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初中数学19.2.1 正比例函数优秀综合训练题
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这是一份初中数学19.2.1 正比例函数优秀综合训练题，文件包含1921正比例函数原卷版docx、1921正比例函数解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义
19.2.1 正比例函数
1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数的图象；
2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题．
知识点01：正比例函数的定义
1、正比例函数的定义
一般的，形如 （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.
2、正比例函数的等价形式
（1）、是的正比例函数；
（2）、（为常数且≠0）；
（3）、若与成正比例；
（4）、（为常数且≠0）.
知识点02：正比例函数的图象与性质
正比例函数（是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.当＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小.
知识点03：待定系数法求正比例函数的解析式
由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.
考点一：正比例函数的定义
【典例分析01】（2022春·江苏南通·八年级校考阶段练习）下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】正比例函数的定义：一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数．
【规范解答】解：根据正比例函数的定义，
满足形如（k是常数，）的为：，
故选：C．
【考点评析】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
【变式训练01】（2022秋·上海·八年级统考期末）若点在正比例函数的图像上，那么该函数图像经过第_________象限．
【答案】一，三
【思路点拨】将点代入求出k的值，再根据一次函数的性质判断经过的象限即可．
【规范解答】解：将点代入，得，
∴该函数图像经过第一，三象限，
故答案为：一，三．
【考点评析】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，熟记一次函数的性质是解题的关键．
【变式训练02】（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）在中，若y是x的正比例函数，则k值为______．
【答案】
【思路点拨】根据正比例函数的定义：，得到且即可求出k值．
【规范解答】解：依题意得，
且，
解得，
解得
故答案为：
【考点评析】此题考查正比例函数的定义；熟记定义是解题的关键，主要是定义的理解，比较容易．
【变式训练03】（2020秋·甘肃兰州·八年级校考期中）若是关于的正比例函数，则的值为___________．
【答案】1
【思路点拨】利用正比例函数的定义分析得出a，再代入计算即可求解．
【规范解答】解：∵是关于x的正比例函数，
∴且，
解得：，
∴．
故答案为：1．
【考点评析】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．
考点二：正比例函数的图像
【典例分析02】（2023秋·福建宁德·八年级统考期末）当时，正比例函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路点拨】正比例函数的图像是一条经过原点的直线，且当时，经过一、三象限．
【规范解答】解：正比例函数的图像是一条经过原点的直线，且当时，经过一、三象限，故A正确．
故选：A．
【考点评析】本题主要考查了一次函数特点，解题的关键是熟练掌握正比例函数，当时，经过一、三象限，当时，经过二、四象限．
【变式训练04】（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按下图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则关于与的关系，正确的是（ ）
A．， B．， C． D．
【答案】C
【思路点拨】利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解．
【规范解答】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为mm＜0的两个点A和B，
则，，
∵，
∴，
当取横坐标为正数时，同理可得，
∵，，
∴，
故选：C．
【考点评析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到比例系数的关系．
【变式训练05】（2022秋·福建三明·八年级统考期末）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则实数的值可以是__________．（只需写出一个符合条件的实数）
【答案】（答案不唯一）
【思路点拨】先根据正比例函数的图象经过第二、四象限得出k的取值范围，进而可而得出答案．
【规范解答】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
∴k的值可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
【考点评析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，在正比例函数中，当时，函数图象经过第一、三象限；当时，函数图象经过第二、四象限．
【变式训练06】（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）小明爸妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．步行的路程是缆车所经线路长的倍，妈妈在爸爸出发后分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟米．图中反映了爸爸整个过程中步行的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系．
(1)爸爸行走的总路程是________米，他途中休息了________分钟；
(2)当时，与之间的函数关系式是________；
(3)爸爸休息之后，行走的速度是每分钟________米；当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是________米．
【答案】(1)；
(2)
(3)；
【思路点拨】（1）根据图象获取信息：爸爸到达山顶用时分钟，中途休息了分钟，行程为米；
（2）利用待定系数法解答正比例函数解析式即可；
（3）休息前分钟行走米，休息后分钟行走米，利用路程、时间得出速度即可，先求妈妈到达缆车终点的时间，再计算爸爸行走路程，从而求出爸爸离缆车终点的路程．
【规范解答】（1）根据图象知：爸爸行走的总路程是米，他途中休息了 分钟．
故答案为 ，；
（2）设函数关系式为，图像过
可得：，
解得：，
所以解析式为：，
故答案为；
（3）爸爸休息之后行走的速度是米分钟，
妈妈到达缆车终点的时间：分，
此时爸爸比妈妈迟到分，
妈妈到达终点时，爸爸离缆车终点的路程为：米，
故答案为；．
【考点评析】此题考查一次函数及其图象的应用，从图象中获取相关信息是关键．
考点三：正比例函数的性质
【典例分析03】（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）已知点，都在过第一、三象限的同一条直线上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
【答案】A
【思路点拨】设直线的关系式为，则根据直线过第一、三象限可得，再根据正比例函数的性质解答即可.
【规范解答】因为直线过第一、三象限，可设直线的关系式为，
所以，
所以y的值随x的增大而增大，
因为点，都在这条直线上，，
所以；
故选：A.
【考点评析】本题考查了正比例函数的性质，属于基础题目，熟练掌握正比例函数的性质是关键.
【变式训练07】（2023秋·辽宁阜新·八年级校考期末），是正比例函数图象上的两个点，下列判断中，正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【答案】C
【思路点拨】根据正比例函数的性质，即可求解．
【规范解答】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，，
故A，B，D选项错误，不符合题意；C正确，符合题意．
故选：C
【考点评析】本题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握对于正比例函数，当时， 随 的增大而增大，当时， 随 的增大而减小是解题的关键．
【变式训练08】（2022秋·广西崇左·八年级统考阶段练习）已知是的正比例函数，并且当时．
(1)求正比例函数的表达式；
(2)判断点和点是否在这个函数的图象上．
【答案】(1)
(2)点不在函数的图象上，点在函数的图象上
【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求解析式求出当时的函数值即可得到答案．
【规范解答】（1）解：设正比例函数表达式为
把，代入得，解得，
∴正比例函数的表达式为；
（2）解：把代入，得
把代入，得
∴点不在函数的图象上，点在函数的图象上．
【考点评析】本题主要考查了求正比例函数解析式，正比例函数的性质，熟知正比例函数图象上的点的坐标一定满足正比例函数解析式是解题的关键．
【变式训练09】（2023秋·北京密云·八年级统考期末）对于平面直角坐标系中的点M和图形G，给出如下定义：点N为图形G上任意一点，当点P是线段MN的中点时，称点P是点M和图形G的“中立点”．
(1)已知点，若点P是点A和原点的中立点，则点P的坐标为 ；
(2)已知点．
①连接，求点D和线段的中立点E的横坐标的取值范围；
②点F为第一、三象限角平分线上的一点，在的边上存在点F和的中立点，直接写出点F的横坐标的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【思路点拨】（1）根据“中立点”的定义求解即可；
（2）①连接，取中点，求出的横坐标，连接，取中点，根据中点坐标公式求出的横坐标，即可得出对答案；
②分D为中立点时和C为中立点时，求出两个临界值即可．
【规范解答】（1）∵点，若点P是点A和原点的中立点，
∴，
故答案为：；
（2）① 连接，取中点，如图，
∵，
∴点的横坐标，
连接，取中点，
∵，
∴，
∴；
②第一、三象限角平分线所在直线的解析式为．
当D为中立点时，点F关于点D的中立点为点Q，
∵点Q的纵坐标是3，
∴点的纵坐标是，代入，得
∴，即点的横坐标是．
当C为中立点时，点F关于点C的中立点为点L，
∵点L的横坐标是-2，，
∴，
∴，
∴．
【考点评析】本题考查了新定义，中点坐标公式，正比例函数的性质，数形结合是解答本题的关键．
一、选择题
1．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）若是正比例函数，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【思路点拨】根据求正比例函数的定义求出m的值，即可判断点所在的象限．
【规范解答】解∶∵是正比例函数，
∴且，
∴，
∴即为，
∴在第四象限．
故选：D．
【考点评析】本题考查了正比例函数的定义，各象限内点的特征：第一象限中的点的横坐标大于0，纵坐标大于0；第二象限中的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；第三象限中的点的横坐标小于0，纵坐标）小于0；第四象限中的点的横坐标大于0，纵坐标小于0．根据正比例函数的定义求出m的值是解题的关键．
2．（2022秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）下列函数中y是x的正比例函数的是（ ）
A． B．y=3x C． D．y=x3
【答案】D
【思路点拨】根据正比例函数的定义即可判断．
【规范解答】解：A、，y是x的一次函数，不符合题意；
B、中，y是x的反比例函数，不符合题意；
C、中，y是x的一次函数，不符合题意；
D、y =中，y是x的正比例函数，符合题意；
故选：D．
【考点评析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
3．（2022秋·上海松江·八年级校考阶段练习）关于函数，下列说法错误的是（ ）
A．它是正比例函数 B．图象经过点
C．图象经过一、三象限 D．当时，
【答案】B
【思路点拨】根据正比例函数的图象与系数的关系解答，对于，当时，的图象经过一、三象限；当时，的图象经过二、四象限．
【规范解答】A、它是正比例函数，说法正确，不符合题意；
B、当时，，图象经过，说法错误，符合题意；
C、，图象经过一、三象限，说法正确，不符合题意；
D、当时，，说法正确，不符合题意；
故选：B．
【考点评析】此题考查了正比例函数的性质和定义，熟练掌握正比例函数的定义与性质是解题关键．
4．（2023秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在平面直角坐标系中，放置如图所示的等边，已知，若正比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【思路点拨】过点B作于点C，首先根据点A的坐标可求得，再根据等边三角形的性质及勾股定理，即可求得点B的坐标，再把点B的坐标代入解析式，即可求解．
【规范解答】解：如图：过点B作于点C，
，
，
是等边三角形，
，，
，
点B的坐标为，
把点B的坐标代入解析式，
得，
故选：C．
【考点评析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，待定系数法求正比例函数的解析式，根据等边三角形的性质求解是解决本题的关键．
5．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）若点，在正比例函数的图象上，且时，则m的值可以是（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】D
【思路点拨】一次函数的性质得到，进而即可求解．
【规范解答】解：∵点，在正比例函数的图象上，且时，
∴y随x的增大而减小，
∴，
故选：D．
【考点评析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
6．（2022秋·八年级单元测试）如图，9个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过原点的直线l将九个正方形组成的图形面积分为1：2的两部分，则该直线的解析式为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【思路点拨】分类讨论：当下方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，则，则可确定，然后利用待定系数法求出此时直线的解析式；当上方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，则，则可确定，，然后利用待定系数法求出此时直线的解析式．
【规范解答】直线将九个正方形组成的图形面积分成的两部分，
两部分的面积分别为3和6，
当下方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，
则，
，解得，
，
设直线的解析式为，
把代入得，解得，
此时直线的解析式为；
当上方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，则，
，解得，
，，
设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
此时直线的解析式为，
综上所述，直线的解析式为或．
故选：．
【考点评析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了正方形的性质．
二、填空题(共0分)
7．（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）已知正比例函数的图象经过点，则的值随着的值增大而__（填“增大”、“减小”、或“不变”）．
【答案】减小
【思路点拨】根据正比例函数的性质进行解答即可．
【规范解答】解：函数的图象经过点，
∴
∴
∴y的值随x的值增大而减小，
故答案为：减小．
【考点评析】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，当时，该直线经过第一、三象限，且y的值随x的值增大而增大；当时，该直线经过第二、四象限，且y的值随x的值增大而减小．
8．（2022秋·安徽马鞍山·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，……都在x轴上，点，，……都在直线上，，，，，……都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是__________．
【答案】
【思路点拨】由得到点的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点的坐标，进而得到点的坐标，然后再一次类推得到点的坐标．
【规范解答】解：
点的坐标为，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，
，
同理可得，
故答案为：．
【考点评析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是通过等腰直角三角形的性质依次求出系列点B的坐标找出规律．
9．（2022春·江苏南通·八年级统考期末）如图，已知正方形OABC的顶点B在直线上，点A在第一象限．若正方形OABC的面积是10，则点A的坐标为______．
【答案】(1,3)
【思路点拨】如图作OF⊥OB，交BA的延长线于F，作BM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N．首先证明△BOF是等腰直角三角形，可得AB=AF，求出B、F的坐标即可解决问题；
【规范解答】解：如图作OF⊥OB，交BA的延长线于F，作BM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OBA=45°，
∵∠BOF=90°，
∴△BOF是等腰直角三角形，∠BOM+∠FON=90°，
∴OB=OF，
∵BM⊥x，FN⊥x，
∴∠BMO=∠CNF=90°，
∴∠MBO+∠BOM=90°，
∴∠MBO=∠FON，
∴△BOM≌△OFN，
∴BM=ON，OM=FN，
∵正方形OABC的面积是10，
∴OB=，
∵点B在直线y=-2x上，且在第二象限内，设B(x,-2x)(x<0)，
∴OM=-x，BM=-2x，
∵OM2+MN2=OB2，
∴(-x)2+(-2x)2=()2，
∴x=-2或x=2(不符合题意，舍去)，
∴FN=OM=2，ON=BM=4,
∴B(-2,4)，F(4,2)，
∵BA=AF，
∴A(1,3)，
故答案为：(1,3)．
【考点评析】主要考查了一次函数的应用、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
10．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知和成正比例，且时，，则y与x之间的函数表达式为_________．
【答案】
【思路点拨】根据题意设出函数解析式，把当x=-2时，y=-7代入解析式，便可求出未知数的值，从而求出其解析式．
【规范解答】解：∵和成正比例，
∴设
当x=-2时，y=-7代入解析式得，
解得，
∴
整理得 ，
故答案为：
【考点评析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，注意掌握待定系数法的运用．
11．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，过点作x轴的垂线与正比例函数和的图象分别相交于点B，C，则的面积为________．
【答案】4.
【思路点拨】把点A（2，0）的横坐标分别代入正比例函数y=x和y=3x，求得B、C点的坐标，进一步求得BC的长度，利用三角形的面积求得答案即可．
【规范解答】解：把分别代入和中，可得点B的坐标是，点C的坐标是，所以．因为点，所以，所以．
【考点评析】此题考查两条直线的交点问题，三角形的面积，利用代入的方法求得B、C两点的坐标是解决问题的关键．
12．（2018·安徽淮南·八年级校联考阶段练习）如图，直线y1与y2相交于点C（1，2），y1与x轴交于点D，与y轴交于点（0，1）；y2与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点A．下列说法正确的有_____________．
①y1的解析式为y1=x+2②OA=OB③∠CDB=45°④△AOB≌△BCD．
【答案】②③
【规范解答】分析：观察函数图象，利用待定系数法求出y1的解析式为y=x+1，由此判断①；同样可得y2的解析式为y=-x+3，则可确定A（0，3），所以OA=OB，于是可对②进行判断；由y1可得OE=OD，易得D（-1，0），所以∠EDO=45°，于是可对③进行判断；通过计算BD和AB的长可对④进行判断．
详解：如图，
设y1的解析式为y1=kx+b，
把C（1，2），B（3，0）代入得，解得，
所以y1的解析式为y=x+1，
故①不正确；
同样可得y2的解析式为y=-x+3，
当x=0时，y=-x+3=3，则A（0，3），则OA=OB，所以②正确；
当y=0时，x+1=0，解得x=-1，则D（-1，0），
所以OE=OD，则∠EDO=45°，所以③正确；
因为BD=3+1=4，而AB=3，所以△AOB与△BCD不全等，所以④错误．
故答案为②③．
点睛：本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了全等三角形的判定．
13．（2018秋·江苏扬州·八年级校考期末）甲、乙二人从学校出发去科技馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差s（米）与甲出发时间t（分）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙先到达科技馆；②乙的速度是甲速度的2.5倍；③b=460；④a=25．其中正确的是______（填序号）．
【答案】①②④
【规范解答】试题解析：由图象得出甲步行720米，需要9分钟，
所以甲的运动速度为：720÷9=80（m/分），
当第15分钟时，乙运动15-9=6（分钟），
运动距离为：15×80=1200（m），
∴乙的运动速度为：1200÷6=200（m/分），
∴200÷80=2.5，（故②正确）；
当第19分钟以后两人之间距离越来越近，说明乙已经到达终点，则乙先到达青少年宫，（故①正确）；
此时乙运动19-9=10（分钟），
运动总距离为：10×200=2000（m），
∴甲运动时间为：2000÷80=25（分钟），
故a的值为25，（故④正确）；
∵甲19分钟运动距离为：19×80=1520（m），
∴b=2000-1520=480，（故③错误）．
故正确的有：①②④．
故答案为①②④．
三、解答题(共0分)
14．（2023秋·四川达州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
(1)求点的“倾斜系数”k的值；
(2)①若点的“倾斜系数”，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点的“倾斜系数”，且，求OP的长；
(3)如图，已知点，，，，是四边形形ABCD上任意一点．试说明是否存在使点P的“倾斜系数”k为的点．若存在，请自己写出这样的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3
(2)①或，见解析；②
(3)存在，或或或
【思路点拨】（1）直接由“倾斜系数”定义求解即可；
（2）①由点的“倾斜系数”，由或求解即可；②由或，又因，求出a、b值，即可得点P坐标，从而由勾股定理可求解；
（3）由题意可得当点P与点或点重合，时，，当点P与点或点点重合，时，此时，从而得到，然后分两种情况：当时；当时，即可求解．
【规范解答】（1）解：由题意，得，，
∵，
∴点的“倾斜系数”；
（2）解：①或，
∵点的“倾斜系数”，
当时，则；
当时，则，
∴或；
②∵的“倾斜系数”，
当时，则
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，；
（3）解：存在，
由题意知，当点P与点或点重合，时，，
当点P与点或点点重合，时，此时，
∴，
∴存在使点P的“倾斜系数”k为的点．
当时，，
此时点P在直线上，此时直线分别与边有交点，
当时，；当时，；
∴此时点P的坐标为或；
当时，，
此时点P在直线上，此时直线分别与边有交点，
当时，；当时，；
∴此时点P的坐标为或；
综上所述，点P的坐标为或或或．
【考点评析】本题考查新定义，正方形的性质，正比例函数性质，解题的关键是：（1）（2）问理解新定义，（3）问求出k的取值范围．
15．（2022秋·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期中）已知：如图，直线上有一点，直线上有一点．
(1)求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）．
(2)过点P分别作轴，轴，过点Q分别作轴，如果的面积等于的面积的两倍，请求出k的值．
(3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，或
【思路点拨】（1）将点代入求得，即可求得点的坐标，将代入即可求得的坐标，
（2）根据，，求得面积根据题意列出方程，即可求解；
（3）根据（2）的结论，以及列出方程，即可求解．
【规范解答】（1）解：∵点在直线上
∴，
∴,
∵点在直线
∴
解得，
∴，
（2）∵
∴
∵，，
∴，，
∴，，，，
，
，
∵的面积等于的面积的两倍
∴，
即，
解得，则，
（3）当时，，则，的解析式为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴当时，，
∴，
当时，，
∴;
综上所述，点的坐标为或．
【考点评析】本题考查了正比例函数的性质，坐标与图形，分类讨论是解题的关键．
16．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知正比例函数y＝kx的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8
(1)求正比例函数的解析式．
(2)在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝－x
(2)存在，点P的坐标为：(5，0)或(－5，0)
【思路点拨】（1）先利用三角形面积公式得到A点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式；
（2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标 ．
【规范解答】（1）解：∵点A的横坐标为4，，
∴点A的纵坐标为-4，
∴点A的坐标为(4，－4)，
∵正比例函数y＝kx的图像经过点A，
∴-4＝4k，解得k＝－1，
∴正比例函数的解析式为y＝－x；
（2）存在，
∵A(4，－4)，
∴AH＝4，
∵，
∴OP＝5，
∴点P的坐标为(5，0)或(－5，0)．
【考点评析】本题考查了正比例函数图像的性质、待定系数法求正比例函数的解析式，解题的关键是注意点P的坐标有两个．
17．（2022春·福建龙岩·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx过点B（m，6），过点B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A，C，∠AOB＝30°．动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，动点Q从点B出发．以每秒个单位长度的速度向点C运动．点P，Q同时开始运动，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t秒．
(1)求m与k的值；
(2)设△PQB的面积为S，求S与t的关系式；
(3)若以点P，Q，B为顶点的三角形是等腰三角形，请求出t的值．（温擎提示：在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半）
【答案】(1)，
(2)
(3)或4或
【思路点拨】（1）由含角的直角三角形的性质求解即可；
（2）过点作于点，可得，，则，在求出，则；
（3）分三种情况讨论：①当时，求得；②当时，过点作于点，求得；③当时，过点作于点，求得．
（1）
解：，
，
，，
，，
，，
，即，，
直线过点，，
；
（2）
如图1，过点作于点，
，，则，
，
在中，，
；
（3）
分三种情况：
①当时，，
解得；
②当时，如图2，过点作于点，
，
，
解得；
③当时，如图3，过点作于点，
则，
，
解得；
综上所述，当为等腰三角形时，的值为或4或．
【考点评析】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
18．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知，与成正比例，y2与成正比例，当时，；当时，．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）求当时y的值．
【答案】（1）；（2）
【思路点拨】（1）设y1=kx2，y2=a（x-2），得出y=kx2+a（x-2），把x=1，y=5和x=-1，y=11代入得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）把x=2代入函数解析式，即可得出答案．
【规范解答】解：（1）设，，
则，
把，和，代入得：
即，，
∴y与x之间的函数表达式是，
（2）把代入得：．
【考点评析】本题考查了用待定系数法求出正比例函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．
19．（2022春·甘肃平凉·八年级统考期末）如图，正比例函数经过点，点在第四象限，过点作轴于，且的面积为．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)若点和点都在轴上，当的面积是时，求点的坐标；
(3)若点为轴上一动点，为平面内任意一点，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，所有符合条件的点的坐标为或或或
【思路点拨】（1）根据的面积为求出的值，根据待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设点的坐标为，则，根据的面积是可求出的值，由此即可得出答案；
（3）分①和均为边，②为对角线、为边和③为对角线、为边三种情况，分别利用菱形的性质求解即可得．
（1）
解：轴，且点在第四象限，
，
的面积为，
，即，
解得，
，
将点代入得：，解得，
则正比例函数的解析式为．
（2）
解：设点的坐标为，则，
的面积是，且，
，
解得或，
则点的坐标为或．
（3）
解：，
，
由题意，分以下三种情况：
①如图，当和均为边时，
四边形是菱形，
，
点的横坐标与点的横坐标相同，即为3，纵坐标为或，
即点的坐标为或；
②如图，当为对角线、为边时，设点的坐标为，
四边形是菱形，
，
，即，
解得，
，
点的坐标为，即为；
③如图，当为对角线、为边时，
四边形是菱形，
垂直平分，
点与点关于轴对称，
；
综上，存在这样的点，所有符合条件的点的坐标为或或或．
【考点评析】本题考查了正比例函数、菱形的性质、两点之间的距离公式等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题的关键．
20．（2019春·山东济宁·八年级统考期末）知识再现：
如果，，则线段的中点坐标为；对于两个一次函数和，若两个一次函数图象平行，则且；若两个一次函数图象垂直，则．
提醒：在下面这个相关问题中如果需要，你可以直接利用以上知识．
在平面直角坐标系中，已知点，．
（1）如图1，把直线向右平移使它经过点，如果平移后的直线交轴于点，交x轴于点，请确定直线的解析式．
（2）如图2，连接，求的长．
（3）已知点是直线上一个动点，以为对角线的四边形是平行四边形，当取最小值时，请在图3中画出满足条件的，并直接写出此时点坐标．
【答案】（1）；（2）5；（3）
【思路点拨】（1）用待定系数法可求直线AB的解析式，由平移的性质可设直线A'B'的解析式为：，将点P坐标代入可求直线A′B′的解析式；
（2）由P（6，4），B（6，0），点B'坐标（9，0）可得BP⊥B'B，BP=4，BB'=3，由勾股定理可求B'P的长；
（3）由平行四边形的性质可得，AE=BE，当CE⊥CO时，CE的值最小，即CD的值最小，由中点坐标公式可求点E坐标，可求CE解析式，列出方程组可求点C坐标．
【规范解答】解：（1）设直线的解析式为：，过点两点，有
∴，∴
直线的解析式为： ，
把直线向右平移使它经过点
∴直线的解析式为，且过点
∴，∴
∴直线的解析式为
（2）∵直线交轴于点，交轴于点
∴当时，
当时，
∴点坐标，点坐标
∵，，点坐标
∴轴，，，
∴
（3）如图，设与的交点为，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴要使取最小值，即的值最小，
由垂线段最短可得：当时，的值最小，即的值最小，
∵点，，且
∴点
∵，直线解析式为：
∴设解析式为，且过点
∴
∴
∴解析式为
∴联立直线和的解析式成方程组，得
解得：
∴点
【考点评析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及中点坐标公式、平行四边形的性质、勾股定理，解题的关键是：（1）读懂并理解材料；（2）利用中点坐标公式求出点E的坐标；（3）联立两直线的解析式成方程组，通过解方程组求出点C的坐标．
2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义
19.2.1 正比例函数
1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数的图象；
2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题．
知识点01：正比例函数的定义
1、正比例函数的定义
一般的，形如 （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.
2、正比例函数的等价形式
（1）、是的正比例函数；
（2）、（为常数且≠0）；
（3）、若与成正比例；
（4）、（为常数且≠0）.
知识点02：正比例函数的图象与性质
正比例函数（是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.当＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小.
知识点03：待定系数法求正比例函数的解析式
由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.
考点一：正比例函数的定义
【典例分析01】（2022春·江苏南通·八年级校考阶段练习）下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】正比例函数的定义：一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数．
【规范解答】解：根据正比例函数的定义，
满足形如（k是常数，）的为：，
故选：C．
【考点评析】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
【变式训练01】（2022秋·上海·八年级统考期末）若点在正比例函数的图像上，那么该函数图像经过第_________象限．
【答案】一，三
【思路点拨】将点代入求出k的值，再根据一次函数的性质判断经过的象限即可．
【规范解答】解：将点代入，得，
∴该函数图像经过第一，三象限，
故答案为：一，三．
【考点评析】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，熟记一次函数的性质是解题的关键．
【变式训练02】（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）在中，若y是x的正比例函数，则k值为______．
【答案】
【思路点拨】根据正比例函数的定义：，得到且即可求出k值．
【规范解答】解：依题意得，
且，
解得，
解得
故答案为：
【考点评析】此题考查正比例函数的定义；熟记定义是解题的关键，主要是定义的理解，比较容易．
【变式训练03】（2020秋·甘肃兰州·八年级校考期中）若是关于的正比例函数，则的值为___________．
【答案】1
【思路点拨】利用正比例函数的定义分析得出a，再代入计算即可求解．
【规范解答】解：∵是关于x的正比例函数，
∴且，
解得：，
∴．
故答案为：1．
【考点评析】此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．
考点二：正比例函数的图像
【典例分析02】（2023秋·福建宁德·八年级统考期末）当时，正比例函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路点拨】正比例函数的图像是一条经过原点的直线，且当时，经过一、三象限．
【规范解答】解：正比例函数的图像是一条经过原点的直线，且当时，经过一、三象限，故A正确．
故选：A．
【考点评析】本题主要考查了一次函数特点，解题的关键是熟练掌握正比例函数，当时，经过一、三象限，当时，经过二、四象限．
【变式训练04】（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按下图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则关于与的关系，正确的是（ ）
A．， B．， C． D．
【答案】C
【思路点拨】利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解．
【规范解答】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为mm＜0的两个点A和B，
则，，
∵，
∴，
当取横坐标为正数时，同理可得，
∵，，
∴，
故选：C．
【考点评析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到比例系数的关系．
【变式训练05】（2022秋·福建三明·八年级统考期末）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则实数的值可以是__________．（只需写出一个符合条件的实数）
【答案】（答案不唯一）
【思路点拨】先根据正比例函数的图象经过第二、四象限得出k的取值范围，进而可而得出答案．
【规范解答】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
∴k的值可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
【考点评析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，在正比例函数中，当时，函数图象经过第一、三象限；当时，函数图象经过第二、四象限．
【变式训练06】（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）小明爸妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．步行的路程是缆车所经线路长的倍，妈妈在爸爸出发后分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟米．图中反映了爸爸整个过程中步行的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系．
(1)爸爸行走的总路程是________米，他途中休息了________分钟；
(2)当时，与之间的函数关系式是________；
(3)爸爸休息之后，行走的速度是每分钟________米；当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是________米．
【答案】(1)；
(2)
(3)；
【思路点拨】（1）根据图象获取信息：爸爸到达山顶用时分钟，中途休息了分钟，行程为米；
（2）利用待定系数法解答正比例函数解析式即可；
（3）休息前分钟行走米，休息后分钟行走米，利用路程、时间得出速度即可，先求妈妈到达缆车终点的时间，再计算爸爸行走路程，从而求出爸爸离缆车终点的路程．
【规范解答】（1）根据图象知：爸爸行走的总路程是米，他途中休息了 分钟．
故答案为 ，；
（2）设函数关系式为，图像过
可得：，
解得：，
所以解析式为：，
故答案为；
（3）爸爸休息之后行走的速度是米分钟，
妈妈到达缆车终点的时间：分，
此时爸爸比妈妈迟到分，
妈妈到达终点时，爸爸离缆车终点的路程为：米，
故答案为；．
【考点评析】此题考查一次函数及其图象的应用，从图象中获取相关信息是关键．
考点三：正比例函数的性质
【典例分析03】（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）已知点，都在过第一、三象限的同一条直线上，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
【答案】A
【思路点拨】设直线的关系式为，则根据直线过第一、三象限可得，再根据正比例函数的性质解答即可.
【规范解答】因为直线过第一、三象限，可设直线的关系式为，
所以，
所以y的值随x的增大而增大，
因为点，都在这条直线上，，
所以；
故选：A.
【考点评析】本题考查了正比例函数的性质，属于基础题目，熟练掌握正比例函数的性质是关键.
【变式训练07】（2023秋·辽宁阜新·八年级校考期末），是正比例函数图象上的两个点，下列判断中，正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【答案】C
【思路点拨】根据正比例函数的性质，即可求解．
【规范解答】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，，
故A，B，D选项错误，不符合题意；C正确，符合题意．
故选：C
【考点评析】本题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握对于正比例函数，当时， 随 的增大而增大，当时， 随 的增大而减小是解题的关键．
【变式训练08】（2022秋·广西崇左·八年级统考阶段练习）已知是的正比例函数，并且当时．
(1)求正比例函数的表达式；
(2)判断点和点是否在这个函数的图象上．
【答案】(1)
(2)点不在函数的图象上，点在函数的图象上
【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求解析式求出当时的函数值即可得到答案．
【规范解答】（1）解：设正比例函数表达式为
把，代入得，解得，
∴正比例函数的表达式为；
（2）解：把代入，得
把代入，得
∴点不在函数的图象上，点在函数的图象上．
【考点评析】本题主要考查了求正比例函数解析式，正比例函数的性质，熟知正比例函数图象上的点的坐标一定满足正比例函数解析式是解题的关键．
【变式训练09】（2023秋·北京密云·八年级统考期末）对于平面直角坐标系中的点M和图形G，给出如下定义：点N为图形G上任意一点，当点P是线段MN的中点时，称点P是点M和图形G的“中立点”．
(1)已知点，若点P是点A和原点的中立点，则点P的坐标为 ；
(2)已知点．
①连接，求点D和线段的中立点E的横坐标的取值范围；
②点F为第一、三象限角平分线上的一点，在的边上存在点F和的中立点，直接写出点F的横坐标的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【思路点拨】（1）根据“中立点”的定义求解即可；
（2）①连接，取中点，求出的横坐标，连接，取中点，根据中点坐标公式求出的横坐标，即可得出对答案；
②分D为中立点时和C为中立点时，求出两个临界值即可．
【规范解答】（1）∵点，若点P是点A和原点的中立点，
∴，
故答案为：；
（2）① 连接，取中点，如图，
∵，
∴点的横坐标，
连接，取中点，
∵，
∴，
∴；
②第一、三象限角平分线所在直线的解析式为．
当D为中立点时，点F关于点D的中立点为点Q，
∵点Q的纵坐标是3，
∴点的纵坐标是，代入，得
∴，即点的横坐标是．
当C为中立点时，点F关于点C的中立点为点L，
∵点L的横坐标是-2，，
∴，
∴，
∴．
【考点评析】本题考查了新定义，中点坐标公式，正比例函数的性质，数形结合是解答本题的关键．
一、选择题
1．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）若是正比例函数，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【思路点拨】根据求正比例函数的定义求出m的值，即可判断点所在的象限．
【规范解答】解∶∵是正比例函数，
∴且，
∴，
∴即为，
∴在第四象限．
故选：D．
【考点评析】本题考查了正比例函数的定义，各象限内点的特征：第一象限中的点的横坐标大于0，纵坐标大于0；第二象限中的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；第三象限中的点的横坐标小于0，纵坐标）小于0；第四象限中的点的横坐标大于0，纵坐标小于0．根据正比例函数的定义求出m的值是解题的关键．
2．（2022秋·甘肃酒泉·八年级统考期中）下列函数中y是x的正比例函数的是（ ）
A． B．y=3x C． D．y=x3
【答案】D
【思路点拨】根据正比例函数的定义即可判断．
【规范解答】解：A、，y是x的一次函数，不符合题意；
B、中，y是x的反比例函数，不符合题意；
C、中，y是x的一次函数，不符合题意；
D、y =中，y是x的正比例函数，符合题意；
故选：D．
【考点评析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
3．（2022秋·上海松江·八年级校考阶段练习）关于函数，下列说法错误的是（ ）
A．它是正比例函数 B．图象经过点
C．图象经过一、三象限 D．当时，
【答案】B
【思路点拨】根据正比例函数的图象与系数的关系解答，对于，当时，的图象经过一、三象限；当时，的图象经过二、四象限．
【规范解答】A、它是正比例函数，说法正确，不符合题意；
B、当时，，图象经过，说法错误，符合题意；
C、，图象经过一、三象限，说法正确，不符合题意；
D、当时，，说法正确，不符合题意；
故选：B．
【考点评析】此题考查了正比例函数的性质和定义，熟练掌握正比例函数的定义与性质是解题关键．
4．（2023秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在平面直角坐标系中，放置如图所示的等边，已知，若正比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【思路点拨】过点B作于点C，首先根据点A的坐标可求得，再根据等边三角形的性质及勾股定理，即可求得点B的坐标，再把点B的坐标代入解析式，即可求解．
【规范解答】解：如图：过点B作于点C，
，
，
是等边三角形，
，，
，
点B的坐标为，
把点B的坐标代入解析式，
得，
故选：C．
【考点评析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，待定系数法求正比例函数的解析式，根据等边三角形的性质求解是解决本题的关键．
5．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）若点，在正比例函数的图象上，且时，则m的值可以是（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】D
【思路点拨】一次函数的性质得到，进而即可求解．
【规范解答】解：∵点，在正比例函数的图象上，且时，
∴y随x的增大而减小，
∴，
故选：D．
【考点评析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
6．（2022秋·八年级单元测试）如图，9个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过原点的直线l将九个正方形组成的图形面积分为1：2的两部分，则该直线的解析式为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【思路点拨】分类讨论：当下方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，则，则可确定，然后利用待定系数法求出此时直线的解析式；当上方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，则，则可确定，，然后利用待定系数法求出此时直线的解析式．
【规范解答】直线将九个正方形组成的图形面积分成的两部分，
两部分的面积分别为3和6，
当下方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，
则，
，解得，
，
设直线的解析式为，
把代入得，解得，
此时直线的解析式为；
当上方分得的面积为3时，过点作轴于，如图，则，
，解得，
，，
设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
此时直线的解析式为，
综上所述，直线的解析式为或．
故选：．
【考点评析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了正方形的性质．
二、填空题(共0分)
7．（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）已知正比例函数的图象经过点，则的值随着的值增大而__（填“增大”、“减小”、或“不变”）．
【答案】减小
【思路点拨】根据正比例函数的性质进行解答即可．
【规范解答】解：函数的图象经过点，
∴
∴
∴y的值随x的值增大而减小，
故答案为：减小．
【考点评析】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，当时，该直线经过第一、三象限，且y的值随x的值增大而增大；当时，该直线经过第二、四象限，且y的值随x的值增大而减小．
8．（2022秋·安徽马鞍山·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，……都在x轴上，点，，……都在直线上，，，，，……都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是__________．
【答案】
【思路点拨】由得到点的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点的坐标，进而得到点的坐标，然后再一次类推得到点的坐标．
【规范解答】解：
点的坐标为，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，
，
同理可得，
故答案为：．
【考点评析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是通过等腰直角三角形的性质依次求出系列点B的坐标找出规律．
9．（2022春·江苏南通·八年级统考期末）如图，已知正方形OABC的顶点B在直线上，点A在第一象限．若正方形OABC的面积是10，则点A的坐标为______．
【答案】(1,3)
【思路点拨】如图作OF⊥OB，交BA的延长线于F，作BM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N．首先证明△BOF是等腰直角三角形，可得AB=AF，求出B、F的坐标即可解决问题；
【规范解答】解：如图作OF⊥OB，交BA的延长线于F，作BM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OBA=45°，
∵∠BOF=90°，
∴△BOF是等腰直角三角形，∠BOM+∠FON=90°，
∴OB=OF，
∵BM⊥x，FN⊥x，
∴∠BMO=∠CNF=90°，
∴∠MBO+∠BOM=90°，
∴∠MBO=∠FON，
∴△BOM≌△OFN，
∴BM=ON，OM=FN，
∵正方形OABC的面积是10，
∴OB=，
∵点B在直线y=-2x上，且在第二象限内，设B(x,-2x)(x<0)，
∴OM=-x，BM=-2x，
∵OM2+MN2=OB2，
∴(-x)2+(-2x)2=()2，
∴x=-2或x=2(不符合题意，舍去)，
∴FN=OM=2，ON=BM=4,
∴B(-2,4)，F(4,2)，
∵BA=AF，
∴A(1,3)，
故答案为：(1,3)．
【考点评析】主要考查了一次函数的应用、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
10．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知和成正比例，且时，，则y与x之间的函数表达式为_________．
【答案】
【思路点拨】根据题意设出函数解析式，把当x=-2时，y=-7代入解析式，便可求出未知数的值，从而求出其解析式．
【规范解答】解：∵和成正比例，
∴设
当x=-2时，y=-7代入解析式得，
解得，
∴
整理得 ，
故答案为：
【考点评析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，注意掌握待定系数法的运用．
11．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，过点作x轴的垂线与正比例函数和的图象分别相交于点B，C，则的面积为________．
【答案】4.
【思路点拨】把点A（2，0）的横坐标分别代入正比例函数y=x和y=3x，求得B、C点的坐标，进一步求得BC的长度，利用三角形的面积求得答案即可．
【规范解答】解：把分别代入和中，可得点B的坐标是，点C的坐标是，所以．因为点，所以，所以．
【考点评析】此题考查两条直线的交点问题，三角形的面积，利用代入的方法求得B、C两点的坐标是解决问题的关键．
12．（2018·安徽淮南·八年级校联考阶段练习）如图，直线y1与y2相交于点C（1，2），y1与x轴交于点D，与y轴交于点（0，1）；y2与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点A．下列说法正确的有_____________．
①y1的解析式为y1=x+2②OA=OB③∠CDB=45°④△AOB≌△BCD．
【答案】②③
【规范解答】分析：观察函数图象，利用待定系数法求出y1的解析式为y=x+1，由此判断①；同样可得y2的解析式为y=-x+3，则可确定A（0，3），所以OA=OB，于是可对②进行判断；由y1可得OE=OD，易得D（-1，0），所以∠EDO=45°，于是可对③进行判断；通过计算BD和AB的长可对④进行判断．
详解：如图，
设y1的解析式为y1=kx+b，
把C（1，2），B（3，0）代入得，解得，
所以y1的解析式为y=x+1，
故①不正确；
同样可得y2的解析式为y=-x+3，
当x=0时，y=-x+3=3，则A（0，3），则OA=OB，所以②正确；
当y=0时，x+1=0，解得x=-1，则D（-1，0），
所以OE=OD，则∠EDO=45°，所以③正确；
因为BD=3+1=4，而AB=3，所以△AOB与△BCD不全等，所以④错误．
故答案为②③．
点睛：本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了全等三角形的判定．
13．（2018秋·江苏扬州·八年级校考期末）甲、乙二人从学校出发去科技馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行，他们的路程差s（米）与甲出发时间t（分）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙先到达科技馆；②乙的速度是甲速度的2.5倍；③b=460；④a=25．其中正确的是______（填序号）．
【答案】①②④
【规范解答】试题解析：由图象得出甲步行720米，需要9分钟，
所以甲的运动速度为：720÷9=80（m/分），
当第15分钟时，乙运动15-9=6（分钟），
运动距离为：15×80=1200（m），
∴乙的运动速度为：1200÷6=200（m/分），
∴200÷80=2.5，（故②正确）；
当第19分钟以后两人之间距离越来越近，说明乙已经到达终点，则乙先到达青少年宫，（故①正确）；
此时乙运动19-9=10（分钟），
运动总距离为：10×200=2000（m），
∴甲运动时间为：2000÷80=25（分钟），
故a的值为25，（故④正确）；
∵甲19分钟运动距离为：19×80=1520（m），
∴b=2000-1520=480，（故③错误）．
故正确的有：①②④．
故答案为①②④．
三、解答题(共0分)
14．（2023秋·四川达州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，是第一象限内一点，给出如下定义：和两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
(1)求点的“倾斜系数”k的值；
(2)①若点的“倾斜系数”，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点的“倾斜系数”，且，求OP的长；
(3)如图，已知点，，，，是四边形形ABCD上任意一点．试说明是否存在使点P的“倾斜系数”k为的点．若存在，请自己写出这样的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3
(2)①或，见解析；②
(3)存在，或或或
【思路点拨】（1）直接由“倾斜系数”定义求解即可；
（2）①由点的“倾斜系数”，由或求解即可；②由或，又因，求出a、b值，即可得点P坐标，从而由勾股定理可求解；
（3）由题意可得当点P与点或点重合，时，，当点P与点或点点重合，时，此时，从而得到，然后分两种情况：当时；当时，即可求解．
【规范解答】（1）解：由题意，得，，
∵，
∴点的“倾斜系数”；
（2）解：①或，
∵点的“倾斜系数”，
当时，则；
当时，则，
∴或；
②∵的“倾斜系数”，
当时，则
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，；
（3）解：存在，
由题意知，当点P与点或点重合，时，，
当点P与点或点点重合，时，此时，
∴，
∴存在使点P的“倾斜系数”k为的点．
当时，，
此时点P在直线上，此时直线分别与边有交点，
当时，；当时，；
∴此时点P的坐标为或；
当时，，
此时点P在直线上，此时直线分别与边有交点，
当时，；当时，；
∴此时点P的坐标为或；
综上所述，点P的坐标为或或或．
【考点评析】本题考查新定义，正方形的性质，正比例函数性质，解题的关键是：（1）（2）问理解新定义，（3）问求出k的取值范围．
15．（2022秋·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期中）已知：如图，直线上有一点，直线上有一点．
(1)求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）．
(2)过点P分别作轴，轴，过点Q分别作轴，如果的面积等于的面积的两倍，请求出k的值．
(3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，或
【思路点拨】（1）将点代入求得，即可求得点的坐标，将代入即可求得的坐标，
（2）根据，，求得面积根据题意列出方程，即可求解；
（3）根据（2）的结论，以及列出方程，即可求解．
【规范解答】（1）解：∵点在直线上
∴，
∴,
∵点在直线
∴
解得，
∴，
（2）∵
∴
∵，，
∴，，
∴，，，，
，
，
∵的面积等于的面积的两倍
∴，
即，
解得，则，
（3）当时，，则，的解析式为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴当时，，
∴，
当时，，
∴;
综上所述，点的坐标为或．
【考点评析】本题考查了正比例函数的性质，坐标与图形，分类讨论是解题的关键．
16．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知正比例函数y＝kx的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8
(1)求正比例函数的解析式．
(2)在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y＝－x
(2)存在，点P的坐标为：(5，0)或(－5，0)
【思路点拨】（1）先利用三角形面积公式得到A点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式；
（2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标 ．
【规范解答】（1）解：∵点A的横坐标为4，，
∴点A的纵坐标为-4，
∴点A的坐标为(4，－4)，
∵正比例函数y＝kx的图像经过点A，
∴-4＝4k，解得k＝－1，
∴正比例函数的解析式为y＝－x；
（2）存在，
∵A(4，－4)，
∴AH＝4，
∵，
∴OP＝5，
∴点P的坐标为(5，0)或(－5，0)．
【考点评析】本题考查了正比例函数图像的性质、待定系数法求正比例函数的解析式，解题的关键是注意点P的坐标有两个．
17．（2022春·福建龙岩·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx过点B（m，6），过点B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A，C，∠AOB＝30°．动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，动点Q从点B出发．以每秒个单位长度的速度向点C运动．点P，Q同时开始运动，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t秒．
(1)求m与k的值；
(2)设△PQB的面积为S，求S与t的关系式；
(3)若以点P，Q，B为顶点的三角形是等腰三角形，请求出t的值．（温擎提示：在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半）
【答案】(1)，
(2)
(3)或4或
【思路点拨】（1）由含角的直角三角形的性质求解即可；
（2）过点作于点，可得，，则，在求出，则；
（3）分三种情况讨论：①当时，求得；②当时，过点作于点，求得；③当时，过点作于点，求得．
（1）
解：，
，
，，
，，
，，
，即，，
直线过点，，
；
（2）
如图1，过点作于点，
，，则，
，
在中，，
；
（3）
分三种情况：
①当时，，
解得；
②当时，如图2，过点作于点，
，
，
解得；
③当时，如图3，过点作于点，
则，
，
解得；
综上所述，当为等腰三角形时，的值为或4或．
【考点评析】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
18．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知，与成正比例，y2与成正比例，当时，；当时，．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）求当时y的值．
【答案】（1）；（2）
【思路点拨】（1）设y1=kx2，y2=a（x-2），得出y=kx2+a（x-2），把x=1，y=5和x=-1，y=11代入得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）把x=2代入函数解析式，即可得出答案．
【规范解答】解：（1）设，，
则，
把，和，代入得：
即，，
∴y与x之间的函数表达式是，
（2）把代入得：．
【考点评析】本题考查了用待定系数法求出正比例函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．
19．（2022春·甘肃平凉·八年级统考期末）如图，正比例函数经过点，点在第四象限，过点作轴于，且的面积为．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)若点和点都在轴上，当的面积是时，求点的坐标；
(3)若点为轴上一动点，为平面内任意一点，是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，所有符合条件的点的坐标为或或或
【思路点拨】（1）根据的面积为求出的值，根据待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设点的坐标为，则，根据的面积是可求出的值，由此即可得出答案；
（3）分①和均为边，②为对角线、为边和③为对角线、为边三种情况，分别利用菱形的性质求解即可得．
（1）
解：轴，且点在第四象限，
，
的面积为，
，即，
解得，
，
将点代入得：，解得，
则正比例函数的解析式为．
（2）
解：设点的坐标为，则，
的面积是，且，
，
解得或，
则点的坐标为或．
（3）
解：，
，
由题意，分以下三种情况：
①如图，当和均为边时，
四边形是菱形，
，
点的横坐标与点的横坐标相同，即为3，纵坐标为或，
即点的坐标为或；
②如图，当为对角线、为边时，设点的坐标为，
四边形是菱形，
，
，即，
解得，
，
点的坐标为，即为；
③如图，当为对角线、为边时，
四边形是菱形，
垂直平分，
点与点关于轴对称，
；
综上，存在这样的点，所有符合条件的点的坐标为或或或．
【考点评析】本题考查了正比例函数、菱形的性质、两点之间的距离公式等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题的关键．
20．（2019春·山东济宁·八年级统考期末）知识再现：
如果，，则线段的中点坐标为；对于两个一次函数和，若两个一次函数图象平行，则且；若两个一次函数图象垂直，则．
提醒：在下面这个相关问题中如果需要，你可以直接利用以上知识．
在平面直角坐标系中，已知点，．
（1）如图1，把直线向右平移使它经过点，如果平移后的直线交轴于点，交x轴于点，请确定直线的解析式．
（2）如图2，连接，求的长．
（3）已知点是直线上一个动点，以为对角线的四边形是平行四边形，当取最小值时，请在图3中画出满足条件的，并直接写出此时点坐标．
【答案】（1）；（2）5；（3）
【思路点拨】（1）用待定系数法可求直线AB的解析式，由平移的性质可设直线A'B'的解析式为：，将点P坐标代入可求直线A′B′的解析式；
（2）由P（6，4），B（6，0），点B'坐标（9，0）可得BP⊥B'B，BP=4，BB'=3，由勾股定理可求B'P的长；
（3）由平行四边形的性质可得，AE=BE，当CE⊥CO时，CE的值最小，即CD的值最小，由中点坐标公式可求点E坐标，可求CE解析式，列出方程组可求点C坐标．
【规范解答】解：（1）设直线的解析式为：，过点两点，有
∴，∴
直线的解析式为： ，
把直线向右平移使它经过点
∴直线的解析式为，且过点
∴，∴
∴直线的解析式为
（2）∵直线交轴于点，交轴于点
∴当时，
当时，
∴点坐标，点坐标
∵，，点坐标
∴轴，，，
∴
（3）如图，设与的交点为，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴要使取最小值，即的值最小，
由垂线段最短可得：当时，的值最小，即的值最小，
∵点，，且
∴点
∵，直线解析式为：
∴设解析式为，且过点
∴
∴
∴解析式为
∴联立直线和的解析式成方程组，得
解得：
∴点
【考点评析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及中点坐标公式、平行四边形的性质、勾股定理，解题的关键是：（1）读懂并理解材料；（2）利用中点坐标公式求出点E的坐标；（3）联立两直线的解析式成方程组，通过解方程组求出点C的坐标．
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