2022-2023学年度湖南省长沙市第一中学高三二模数学试题

长沙市一中2023届模拟试卷（二）

数        学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 已知全集，集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 设函数，将函数图象先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与图象重合，则（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

3. 点P在单位圆上运动，则P点到直线l：（λ为任意实数）的距离的最大值为（    ）

A.  B. 6 C.  D. 5

4. 已知，下列选项中不是方程的根的是（    ）

A 1 B.  C.  D.

5. 已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影向量为（    ）

A. 2 B.  C.  D.

6. 年詹希元创制了“五轮沙漏”，流沙从漏斗形的沙池流到初轮边上的沙斗里，驱动初轮，从而带动各级机械齿轮旋转．最后一级齿轮带动在水平面上旋转的中轮，中轮的轴心上有一根指针，指针则在一个有刻线的仪器圆盘上转动，以此显示时刻，这种显示方法几乎与现代时钟的表面结构完全相同．已知一个沙漏的沙池形状为圆锥形，满沙池的沙漏完正好一小时（假设沙匀速漏下），当沙池中沙的高度漏至一半时，记时时间为（    ）

A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时

7. 等比数列的历史由来已久，我国古代数学文献《孙子算经》、《九章算术》、《算法统宗》中都有相关问题的记载．现在我们不仅可以通过代数计算来研究等比数列，还可以构造出等比数列的图象，从图形的角度更为直观的认识它．以前n项和为，且，的等比数列为例，先画出直线OQ：，并确定x轴上一点，过点作y轴的平行线，交直线OQ于点，则．再过点作平行于x轴，长度等于的线段，……，不断重复上述步骤，可以得到点列，和．下列说法错误的是（    ）

A.  B.

C. 点的坐标为 D.

8. 已知A，B，C，D是体积为的球体表面上四点，若，，，且三棱锥A－BCD的体积为，则线段CD长度的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9. 定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，则（    ）

A. 关于对称 B.

C.  D.

10. 如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular  solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则下列说法正确的是（    ）

A. 该多面体的表面积为

B. 该多面体的体积为

C. 该多面体的平行平面间的距离均为

D. 过A、Q、G三点的平面截该多面体所得的截面面积为

11. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，在箱子打开之前，主持人先打开了3号箱．用表示i号箱有奖品（i＝1，2，3，4），用表示主持人打开j号箱子j＝2，3，4），下列结论正确的是（    ）

A.

B.

C. 要使获奖概率更大，甲应该坚持选择1号箱

D. 要使获奖概率更大，用应该改选2号或者4号箱

12. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ）

A.

B. 点关于x轴的对称点在直线上

C. 直线与直线相交于点D，则A，O，D三点共线

D. 直线与间的距离最小值为4

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13. 已知，则___________．

14. 设P是双曲线右支上一个动点，、为左、右两个焦点，在中，令，，则的值为_________．

15. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，，且，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为______．

16. 已知，函数，，若存在一条直线与曲线和均相切，则使不等式恒成立的最小整数的值是__________．

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 已知在中，，且．

（1）若，求；

（2）若，且，求，．

18. 如图所示的在多面体中，，平面平面，平面平面，点分别是中点.

（1）证明：平面平面；

（2）若，求平面和平面夹角的余弦值.

19. 已知数列的前n项和为，数列的前n项积为，且满足．

（1）求证：为等差数列；

（2）记，求数列的前2023项的和M．

20. 某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y（单位：）与父亲身高x（单位：）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：

（1）根据表中数据，求出关于线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？

（2）记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差.求（1）中儿子身高的残差的和､并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由.

参考数据及公式：

21. 已知椭圆：过点，且有两个顶点所在直线的斜率为，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于点，与轴交于点．

（1）若的面积为，求直线的方程；

（2）设过原点且与直线平行的直线交椭圆于点，求证：为定值．

22. 已知函数.

（1）若函数，讨论的单调性；

（2）从下面①②两个问题中任意选择一个证明，若两个都证明，则按第一个证明计分.

①若函数，，且，证明：.②若函数，证明：.