【重难点讲义】浙教版数学八年级上册-第17讲 《函数基本概念及其图形的简单应用》考点分类复习

第17讲  《函数基本概念及其图形的简单应用》考点分类复习

考点一  常量与变量

【知识点睛】

        常量：在一过程中，固定不变的量叫常量。

常见的常量：

①常常是表达式中的数字部分（包含前面的正负号、π也是数字）；

②说明了是常数的字母；

        变量：在一过程中，可以去不同数值的量叫变量。

在一关系式中，常量和变量的个数没有要求，可以是1个，也可以是2个。

常量和变量在某一过程中是相对存在的

【类题训练】

1．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与半径之比）为π．则这个问题的变量是（　　）

A．π B．r C．C D．r，C

【分析】根据函数的定义：函数中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应来解答．

【解答】解：自变量是圆的半径r，因变量是圆的周长C，

故选：D．

2．球的体积是V，球的半径为R，则V＝πR3，其中变量和常量分别是（　　）

A．变量是V，R；常量是，π B．变量是R，π；常量是 

C．变量是V，R，π；常量是 D．变量是V，R3；常量是π

【分析】根据常量和变量的概念解答即可．

【解答】解：球的体积是V，球的半径为R，则V＝πR3，

其中变量是V，R；常量是，π

故选：A．

3．把15本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本，则下列判断错误的是（　　）

A．15是常量 B．15是变量 C．x是变量 D．y是变量

【分析】一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，据此判断即可．

【解答】解：把15本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本．则x和y分别是变量，15是常量．

故选：B．

考点二  函数定义

【知识点睛】

        函数：在某一变化过程中，设有两个变量x、y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量，y叫函数值，也叫因变量。

☆：函数中只要求一个x的值，对应一个y的值，但是并没有说一个y的值也只能对应一个x的值，

【类题训练】：

4．变量x，y有如下关系：①x+y＝10；②y＝；③y＝x﹣3；④y2＝8x．其中y是x的函数的是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①

【分析】根据函数的定义判断即可．

【解答】解：①y＝﹣x+10，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，符合题意；

②给一个任意不是0的数x，y都有唯一的值与它对应，符合题意；

③y＝x﹣3，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义，符合题意；

④y＝±，任意给一个正数x，y都有两个值与x对应，不符合函数的定义，不符合题意；

故选：B．

5．下列式子中，y不是x的函数的是（　　）

A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝±

【分析】利用函数定义可得答案．

【解答】解：A、y＝x2，y是x的函数，故此选项不合题意；

B、y＝，y是x的函数，故此选项不合题意；

C、y＝，y是x的函数，故此选项不合题意；

D、y＝±，y不是x的函数，故此选项符合题意；

故选：D．

6．下列各图象中，y不是x的函数有（　　）

A．    B． C．    D．

【分析】根据函数的定义解决此题．

【解答】解：A．选项中的图象，在定义域内，任意x值，总有一个y值与之对应，那么y是x的函数，故A不符合题意．

B．该选项中的图象，在定义域内，任意x值，总有一个y值与之对应，那么y是x的函数，故B不符合题意．

C．该选项中的图象，在定义域内，任意x值，总有一个y值与之对应，那么y是x的函数，故C不符合题意．

D．该选项中的图象，在定义域内，存在x值，存在两个y值与之对应，那么y不是x的函数，故D符合题意．

故选：D．

考点三  函数表示方法

【知识点睛】

函数的表示方法有三种，分别为：解析式法、列表法、图象法

        解析式法：用自变量x与因变量y表示成符合y与x的关系式的等式即为y与x的解析式

解析式法可以准确表示出两个变量之间的确定关系

        列表法：用自变量x与因变量y表示成符合y与x的关系式的等式即为y与x的解析式

列表法能直接确定某些自变量所对应的函数值

        图象法：用自变量x与因变量y表示成符合y与x的关系式的等式即为y与x的解析式

图象法可直观感受函数的变化过程

        画函数图象的一般步骤：（1）列表找点；（2）描点；（3）连线；

        从函数图象读取信息时，需要把握一下三个方面：（1）横、纵轴的意义以及横、纵轴分别表示的量；（2）找出图中的关键点，向横、纵轴作垂线求得该点的坐标；（3）确定函数值随自变量变化而变化的实际意义；

【类题训练】

7．已知甲、乙两地相距40米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（　　）

A．t＝40v B． C． D．

【分析】根据时间＝路程÷速度即可得到答案．

【解答】解：40米＝0.04千米，

t＝，

故选：B．

8．在国内投寄到外地质量为80g以内的普通信函应付邮资如下表：

某同学想寄一封质量为15g的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是（　　）

A．4.80 B．3.60 C．2.40 D．1.20

【分析】当0＜m≤20时，邮资y＝1.20元，据此可得结论．

【解答】解：由题可得，当0＜m≤20时，邮资y＝1.20元，

∴同学想寄一封质量为15g的信函给居住在外地的朋友，他应该付的邮资是1.20元，

故选：D．

9．某商店销售一批玩具时，其收入y（元）与销售数量x（个）之间有如下关系：

则收入y与销售数量x之间的关系式可表示为（　　）

A．y＝8.3x B．y＝8x+0.3 C．y＝8+0.3x D．y＝8.3+x

【分析】本题通过观察表格内的x与y的关系，可知y的值相对x＝1时是成倍增长的，由此可得出方程．

【解答】解：依题意得：y＝（8+0.3）x＝8.3x；

故选：A．

10．已知小明从A地到B地，速度为4千米/小时，A、B两地相距3千米，若用x（小时）表示行走的时间，y（千米）表示余下的路程，则y与x之间的函数表达式是          

【分析】表示出小明x小时所行路程为4xkm后，就可以表示出所剩路程为（3﹣4x）km，再根据实际求出自变量x的取值范围是0≤x≤．

【解答】解：∵小明x小时行驶4xkm，

∴剩余路程为（3﹣4x）km，

又∵0≤4x≤3，

∴0≤x≤，

即y与x之间的函数表达式是y＝3﹣4x（0≤x≤）．

故答案为：y＝3﹣4x（0≤x≤）．

11.如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，点A从点N出发，以2cm/s的速度向左运动，运动到点M时停止运动，则重叠部分（阴影）的面积y（cm2）与时间x（s）之间的函数关系式为 　      　．

【分析】用整式10﹣2x表示出边AM和HM的长，就可表示出此题结果．

【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠CAB＝∠B＝45°，

∴在运动过程中，始终∠MAH＝45°，

即在运动过程中，始终HM＝AM＝（10﹣2x）cm，

∴y＝（10﹣2x）2，

整理得，y＝2x2﹣20x+50，

故答案为：y＝2x2﹣20x+50．

12．“漏壶”是一种古代计时器，如图所示．在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出，壶内壁画有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，不考虑水量变化对压力的影响，下列图象能表示y与x对应关系的是（　　）

A．   B．   C．.   D．

【分析】根据题意，可知y随x的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题．

【解答】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，

∴y随x的增大而减小，符合一次函数图象，

故选：C．

13．为增强居民节水意识，我市自来水公司采用以户为单位分段计费办法收费，即每月用水不超过10吨，每吨收费a元；若超过10吨，则10吨水按每吨a元收费，超过10吨的部分按每吨b元收费，如图是公司为居民绘制的水费y（元）随当月用水量x（吨）变化而变化的图象，则下列结论错误的是（　　）

A．a＝1.5 

B．b＝2 

C．若小明家7月份缴水费30元，则该用户当月用水18.5吨 

D．若小明家3月份用水14吨，则应缴水费23元

【分析】利用（10，15），（20，35）两点求出a，b的值即可．

【解答】解：由图象可知，a＝15÷10＝1.5；

b＝＝2；

缴水费30元，则该用户当月用水为：10+（30﹣15）÷2＝17.5（吨）；

用水14吨，则应缴水费：1.5×10+2×（14﹣10）＝15+8＝23（元）．

故结论错误的是选项C．

故选：C．

14．星期日早晨，小明从家匀速跑到公园，在公园某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，小明离公园的路程y与时间x的关系的大致图象是（　　）

A．   B． C．   D．

【分析】根据在每段中，离公园的距离随时间的变化情况即可进行判断．

【解答】解：图象应分三个阶段，第一阶段：匀速跑步到公园，在这个阶段，离公园的距离随时间的增大而减小；

第二阶段：在公园停留了一段时间，这一阶段离公园的距离为0．故选项A、C、D不合题意；

第三阶段：沿原路匀速步行回家，这一阶段，离公园的距离随时间的增大而增大，故选项B符合题意．

故选：B．

15.某同学早上8点坐车从图书馆出发去山东大学，汽车离开图书馆的距离S（千米）与所用时间t（分）之间的函数关系如图所示．已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述正确的个数是（　　）

①汽车在途中加油用了10分钟

②若OA∥BC，则加油前后的速度相同

③若汽车加油后的速度是1.5千米/分，则a＝30

④该同学8：55到达山东大学

A．4 B．3 C．2 D．1

【分析】根据函数的图象可知，横坐标表示时间，纵坐标表示距离，由于函数图象不是平滑曲线，故应分段考虑．

【解答】解：图中加油时间为25至35分钟，共10分钟，故①结论正确；

若OA∥BC，则加油前后的速度相同，故②结论正确．

由题意：，解得a＝30，故③结论正确．

该同学8：55到达山东大学，故④结论正确．

所以正确的个数是4个．

故选：A．

16．甲、乙二人从学校出发去科技馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同的路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差s（米）与甲出发时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，下列结论：①乙先到达科技馆；②乙的速度是甲的速度的2.5倍；③b＝480；④a＝24．其中正确的结论为             

【分析】根据甲步行720米，需要9分钟，进而得出甲的运动速度，利用图形得出乙的运动时间以及运动距离，进而分别判断得出答案．

【解答】解：由图象得出甲步行720米，需要9分钟，

所以甲的运动速度为：720÷9＝80（米/分），

当第15分钟时，乙运动15﹣9＝6（分钟），

运动距离为：15×80＝1200（米），

∴乙的运动速度为：1200÷6＝200（米/分），

∴200÷80＝2.5，故②正确；

当第19分钟以后两人之间距离越来越近，说明乙已经到达终点，则乙先到达青少年宫，故①正确；

此时乙运动19﹣9＝10（分钟），

运动总距离为：10×200＝2000（米），

∴甲运动时间为：2000÷80＝25（分钟），

故a的值为25，故④错误；

∵甲19分钟运动距离为：19×80＝1520（米），

∴b＝2000﹣1520＝480，故③正确．

故正确的有：①②③．

17．小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，且食堂在小明家和图书馆之间．小明先从家出发去食堂吃早餐，接着去图书馆看报，然后回家，所示图象反映了这个过程中，小明离家的距离y（km）与时间x（min）之间的对应关系．由此给出下列说法：

①小明家与食堂相距0.6km，小明从家去食堂用时8min．

②食堂与图书馆相距0.2km．

③小明从图书馆回家的速度是0.08km/min．

其中正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．

【解答】解；由图象可得，

小明家与食堂相距0.6km，小明从家去食堂用时8min，故①正确；

食堂与图书馆相距0.8﹣0.6＝0.2（km），故②正确；

小明从图书馆回家的速度为0.8÷（68﹣58）＝0.08（km/min），故③正确，

故选：D．

18．观察下列图形及表格：

则周长l与梯形个数n之间的关系式为 　    　．

【分析】观察可得当梯形的个数为1个时，图形周长为5；当梯形的个数为2个时，图形周长为5+（2﹣1）×3；当梯形的个数为3个时，图形周长为5+（3﹣1）×3；即可得出当梯形个数为10个时，图形周长为5+（10﹣1）×3，当梯形个数为n个时，图形周长为5+（n﹣1）×3．

【解答】解：当梯形的个数为1个时，图形周长为5；

当梯形的个数为2个时，图形周长为5+（2﹣1）×3；

当梯形的个数为3个时，图形周长为5+（3﹣1）×3；

…，

当梯形个数为n个时，图形周长为5+（n﹣1）×3＝3n+2．

故答案为：l＝3n+2．

考点四  函数中自变量的取值范围

【知识点睛】

        函数常见形式及其自变量的取值范围

分式型：分母≠0;

根式型：被开方数≠0

零指数幂型：底数≠0

实际问题型：满足实际意义

【类题训练】

18．在函数中，自变量的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．

【解答】解：要使函数意义，则6x﹣2≥0，

解得x，

故选：C．

19．函数自变量x的取值范围是（　　）

A．全体实数 B．x≠0 C．x＜2 D．x≠2

【分析】根据分式的分母不为0解答即可．

【解答】解：由题意得：2﹣x≠0，

解得：x≠2，

故选：D．

20．函数y＝中自变量x的取值范围是 　    　．

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．

【解答】解：由题意得：x﹣2≥0且x﹣1≠0，

解得：x≥2，

故答案为：x≥2．

21．函数y＝+（x﹣2）0的自变量x的取值范围是（　　）

A．x≥﹣1 B．x＞2 C．x＞﹣1且x≠2 D．x≠﹣1且x≠2

【分析】根据二次根式成立的条件，分式成立的条件，零指数幂的概念列不等式组求解．

【解答】解：由题意可得：，

解得：x＞﹣1且x≠2，

故选：C．

考点五  函数中自变量的值与函数值

【知识点睛】

函数关系式确定后，当自变量x的值取确定值时，代入解析式，可求得函数值y的值；

同理，当函数值y的值确定后，代入解析式，也可以求得自变量x的值；

【类题训练】

22．变量x，y的一些对应值如下表：

根据表格中的数据规律，当x＝7时，y的值是（　　）

A．﹣14 B．﹣7 C．7 D．14

【分析】根据表格中变量x、y的变化关系，得出函数关系式，再代入计算即可．

【解答】解：由表格中变量x、y的变化关系可得y＝﹣2x，

当x＝7时，y＝﹣2×7＝﹣14，

故选：A．

23．按如图所示的运算程序，能使输出k的值为3的是（　　）

A．x＝1，y＝0 B．x＝2，y＝1 C．x＝1，y＝3 D．x＝2，y＝3

【分析】根据题意一一计算即可判断．

【解答】解：当x＝1，y＝0时，x＞y，则：k﹣1＝0，

∴k＝1，不符合题意；

当x＝2，y＝1时，x＞y，则：2k﹣1＝1，

∴k＝1，不符合题意；

当x＝1，y＝3时，x＜y，则：k＝3，符合题意；

当x＝2，y＝3时，x＜y，则：2k＝3，

∴k＝1.5，不符合题意．

故选：C．

24．当x＝2时，函数y＝﹣2x+1的值是    

【分析】将x＝2代入函数y＝﹣2x+1，即可求得相应的函数值，本题得以解决．

【解答】解：当x＝2时，y＝﹣2×2+1＝﹣4+1＝﹣3，

即当x＝2时，函数y＝﹣2x+1的值是﹣3，

故答案为：-3

25．根据如图所示的计算程序计算变量y的值，若输入m＝4，n＝3时，则输出y的值是      

【分析】当m＜n时用左边的解析式算；当m≥n时用右边的解析式算．

【解答】解：∵m＝4，n＝3，

∴m＞n，

∴y＝3n﹣2，

当n＝3时，y＝3×3﹣2＝7．

故答案为：7

26．变量x与y之间的关系是y＝2x+1，当y＝5时，自变量x的值是（　　）

A．13 B．5 C．2 D．3.5

【分析】直接把y＝5代入y＝2x+1，解方程即可．

【解答】解：当y＝5时，5＝2x+1，

解得：x＝2，

故选：C．

27．变量x与y之间的关系是y＝﹣x2+1，当自变量x＝2时，因变量y的值是（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

【分析】把自变量x的值代入函数解析式进行计算即可得解．

【解答】解：当x＝2时，y＝﹣×22+1＝﹣2+1＝﹣1，

故选：B．

【练习】

28．如图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家．其中x表示时间，表示小明离他家的距离．小明家、菜地、玉米地在同一条直线上．

（1）小明从家到菜地用了 　  　分钟，菜地离小明家有 　  　千米．

（2）小明给菜地浇水用了 　  　分钟．

（3）从菜地到玉米地用了 　  　分钟，菜地离玉米地有 　  　千米．

（4）小明给玉米地锄草用了 　  　分钟．

（5）玉米地离小明家有 　  　千米，小明从玉米地回家的平均速度是 　   　千米/分．

【分析】观察函数图象得到小明用15分钟从家去菜地，浇水用了10分钟，又去离家2千米的玉米地，锄草用了18分钟，然后用了25分钟回家．

【解答】解：由图象得：

（1）小明从家到菜地用了15分钟，菜地离小明家有1.1千米．

故答案为：15；1.1；

（2）小明给菜地浇水用了25﹣15＝10（分钟）．

故答案为：10；

（3）从菜地到玉米地用了37﹣25＝12（分钟），菜地离玉米地有2﹣1.1＝0.9（千米）．

故答案为：12；0.9；

（4）小明给玉米地锄草用了55﹣37＝18（分钟）．

故答案为：18；

（5）玉米地离小明家有2千米，小明从玉米地回家的平均速度是2÷（80﹣55）＝千米/分．

故答案为：2；．