【重难点讲义】浙教版数学七年级上册-第14讲 一元一次方程应用题解法方法分类总结训练

第14讲  一元一次方程应用题解法方法分类总结训练

【知识点睛】

        一元一次方程应用题解题一般步骤：

        类型一   销售问题

【常用等量关系】

1. 利润=售价-进价
2. 售价=标价×折扣
3. 利润率=
4. 利润=进价×利润率
5. 售价=进价×（1＋利润率）
6. 总利润=单件利润×数量

【类题训练】

1．某店将一新款羽绒服先按进价提高60%进行标价，再打八折出售，结果每件仍可获利56元．设这款羽绒服每件进价为x元，则根据题意可列出方程为（　　）

A．（1+60%）x×80%﹣x＝56        B．60%x×80%＝56 

C．（1+60%）x×（1﹣80%）﹣x＝56    D．60%x×（1﹣80%）＝56

2．为了双十一促销，宁波天一广场某品牌服装按原价第一次降价25%，第二次降价120元，此时该服装的利润率是15%．已知这种服装的进价为800元，那么这种服装的原价是多少？设这种服装的原价为x元，可列方程为（　　）

A．           B． 

C．       D．

3．某服装店分别用100元的价格卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件这两件服装的盈利情况是（　　）

A．盈利 B．亏损 C．不盈不亏 D．无法确定

4．小杰妈妈去银行存款，银行一年定期储蓄的年利率是1.5%，小杰妈妈两年后取出的本利和共61800元，设她存入银行的本金为x元，那么下列方程中，正确的是（　　）

A．x•1.5%×2＝61800 B．x+x•1.5%×2＝61800 

C．x•（1+1.5%）×2＝61800 D．（1+1.5%x）×2＝61800

5．水费阶梯收费方式：每月每户用水量20立方米及其以内的部分按1.5元/立方米收费，超过20立方米的部分按2.5元/立方米收费．如果某户居民在某月所交水费40元，那么这个月共用多少立方米的水？设这个月共用x立方米的水，下列方程正确的是（　　）

A．1.5x＝40   B．1.5×20+2.5（x﹣20）＝40    C．2.5x＝40   D．2.5×20+1.5（x﹣20）＝40

6．某商场为促销对顾客实行优惠，规定：

（1）如一次性购物不超过200元，则不予优惠；

（2）如一次性购物超过200元，但不超过500元的，按标价给予9折优惠；

（3）如一次性购物超过500元的，其中500元按（2）给予优惠，超过500元的部分则给予8折优惠．

某人两次购物，分别付款160元与360元，如果他一次性购买这些商品，则应付（　　）

A．468元 B．498元 C．504元 D．520元

7．某种商品降价10%后的价格恰好比原价的一半多40元，若设该商品原价是x元，则列出的方程是　           　．

8．、某银行一年定期储蓄的年利率是2.25%，小明爸爸取出一年到期的本利和共计10225元．（注：不计利息税）若设小明爸爸存入银行的本金是x元，则根据题意可列方程为 　          　．

        类型二   行程类问题

【常用等量关系】

1.    基本等量关系：速度×时间=路程；  路程÷速度=时间；  路程÷时间=速度；
2.    相遇问题：S甲＋S乙=S总 ；同时出发→时间×速度和=S总；
3.    追及问题：S快-S慢=S相距 ；同时出发→时间×速度差=S相距；
4.    航行问题：V顺水=V船＋V静水； V逆水=V船-V静水 ；V顺风=V机＋V风； V逆风=V机-V风 ；

    此类问题中，船的速度和水流的速度是不变的，两地间的路程也不变，这都可以成为表示数据或者列方程的等量关系；飞机问题分析同上。

        行程类问题，要特别注意所给路程、速度、时间的单位是否统一，不统一时，需先化成统一形式之后再代入计算。

【类题训练】

1．李华和赵亮从相遇20千米的A、B两地同时出发相向而行，李华每小时走3千米，2小时后两人相遇，设赵亮的速度为x千米每小时，列方程得（　　）

A．2x+3＝20 B．2×3+x＝20 C．2（3+x）＝20 D．2（x﹣3）＝20

2．一辆快车和一慢车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，快车的行驶速度是120km/h，慢车的行驶速度是80km/h，快车比慢车早2h经过B地．设A、B两地间的路程是xkm，由题意可得方程（　　）

A．120x﹣80x＝2 B．﹣＝2 C．80x﹣120x＝2 D．﹣＝2

3．2020年12月30日，连云港市图书馆新馆正式开馆．小明同学从家步行去图书馆，他以5km/h的速度行进24min后，爸爸骑自行车以15km/h的速度按原路追赶小明．爸爸从出发到途中与小明会合用了多少时间？设爸爸出发xh后与小明会合，那么所列方程正确的是（　　）

A．5x＝15（x+）    B．5（x+24）＝15x    C．5x＝15（x+24）    D．5（x+）＝15x

4．方方早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x分钟，那么可列出的方程是（　　）

A．250（15﹣x）＝2900﹣80x B．80（15﹣x）+250x＝2900 

C．250（15﹣x）＝2900+80x D．80x+250（15+x）＝2900

5．小明如果以5km/h的速度从家去学校，则迟到2分钟，如果以6km/h的速度从家去学校，则会提前2分钟到校，设小明家到学校距离为xkm，那么可列方程为（　　）

A．﹣2   B．＝ C．﹣2＝+2    D．＝

6．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（　　）

A．240x+150x＝150×12 B．240x﹣150x＝240×12 

C．240x+150x＝240×12 D．240x﹣150x＝150×12

7．《九章算术》是一部与现代数学的主流思想完全吻合的中国数学经典著作，全书分为九章，在第七章“均衡”中有一题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭大雁同时起飞，问经过多少天相逢．利用方程思想解决这一问题时，设经过x天相遇，根据题意列出的方程是（　　）

A．（9﹣7）x＝1 B．（9+7）x＝1 C．（+）x＝1 D．（﹣）x＝1

8．一艘轮船从A港顺流行驶到B港，比它从B港逆流行驶到A港少用3小时，若船在静水中的速度为26千米/时，水流的速度为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是（　　）

A．＝﹣3    B．＝+3   C．＝+3    D．＝﹣3

9．已知某桥全长1000米，现有一列火车匀速从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全通过共用60秒，整列火车完全在桥上的时间是40秒，设火车的长度为x，所列方程正确的是（　　）

A．  B． C．   D．

10．一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了3h．已知水流的速度是3km/h，设船在静水中的平均速度为xkm/h，根据题意列方程（　　）

A．2（3+x）＝3（3﹣x） B．3（3+x）＝2（3﹣x） 

C．2（x+3）＝3（x﹣3） D．3（x+3）＝2（x﹣3）

11．某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需4h，逆水航行需6h，水流速度是2km/h，求两个码头之间的距离，我们可以设两个码头之间的距离为xkm，得到方程（　　）

A． B． C． D．

12．某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1min，整列火车完全在桥上的时间共40s．求火车的速度和长度．

13．一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时，一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行到B港时，发现一救生圈在途中掉落水中，立刻返回，一小时后找到救生圈．问：

（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？

（2）救生圈是何时掉入水中的？

        类型三   工程类问题

【常用等量关系】

1. 工作量=工作效率×工作时间；
2. 工作效率=总工作量÷工作时间
3. 工作时间=总工作量÷工作效率
4. 完成某项工作的各工作量的和=总工作量=1

【类题训练】

1．一项工程，甲单独做需要3天完成，乙单独做需要6天完成，两人合作x天可完成，则根据题意可列方程为（　　）

A．3x+6x＝1 B．x＝1 C．（+）x＝1 D．x＝x+1

2．某项工作甲单独做3天完成，乙单独做5天完成，若甲先干1天，然后甲、乙合作完成此项工作，若设甲、乙合作了x天，所列方程为（　　）

A．    B． C．   D．

3．一项工程甲单独做要12天完成，乙单独做需要8天完成，现由甲先做3天，乙再参加合作，求完成这项工程所用的时间．若设完成此项工程共用x天，则可列的方程是　               　．

4．一项工作，甲独做需18天完成，乙独做需24天完成，如果两人合做8天后，余下的工作再由甲独做x天完成，那么所列方程为　       　．

类型四   分配问题

【常用等量关系】

此类问题紧抓一点：两种分配形式下，总数不变。

【类题训练】

1．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作．书中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，则可列方程为（　　）

A．3x+3（100﹣x）＝100 B．x+3（100﹣x）＝100 

C． D．3x+（100﹣x）＝100

2．我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，问人与车数各是多少？若设有x个人，则可列方程是（　　）

A．3（x+2）＝2x﹣9     B．3（x+2）＝2x+9    C．+2＝     D．﹣2＝

3．将一堆糖果分给幼儿园的小朋友，如果每人2颗，那么就多4颗；如果每人3颗，那么就少6颗．设有糖果x颗，则可得方程为（　　）

A． B．2x+4＝3x﹣6 C． D．

4．某班参加“3.12”植树活动，若每人植2棵树．则余21棵树；若每人植3棵树，则差24棵树，求该班有多少名学生？若设该班有x名学生，则可列方程是（　　）

A．2x+24＝3x+21   B．2x﹣24＝3x﹣21 C．2x﹣21＝3x+24   D．2x+21＝3x﹣24

5．一份数学试卷共25道选择题，每道题都给出了4个答案，其中只有一个正确选项，每道题选对得4分，不选或错选倒扣1分，已知小丽得了90分，设小丽做对了x道题，则下列所列方程正确的是（　　）

A．4x﹣（25﹣x）＝90  B．x+4（25﹣x）＝90 C．4x+（25﹣x）＝90   D．4x﹣（25+x）＝90

6．某寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排3人，就会有100人没床位．问该校有多少学生住宿？如果设该校有x人住宿，那么依题意可以列出的方程（　　）

A．+5＝   B．+5＝ C．﹣5＝   D．﹣5＝

7．一次秋游活动中，有x辆客车共乘坐y位师生．若每辆客车乘60人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘62人，则最后一辆车空了8个座位．给出下列4个方程：①60x+10＝62x﹣8；②60x﹣10＝62x+8；③＝；④．其中正确的是（　　）

A．①③ B．②④ C．①④ D．②③

类型五   配套问题

【一般方法】

①　根据人数的等量关系设未知量，设一个表示一个；

②　列表分别表示出两类物品的总数；

③　写出配套关系中两类物品的数量关系（或倍数关系）；

④　根据分析中的数量关系列出方程求解；

【类题训练】

1．用150张铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底45个，1个盒身与2个盒底配成一套罐头盒，为使制成的盒身与盒底恰好配套，可设用x张铁皮制盒底，则可列方程为                

2．福州某机械厂加工车间有35名工人，平均每名工人每天加工大齿轮5个或小齿轮10个，已知2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能刚好配套？若设加工大齿轮的工人有x名，则可列方程为（　　）

A．3×5x＝2×10（35﹣x） B．2×5x＝3×10（35﹣x） 

C．3×10x＝2×5（35﹣x） D．2×10x＝3×5（35﹣x）

3．某年亚运会组委会组织高校学生去做志愿者，已知去乒乓球赛场的有10人，去羽毛球赛场的有16人，现调10人去支援，使在羽毛球赛场的人数是在乒乓球赛场人数的2倍，设应调往乒乓球赛场x人，则可列方程为（　　）

A．10+x＝2（16+10﹣x） B．2（10+x）＝16+10﹣x 

C．10+10﹣x＝2（16+x） D．2（10+10﹣x）＝16+x

4．某车间有66名工人，每名工人一天能生产甲种零件24个或生产乙种零件15个，而甲种零件3个，乙种零件5个配成一套机件，请合理分配所有工人，使得每天生产的零件刚好配套，则每天可生产

 　   　套．

5．“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（　　）

A．依题意3×120＝x﹣120 

B．依题意20x+3×120＝（20+1）x+120 

C．该象的重量是5040斤 

D．每块条形石的重量是260斤

6．甲烧杯有432毫升酒精，乙烧杯有96毫升酒精，若从甲烧杯倒x毫升酒精到乙烧杯后，此时，甲烧杯中的酒精是乙烧杯中的酒精的2倍，则（　　）

A．432＝2（96+x）   B．432﹣x＝2×96 C．432﹣x＝2（96+x）  D．432+x＝2（96﹣x）

7．长江比黄河长836km，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284km，设长江长度为xkm，则下列方程中正确的是                 

8．小明今年6岁，他的爸爸今年34岁，x年后爸爸的年龄是小明的年龄的3倍，根据题意，列出方程为（　　）

A．3（6+x）＝34    B．3（6+x）＝34+x C．3×6＝34+x    D．6+x＝3（34+x）

9．甲队有工人272人，乙队有工人196人，如果要求乙队的人数是甲队人数的2倍，应从甲队调多少人到乙队，如果设应从甲队调x人到乙队，则可列方程（　　）

A．272﹣x＝2（196+x）  B．2（272+x）＝196﹣x  C．2（272﹣x）＝196+x   D．2×272﹣x＝196+x

10．笼中有鸡兔共25只，且有60只脚，设鸡有x只，则可列方程为（　　）

A．2x+4x＝6    B．2x+2（25﹣x）＝60 C．4x+4（25﹣x）＝60   D．2x+4（25﹣x）＝60

类型六   日历问题

【常用等量关系】

1. 日历问题中，每横行相邻两数之间相差1，每竖列相邻两数之间相差7；
2. 日历上一个竖列上相邻3个数的和最小值为24，最大值为72，且这个和必为3的倍数；
3. 日历上每月的天数是不尽相同的，每月有31天的月份：一、三、五、七、八、十、十二月；每月有30天的月份：四、六、九、十一月；每月有28天的月份：二月（闰年二月29天）；

【类题训练】

1．2022年5月的月历如图所示，用一个方框任意框出4个数a、b、c、d．若2a+d﹣b+c的值为68，则a的值为（　　）

A．13 B．18 C．20 D．22

2．正整数1至300按一定的规律排列如表所示，若将表中三个涂黑的方框同时移动到表中其它的位置，使它们重新框出三个数，那么方框中三个数的和可能是（　　）

A．315 B．416 C．530 D．644

3．如图，在2022年元月份的月历表中，任意框出表中竖列上相邻的四个数，则这四个数的和可能是（　　）

A．42 B．60 C．78 D．86

4．如图，在2022年2月的日历表中用优美的“”形框住五个数，框出1，3，8，10，16五个数，它们的和为38，移动“”的位置又框出五个数，已知这五个数的和是53，则它们中最小两个数的和是（　　）

A．9 B．10 C．11 D．19

5．将连续奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表，若将十字形框上下左右移动，可框出另外五个数，则框出的五个数之和可以是（　　）

A．2020 B．2022 C．2023 D．2025

6．如图是2022年1月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如4，11，18，12，10）．照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为48，则这5个数中的最大数为 　31　．