2022-2023学年度北京市燕山区中考一模数学试卷

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北京市燕山地区2023年初中毕业年级质量监测（一）数学试卷
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列几何体中，是圆锥的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆锥的特征：圆锥是由一个圆形的底面，和一个弯曲的侧面围成的,进行判断即可．
【详解】解：圆锥是由一个圆形的底面，和一个弯曲的侧面围成的，
因此选项D中的几何体符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查认识立体图形，掌握几种常见几何体的形体特征是正确判断的前提．
2. 近年来，我国充电基础设施快速发展，已建成世界上数量最多、分布最广的充电基础设施网络，有效支撑了新能源汽车的快速发展．年，我国充电基础设施累计数量达到万台左右．将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3. 如图，直线，相交于点，，垂足为，若，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据互余求得，然后根据邻补角互补即可求得．
【详解】∵于点O，，
∴，
．
故选C．
【点睛】本题考查了求一个角的余角，邻补角，垂直的定义，数形结合是解题的关键．
4. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴上点的位置得到，，进而推出，由此即可得到答案．
【详解】解：由题意得：，，
∴，
∴四个选项中只有D选项符合题意，
故选D．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，正确判断出，并得到是解题的关键．
5. 一个正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据多边形的外角和定理作答．
【详解】∵多边形外角和=360°，
∴这个正多边形的边数是360°÷45°=8．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形外角和定理：任何一个多边形的外角和都为360°．
6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的值不可能是（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出m的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
∴四个选项中，只有A选项符合题意，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
7. 为了学习宣传党的二十大精神，某校学生宣讲团赴社区宣讲．现从2名男生1名女生中任选2人，则恰好选中1名男生1名女生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中1名男生1名女生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：两名男生用A、B表示，女生用C表示，列表如下：

A
B
C
A

（B，A）
（C，A）
B
（A，B）

（C，B）
C
（A，C）
（B，C）

由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中恰好选中1名男生1名女生的结果数有4种，
∴恰好选中1名男生1名女生的概率为，
故选A．
【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
8. 下面的三个问题中都有两个变量：
①正方形的周长与边长；
②一个三角形的面积为5，其底边上的高与底边长；
③小赵骑行到公司上班，他骑行的平均速度与骑行时间；
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）

A ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出三个问题中变量与变量之间的函数关系式即可得到答案．
【详解】解：①∵正方形的周长为，边长为，
∴，不符合题意；
②∵一个三角形的面积为5，其底边上的高为，底边长为，
∴，即，符合题意；
③小赵骑行到公司上班，他骑行的平均速度为，骑行时间为，
∴，即，符合题意；
综上分析可知，变量 y与变量x之间的函数关系可以用该图象表示的是②③，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的识别，正确列出三个问题中的函数关系式是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】x≥-1
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可．
【详解】由题意可知x+1≥0，
∴x≥-1．
故答案为：x≥-1．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键．

10. 分解因式3a2-3b2=__．
【答案】3(a+b)(a-b)
【解析】
【分析】提公因式3，再运用平方差公式对括号里的因式分解
【详解】解：原式

【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11. 方程的解为_____．
【答案】x＝6
【解析】
【分析】先去分母，方程两边都乘以，再移项合并同类项即可求解，最后验根．
【详解】解：去分母得：2x﹣6＝x，
解得：x＝6，
经检验x＝6是分式方程的解，
故答案为：x＝6
【点睛】本题主要考查解分式方程．解分式方程：先通过方程两边乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解．
12. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先把代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把代入反比例函数解析式求出m的值即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数的函数值，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
13. 如图，点，，，上，，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】先由圆周角定理求出，再根据圆内接四边形对角互补求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，熟知圆周角定理和圆内接四边形对角互补是解题的关键．
14. 如图，在矩形中，点在边上，于点．若，，则的长为__________．

【答案】
【解析】
【分析】先求得，得到，可求得，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，得到是解题的关键．
15. 甲、乙两名射击爱好者5次射击测试成绩（单位：环）的统计图如图所示．记甲、乙两人这5次测试成绩数据的平均数分别为，，方差分别为，，则__________，__________（填“﹥”，“﹤”或“=”）．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据平均数和方差的计算公式分别进行解答即可；
【详解】解：甲的平均数是：；
乙的平均数是：；
∴
甲的方差是：；
乙的方差是：；
，，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了平均数和方差，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
16. 某工厂用甲、乙两种原料制作，，三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下：
工艺品型号
含甲种原料重量
含乙种原料的重量
工艺品的重量
A
3
4
7
B
3
2
5
C
2
3
5
现要用甲、乙两种原料共，制作5个工艺品，且每种型号至少制作1个．
（1）若原料恰好全部用完，则制作型工艺品的个数为__________个；
（2）若使用甲种原料不超过，同时使用乙种原料最多，则制作方案中，，三种型号的工艺品的个数依次为__________．
【答案】 ①. 3 ②. 1，1，3
【解析】
【分析】（1）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为x个，y个，z个，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为a个，b个，c个，根据题意推出，再由使用乙种原料最多，则A、C的个数要尽可能的多，B的个数要尽可能的少，即可得到．
【详解】解：（1）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为x个，y个，z个，
由题意得，，
解得，
∴制作型工艺品的个数为3个，
故答案为：3；
（2）设制作A、B、C三种类型的工艺品分别为a个，b个，c个，
由题意得，，
∴，
∴，
∴

∵使用乙种原料最多，
∴A、B的个数要尽可能的少，B的个数要尽可能的多，
∴，
故答案为：1，1，3．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，不等式和方程相结合的问题，正确理解题意列出对应的方程和不等式是解题的关键．
三、解答题（共68分，第题，每题5分，第21题6分，第22题5分、第题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值的性质、负指数幂、二次根式的运算及特殊三角函数值可直接进行求解．
【详解】原式

．
【点睛】本题主要考查绝对值的性质、负指数幂、二次根式的运算及特殊三角函数值，熟练掌握负指数幂、二次根式的运算及特殊三角函数值是解题的关键．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，进而利用夹逼原则求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
19. 已知，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】先根据已知条件式得到，再根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，再合并同类项得到，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴




．
【点睛】本题主要考查了整式的混合计算和代数式求值，正确求出是解题的关键．
20. 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在中，点，分别是，边的中点．求证：，且．

方法一：
证明：如图，延长到点，使，连接，，．

方法二：
证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．


【答案】证明见解析
【解析】
【分析】方法一：先证明得到，得到，再证明四边形是平行四边形，得到，则，即可证明，且．
方法二：同理可证得到，再证明四边形是平行四边形，得到，进一步证明四边形是平行四边形，得到，即可证明且．
【详解】方法一：证明：如图，延长到点，使，连接，，，
∵E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，且．
方法二：证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．
同理可证，
∴，
∴，
∵G是中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵分别是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴且．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键．
21. 如图，四边形中，对角线与相交于点，，，点在上，且．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明，得到，再根据内错角相等，两直线平行，得到，进而证明四边形是平行四边形，然后根据对角线互相垂直，即可证明四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质，得到，，再利用勾股定理，求得，然后根据正切值，求得，最后利用勾股定理，得到，即可求出的长．
【小问1详解】
证明：在和中，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
是等腰三角形，为中点，
，即，
平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，，
，，，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是解题关键．
22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一次函数平移的性质可得，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可得是不等式的解集的一部分或是其解集，据此求解即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，
∴，
∵一次函数的图象经过，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：由题意得，是不等式的解集的一部分或是其解集，
解不等式得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的应用，求一次函数解析式，一次函数图象的平移，熟知一次函数的相关知识是解题的关键．
23. 在第四个国际数学日（2023年3月14日）到来之际，燕山地区举办了“数学节”，通过数学素养竞赛、数学创意市集、数学名师讲座等活动，展现数学魅力、传播数学文化．为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从甲、乙两校各随机抽取了20名学生成绩（单位：分）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：

a．乙校学生成绩数据的频数分布直方图如下图所示
（数据分为四组：，，，）
b．乙校学生成绩数据在这一组的是：
80 81 81 82 85 86 88 88
c．甲、乙两校学生成绩数据的平均数、中位数、众数如下：
学校
平均数
中位数
众数
甲

79
78
乙


76
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在甲、乙两校抽取的学生中，记成绩高于各自学校平均分的人数分别为，，则__________（填“”，“”或“”），理由是____________________．
（3）若乙校共有160名学生参加了该数学素养竞赛，且成绩不低于80分的学生可获得“学生之星”的称号，估计乙校获得“数学之星”称号的学生有__________人．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义进行求解即可；
（2）根据甲校的中位数低于其平均成绩，乙校的中位线高于其平均成绩进行求解即可；
（3）用乘以样本中成绩不低于80分的学生人数占比即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得，乙校一共有人，
将乙校学生成绩按照从低到高排列，处在第10名和第11名的成绩分别为80，81，
∴乙校学生的中位数；
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵甲校成绩的中位数为79，低于其平均数，而乙校的中位数为，高于其平均成绩，
∴乙校高于平均成绩的人数更多，即；
【小问3详解】
解：人，
∴估计乙校获得“数学之星”称号的学生有人，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求中位数，用平均数和中位数做决策，用样本估计总体，灵活运用所学知识是解题的关键．
24. 如图，为的直径，为上一点，点为的中点，连接，过点作，交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；
（2）延长交的延长线于点，若，，求的半径和的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）的半径为3，
【解析】
【分析】（1）先证明，再由等边对等角证明，进而可证，由，得到，即可证明是的切线；
（2）设的半径为r，则，，在中，由勾股定理求出，即的半径为3；则，再由平行线分线段成比例定理得到，即，则．
【小问1详解】
证明：∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：设的半径为r，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，即的半径为3；
∴，
∵，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
25. 某数学兴趣小组设计了一个弹珠投箱游戏：将无盖正方体箱子放在水平地面上，弹珠从箱外投入箱子，弹珠的飞行轨迹可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系（正方形为箱子正面示意图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行）．某同学将弹珠从点处抛出，弹珠的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系．

下面是弹珠的水平距离与竖直高度的几组数据：
水平距离
0
1
2
3
4
5
6
竖直高度








（1）直接写出弹珠竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
（2）若点的坐标为，，则该同学抛出的弹珠__________投入箱子（填“能”或“不能”）．
【答案】（1），
（2）能
【解析】
【分析】（1）先根据对称性求出抛物线的对称轴为直线，再根据表格中的数据求出弹珠竖直高度的最大值并求出对应的函数关系式即可；
（2）先求出的长，再求出抛物线当时横坐标即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵当和时，y的值相同，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴弹珠竖直高度的最大值为，
∴，
把代入中得：，
解得，
∴
【小问2详解】
解：∵，
∴
由题意得，，
∴，
当时，则，解得，
∵，
∴该同学抛出的弹珠能投入箱子，
故答案为：能．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．
（1）求点的坐标及抛物线的对称轴；
（2）已知点，，在该抛物线上，且，，中有且只有一个小于0，求的取值范围．
【答案】（1）点的坐标为，抛物线的对称轴为直线；
（2），或．
【解析】
【分析】（1）令，可求得点的坐标，利用抛物线的对称轴即可求解；
（2）用a分别表示出，，，再分类讨论，解不等式组，即可求解．
【小问1详解】
解：令，则，
∴点的坐标为，
抛物线的对称轴为直线；
【小问2详解】
解：∵点，，在该抛物线上，
∴，
，
，
∵，，中有且只有一个小于0，
分类讨论，
①，
则，解得，无解；
②，则，
解得，
∴；
③，则，
解得，
∴；
综上，或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解不等式组，掌握二次函数的性质、分类讨论是解题的关键．
27. 如图，中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作于点，过点作，交直线于点．

（1）依题意补全图形；用等式表示线段与的数量关系，并证明；
（2）点为中点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）图见解析；，证明见解析；
（2），证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意画出图形，求出，证明，即可得到；
（2）连接，，，设与交于点H，求出，证明，可得，，，证明是等腰直角三角形，则可得，然后根据线段之间的关系得出结论．
【小问1详解】
解：图见解析；
；
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
【小问2详解】
；
证明：如图，连接，，，设与交于点H，
∵，，点为中点，
∴，，
∵，，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，作出合适的辅助线，证明三角形全等是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系中、的半径为1，为上一点，点．对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”．

（1）如图，已知点，点，点为点的“对应点”．
①在图中画出点；
②求证：．
（2）点在轴正半轴上，且，点为点的“对应点”，连接，当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积（用含的式子表示）
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据题意作图即可；
②如图所示，过点作轴于T，证明，得到，进而求出，进一步求出，利用勾股定理求出的长即可得到结论；
（2）如图1所示，取，连接， 证明，推出，得到在以为圆心，半径为的圆上运动，进一步证明点Q在以为圆心，半径为的圆上运动；如图2所示，连接交于，延长交于，利用勾股定理得到，则，，由此即可得到答案．
【小问1详解】
解：①如图所示，点Q即为所求；
②如图所示，过点作轴于T，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵关于点的对称点为Q，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：如图1所示，取，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在以为圆心，半径为的圆上运动，
∵点与点Q关于点对称，点关于点的对称点为，
∴点Q在以为圆心，半径为的圆上运动，

如图2所示，连接交于，延长交于，
∵，，
∴，
∴，，
∴

．

【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最值问题，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰直角三角形的性质与判定等等，确定点的轨迹进而确定点Q的轨迹是解题的关键．