2022-2023学年度北京市东城区中考一模数学试题

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东城区2022-2023学年度第二学期初三年级统一测试（一）
数学试卷
学校______班级______姓名______教育ID号______
考生须知：
1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟.
2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和教育ID号.
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.
5.考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1. 下列四个几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：A、球的主视图为圆，不符合题意；
B、圆柱的主视图为长方形，不符合题意；
C、圆锥的主视图为三角形，符合题意；
D、正方体的主视图为正方形，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了简单几何体三视图，熟知主视图是从正面看到的图形是解题的关键．
2. 年月日，国家统计局发布的《中华人民共和国年国民经济和社会发展统计公报》中报道：年全年研究与试验发展（）经费支出亿元，比上年增长，将数字用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
3. 下面四个图案均由北京2022年冬奥会比赛项目图标组成，其中可看作轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
4. 若实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则的值可能是（ ）

A. B. C. 0 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数轴上点的位置得到，再根据不等式的性质得到，由此即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴的值可能是，
故选B．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，不等式的性质，正确推出是解题的关键．
5. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ）
A. B. C. 0 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由，配方可得，进而可得的值，然后代入，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，代数式求值．解题的关键在于正确的配方求出的值．
6. 下图是甲、乙两名同学五次数学测试成绩的折线图.比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是（ ）

A. 甲同学平均分高，成绩波动较小 B. 甲同学平均分高，成绩波动较大
C. 乙同学平均分高，成绩波动较小 D. 乙同学平均分高，成绩波动较大
【答案】D
【解析】
【分析】分别计算甲、乙的平均分以及方差，然后比较即可．
【详解】解：，
∴，
，
∵，，
∴乙的平均分较高，成绩波动较大，甲的平均分较低，成绩波动较小；
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平均数、方差．解题的关键在于正确的计算．
7. 如图，，按下列步骤作图：①在边上取一点C，以点O为圆心、长为半径画弧，交于点D，连接；②以点C为圆心、长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据作图步骤得到，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，，然后利用三角形外角性质可计算出的度数．
【详解】解：由作法得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了尺规作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质和尺规作图的基本原理．也考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质．
8. 如图，动点P在线段上（不与点A，B重合），分别以为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y，线段的长为x．当点P从点A移动到点B时，y随x的变化而变化，则表示y与x之间关系的图象大致是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】假设，则，然后根据求出y关于x的函数关系式即可得到答案．
【详解】解：假设，则，
∴


，
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，正确求出y关于x的函数关系式是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若分式的值为0，则实数x的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分母不为0，分子为0是解题的关键．
10. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：
原式，
故答案为：．
11. 如图，已知，用直尺测量中边上的高约为______（结果保留一位小数）．

【答案】
【解析】
【分析】直接用刻度尺进行测量即可得到答案．
【详解】解：经过测量可知中边上的高约为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求三角形的高，正确理解三角形高的定义是解题的关键．
12. 已知点，在一次函数的图象上，则m______n（填“>”“=”或“<”）.
【答案】
【解析】
【分析】先由函数的解析式求得一次函数的增减性，然后即可得到m与n的大小关系．
【详解】解：∵中的系数，
∴一次函数的y随x的增大而增大，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟知由自变量系数确定一次函数的增减性，然后比较m与n的大小．
13. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C是网格线交点，则的外角的度数等于______°．

【答案】135
【解析】
【分析】通过证明可得为等腰直角三角形，即可求解．
【详解】解：如图：

在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴．
故答案为：135．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法以及全等三角形对应角相等，对应边相等．
14. 抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次抛掷的结果都是正面朝上的概率是____．
【答案】
【解析】
【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【详解】共有正反，正正，反正，反反4种可能，
则2次抛掷的结果都是正面朝上的概率为．
故答案为．
15. 如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高，树影，树AB与路灯O的水平距离，则树的高度AB长是______米．

【答案】2
【解析】
【分析】由题意知，得出，根据求出的值．
【详解】解：由题意知
在和中




解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形相似．解题的关键与重点是找出判定三角形相似的条件以及计算三角形的相似比．
16. 一枚质地均匀的骰子放在棋盘上，骰子的六个面上分别刻有到的点数，相对两个面上的点数之和为骰子摆放的初始位置如图所示骰子由初始位置翻滚一次，点数为的面落在号格内；再从号格翻滚一次，点数为的面落在号格内；继续这样翻滚

（1）当骰子翻滚到号格时，朝上一面的点数为______；
（2）依次翻滚次到号格，每次翻滚后骰子朝上一面的点数之和为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题意可知，的对面为，3的对面是，5的对面是，然后根据图示，分别求得落在格子内时的点数与朝上的点数，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意可知，的对面为，3的对面是，5的对面是，
骰子由初始位置翻滚一次，点数为的面落在号格内；则朝上一面的点数为，
再从号格翻滚一次，点数为的面落在号格内；则朝上一面的点数为；
故答案为：2；
（2）再从号格翻滚一次，点数为的面落在号格内；则朝上一面的点数为，
再从号格翻滚一次，点数为的面落在号格内；则朝上一面的点数为，
再从号格翻滚一次，点数为的面落在号格内；则朝上一面的点数为，
再从号格翻滚一次，点数为的面落在号格内；则朝上一面的点数为，
每次翻滚后骰子朝上一面的点数之和为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方体的对面上的字，根据题意找到对应的数字是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17. 计算．
【答案】
【解析】
【分析】先根据算术平方根、特殊角的三角函数值、零次幂、绝对值的意义逐项化简，再合并同类项或同类二次根式即可．
【详解】解：


．
【点睛】本题考查了实数运算，熟练掌握算术平方根、特殊角的三角函数值、零次幂、绝对值的意义是解答本题的关键．
18. 解不等式组
【答案】
【解析】
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】，
由①得：
由②得：，
所以不等式组的解集为．
【点睛】考查了求不等式组的解集，解题关键是熟练掌握求公共部分的方法：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
19. 已知，求代数式的值.
【答案】7
【解析】
【分析】直接利用乘法公式化简，再结合整式的混合运算法则计算，把已知整体代入得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
原式



．
【点睛】本题考查整式的混合运算−化简求值，正确运用乘法公式计算是解题的关键．
20. 下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，点D，E分别是的边的中点．
求证：，且．

方法一
证明：如图，过点C作，交的延长线于点F．

方法二
证明：如图，延长到点F，使得，连接．


【答案】证明见解析
【解析】
【分析】方法一，证明，则，，，，证明四边形是平行四边形，则，，进而结论得证；
方法二，证明，则，，，证明四边形是平行四边形，则，，进而结论得证．
【详解】方法一，证明：∵点D，E分别是的边的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，；
方法二，证明：∵点D，E分别是的边的中点，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，中位线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
21. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于反比例函数的值，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）这个反比例函数的解析式为；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求得直线经过点时的解析式，求得此时直线与y轴的交点，利用数形结合思想即可求解．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴这个反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：当时，，
∴，

∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于反比例函数的值，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数图象与反比例函数的交点问题，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
22. 如图，平行四边形中，平分．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接交于点O，延长到点E，在的内部作射线，使得，过点D作于点F．若，，求的度数及的长．
【答案】（1）证明见解析
（2），
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线的定义证明，得到，即可证明平行四边形是菱形；
（2）由菱形的性质可得，进而得到，；进一步求出，则由角平分线的性质得到，则．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，；
∵，
∴；
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，角平分线的性质和定义，平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解题的关键．
23. 某校开展了“学习二十大”的知识竞赛（百分制），七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了30名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．七年级成绩的频数分布直方图如下
（数据分成五组：，，，，）；

b．七年级成绩在的数据如下（单位：分）：
80 81 85 85 85 85 85 85 85 85 88 89
c．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
80.4
m
n
141.04
八年级
80.4
83
84
86.10
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中______，______；
（2）下列推断合理的是______；
①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小；
②若八年级小明同学的成绩是84分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩．
（3）竞赛成绩80分及以上记为优秀，该校七年级有600名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数．
【答案】（1）83，85
（2）①② （3）340
【解析】
【分析】（1）根据中位数、众数的定义进行求解即可；
（2）根据方差、中位数进行判断即可；
（3）根据，计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，七年级成绩的中位数为第15、16位数的平均数，
∵，，
∴中位数为，
由题意知，85出现8次，次数最多，
∴众数为85，
故答案为：83，85；
【小问2详解】
解：由题意知样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小；推断合理，故①符合要求；
若八年级小明同学的成绩是84分，因为，所以可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩，推断合理，故②符合要求，
故答案为：①②．
【小问3详解】
解：由题意知（名），
∴估计七年级成绩优秀的学生人数为340．
【点睛】本题考查了频率分布直方图，中位数、众数、方差，用样本估计总体．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
24. 如图，是的直径，点C，D在上，点D为的中点，的切线交的延长线于点E，连接．

（1）求证：；
（2）若的半径长为5，，求和的长．
【答案】（1）见解析 （2）；．
【解析】
【分析】（1）由垂径定理和切线的性质得到，即可证明；
（2）由（1）的结论，得到，求得，，在中，由勾股定理求得的长，证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【小问1详解】
证明：∵点D为的中点，
∴，

∵是的切线，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）得，，
∵的半径长为5，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵点D为的中点，
∴；
∵，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
25. 已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分.

（1）建立如图所示平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系.

乒乓球水平距离与竖直高度的几组数据如下表所示.根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式；
水平距离/





竖直高度/






（2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由．
【答案】（1）乒乓球竖直高度的最大值为，
（2）乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据表格数据可知与关于对称轴对称，则，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据（1）的结论，令，求得，代入，求得，进而令，求得，与乒乓球桌的长度比较即可求解．
【小问1详解】
根据表格数据可知与关于对称轴对称，
则当时，，即乒乓球竖直高度的最大值为，
∴，
将点代入得，，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由如下，
由，令，
即，
解得：或（舍去）
依题意，，
将点代入得，
解得：或（舍去）
∴解析式为
当时，，
解得：（舍去）
∵，
∴乒乓球再次落下时仍落在球桌上．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
26. 已知抛物线．
（1）求该抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；
（2）当时，抛物线上有两点，，若时，直接写出k的取值范围；
（3）若，，都在抛物线上，是否存在实数m，使得恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先将抛物线的一般式化为顶点式，得出顶点坐标即可；
（2）根据时，抛物线的开口向上，且对称轴为直线，离对称轴越远函数值越大，据此求解即可；
（3）由可得抛物线开口向下时，才可能存在符合条件的m值存在，根据抛物线的对称轴为直线，离对称轴越远函数值越小进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴该抛物线的顶点坐标为：．
【小问2详解】
解：时，抛物线的开口向上，且对称轴为直线，
∴离对称轴越远函数值越大，
∴要使，则，
∴此时k的取值范围是；
综上分析可知，k的取值范围是．
【小问3详解】
解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，抛物线开口向上，则抛物线此时有最小值，不可能满足；
当时，则离对称轴越远函数值越小，
∵，
∴，即,
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
27. 如图，在中，，，点D在边上，以点A为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接．

（1）求证：平分；
（2）连接交于点F，过点C作，交的延长线于点G．补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明见解析
（2）补全图形见解析，，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质得到，先证明，再利用证明，根据等边对等角证明，即可证明，则平分；
（2）根据题意补全图形即可；如图所示，在上取一点M，使得，连接，由平行线的性质得到，证明，得到，，再证明，得到，即可证明．
【小问1详解】
证明：由旋转的性质可得，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∴平分；
【小问2详解】
解：补全图形如下所示，，理由如下：
如图所示，在上取一点M，使得，连接，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，已知点，将点P向左或向右平移个单位长度，再向下或向上平移个单位长度，得到点，再将点P关于直线对称得到点Q，称点Q为点P的k倍“对应点”．特别地，当M与重合时，点Q为点P关于点M的中心对称点．

（1）已知点，．
①若点M的坐标为，画出点，并直接写出点P的2倍“对应点”Q的坐标；
②若，直线上存在点P的2倍“对应点”，直接写出b的取值范围；
（2）半径为3的上有不重合的两点M，P，若半径为1的上存在点P的k倍“对应点”，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）①画图见解析，；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据点坐标平移的特点结合题目所给定义求出点的坐标，再在坐标系中画出，再根据对称求出点Q的坐标即可；②如图2-1所示，假设M在第一象限，过点M作轴于T，分别过点P作轴，轴，交于H，连接，连接交于A，证明，得到；再证明，得到；如图2-2所示，当，时，则，由对称性可知，则点Q在以为圆心，半径为2的圆上运动，则当直线与有交点时，则直线上一定存在点P的2倍“对应点”，据此求解即可；
（2）由（1）可得点Q在以A为圆心，的长为半径的圆上 运动，且，则要使半径为1的存在点P的k倍“对应点”，则半径为1的一定于有交点，如图3-1所示，当半径为1的与外切时，如图3-2所示，当半径为1的与内切时，求出两种情况下k的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：①∵，
∴点向下平移2个单位长度得到点，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，即，
∴，
∴，
∴，
∵点P关于直线对称得到点Q，
∴，
∴，
∴；

②如图2-1所示，假设M在第一象限，过点M作轴于T，分别过点P作轴，轴，交于H，连接，连接交于A，
由平移的特点可知，，
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；

如图2-2所示，当，时，则，
∴，
由对称性可知，
∴点Q在以为圆心，半径为2的圆上运动，
∴当直线与有交点时，则直线上一定存在点P的2倍“对应点”，
如图2-2所示，当且直线与相切于点G时，设此时直线与x轴交于K，
∴，
又∵（可以同求求出），
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
同理可求出当且直线与相切时，；
综上所述，当时直线上一定存在点P的2倍“对应点”；
【小问2详解】
解：如图3-1所示，连接交于A，
由（1）可得点Q在以A为圆心，的长为半径的圆上 运动，且，
∵要使半径为1的存在点P的k倍“对应点”，
∴半径为1的一定与有交点，
如图3-1所示，当半径为1的与外切时，
则，
∴，
∴；

如图3-2所示，当半径为1的与内切时，可得，
∴；
综上所述，当时，半径为1的上存在点P的k倍“对应点”．

【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，切线的性质，圆与圆的位置关系，坐标与图形变化——平移等等，正确理解题意得到点Q在以点A为圆心，为半径的圆上运动是解题的关键．