湖南省长沙市实验中学2023届高三二模数学试题（含解析）

湖南省长沙市实验中学2023届高三二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．己知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知，为虚数单位，若为实数，则a＝（    ）

A．-3 B． C．3 D．

3．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）（    ）

A．寸 B．2寸 C．寸 D．3寸

4．已知单位向量，的夹角为，则向量在方向上的投影向量为（    ）

A． B．

C． D．

5．正割（Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔·威发首先引入，sec，csc这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割，余割．则函数的值域为（    ）

A． B．

C． D．

6．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（    ）个球．

A．12 B．20 C．55 D．110

7．已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，则的最大值为（    ）

A． B． C．2 D．

8．已知，，，则（参考数据：）（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列结论中，正确的有（    ）

A．数据1，2，4，5，6，8，9的第百分之60分位数为5．

B．已知随机变量X服从二项分布，若，则．

C．已知回归直线方程为，且，，则．

D．对变量x与y的统计量来说，值越小，判断“x与y有关系”的把握性越大．

10．如图是函数（，，）的部分图像，则（    ）

A．的最小正周期为

B．是的函数的一条对称轴

C．将函数的图像向右平移个单位后，得到的函数为奇函数

D．若函数（）在上有且仅有两个零点，则

11．过抛物线C：（）的焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，以A，B为切点作抛物线C的两条切线，，设，的交点为M，称△AMB为阿基米德三角形.则关于阿基米德三角形AMB，下列说法正确的有（    ）

A．△AMB是直角三角形

B．顶点M的轨迹是抛物线C的准线

C．MF是△AMB的高线

D．△AMB面积的最小值为

12．已知，若过点恰能作两条直线与曲线相切，其中，则m与n可能满足的关系式为（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

13．已知二项式的展开式中含的项的系数为，则________．

14．函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为___________.

15．2023年2月6日，土耳其发生7.8级地震，我国在第一时间派出救援队进行救援.已知某救援队共有8人，根据救灾安排，该救援队需要安排救援人员到三个地区实施救援，每个地区至少安排2人，每人只去一个地区，则共有_____种安排方案.

16．2022年12月7日为该年第21个节气“大雪”．“大雪”标志着仲冬时节正式开始，该节气的特点是气温显著下降，降水量增多，天气变得更加寒冷．“大雪”节气的民俗活动有打雪仗、赏雪景等．东北某学生小张滚了一个半径为2分米的雪球，准备对它进行切割，制作一个正六棱柱模型，设M为的中点，当削去的雪最少时，平面ACM截该正六棱柱所得的截面面积为______平方分米．

四、解答题

17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c是公差为2的等差数列.

(1)若，求的面积.

(2)是否存在正整数b，使得的外心在的外部?若存在，求b的取值集合；若不存在，请说明理由.

18．已知数列的前n项和为，.

（1）求及数列的通项公式；

（2）若，，求数列的前n项和.

19．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，.

(1)求证：；

(2)若平面平面PBC，且中，AD边上的高为3，求AD的长.

20．首批全国文明典范城市将于2023年评选，每三年评选一次，2021年长沙市入选为全国文明典范城市试点城市，目前我市正全力争创首批全国文明典范城市，某学校号召师生利用周末从事创建志愿活动.高一（1）班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择，每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不影响，求：

(1)在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；

(2)记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．

21．已知双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为（，），（，）．

(1)求k的取值范围；

(2)记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么是定值吗？证明你的结论．

22．已知函数．

(1)讨论的单调性，

(2)若有两个极值点，且．恒成立．

①求a的取值范围；

②证明：

参考答案：

1．A

【分析】列举出集合A，求出集合B，根据集合交集运算法则即可求解.

【详解】,

,

所以.

故选：A.

2．A

【解析】先进行分母实数化，化简，再根据条件得虚部为零，计算即得结果.

【详解】因为为实数，则，即，所以.

故选：A.

3．C

【分析】由题意求得盆中水的上地面半径，代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口面积得答案．

【详解】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为18寸，下底面半径为6寸，高为18寸．

积水深9寸，水面半径为寸，

则盆中水的体积为（立方寸）．

平地降雨量等于（寸．

故选：C．

4．C

【分析】根据向量的数量积公式及投影向量的定义即可求解.

【详解】依题意，因为两个单位向量和的夹角为，

所以，

所以，，

，

故向量在向量上的投影向量为．

故选：C.

5．D

【分析】根据新定义及辅助角公式化简，然后根据三角函数的性质求得答案.

【详解】，其中，

所以，且，

即的值域为.

故选：D.

6．C

【分析】把每一层的球数看成数列的项，即可得一个数列，根据规律即可求解.

【详解】由题意知：

，

，

，

，

所以.

故选：C

7．A

【分析】由题设易知且，，进而求即可得答案.

【详解】由圆O是△ABC的外接圆，且，故，

所以，，

则

，

仅当时等号成立.

故选：A

8．B

【分析】由，考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.

【详解】因为， ，

考虑构造函数，则，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

因为，所以，即，

所以，

所以，即，

又，

所以，故，

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小.

9．BC

【分析】运用百分位数、二项分布期望及期望运算性质、回归直线必过样本中心、独立性检验的意义依次分析每个选项即可.

【详解】对于A项，，所以第百分之60分位数为6，故A项错误；

对于B项，因为，所以，

所以，解得：，故B项正确；

对于C项，回归直线必过样本中心可得：，解得：，故C项正确；

对于D项，由独立性检验可知，值越大，判断“x与y有关系”的把握性越大，故D项错误.

故选：BC.

10．AD

【分析】先根据图像可得，即可判断A；令解出即可判断B，接下来求得 ，即可得到的解析式，根据图象平移判断C；令，解出函数零点，然后根据在上有且仅有两个零点列出不等式解 即可判断D.

【详解】由图像可知， ， ，即，故A正确；

，此时，

又 在图像上， ，解得，

，

，， ，

当是函数的一条对称轴时，此时不符合题意，故B错误；

将的图象向右平移个单位后得到的图象对应的解析式为：

不为奇函数，故C错误；

令 ，解得 ，

当 时， ，不合题意

时， ；时， ；时， ；

又因为函数在上有且仅有两个零点

，解得 ，故D正确.

故选：AD.

11．ABC

【分析】关于阿基米德三角形△AMB的结论，需要逐个选项去判断，由，即可证明A；求出处的切线方程，可以得出的坐标进而可以验证B；设的中点为，利用可以判断C；利用三角形面积公式结合韦达定理可以判断D.

【详解】设，，，，由可得：，，

由导数的几何意义知，直线的斜率为，同理直线的斜率为，

设直线，联立，化为，

得到，．

对于A，，，

所以△AMB是直角三角形，故A正确；

对于B，由导数的几何意义可得处的切线方程为：，

则，化简可得：，

所以直线的方程为：，

同理可得：直线的方程为：，

所以，则，

因为，解得：，

所以，

所以，因为抛物线C：的准线为，

所以顶点M的轨迹是抛物线C的准线，且取的中点，

连接，平行轴，故B正确；

对于C，，，所以

所以MF是△AMB的高线，故C正确；

对于D，因为平行轴，所以

因为，．

所以，

，

代入可得：，

当时，，故D不正确.

故选：ABC.

12．AD

【分析】利用导数的几何意义求出的切线方程，从而得到，进而将问题转化为与的图象有2个交点，利用导数研究的图像，从而结合图像得到的关系式，从而得解.

【详解】设切点坐标为，因为，则，切线斜率为，

所以，曲线在处的切线方程为

将点的坐标代入切线方程可得，

过点恰能作两条直线与曲线相切，

即方程有2个解，即，

与的图象有2个交点，

，

若，令，得或，令，得，

即在上单调递减，在和上单调递增，

若，令，得或，令，得，

即在上单调递减，在和上单调递增，

又，，

故由图可知，当或时，与的图象有2个交点，

此时，或.

故选：AD.

【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用导数的几何意义求出切线方程后，把代入切线方程，将其转化为两个函数的交点问题，求解即可.

13．2

【分析】表示有5个因式相乘，根据的来源分析即可求出答案.

【详解】表示有5个因式相乘，来源如下：

有1个提供，有3个提供，有1个提供常数，

此时系数是，即，解得：

故答案为：.

14．/

【分析】先求出定点，再将点代入直线中，结合基本不等式即可求解.

【详解】解：函数的图像恒过定点

所以

又点在直线上

所以，即

当且仅当时，取等号.

所以的最小值为

故答案为：.

15．2940

【分析】讨论分派人数的情形，利用排列组合知识计算即可.

【详解】人数分配有2，2，4和3，3，2两种情形，所以共有种安排方案.

故答案为：2940

16．

【分析】设正六棱柱的底面边长为a，高为h，表示出球的内接正六棱柱体积,利用导数求体积最大值,求得，，利用图形找到截面，求截面面积.

【详解】设正六棱柱的底面边长为a，高为h．

若要使该正六棱柱的体积最大，正六棱柱应为球的内接正六棱柱中体积最大者，

所以，即，又，

所以该正六棱柱的体积为．

设，，则，令，得．

，解得，，解得，

在上单调递增，在上单调递减，所以，即，时V取得最大值．

过M作，交于点P，交于点Q，则P，Q分别是，的中点，

又，所以，则矩形ACQP即为平面ACM截该正六棱柱所得的截面．

因为，且，

所以矩形ACQP的面积为．

故答案为：

17．(1)

(2)存在，

【分析】（1）由结合正弦定理可得到，结合等差数列可求出a，b，c的值，然后用余弦定理求出，继而求出，即可求得面积；

（2）先假设存在，由题意可得是钝角三角形，而通过可得，再结合两边之和大于第三边即求出，即可求解

【详解】（1），由正弦定理得，

a，b，c是公差为2的等差数列，，，

，，，，

，

，且，，

故的面积为.

（2）假设存在正整数b，使得的外心在的外部，则为钝角三角形，

依题意可知，则C为钝角，则，

所以，解得，

，，

，

存在正整数b，使得的外心在的外部，此时整数b的取值集合为.

18．（1），（2）

【解析】（1）利用临差法将递推关系转化成，同时验证，从而证明数列为等比数列，再利用通项公式求得；

（2）利用对数运算法则得，再用等比数列求和及裂项相消法求和，可求得。

【详解】（1）因为，所以，

因为，

所以，

所以，

整理得，

又因为，，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以

（2），

，

.

【点睛】本题考查等比数列的定义证明、等比数列前项和、裂项相消法求和，考查转化与化归思想、方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意数列下标的限制。

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合等腰三角形的性质进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，根据空间向量数量积的运算性质进行求解即可.

【详解】（1）设线段的中点为，连接，

因为，所以，

又因为，所以，

因为平面，

所以平面，平面，

所以；

（2）过点作垂直直线于，则有，

因为平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面，

所以平面ABCD，

连接，因为，，

所以可得，

而，所以四边形是菱形，而，

所以四边形是正方形，因此建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，

，

设平面的法向量为，

，

同理可得平面的法向量为，

，

因为平面平面PBC，

所以.

20．(1)

(2)

【分析】（1）根据条件概率求解即可；（2）先求出参加人数的分布列及期望，再根据参加人数与得分的关系求出得分的期望即可.

【详解】（1）设事件A为：“至少有一名女生参加活动”，设事件B为：“恰有一名女生参加活动”.

则，.

所以在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率为：；

（2）因为女生参加活动得分为；

男生参加活动得分为.

设恰有名女生参加活动，则有名男生参加活动，

所以，

，

，

所以，

又，

所以.

21．(1)

(2)

【分析】（1）根据直线与圆相切，可得，联立直线与双曲线，根据可得的范围；

（2）根据斜率公式以及韦达定理，将变形化简可得结果.

【详解】（1）与圆相切，，，

由，得，

，

，

故的取值范围为.

（2）由已知可得的坐标分别为，

，

，

又因为，所以，

为定值.

22．(1)答案见解析

(2)①；②证明见解析

【分析】（1）分类讨论的值，利用导数得出单调性；

（2）①根据韦达定理得出，再由的单调性得出a的取值范围；②将题设不等式化为，利用导数得出的最小值，进而由证明不等式.

【详解】（1）令，即．

若，即当时，，在上为增函数．

若，即当时，．

①若，当时，；

当时，；

即在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数．

②若，当时，；

当时，；

则在上为减函数，上为增函数．

（2）①由（1）知有两个极值点，则，由已知得，

则

．

令，则，在内单调递减．

，的取值范围是．

②证明恒成立等价于成立，即成立．

令，则，

令，则，

显然在上，，即在上为增函数．

当时，．

使得，即，

则为减函数，为增函数．

．

．

令，则在上，，在上单调递增．

，即，

，

，则恒成立．

而已求得，即证得恒成立.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.