2x+6与2x﹣1＝3的解相同，则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】求出第二个方程的解，代入第一个方程计算即可求出k的值．
【解答】解：方程2x﹣1＝3，
解得：x＝2，
把x＝2代入kx＝2x+6得：2k＝10，
解得：k＝5，
故选：C．
37．已知方程4x+2m＝3x+1和方程3x+2m＝6x+1的解相同．
（1）求m的值；
（2）求代数式（﹣2m）2020﹣（m﹣）2021的值．
【分析】（1）分别解出两个方程的解，根据解相同列出方程，解方程即可；
（2）代入求值即可．
【解答】解：（1）由4x+2m＝3x+1解得：x＝1﹣2m，
由3x+2m＝6x+1解得：x＝，
由题知：1﹣2m＝，
解得：m＝；

（2）当m＝时，
（﹣2m）2020﹣（m﹣）2021
＝（﹣2×）2020﹣（﹣）2021
＝1+1
＝2．
38．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2x﹣＝x+1．
（1）小明猜想“”部分是2．请你算一算x的值；
（2）小明翻看了书后的答案，发现此方程的解与方程1﹣＝的解相同，请你算一算被污染的常数应是多少？
【分析】（1）把2代入方程，解方程即可；
（2）先解出方程的解，根据同解方程的定义，代入原方程即可求出被污染的常数．
【解答】解：（1）∵2x﹣2＝x+1，
∴2x﹣x＝1+2，
∴x＝3，
∴x＝2；
（2）∵1﹣＝，
∴10﹣2（2x+1）＝x+3，
∴10﹣4x﹣2＝x+3，
∴﹣4x﹣x＝3﹣10+2，
∴﹣5x＝﹣5，
∴x＝1，
设污染的常数为a，
把x＝1代入方程得：2﹣a＝+1，
解得：a＝，
答：污染的常数应是．