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2022-2023学年北京市东城区中考数学突破突破破仿真模拟卷（一模二模）含解析
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这是一份2022-2023学年北京市东城区中考数学突破突破破仿真模拟卷（一模二模）含解析，共62页。试卷主要包含了解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市东城区中考数学突破突破破仿真模拟卷
（一模）
一、选一选（本题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列运算结果为正数的是（ ）
A. （﹣3）2 B. ﹣3÷2 C. 0×（﹣2017） D. 2﹣3
2. 计算（2a3）2的结果是（ ）
A. 4a5 B. 4a5 C. 4a6 D. 4a6
3. 如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=65°，则∠2的度数为( )
A. B. C. D.
4. “只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”．在今年的慈善一日捐中，长沙市某中学八年级班50名学生自发组织献爱心捐款，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是（ ）
A. 20，30 B. 30，20 C. 20，20 D. 30，30
5. 某服装进货价80元/件，标价为200元/件，商店将此服装打x折后仍获利50%，则x为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
6. 甲、乙、丙三人参加数学、物理、英语三项竞赛，每人限报一项，每项限报一人，则甲报英语、乙报数学、丙报物理的概率是( )
A. B. C. D.
7. 如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1800°，那么该多边形的一个外角是（ ）
A. 30° B. 36° C. 60° D. 72°
8. 若关于x的一元没有等式组的解集是x＜5，则m的取值范围是（ ）
A. m≥5 B. m＞5 C. m≤5 D. m＜5
9. 如图，是一个几何体三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（ ）
A. π B. 2π C. 4π D. 5π
10. 如图，⊙O是△ABC的外接圈，AD为⊙O的直径，若AD=10，AC=8，则co等于（ ）
A. B. C. D.
11. 观察下列关于自然数的式子：
4×1212 ①
4×2232 ②
4×3252 ③
…
根据上述规律，则第2018个式子的值是（ ）
A. 8068 B. 8069 C. 8070 D. 8071
12. 如图，将三角形纸片ABC沿折叠，使点落在边上点处，且DE∥，下列结论中，一定正确的个数是 （ ）
①△BDF是等腰三角形 ；②；③四边形ADFE是菱形 ；④
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
13. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（ ）
A. 逐渐增大 B. 没有变 C. 逐渐减小 D. 先增大后减小
14. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（ ）
A. 球没有会过网 B. 球会过球网但没有会出界
C. 球会过球网并会出界 D. 无法确定
二、填 空 题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）把答案填在题中横线上．
15. 分解因式：3ax26axy+3ay2=_________________；
16. 化简：
17. 如图所示，AB∥EF，若CE=4，CF=3，AE=BC，则BC=___________；
18. 如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD中点，AM=1，AN=2，∠MAN=60°，AM ，DC的延长线相交于点E，则AB的长为_____________；
19. 配方法是中学数学重要方法，用配方法可求（小）值．如对于任意正实数a，x，有，因为，所以≥2（当x=时取等号）．由上述结论可知：函数y=x+（a＞0，x＞0），当x=时，有最小值为2．已知函数y1=2x（x＞0）与函数y2=（x＞0），则y1+y2的最小值为__．
三、解 答 题（本大题共7小题，共63分）
20. 计算：（﹣2）0++4cos30°﹣|﹣|．
21. 在社会中，小李收集到某“健步走运动”团队20名成员行走的步数，记录如下：
5640
6430
6520
6798
7325
8430
8215
7453
7446
6754
7638
6834
7326
6830
8648
8753
9450
9865
7290
7850
对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理．
（1）请完成下面频数分布统计表；
组别
步数分组
频数
A
5500≤x＜6500
B
6500≤x＜7500
C
7500≤x＜8500
D
8500≤x＜9500
E
9500≤x＜10500
（2）在上图中请画出频数分布直方图；
（3）若该团队共有200人，请估计其中行走步数少于8500步的人数．
22. 停车难已成为合肥城市病之一，主要表现在居住停车位没有足，停车资源结构性失衡，城区供需差距大等等.如图是张老师的车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为 1.2 米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由.（参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84）
23. 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是弧的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知CD=4，CA=6，求AF的长．
24. 已知：甲乙两车分别从相距300千米的A，B两地同时出发相向而行，其中甲到达B地后立即返回，如图是它们离各自出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）求甲车离出发地的距离y甲（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若已知乙车行驶的速度是40千米/小时，它们在行驶过程中何时相遇？
25. 已知：如图，在正方形ABCD中，AB=4，点G是射线AB上的一个动点，以DG为边向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于点H．
（1）若点G在点B的右边．试探索：EHBG的值是否为定值，若是，请求出定值；若没有是，请说明理由．
（2）连接EB，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，求∠EBH的度数．
26. 已知直线y=x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c点A、B．
（1）A点坐标 ，B点坐标 ，抛物线解析式 ；
（2）点C（m，0）在线段OA上（点C没有与A、O点重合），CD⊥OA交AB于点D，交抛物线于点E，若DE=AD，求m的值；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，在（2）的条件下，是否存在以点D、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年北京市东城区中考数学突破突破破仿真模拟卷
（一模）
一、选一选（本题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列运算结果为正数的是（ ）
A. （﹣3）2 B. ﹣3÷2 C. 0×（﹣2017） D. 2﹣3
【正确答案】A
【详解】A选项：原式=9，符合题意；
B选项：原式=-1.5，没有符合题意；
C选项：原式=0，没有符合题意，
D选项：原式=-1，没有符合题意，
故选A.
2. 计算（2a3）2的结果是（ ）
A. 4a5 B. 4a5 C. 4a6 D. 4a6
【正确答案】D
【详解】分析：根据积的乘方和幂的乘方法则进行运算即可.
详解：原式
故选D.
点睛：考查乘方和幂的乘方，熟记它们的运算法则是解题的关键.
3. 如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=65°，则∠2的度数为( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据三角形的一个外角等于与它没有相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
【详解】解：如图，
由三角形的外角性质可得，∠3=∠1+∠B=65°，
∵a∥b，∠DCB=90°，
∴∠2=180°-∠3-90°=180°-65°-90°=25°．
故选B．
本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它没有相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4. “只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”．在今年的慈善一日捐中，长沙市某中学八年级班50名学生自发组织献爱心捐款，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是（ ）
A. 20，30 B. 30，20 C. 20，20 D. 30，30
【正确答案】D
【分析】根据众数和中位数的概念可知，一组数据的众数是这组数中出现次数至多的数，而中位数则是将这组数据从小到大（或从大到小）依次排列时，处在最中间位置的数，据此可知这组数据的众数，中位数．
【详解】根据图中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是30，30．
故选：D．
本题考查众数和中位数的概念，熟记概念是解题的关键．
5. 某服装进货价80元/件，标价为200元/件，商店将此服装打x折后仍获利50%，则x为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【正确答案】B
【详解】根据利润=售价﹣进价，即可得200×﹣80=80×50%，
解得：x=6．
故选B．
6. 甲、乙、丙三人参加数学、物理、英语三项竞赛，每人限报一项，每项限报一人，则甲报英语、乙报数学、丙报物理的概率是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题解析：画树形图得：
由树形图可知所有可能情况共6种，其中甲报英语、乙报数学、丙报物理的情况有1中，所有其概率为，
故选B．
点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的，树状图法适合两步或两步以上完成的．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
7. 如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1800°，那么该多边形的一个外角是（ ）
A. 30° B. 36° C. 60° D. 72°
【正确答案】A
【分析】设这个多边形是n边形，它的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，就得到关于n的方程，求出边数n．然后根据多边形的外角和是360°，多边形的每个内角都相等即每个外角也相等，这样就能求出多边形的一个外角．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：（n﹣2）•180°=1800，
解得n=12；
那么这个多边形的一个外角是360÷12=30，
即这个多边形的一个外角是30．
故本题选：A．
本题考查了多边形的内角和和外角和问题，熟知多边形外角和定理是解题的关键.
8. 若关于x的一元没有等式组的解集是x＜5，则m的取值范围是（ ）
A. m≥5 B. m＞5 C. m≤5 D. m＜5
【正确答案】A
【详解】解没有等式2x-1＞3（x-2）可得x＜5，然后由没有等式组的解集为x＜5，可知m≥5.
故选A.
9. 如图，是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（ ）
A. π B. 2π C. 4π D. 5π
【正确答案】B
【详解】试题解析：由三视图可知，原几何体为圆锥，
∵l=，
∴S侧=•2πr•l=×2π××2=2π．
故选B．
考点：由三视图判断几何体；圆锥的计算．
10. 如图，⊙O是△ABC的外接圈，AD为⊙O的直径，若AD=10，AC=8，则co等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：连接CD，利用同弧所对的圆周角相等将∠B转化为∠D，再利用直径所对的圆周角为直角，利用锐角三角函数定义求出co的值即可．
详解：连接CD，
∵∠B与∠D都对,
∴∠B=∠D，
∵AD为圆O的直径，
∴
在Rt△ACD中，AD=10，AC=8，
根据勾股定理得：CD=6，
则co=cosD=
故选C.
点睛：考查圆周角和锐角三角函数，连接CD，得出∠B=∠D是解题的关键.
11. 观察下列关于自然数的式子：
4×1212 ①
4×2232 ②
4×3252 ③
…
根据上述规律，则第2018个式子的值是（ ）
A. 8068 B. 8069 C. 8070 D. 8071
【正确答案】D
【详解】分析：由①②③三个等式可得，减数是从1开始连续奇数的平方，被减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，由此规律得出答案即可．
详解： ①
②
③
…
所以第 2018 个式子的值是： 4×2018−1=8071.
故选D.
点睛：主要考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题是解答此题的关键.
12. 如图，将三角形纸片ABC沿折叠，使点落在边上的点处，且DE∥，下列结论中，一定正确的个数是 （ ）
①△BDF是等腰三角形 ；②；③四边形ADFE是菱形 ；④
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】①②④
【详解】分析：根据菱形的判定和等腰三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断.
详解：∵三角形纸片ABC沿DE折叠,使点A落在BC边上的点F处,且DE∥BC，
∴AD=DF，AE=EF，∠ADE=∠B，∠ADE=∠EDF，∠EDF=∠DFB，
∴∠B=BFD，
∴△BDF是等腰三角形，故本选项①正确；
∴BD=DF，
∴AD=BD，同理可得出：AE=CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴；故本选项②正确；
∵AB没有一定等于AC，
∴AD没有一定等于EF，四边形ADFE没有是平行四边形；
∴故本选项③错误；
∵△BDF是等腰三角形，∠B=∠BFD=∠ADE，
∴∠C=∠CFE=∠AED，
∴
∴
∴∠BDF+∠FEC=2∠A.
故本选项④正确.
故选C.
点睛：属于折叠问题，考查菱形的判定，等腰三角形的判定，熟记它们的判定方法是解题的关键.
菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线垂直的平行四边形是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形.
13. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（ ）
A. 逐渐增大 B. 没有变 C. 逐渐减小 D. 先增大后减小
【正确答案】C
【详解】设点P的坐标为（x，），
∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，
∴四边形OAPB个直角梯形，
∴四边形OAPB的面积=（PB+AO）×BO=（x+AO）×=+=+，
∵AO是定值，
∴四边形OAPB的面积是个减函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．
故选：C．
14. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（ ）
A. 球没有会过网 B. 球会过球网但没有会出界
C. 球会过球网并会出界 D. 无法确定
【正确答案】C
【详解】分析：（1）将点A(0,2)代入求出a的值；分别求出x=9和x=18时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．
详解：根据题意,将点A(0,2)代入
得：36a+2.6=2，
解得：
∴y与x的关系式为
当x=9时,
∴球能过球网，
当x=18时,
∴球会出界.
故选C.
点睛：考查二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，根据题意确定范围.
二、填 空 题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）把答案填在题中横线上．
15. 分解因式：3ax26axy+3ay2=_________________；
【正确答案】3a（xy）2
【详解】试题解析：原式
故答案为
16. 化简：
【正确答案】x+1
【详解】
17. 如图所示，AB∥EF，若CE=4，CF=3，AE=BC，则BC=___________；
【正确答案】12
【详解】分析：根据AB∥EF,得出，把线段的值代入运算即可.
详解：AB∥EF,
，
解得：
故答案为12.
点睛：考查平行线分线段成比例定理，从AB∥EF,得出是解题的关键.
18. 如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点，AM=1，AN=2，∠MAN=60°，AM ，DC的延长线相交于点E，则AB的长为_____________；
【正确答案】
【详解】分析：延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H，易证△ABM≌△ECM，再证得AB=NE，因为AN=2，AE=2AM=2，且∠MAN=60°，可得∠AEH=30°，AH=AE=1，根据勾股定理可得EH = ，EN=2，即可得AB=.
详解：
如图，延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CE，
∴∠BAM=∠CEM，∠B=∠ECM．
∵M为BC的中点，
∴BM=CM．
在△ABM和△ECM中，
，
∴△ABM≌△ECM（AAS），
∴AB=CD=CE，AM=EM=4，
∵N为边DC的中点，
∴NE=3NC=AB，即AB=NE，
∵AN=2，AE=2AM=2，且∠MAN=60°，
∴∠AEH=30°，
∴AH=AE=1，
∴EH= = ，
∴NH=AN-AH=2-1=1，
∴EN==2，
∴AB=×2=；
故答案为．
点睛：本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形思想的应用．
19. 配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求（小）值．如对于任意正实数a，x，有，因为，所以≥2（当x=时取等号）．由上述结论可知：函数y=x+（a＞0，x＞0），当x=时，有最小值为2．已知函数y1=2x（x＞0）与函数y2=（x＞0），则y1+y2的最小值为__．
【正确答案】6
【详解】分析：根据函数 当时，该函数有最小值，最小值为解题，此题中
详解：
当时，有最小值
的最小值为：
故答案为
点睛：本题考查配方法在求函数最值时的应用，解题的关键是读懂题目提供的材料，掌握配方法求最值的方法；
三、解 答 题（本大题共7小题，共63分）
20. 计算：（﹣2）0++4cos30°﹣|﹣|．
【正确答案】4
【详解】分析：按照实数的运算顺序进行运算即可.
详解：原式
=4．
点睛：本题考查实数的运算，主要考查零次幂，负整数指数幂，角的三角函数值以及二次根式，熟练掌握各个知识点是解题的关键.
21. 在社会中，小李收集到某“健步走运动”团队20名成员行走的步数，记录如下：
5640
6430
6520
6798
7325
8430
8215
7453
7446
6754
7638
6834
7326
6830
8648
8753
9450
9865
7290
7850
对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理．
（1）请完成下面频数分布统计表；
组别
步数分组
频数
A
5500≤x＜6500
B
6500≤x＜7500
C
7500≤x＜8500
D
8500≤x＜9500
E
9500≤x＜10500
（2）在上图中请画出频数分布直方图；
（3）若该团队共有200人，请估计其中行走步数少于8500步的人数．
【正确答案】（1）见解析（2）见解析（3）160
【详解】分析：（1）根据题目中的数据填写频数分布统计表即可.
（2）根据（1）的结果即可直接补全直方图；
（3）利用总人数乘以对应的比例即可求解．
详解：（1）
组别
步数分组
频数
A
5500≤x＜6500
2
B
6500≤x＜7500
10
C
7500≤x＜8500
4
D
8500≤x＜9500
3
E
9500≤x＜10500
1
（2）如图所示：
（3）根据题意得：200× =160（人），
则估计行走的步数少于8500步的人数约为160人．
点睛：考查学生对于频数分布直方图的读取能力以及利用统计图获取信息的能力，注意各个图表之间的联系.
22. 停车难已成为合肥城市病之一，主要表现在居住停车位没有足，停车资源结构性失衡，城区供需差距大等等.如图是张老师的车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为 1.2 米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由.（参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84）
【正确答案】车门没有会碰到墙．
【分析】过点A作AC⊥OB，垂足为点C，解三角形求出AC的长度，进而作出比较即可．
【详解】解：过点A作AC⊥OB，垂足为点C，
在Rt△ACO中，
∵∠AOC=40°，AO=1.2米，
∴AC=sin∠AOC•AO≈0.64×1.2=0.768，
∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，
∴车门没有会碰到墙．
23. 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是弧的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知CD=4，CA=6，求AF的长．
【正确答案】（1）证明见解析（2）2
【分析】（1）连结AD，如图，根据圆周角定理，由E是的中点得到由于则，再利用圆周角定理得到则所以于是根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；
先求出的长，用勾股定理即可求出.
【详解】解：（1）证明：连结AD，如图，
∵E是的中点，∴
∵
∴
∵AB是⊙O的直径，∴
∴
∴ 即
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵
∴
∵，
∴
本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，属于圆的综合题，注意切线的证明方法，是.
24. 已知：甲乙两车分别从相距300千米的A，B两地同时出发相向而行，其中甲到达B地后立即返回，如图是它们离各自出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）求甲车离出发地的距离y甲（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若已知乙车行驶的速度是40千米/小时，它们在行驶过程中何时相遇？
【正确答案】（1）y=（2）两车次相遇时间为第小时，第二次相遇时间为第6小时
【详解】分析：（1）由图知，该函数关系在没有同的时间里表现成没有同的关系，需分段表达．当行驶时间小于3时是正比例函数；当行驶时间大于3小时小于小时是函数．可根据待定系数法列方程，求函数关系式．
（2），由题意有两次相遇,分两种情况，列出方程解答．
详解：（1）当0≤x≤3时，是正比例函数，设为
x=3时，y=300，代入解得k=100，所以
当3＜x≤时，是函数，设为
代入两点（3，300）、（，0），得解得，
所以
综合以上得甲车离出发地的距离y与行驶时间x之间的函数关系式为：y=；
（2）由题意得甲车离出发地的距离y与行驶时间x之间的函数关系式为：
①当，，解得x=；
②当3＜x≤时，，解得x=6．
综上所述，两车次相遇时间为第小时，第二次相遇时间为第6小时．
点睛：考查函数的应用，关键是待定系数法确定函数关系式.
25. 已知：如图，在正方形ABCD中，AB=4，点G是射线AB上的一个动点，以DG为边向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于点H．
（1）若点G在点B的右边．试探索：EHBG的值是否为定值，若是，请求出定值；若没有是，请说明理由．
（2）连接EB，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，求∠EBH的度数．
【正确答案】（1）EHBG的值是定值4，（2）在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，∠EBH都等于45°
【详解】分析：根据垂直的定义得到∠GHE=90°，根据余角的性质得到 根据正方形的性质得到 判断出证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据线段的和差即可得到结论；
（2）分三种情况讨论：利用（1）得出≌，再判断出△BHE是等腰直角三角形，即可得出结论．
详解：（1）的值是定值，
又 ，∴
∵四边形ABCD与四边形DGEF都是正方形，
∴，∴
在和中，，
∴≌（AAS）；
∴
又AG=AB+BG，AB=4，
∴EH=AB+BG，
∴EH−BG=AB=4；
（2）(I)当点G在点B的左侧时，如图1，
同(2)①可证得：△DAG≌△GHE，
∴GH=DA=AB，EH=AG，
∴GB+BH=AG+GB，
∴BH=AG=EH,又，
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴
( II) 如图2，当点G在点B的右侧时，
由(2)①证得：△DAG≌△GHE.
∴GH=DA=AB，EH=AG，
∴AB+BG=BG+GH，
∴AG=BH，又EH=AG
∴EH=HB,又，
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴
( III)当点G与点B重合时，
如图3,同理可证：△DAG≌△GHE，
∴GH=DA=AB，EH=AG=AB，
∴△GHE(即△BHE)是等腰直角三角形，
∴
综上,在G点的整个运动(点G与点A重合除外)过程中,∠EBH都等于
点睛：考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明≌是解题的关键.
26. 已知直线y=x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c点A、B．
（1）A点坐标 ，B点坐标 ，抛物线解析式 ；
（2）点C（m，0）在线段OA上（点C没有与A、O点重合），CD⊥OA交AB于点D，交抛物线于点E，若DE=AD，求m的值；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，在（2）的条件下，是否存在以点D、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）（﹣3，0）；（0，3）；y=﹣x2﹣2x+3；（2）-2；（3）点N的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，0）．
【详解】分析：（1）先求直线与轴和轴的交点坐标，利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）根据点C的横坐标为m可得D和E的横坐标都是m，根据解析式表示其纵坐标，计算铅直高度DE的长，利用勾股定理得： 根据已知列式可得m的值；
（3）分两种情况：
①以BC为一边，如图1，证明≌，得可得
②当BD为对角线时，如图2，M在抛物线的顶点，N是对称轴与x轴的交点，此时
详解：(1)当x=0时，y=3，
∴B(03)，
当y=0时，x+3=0，
x=−3，
∴A(−3,0)，
把A(−3,0),B(0,3)代入抛物线中得：
解得：
∴抛物线解析式为：
(2)∵CD⊥OA,C(m,0)，
∴
∴
∵AC=m+3,CD=m+3,
由勾股定理得：
∵
∴
(m+3)(m+2)=0，
m1=−3(舍),m2=−2；
(3)存，分两种情况：
①以BC为一边，如图1，设对称轴与x轴交于点G，
∵C(−2,0)，
∴D(−2,1),E(−2,3),
∴E与B关于对称轴对称，
∴BE∥x轴，
∵四边形DNMB是平行四边形，
∴BD=MN,BD∥MN，
∵
∴△EDB≌△GNM，
∴NG=ED=2，
∴N(−1,−2)；
②当BD为对角线时，如图2，
M在抛物线的顶点，N是对称轴与x轴的交点，此时四边形BMDN是平行四边形，
此时N(−1,0)；
综上所述,点N的坐标为(−1,−2)或(−1,0).
点睛：属于二次函数综合题，考查待定系数法确定函数关系式，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程，平行四边形的判定等，综合性比较强，难度较大，对学生综合能力要求较高.
2022-2023学年北京市东城区中考数学突破突破破仿真模拟卷
（二模）
一、选一选：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入题后括号内．
1. 的值等于（ ）
A 2 B. C. D. ﹣2
2. 已知某种纸一张的厚度约为0.0089cm，用科学记数法表示这个数为（ ）
A. 8.9×10﹣5 B. 8.9×10﹣4 C. 8.9×10﹣3 D. 8.9×10﹣2
3. 化简（﹣a）2a3所得的结果是（ ）
A. a5 B. ﹣a5 C. a6 D. ﹣a6
4. 如图，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是（ ）
A. ＋1 B. －1 C. D. 1－
5. 已知函数y=ax﹣x﹣a+1（a为常数），则其函数图象一定过象限（ ）
A. 一、二 B. 二、三 C. 三、四 D. 一、四
6. 如图，在△ABC中， AB＝3，AC＝2．当∠B时，BC的长是（ ）
A. 1 B. 5 C. D.
7. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个没有相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
8. 已知a≠0，下列计算正确的是（ ）
A. a2+a3＝a5 B. a2•a3＝a6 C. a3÷a2＝a D. （a2）3＝a5
9. 如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D旋转路径为，若AB＝1，BC＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，将正六边形ABCDEF放入平面直角坐标系后，若点A、B、E的坐标分别为（a，b）、（3，1）、（﹣a，b），则点D的坐标为（ ）
A. （1，3） B. （3，﹣1） C. （﹣1，﹣3） D. （﹣3，1）
二、填 空 题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，没有需写出解答过程，请把结果填在题中横线上．
11. 分解因式：_________．
12. 已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是_____．
13. 若关于x的方程x2＋mx＋5＝0有一个根为1，则该方程的另一根为_______．
14. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD=________ ．
15. 如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点，EF与BD相交于点M，若△DEM的面积为1，则□ABCD的面积为________．
16. 如图，A（a，b）、B（1，4）（a＞1）是反比例函数y＝（x＞0）图像上两点，过A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E、F，AE、BD交于点G．则四边形ACDG的面积随着a的增大而_________．（填“减小”、“没有变”或“增大”）
17. 二次函数y=a（x﹣b）2+c（a＜0）的图象点（1，1）和（3，3），则b的取值范围是________．
18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠PAB＝∠PBC，则CP的最小值为_________．
三、解 答 题（共10小题）
19. 计算:.
20. 解没有等式组，并把它们的解集表示在数轴上．
21. 先化简，再求值：() ÷ ．其中．
22. 一个没有透明的袋子中，装有2个红球，1个白球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．求下列的概率：
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；
（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是红球．
23. 某公司在某市五个区投放共享单车供市民使用，投放量分布及投放后的使用情况统计如下．
（1）该公司在全市一共投放了 万辆共享单车；
（2）在扇形统计图中，B区所对应扇形的圆心角为 °；
（3）该公司在全市投放的共享单车的使用量占投放量的85%，请计算C区共享单车的使用量并补全条形统计图．
24. 将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为．
（1）求证：；
（2）连接，判断四边形是没有是平行四边形？证明你的结论．
25. 如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于点A、B，AB=2，
（1）求k的值；
（2）若反比例函数y=的图象上存在一点C，则当△ABC为直角三角形，请直接写出点C的坐标．
26. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD·BC＝AC·CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E点B，与AB，BC分别交于点F，G．
（1）求证：AC是⊙E的切线；
（2）若AF＝4，CG＝5，
①求⊙E的半径；
②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝ ．
27. 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（）图象与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的值及此时点P的坐标．
28. 如图，A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
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（二模）
一、选一选：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入题后括号内．
1. 的值等于（ ）
A. 2 B. C. D. ﹣2
【正确答案】A
【详解】根据数轴上某个点与原点的距离叫做这个点表示的数的值的定义，
在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，
所以，
故选A．
2. 已知某种纸一张的厚度约为0.0089cm，用科学记数法表示这个数为（ ）
A. 8.9×10﹣5 B. 8.9×10﹣4 C. 8.9×10﹣3 D. 8.9×10﹣2
【正确答案】C
【详解】试题解析：0.0089=8.9×10-3.
故选C.
考点：科学记数法—表示较小的数.
3. 化简（﹣a）2a3所得的结果是（ ）
A. a5 B. ﹣a5 C. a6 D. ﹣a6
【正确答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可.
【详解】原式
故选A.
本题主要考查同底数幂的乘法，熟记法则是解题的关键.
4. 如图，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是（ ）
A. ＋1 B. －1 C. D. 1－
【正确答案】B
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AE的长，再根据A点表示-1，可得E点表示的数．
【详解】解：∵AD长为2，AB长为1，
∴AC=，
∵A点表示−1，
∴E点表示的数为：−1，
故选B．
5. 已知函数y=ax﹣x﹣a+1（a为常数），则其函数图象一定过象限（ ）
A. 一、二 B. 二、三 C. 三、四 D. 一、四
【正确答案】D
【详解】分析：根据函数的图形与性质，由函数y=kx+b的系数k和b的符号，判断所过的象限即可.
详解：∵y=ax﹣x﹣a+1（a为常数），
∴y=（a-1）x-（a-1）
当a-1＞0时，即a＞1，此时函数的图像过一三四象限；
当a-1＜0时，即a＜1，此时函数的图像过一二四象限.
故其函数的图像一定过一四象限.
故选D.
点睛：此题主要考查了函数的图像与性质，利用函数的图像与性质的关系判断即可.
函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的图像与性质：当k＞0，b＞0时，图像过一二三象限，y随x增大而增大；当k＞0，b＜0时，图像过一三四象限，y随x增大而增大；当k＜0，b＞0时，图像过一二四象限，y随x增大而减小；当k＜0，b＜0，图像过二三四象限，y随x增大而减小.
6. 如图，在△ABC中， AB＝3，AC＝2．当∠B时，BC的长是（ ）
A. 1 B. 5 C. D.
【正确答案】D
【详解】如图，以点A为圆心，AC为半径作⊙A，当点C在⊙A上移动时，∠B的大小在发生变化，观察可得当BC和⊙A相切时，∠B，此时∠ACB=90°，
∵AB=3，AC=2，∠ACB=90°，
∴BC=.
故选D.
7. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个没有相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
【正确答案】A
【详解】试题分析：∵△=，∴方程有两个没有相等的实数根．故选A．
考点：根的判别式．
8. 已知a≠0，下列计算正确的是（ ）
A. a2+a3＝a5 B. a2•a3＝a6 C. a3÷a2＝a D. （a2）3＝a5
【正确答案】C
【分析】选项分别进行同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的运算，选出正确答案．
【详解】A、a2和a3没有是同类项，没有能合并，故本选项错误；
B、a2•a3＝a5，原式计算错误，故本选项错误；
C、a3÷a2＝a，计算正确，故本选项正确；
D、（a2）3＝a6，原式计算错误，故本选项错误．
故选：C．
本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方等运算，掌握运算法则是解答本题的关键．
9. 如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝1，BC＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】
由旋转得:AG=AD,AE=AB, ∠AEF=∠B,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=2∠B=90°,
∴∠AEF=90°
∴AH=AG=2
∴AH=2AE
∴∠AHE=30°,EH=,
∵四边形AEFG是矩形,
∴EF∥AG,
∴∠GAH=∠AHE=30°
∴
故选A
点睛;没有规则图形面积的求法一般用割补法或转化法来求，这道题就是把阴影部分分成一个扇形和一个规则三角形，利用相应的面积公式即可求解.
10. 如图，将正六边形ABCDEF放入平面直角坐标系后，若点A、B、E的坐标分别为（a，b）、（3，1）、（﹣a，b），则点D的坐标为（ ）
A. （1，3） B. （3，﹣1） C. （﹣1，﹣3） D. （﹣3，1）
【正确答案】D
【详解】∵A（a，b）,E（－a，b）,
∴A,E关于y轴对称
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴y轴过C,F
∴B,D关于y轴对称
∵B（3，1）
∴D（－3，1）
故选D.
解决点的坐标问题关键在于利用数形思想，认真观察题中的条件确定坐标轴的位置.
二、填 空 题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，没有需写出解答过程，请把结果填在题中横线上．
11. 分解因式：_________．
【正确答案】2（a+1）2
【分析】
【详解】2（a+1）2.
故答案为2（a+1）2
考点：因式分解
12. 已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是_____．
【正确答案】4
【详解】把数据从小到大排列为:2,2,4,5,6
中间的数是4,
∴中位数是4
故答案为:4
13. 若关于x的方程x2＋mx＋5＝0有一个根为1，则该方程的另一根为_______．
【正确答案】5
【详解】∵关于x的方程x2＋mx＋5＝0有一个根为1,
∴设另一根为m,
可得: ,
解得:m=5.
故答案为:5.
14. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD=________ ．
【正确答案】40°
【详解】连接CD,则∠ADC=∠ABC=50°,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°,∴∠CAD+∠ADC=90°,∴∠CAD=90°-∠ADC=90°-50°=40°,故答案为: 40°.
15. 如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点，EF与BD相交于点M，若△DEM的面积为1，则□ABCD的面积为________．
【正确答案】16
【详解】延长EF交BC的延长线与H,
在平行四边形ABCD中,
∵AD=BC,AD∥BC
∴△DEF∽△CHF, △DEM∽△BHM
∴ ,
∵F是CD的中点
∴DF=CF
∴DE=CH
∵E是AD中点
∴AD=2DE
∴BC=2DE
∴BC=2CH
∴BH=3CH
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
故答案为:16.
16. 如图，A（a，b）、B（1，4）（a＞1）是反比例函数y＝（x＞0）图像上两点，过A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E、F，AE、BD交于点G．则四边形ACDG的面积随着a的增大而_________．（填“减小”、“没有变”或“增大”）
【正确答案】增大
【详解】DC=a−1，AC=b，
则=AC⋅DC=(a−1)b=ab−b.
∵B(1,4)、A(a,b)在函数y=(x>0)的图象上，
∴ab=k=4(常数).
∴=AC⋅DC=4−n，
∵当a>1时，b随a的增大而减小，
∴=4−a随a的增大而增大.
17. 二次函数y=a（x﹣b）2+c（a＜0）的图象点（1，1）和（3，3），则b的取值范围是________．
【正确答案】b＞2
【详解】∵二次函数y＝a(x－b)2＋c（a＜0）的图像点（1，1）和（3，3）
∴
∴
∵a<0
∴4-2b<0
b>2
18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠PAB＝∠PBC，则CP的最小值为_________．
【正确答案】－1
详解】如图所示：
在△ABC中，，AC=BC=1
又∵∠PAB=∠PBC
∴∠APB=135°
∴点P在以AB为弦的⊙O上,
∵∠APB=135°
∴∠AOB=90°
∴四边形ACBO为矩形
四边形AOBC为正方形
当点O、P、C在一条直线上时，PC有最小值
PC最小值=OC-OP=-1．
故-1．
三、解 答 题（共10小题）
19. 计算:.
【正确答案】-2
【详解】分析：利用零次幂的性质，值，二次根式的性质，负整指数幂的性质，依次计算即可.
详解：
=1-2+3-4
=-2
点睛：此题主要考查了实数的运算，关键是熟记零次幂的性质，值，二次根式的性质，负整指数幂的性质，灵活计算即可.
20. 解没有等式组，并把它们的解集表示在数轴上．
【正确答案】，数轴见解析
【分析】分别求出两个没有等式的解集，然后求出两个解集的公共部分即可得解．
【详解】解：，
解没有等式①得，，
解没有等式②得，，
在数轴上表示如下：
所以没有等式组的解集为：．
本题主要考查了一元没有等式组解集的求法，解题的关键是掌握其简便求法就是用口诀求解．求没有等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小找没有到（无解）．
21 先化简，再求值：() ÷ ．其中．
【正确答案】2b，2
【详解】分析：根据分式的混合运算的顺序，先把括号内的式子通分后再加减，然后再算除法，化简后再代入求值.
详解：原式＝
＝2b
当时，原式=
点睛：本考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
22. 一个没有透明的袋子中，装有2个红球，1个白球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．求下列的概率：
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；
（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是红球．
【正确答案】（1）；（2）
【详解】试题分析：（1）直接根据概率的概念求解；
（2）根据题意展示所有6种等可能的结果，其中摸出两个球恰好是2个红球占1种，然后根据概率的概念计算即可．
试题解析：
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果共有4种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“恰好是红球”(记为A)的结果有2种，
所以P(A)＝＝．
（2）搅匀后从中任意摸出2个球，所有可能出现的结果有：(红1，红2)、(红1，黄)、(红2，黄)、(红1，白)、(红2，白)、(白，黄)，共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“2个都是红球”(记为B)的结果只有1种，所以P(B)＝．
点睛:用列举法计算概率时,要注意求出发生情况的数目及其中一个发生的数目,而且每一种情况发生的可能性都相同,需要操作即可完成的,用概率公式来求解;需要两次或两次以上的操作完成的,先用列表法或画树状图法列举所有等可能的情况,再利用概率计算公式求解.
23. 某公司在某市五个区投放共享单车供市民使用，投放量的分布及投放后的使用情况统计如下．
（1）该公司在全市一共投放了 万辆共享单车；
（2）在扇形统计图中，B区所对应扇形的圆心角为 °；
（3）该公司在全市投放的共享单车的使用量占投放量的85%，请计算C区共享单车的使用量并补全条形统计图．
【正确答案】（1）4；（2）36 ；（3）C区共享单车的使用量为0.7万辆，图见解析.
【详解】试题分析：（1）根据D区投放量除以占的百分比，求出总量数；
（2）先求出C区所占的百分比，再求出B区所占的百分比，乘以360°；
（3）求出共享单车的使用量，减去其余各区的就可求出C区共享单车的使用量．
试题解析：
（1）
（2），
（3）C区共享单车的使用量=4×85%－0.8－0.3－0.9－0.7＝0.7（万辆）；
补全条形统计图如图：
答： C区共享单车的使用量为0.7万辆．
24. 将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为．
（1）求证：；
（2）连接，判断四边形是没有是平行四边形？证明你的结论．
【正确答案】（1）见解析；（2）是，理由见解析
【分析】（1）根据折叠得性质得CD=AD′，CE=AE，DF=D′F，∠CEF=∠AEF，再根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，AD=BC，则AB=AD′；由AD∥BC得到∠AFE=∠CEF，则∠AFE=∠AEF，所以AE=AF，AF=CE，DF=BE，得到BE=FD′，于是可利用“SSS”判断△ABE≌△AD′F；
（2）证明AF=EC，再由AF∥EC即可得到结论．
【详解】解：（1）∵平行四边形纸片ABCD折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF，
∴CD=AD′，CE=AE，DF=D′F，∠CEF=∠AEF
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，
∴AB=AD′，
∵AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF，
∴AF=CE，
∴AD-AF=BC-CE，
∴DF=BE，
∴BE=FD′，
在△ABE和△AD′F中，
，
∴△ABE≌△AD′F（SSS）；
（2）四边形AECF是平行四边形．
证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠5=∠6．
∴∠4=∠6．
∴AF=AE．
∵AE=EC，
∴AF=EC．
又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
此题考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定方法，做题时要求学生对常用的知识点牢固掌握．
25. 如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于点A、B，AB=2，
（1）求k的值；
（2）若反比例函数y=的图象上存在一点C，则当△ABC为直角三角形，请直接写出点C的坐标．
【正确答案】（1）k=2（2）当△ABC为直角三角形，点C的坐标为（﹣4，﹣）、（4，）、（﹣2，﹣1）或（2，1）
【详解】分析：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，由点A、B的对称性可求出OA的值，根据点在直线上，设点A的坐标为（a，2a），在Rt△OAD中，通过勾股定理即可求出A的坐标，由点A的坐标利用待定系数法即可求出结论；
（2）由点A、B的对称性，点A的坐标求出点B的坐标，根据点C在反比例函数上，设出点C的坐标为（n，），分△ABC三个角分别为直角来考虑，利用“两直线垂直斜率之积为-1（斜率都存在）”求出点C的坐标.
详解：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，如图1所示．
由题意可知点A与点B关于点O对称，且AB=2，∴OA=OB=．
设点A的坐标为（a，2a），在Rt△OAD中，∠ADO=90°，由勾股定理得：
a2+（2a）2=（）2，解得：a=1，∴点A的坐标为（1，2）．
把A（1，2）代入y=中得：2=，解得：k=2．
（2）∵点A的坐标为（1，2），点A、B关于原点O对称，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣2）．设点C的坐标为（n，），
△ABC为直角三角形分三种情况：
①∠ABC=90°，则有AB⊥BC，=﹣1，即n2+5n+4，
解得：n1=﹣4，n2=﹣1（舍去），此时点C的坐标为（﹣4，﹣）；
②∠BAC=90°，则有BA⊥AC，=﹣1，即n2﹣5n+4=0，
解得：n3=4，n4=1（舍去），此时点C的坐标为（4，）；
③∠ACB=90°，则有AC⊥BC，=﹣1，即n2=4，解得：n5=﹣2，n6=2，
此时点C的坐标为（﹣2，﹣1）或（2，1）．综上所述：当△ABC为直角三角形，点C的坐标为（﹣4，﹣）、（4，）、（﹣2，﹣1）或（2，1）．
点睛：此题考查了正比列函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，利用了数形的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
26. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD·BC＝AC·CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E点B，与AB，BC分别交于点F，G．
（1）求证：AC是⊙E的切线；
（2）若AF＝4，CG＝5，
①求⊙E的半径；
②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝ ．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）①⊙E的半径为20；②IE＝
【分析】（1）证明△CDE∽△CAB，得∠EDC=∠A=90°，所以AC是⊙E的切线；
（2）①如图1，作辅助线，构建矩形AHED，设⊙E的半径为r，表示BH和EC的长，证明△BHE∽△EDC，
列比例式代入r可得结论；
②如图2，作辅助线，构建直角△IME，分别求IM和ME的值，利用勾股定理可求IE的长．
【详解】（1）∵CD•BC=AC•CE，
∴，
∵∠DCE=∠ACB，
∴△CDE∽△CAB，
∴∠EDC=∠A=90°，
∴ED⊥AC，
∵点D在⊙E上，
∴AC是⊙E的切线；
（2）①如图1，过E作EH⊥AB于H，
∴BH=FH，
∵∠A=∠AHE=∠ADE=90°，
∴四边形AHED是矩形，
∴ED=AH，ED∥AB，
∴∠B=∠DEC，
设⊙E的半径为r，则EB=ED=EG=r，
∴BH=FH=AH-AF=DE-AF=r-4，
EC=EG+CG=r+5，
在△BHE和△EDC中，
∵∠B=∠DEC，∠BHE=∠EDC=90°，
∴△BHE∽△EDC，
∴，即，
∴r=20，
∴⊙E的半径为20；
②如图2，过I作IM⊥BC于M，过I作IJ⊥AB于J，
由①得：FJ=BJ=r-4=20-4=16，AB=AF+2BJ=4+2×16=36，
BC=2r+5=2×20+5=45，
∴AC==27，
∵I是Rt△ABC的内心，
∴IM==9，
∴AJ=IM=9，
∴BJ=BM=36-9=27，
∴EM=27-20=7，
在Rt△IME中，由勾股定理得：IE=．
27. 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的值及此时点P的坐标．
【正确答案】（1）；（2）E的坐标为、（0，﹣4）、；（3），．
【详解】试题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；
（2）先求得直线BC的解析式为，则可设E（m，），然后分三种情况讨论即可求得；
（3）利用△PBD的面积即可求得．
试题解析：（1）∵二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，
∴，解得：，∴该二次函数的解析式为；
（2）由二次函数可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为，∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设E（m，），
当DC=CE时，，即，解得，（舍去），∴E；
当DC=DE时，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；
当EC=DE时，，解得=，∴E．
综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为、（0，﹣4）、；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为：，
∵△PBD的面积
==
=，
∴当m=时，△PBD的面积为，∴点P的坐标为．
考点：二次函数综合题．
28. 如图，A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
【正确答案】（1）C (0,3)；（2）t值为4+或4+3；（3）t的值为1或4或5.6.
【详解】试题分析：（1）由∠CBO=45°，∠BOC为直角，得到△BOC为等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰直角三角形AOB的性质知OC=OB=3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标；
（2）需要对点P的位置进行分类讨论：①当点P在点B右侧时，如图2所示，由∠BCO=45°，用∠BCO-∠BCP求出∠PCO为30°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；②当点P在点B左侧时，如图3所示，用∠BCO+∠BCP求出∠PCO为60°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；
（3）当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，分三种情况考虑：
①当⊙P与BC边相切时，利用切线的性质得到BC垂直于CP，可得出∠BCP=90°，由∠BCO=45°，得到∠OCP=45°，即此时△COP为等腰直角三角形，可得出OP=OC，由OC=3，得到OP=3，用OQ-OP求出P运动的路程，即可得出此时的时间t；
②当⊙P与CD相切于点C时，P与O重合，可得出P运动的路程为OQ的长，求出此时的时间t；
③当⊙P与AD相切时，利用切线的性质得到∠DAO=90°，得到此时A为切点，由PC=PA，且PA=9-t，PO=t-4，在Rt△OCP中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到此时的时间t．
综上，得到所有满足题意的时间t的值．
试题解析：：（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，
∴OC=OB=3，
又∵点C在y轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（0，3）；
（2）分两种情况考虑：
①当点P在点B右侧时，如图2，
若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，
故PO=CO•tan30°=，此时t=4+；
②当点P在点B左侧时，如图3，
由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，
故OP=COtan60°=3，
此时，t=4+3，
∴t的值为4+或4+3；
（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：
①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，
从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1；
②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4；
③当⊙P与AD相切时，由题意，得∠DAO=90°，
∴点A为切点，如图4，PC2=PA2=（9-t）2，PO2=（t-4）2，
于是（9-t）2=（t-4）2+32，即81-18t+t2=t2-8t+16+9，
解得：t=5.6，
∴t的值为1或4或5.6．
2022-2023学年北京市东城区中考数学突破突破破仿真模拟卷
（一模）
一、选一选（本题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列运算结果为正数的是（ ）
A. （﹣3）2 B. ﹣3÷2 C. 0×（﹣2017） D. 2﹣3
2. 计算（2a3）2的结果是（ ）
A. 4a5 B. 4a5 C. 4a6 D. 4a6
3. 如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=65°，则∠2的度数为( )
A. B. C. D.
4. “只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”．在今年的慈善一日捐中，长沙市某中学八年级班50名学生自发组织献爱心捐款，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是（ ）
A. 20，30 B. 30，20 C. 20，20 D. 30，30
5. 某服装进货价80元/件，标价为200元/件，商店将此服装打x折后仍获利50%，则x为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
6. 甲、乙、丙三人参加数学、物理、英语三项竞赛，每人限报一项，每项限报一人，则甲报英语、乙报数学、丙报物理的概率是( )
A. B. C. D.
7. 如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1800°，那么该多边形的一个外角是（ ）
A. 30° B. 36° C. 60° D. 72°
8. 若关于x的一元没有等式组的解集是x＜5，则m的取值范围是（ ）
A. m≥5 B. m＞5 C. m≤5 D. m＜5
9. 如图，是一个几何体三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（ ）
A. π B. 2π C. 4π D. 5π
10. 如图，⊙O是△ABC的外接圈，AD为⊙O的直径，若AD=10，AC=8，则co等于（ ）
A. B. C. D.
11. 观察下列关于自然数的式子：
4×1212 ①
4×2232 ②
4×3252 ③
…
根据上述规律，则第2018个式子的值是（ ）
A. 8068 B. 8069 C. 8070 D. 8071
12. 如图，将三角形纸片ABC沿折叠，使点落在边上点处，且DE∥，下列结论中，一定正确的个数是 （ ）
①△BDF是等腰三角形 ；②；③四边形ADFE是菱形 ；④
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
13. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（ ）
A. 逐渐增大 B. 没有变 C. 逐渐减小 D. 先增大后减小
14. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（ ）
A. 球没有会过网 B. 球会过球网但没有会出界
C. 球会过球网并会出界 D. 无法确定
二、填 空 题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）把答案填在题中横线上．
15. 分解因式：3ax26axy+3ay2=_________________；
16. 化简：
17. 如图所示，AB∥EF，若CE=4，CF=3，AE=BC，则BC=___________；
18. 如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD中点，AM=1，AN=2，∠MAN=60°，AM ，DC的延长线相交于点E，则AB的长为_____________；
19. 配方法是中学数学重要方法，用配方法可求（小）值．如对于任意正实数a，x，有，因为，所以≥2（当x=时取等号）．由上述结论可知：函数y=x+（a＞0，x＞0），当x=时，有最小值为2．已知函数y1=2x（x＞0）与函数y2=（x＞0），则y1+y2的最小值为__．
三、解 答 题（本大题共7小题，共63分）
20. 计算：（﹣2）0++4cos30°﹣|﹣|．
21. 在社会中，小李收集到某“健步走运动”团队20名成员行走的步数，记录如下：
5640
6430
6520
6798
7325
8430
8215
7453
7446
6754
7638
6834
7326
6830
8648
8753
9450
9865
7290
7850
对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理．
（1）请完成下面频数分布统计表；
组别
步数分组
频数
A
5500≤x＜6500
B
6500≤x＜7500
C
7500≤x＜8500
D
8500≤x＜9500
E
9500≤x＜10500
（2）在上图中请画出频数分布直方图；
（3）若该团队共有200人，请估计其中行走步数少于8500步的人数．
22. 停车难已成为合肥城市病之一，主要表现在居住停车位没有足，停车资源结构性失衡，城区供需差距大等等.如图是张老师的车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为 1.2 米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由.（参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84）
23. 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是弧的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知CD=4，CA=6，求AF的长．
24. 已知：甲乙两车分别从相距300千米的A，B两地同时出发相向而行，其中甲到达B地后立即返回，如图是它们离各自出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）求甲车离出发地的距离y甲（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若已知乙车行驶的速度是40千米/小时，它们在行驶过程中何时相遇？
25. 已知：如图，在正方形ABCD中，AB=4，点G是射线AB上的一个动点，以DG为边向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于点H．
（1）若点G在点B的右边．试探索：EHBG的值是否为定值，若是，请求出定值；若没有是，请说明理由．
（2）连接EB，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，求∠EBH的度数．
26. 已知直线y=x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c点A、B．
（1）A点坐标 ，B点坐标 ，抛物线解析式 ；
（2）点C（m，0）在线段OA上（点C没有与A、O点重合），CD⊥OA交AB于点D，交抛物线于点E，若DE=AD，求m的值；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，在（2）的条件下，是否存在以点D、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若没有存在，请说明理由．
2022-2023学年北京市东城区中考数学突破突破破仿真模拟卷
（一模）
一、选一选（本题共14小题，每小题3分，共42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列运算结果为正数的是（ ）
A. （﹣3）2 B. ﹣3÷2 C. 0×（﹣2017） D. 2﹣3
【正确答案】A
【详解】A选项：原式=9，符合题意；
B选项：原式=-1.5，没有符合题意；
C选项：原式=0，没有符合题意，
D选项：原式=-1，没有符合题意，
故选A.
2. 计算（2a3）2的结果是（ ）
A. 4a5 B. 4a5 C. 4a6 D. 4a6
【正确答案】D
【详解】分析：根据积的乘方和幂的乘方法则进行运算即可.
详解：原式
故选D.
点睛：考查乘方和幂的乘方，熟记它们的运算法则是解题的关键.
3. 如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=65°，则∠2的度数为( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据三角形的一个外角等于与它没有相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
【详解】解：如图，
由三角形的外角性质可得，∠3=∠1+∠B=65°，
∵a∥b，∠DCB=90°，
∴∠2=180°-∠3-90°=180°-65°-90°=25°．
故选B．
本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它没有相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4. “只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”．在今年的慈善一日捐中，长沙市某中学八年级班50名学生自发组织献爱心捐款，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图．根据如图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是（ ）
A. 20，30 B. 30，20 C. 20，20 D. 30，30
【正确答案】D
【分析】根据众数和中位数的概念可知，一组数据的众数是这组数中出现次数至多的数，而中位数则是将这组数据从小到大（或从大到小）依次排列时，处在最中间位置的数，据此可知这组数据的众数，中位数．
【详解】根据图中提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是30，30．
故选：D．
本题考查众数和中位数的概念，熟记概念是解题的关键．
5. 某服装进货价80元/件，标价为200元/件，商店将此服装打x折后仍获利50%，则x为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【正确答案】B
【详解】根据利润=售价﹣进价，即可得200×﹣80=80×50%，
解得：x=6．
故选B．
6. 甲、乙、丙三人参加数学、物理、英语三项竞赛，每人限报一项，每项限报一人，则甲报英语、乙报数学、丙报物理的概率是( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题解析：画树形图得：
由树形图可知所有可能情况共6种，其中甲报英语、乙报数学、丙报物理的情况有1中，所有其概率为，
故选B．
点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的，树状图法适合两步或两步以上完成的．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
7. 如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1800°，那么该多边形的一个外角是（ ）
A. 30° B. 36° C. 60° D. 72°
【正确答案】A
【分析】设这个多边形是n边形，它的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，就得到关于n的方程，求出边数n．然后根据多边形的外角和是360°，多边形的每个内角都相等即每个外角也相等，这样就能求出多边形的一个外角．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：（n﹣2）•180°=1800，
解得n=12；
那么这个多边形的一个外角是360÷12=30，
即这个多边形的一个外角是30．
故本题选：A．
本题考查了多边形的内角和和外角和问题，熟知多边形外角和定理是解题的关键.
8. 若关于x的一元没有等式组的解集是x＜5，则m的取值范围是（ ）
A. m≥5 B. m＞5 C. m≤5 D. m＜5
【正确答案】A
【详解】解没有等式2x-1＞3（x-2）可得x＜5，然后由没有等式组的解集为x＜5，可知m≥5.
故选A.
9. 如图，是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（ ）
A. π B. 2π C. 4π D. 5π
【正确答案】B
【详解】试题解析：由三视图可知，原几何体为圆锥，
∵l=，
∴S侧=•2πr•l=×2π××2=2π．
故选B．
考点：由三视图判断几何体；圆锥的计算．
10. 如图，⊙O是△ABC的外接圈，AD为⊙O的直径，若AD=10，AC=8，则co等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：连接CD，利用同弧所对的圆周角相等将∠B转化为∠D，再利用直径所对的圆周角为直角，利用锐角三角函数定义求出co的值即可．
详解：连接CD，
∵∠B与∠D都对,
∴∠B=∠D，
∵AD为圆O的直径，
∴
在Rt△ACD中，AD=10，AC=8，
根据勾股定理得：CD=6，
则co=cosD=
故选C.
点睛：考查圆周角和锐角三角函数，连接CD，得出∠B=∠D是解题的关键.
11. 观察下列关于自然数的式子：
4×1212 ①
4×2232 ②
4×3252 ③
…
根据上述规律，则第2018个式子的值是（ ）
A. 8068 B. 8069 C. 8070 D. 8071
【正确答案】D
【详解】分析：由①②③三个等式可得，减数是从1开始连续奇数的平方，被减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，由此规律得出答案即可．
详解： ①
②
③
…
所以第 2018 个式子的值是： 4×2018−1=8071.
故选D.
点睛：主要考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题是解答此题的关键.
12. 如图，将三角形纸片ABC沿折叠，使点落在边上的点处，且DE∥，下列结论中，一定正确的个数是 （ ）
①△BDF是等腰三角形 ；②；③四边形ADFE是菱形 ；④
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】①②④
【详解】分析：根据菱形的判定和等腰三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断.
详解：∵三角形纸片ABC沿DE折叠,使点A落在BC边上的点F处,且DE∥BC，
∴AD=DF，AE=EF，∠ADE=∠B，∠ADE=∠EDF，∠EDF=∠DFB，
∴∠B=BFD，
∴△BDF是等腰三角形，故本选项①正确；
∴BD=DF，
∴AD=BD，同理可得出：AE=CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴；故本选项②正确；
∵AB没有一定等于AC，
∴AD没有一定等于EF，四边形ADFE没有是平行四边形；
∴故本选项③错误；
∵△BDF是等腰三角形，∠B=∠BFD=∠ADE，
∴∠C=∠CFE=∠AED，
∴
∴
∴∠BDF+∠FEC=2∠A.
故本选项④正确.
故选C.
点睛：属于折叠问题，考查菱形的判定，等腰三角形的判定，熟记它们的判定方法是解题的关键.
菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线垂直的平行四边形是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形.
13. 如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（ ）
A. 逐渐增大 B. 没有变 C. 逐渐减小 D. 先增大后减小
【正确答案】C
【详解】设点P的坐标为（x，），
∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，
∴四边形OAPB个直角梯形，
∴四边形OAPB的面积=（PB+AO）×BO=（x+AO）×=+=+，
∵AO是定值，
∴四边形OAPB的面积是个减函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．
故选：C．
14. 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（ ）
A. 球没有会过网 B. 球会过球网但没有会出界
C. 球会过球网并会出界 D. 无法确定
【正确答案】C
【详解】分析：（1）将点A(0,2)代入求出a的值；分别求出x=9和x=18时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．
详解：根据题意,将点A(0,2)代入
得：36a+2.6=2，
解得：
∴y与x的关系式为
当x=9时,
∴球能过球网，
当x=18时,
∴球会出界.
故选C.
点睛：考查二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，根据题意确定范围.
二、填 空 题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）把答案填在题中横线上．
15. 分解因式：3ax26axy+3ay2=_________________；
【正确答案】3a（xy）2
【详解】试题解析：原式
故答案为
16. 化简：
【正确答案】x+1
【详解】
17. 如图所示，AB∥EF，若CE=4，CF=3，AE=BC，则BC=___________；
【正确答案】12
【详解】分析：根据AB∥EF,得出，把线段的值代入运算即可.
详解：AB∥EF,
，
解得：
故答案为12.
点睛：考查平行线分线段成比例定理，从AB∥EF,得出是解题的关键.
18. 如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点，AM=1，AN=2，∠MAN=60°，AM ，DC的延长线相交于点E，则AB的长为_____________；
【正确答案】
【详解】分析：延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H，易证△ABM≌△ECM，再证得AB=NE，因为AN=2，AE=2AM=2，且∠MAN=60°，可得∠AEH=30°，AH=AE=1，根据勾股定理可得EH = ，EN=2，即可得AB=.
详解：
如图，延长DC和AM交于E，过点E作EH⊥AN于点H．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CE，
∴∠BAM=∠CEM，∠B=∠ECM．
∵M为BC的中点，
∴BM=CM．
在△ABM和△ECM中，
，
∴△ABM≌△ECM（AAS），
∴AB=CD=CE，AM=EM=4，
∵N为边DC的中点，
∴NE=3NC=AB，即AB=NE，
∵AN=2，AE=2AM=2，且∠MAN=60°，
∴∠AEH=30°，
∴AH=AE=1，
∴EH= = ，
∴NH=AN-AH=2-1=1，
∴EN==2，
∴AB=×2=；
故答案为．
点睛：本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形思想的应用．
19. 配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求（小）值．如对于任意正实数a，x，有，因为，所以≥2（当x=时取等号）．由上述结论可知：函数y=x+（a＞0，x＞0），当x=时，有最小值为2．已知函数y1=2x（x＞0）与函数y2=（x＞0），则y1+y2的最小值为__．
【正确答案】6
【详解】分析：根据函数 当时，该函数有最小值，最小值为解题，此题中
详解：
当时，有最小值
的最小值为：
故答案为
点睛：本题考查配方法在求函数最值时的应用，解题的关键是读懂题目提供的材料，掌握配方法求最值的方法；
三、解 答 题（本大题共7小题，共63分）
20. 计算：（﹣2）0++4cos30°﹣|﹣|．
【正确答案】4
【详解】分析：按照实数的运算顺序进行运算即可.
详解：原式
=4．
点睛：本题考查实数的运算，主要考查零次幂，负整数指数幂，角的三角函数值以及二次根式，熟练掌握各个知识点是解题的关键.
21. 在社会中，小李收集到某“健步走运动”团队20名成员行走的步数，记录如下：
5640
6430
6520
6798
7325
8430
8215
7453
7446
6754
7638
6834
7326
6830
8648
8753
9450
9865
7290
7850
对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理．
（1）请完成下面频数分布统计表；
组别
步数分组
频数
A
5500≤x＜6500
B
6500≤x＜7500
C
7500≤x＜8500
D
8500≤x＜9500
E
9500≤x＜10500
（2）在上图中请画出频数分布直方图；
（3）若该团队共有200人，请估计其中行走步数少于8500步的人数．
【正确答案】（1）见解析（2）见解析（3）160
【详解】分析：（1）根据题目中的数据填写频数分布统计表即可.
（2）根据（1）的结果即可直接补全直方图；
（3）利用总人数乘以对应的比例即可求解．
详解：（1）
组别
步数分组
频数
A
5500≤x＜6500
2
B
6500≤x＜7500
10
C
7500≤x＜8500
4
D
8500≤x＜9500
3
E
9500≤x＜10500
1
（2）如图所示：
（3）根据题意得：200× =160（人），
则估计行走的步数少于8500步的人数约为160人．
点睛：考查学生对于频数分布直方图的读取能力以及利用统计图获取信息的能力，注意各个图表之间的联系.
22. 停车难已成为合肥城市病之一，主要表现在居住停车位没有足，停车资源结构性失衡，城区供需差距大等等.如图是张老师的车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为 1.2 米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由.（参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84）
【正确答案】车门没有会碰到墙．
【分析】过点A作AC⊥OB，垂足为点C，解三角形求出AC的长度，进而作出比较即可．
【详解】解：过点A作AC⊥OB，垂足为点C，
在Rt△ACO中，
∵∠AOC=40°，AO=1.2米，
∴AC=sin∠AOC•AO≈0.64×1.2=0.768，
∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，
∴车门没有会碰到墙．
23. 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是弧的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知CD=4，CA=6，求AF的长．
【正确答案】（1）证明见解析（2）2
【分析】（1）连结AD，如图，根据圆周角定理，由E是的中点得到由于则，再利用圆周角定理得到则所以于是根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；
先求出的长，用勾股定理即可求出.
【详解】解：（1）证明：连结AD，如图，
∵E是的中点，∴
∵
∴
∵AB是⊙O的直径，∴
∴
∴ 即
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵
∴
∵，
∴
本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，属于圆的综合题，注意切线的证明方法，是.
24. 已知：甲乙两车分别从相距300千米的A，B两地同时出发相向而行，其中甲到达B地后立即返回，如图是它们离各自出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）求甲车离出发地的距离y甲（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若已知乙车行驶的速度是40千米/小时，它们在行驶过程中何时相遇？
【正确答案】（1）y=（2）两车次相遇时间为第小时，第二次相遇时间为第6小时
【详解】分析：（1）由图知，该函数关系在没有同的时间里表现成没有同的关系，需分段表达．当行驶时间小于3时是正比例函数；当行驶时间大于3小时小于小时是函数．可根据待定系数法列方程，求函数关系式．
（2），由题意有两次相遇,分两种情况，列出方程解答．
详解：（1）当0≤x≤3时，是正比例函数，设为
x=3时，y=300，代入解得k=100，所以
当3＜x≤时，是函数，设为
代入两点（3，300）、（，0），得解得，
所以
综合以上得甲车离出发地的距离y与行驶时间x之间的函数关系式为：y=；
（2）由题意得甲车离出发地的距离y与行驶时间x之间的函数关系式为：
①当，，解得x=；
②当3＜x≤时，，解得x=6．
综上所述，两车次相遇时间为第小时，第二次相遇时间为第6小时．
点睛：考查函数的应用，关键是待定系数法确定函数关系式.
25. 已知：如图，在正方形ABCD中，AB=4，点G是射线AB上的一个动点，以DG为边向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于点H．
（1）若点G在点B的右边．试探索：EHBG的值是否为定值，若是，请求出定值；若没有是，请说明理由．
（2）连接EB，在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，求∠EBH的度数．
【正确答案】（1）EHBG的值是定值4，（2）在G点的整个运动（点G与点A重合除外）过程中，∠EBH都等于45°
【详解】分析：根据垂直的定义得到∠GHE=90°，根据余角的性质得到 根据正方形的性质得到 判断出证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据线段的和差即可得到结论；
（2）分三种情况讨论：利用（1）得出≌，再判断出△BHE是等腰直角三角形，即可得出结论．
详解：（1）的值是定值，
又 ，∴
∵四边形ABCD与四边形DGEF都是正方形，
∴，∴
在和中，，
∴≌（AAS）；
∴
又AG=AB+BG，AB=4，
∴EH=AB+BG，
∴EH−BG=AB=4；
（2）(I)当点G在点B的左侧时，如图1，
同(2)①可证得：△DAG≌△GHE，
∴GH=DA=AB，EH=AG，
∴GB+BH=AG+GB，
∴BH=AG=EH,又，
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴
( II) 如图2，当点G在点B的右侧时，
由(2)①证得：△DAG≌△GHE.
∴GH=DA=AB，EH=AG，
∴AB+BG=BG+GH，
∴AG=BH，又EH=AG
∴EH=HB,又，
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴
( III)当点G与点B重合时，
如图3,同理可证：△DAG≌△GHE，
∴GH=DA=AB，EH=AG=AB，
∴△GHE(即△BHE)是等腰直角三角形，
∴
综上,在G点的整个运动(点G与点A重合除外)过程中,∠EBH都等于
点睛：考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明≌是解题的关键.
26. 已知直线y=x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c点A、B．
（1）A点坐标 ，B点坐标 ，抛物线解析式 ；
（2）点C（m，0）在线段OA上（点C没有与A、O点重合），CD⊥OA交AB于点D，交抛物线于点E，若DE=AD，求m的值；
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，在（2）的条件下，是否存在以点D、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若没有存在，请说明理由．
【正确答案】（1）（﹣3，0）；（0，3）；y=﹣x2﹣2x+3；（2）-2；（3）点N的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，0）．
【详解】分析：（1）先求直线与轴和轴的交点坐标，利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）根据点C的横坐标为m可得D和E的横坐标都是m，根据解析式表示其纵坐标，计算铅直高度DE的长，利用勾股定理得： 根据已知列式可得m的值；
（3）分两种情况：
①以BC为一边，如图1，证明≌，得可得
②当BD为对角线时，如图2，M在抛物线的顶点，N是对称轴与x轴的交点，此时
详解：(1)当x=0时，y=3，
∴B(03)，
当y=0时，x+3=0，
x=−3，
∴A(−3,0)，
把A(−3,0),B(0,3)代入抛物线中得：
解得：
∴抛物线解析式为：
(2)∵CD⊥OA,C(m,0)，
∴
∴
∵AC=m+3,CD=m+3,
由勾股定理得：
∵
∴
(m+3)(m+2)=0，
m1=−3(舍),m2=−2；
(3)存，分两种情况：
①以BC为一边，如图1，设对称轴与x轴交于点G，
∵C(−2,0)，
∴D(−2,1),E(−2,3),
∴E与B关于对称轴对称，
∴BE∥x轴，
∵四边形DNMB是平行四边形，
∴BD=MN,BD∥MN，
∵
∴△EDB≌△GNM，
∴NG=ED=2，
∴N(−1,−2)；
②当BD为对角线时，如图2，
M在抛物线的顶点，N是对称轴与x轴的交点，此时四边形BMDN是平行四边形，
此时N(−1,0)；
综上所述,点N的坐标为(−1,−2)或(−1,0).
点睛：属于二次函数综合题，考查待定系数法确定函数关系式，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程，平行四边形的判定等，综合性比较强，难度较大，对学生综合能力要求较高.
2022-2023学年北京市东城区中考数学突破突破破仿真模拟卷
（二模）
一、选一选：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入题后括号内．
1. 的值等于（ ）
A 2 B. C. D. ﹣2
2. 已知某种纸一张的厚度约为0.0089cm，用科学记数法表示这个数为（ ）
A. 8.9×10﹣5 B. 8.9×10﹣4 C. 8.9×10﹣3 D. 8.9×10﹣2
3. 化简（﹣a）2a3所得的结果是（ ）
A. a5 B. ﹣a5 C. a6 D. ﹣a6
4. 如图，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是（ ）
A. ＋1 B. －1 C. D. 1－
5. 已知函数y=ax﹣x﹣a+1（a为常数），则其函数图象一定过象限（ ）
A. 一、二 B. 二、三 C. 三、四 D. 一、四
6. 如图，在△ABC中， AB＝3，AC＝2．当∠B时，BC的长是（ ）
A. 1 B. 5 C. D.
7. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个没有相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
8. 已知a≠0，下列计算正确的是（ ）
A. a2+a3＝a5 B. a2•a3＝a6 C. a3÷a2＝a D. （a2）3＝a5
9. 如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D旋转路径为，若AB＝1，BC＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，将正六边形ABCDEF放入平面直角坐标系后，若点A、B、E的坐标分别为（a，b）、（3，1）、（﹣a，b），则点D的坐标为（ ）
A. （1，3） B. （3，﹣1） C. （﹣1，﹣3） D. （﹣3，1）
二、填 空 题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，没有需写出解答过程，请把结果填在题中横线上．
11. 分解因式：_________．
12. 已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是_____．
13. 若关于x的方程x2＋mx＋5＝0有一个根为1，则该方程的另一根为_______．
14. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD=________ ．
15. 如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点，EF与BD相交于点M，若△DEM的面积为1，则□ABCD的面积为________．
16. 如图，A（a，b）、B（1，4）（a＞1）是反比例函数y＝（x＞0）图像上两点，过A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E、F，AE、BD交于点G．则四边形ACDG的面积随着a的增大而_________．（填“减小”、“没有变”或“增大”）
17. 二次函数y=a（x﹣b）2+c（a＜0）的图象点（1，1）和（3，3），则b的取值范围是________．
18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠PAB＝∠PBC，则CP的最小值为_________．
三、解 答 题（共10小题）
19. 计算:.
20. 解没有等式组，并把它们的解集表示在数轴上．
21. 先化简，再求值：() ÷ ．其中．
22. 一个没有透明的袋子中，装有2个红球，1个白球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．求下列的概率：
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；
（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是红球．
23. 某公司在某市五个区投放共享单车供市民使用，投放量分布及投放后的使用情况统计如下．
（1）该公司在全市一共投放了 万辆共享单车；
（2）在扇形统计图中，B区所对应扇形的圆心角为 °；
（3）该公司在全市投放的共享单车的使用量占投放量的85%，请计算C区共享单车的使用量并补全条形统计图．
24. 将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为．
（1）求证：；
（2）连接，判断四边形是没有是平行四边形？证明你的结论．
25. 如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于点A、B，AB=2，
（1）求k的值；
（2）若反比例函数y=的图象上存在一点C，则当△ABC为直角三角形，请直接写出点C的坐标．
26. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD·BC＝AC·CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E点B，与AB，BC分别交于点F，G．
（1）求证：AC是⊙E的切线；
（2）若AF＝4，CG＝5，
①求⊙E的半径；
②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝ ．
27. 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（）图象与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的值及此时点P的坐标．
28. 如图，A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
2022-2023学年北京市东城区中考数学突破突破破仿真模拟卷
（二模）
一、选一选：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入题后括号内．
1. 的值等于（ ）
A. 2 B. C. D. ﹣2
【正确答案】A
【详解】根据数轴上某个点与原点的距离叫做这个点表示的数的值的定义，
在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，
所以，
故选A．
2. 已知某种纸一张的厚度约为0.0089cm，用科学记数法表示这个数为（ ）
A. 8.9×10﹣5 B. 8.9×10﹣4 C. 8.9×10﹣3 D. 8.9×10﹣2
【正确答案】C
【详解】试题解析：0.0089=8.9×10-3.
故选C.
考点：科学记数法—表示较小的数.
3. 化简（﹣a）2a3所得的结果是（ ）
A. a5 B. ﹣a5 C. a6 D. ﹣a6
【正确答案】A
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可.
【详解】原式
故选A.
本题主要考查同底数幂的乘法，熟记法则是解题的关键.
4. 如图，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是（ ）
A. ＋1 B. －1 C. D. 1－
【正确答案】B
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AE的长，再根据A点表示-1，可得E点表示的数．
【详解】解：∵AD长为2，AB长为1，
∴AC=，
∵A点表示−1，
∴E点表示的数为：−1，
故选B．
5. 已知函数y=ax﹣x﹣a+1（a为常数），则其函数图象一定过象限（ ）
A. 一、二 B. 二、三 C. 三、四 D. 一、四
【正确答案】D
【详解】分析：根据函数的图形与性质，由函数y=kx+b的系数k和b的符号，判断所过的象限即可.
详解：∵y=ax﹣x﹣a+1（a为常数），
∴y=（a-1）x-（a-1）
当a-1＞0时，即a＞1，此时函数的图像过一三四象限；
当a-1＜0时，即a＜1，此时函数的图像过一二四象限.
故其函数的图像一定过一四象限.
故选D.
点睛：此题主要考查了函数的图像与性质，利用函数的图像与性质的关系判断即可.
函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的图像与性质：当k＞0，b＞0时，图像过一二三象限，y随x增大而增大；当k＞0，b＜0时，图像过一三四象限，y随x增大而增大；当k＜0，b＞0时，图像过一二四象限，y随x增大而减小；当k＜0，b＜0，图像过二三四象限，y随x增大而减小.
6. 如图，在△ABC中， AB＝3，AC＝2．当∠B时，BC的长是（ ）
A. 1 B. 5 C. D.
【正确答案】D
【详解】如图，以点A为圆心，AC为半径作⊙A，当点C在⊙A上移动时，∠B的大小在发生变化，观察可得当BC和⊙A相切时，∠B，此时∠ACB=90°，
∵AB=3，AC=2，∠ACB=90°，
∴BC=.
故选D.
7. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个没有相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
【正确答案】A
【详解】试题分析：∵△=，∴方程有两个没有相等的实数根．故选A．
考点：根的判别式．
8. 已知a≠0，下列计算正确的是（ ）
A. a2+a3＝a5 B. a2•a3＝a6 C. a3÷a2＝a D. （a2）3＝a5
【正确答案】C
【分析】选项分别进行同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的运算，选出正确答案．
【详解】A、a2和a3没有是同类项，没有能合并，故本选项错误；
B、a2•a3＝a5，原式计算错误，故本选项错误；
C、a3÷a2＝a，计算正确，故本选项正确；
D、（a2）3＝a6，原式计算错误，故本选项错误．
故选：C．
本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方等运算，掌握运算法则是解答本题的关键．
9. 如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG，点D的旋转路径为，若AB＝1，BC＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】
由旋转得:AG=AD,AE=AB, ∠AEF=∠B,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=2∠B=90°,
∴∠AEF=90°
∴AH=AG=2
∴AH=2AE
∴∠AHE=30°,EH=,
∵四边形AEFG是矩形,
∴EF∥AG,
∴∠GAH=∠AHE=30°
∴
故选A
点睛;没有规则图形面积的求法一般用割补法或转化法来求，这道题就是把阴影部分分成一个扇形和一个规则三角形，利用相应的面积公式即可求解.
10. 如图，将正六边形ABCDEF放入平面直角坐标系后，若点A、B、E的坐标分别为（a，b）、（3，1）、（﹣a，b），则点D的坐标为（ ）
A. （1，3） B. （3，﹣1） C. （﹣1，﹣3） D. （﹣3，1）
【正确答案】D
【详解】∵A（a，b）,E（－a，b）,
∴A,E关于y轴对称
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴y轴过C,F
∴B,D关于y轴对称
∵B（3，1）
∴D（－3，1）
故选D.
解决点的坐标问题关键在于利用数形思想，认真观察题中的条件确定坐标轴的位置.
二、填 空 题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，没有需写出解答过程，请把结果填在题中横线上．
11. 分解因式：_________．
【正确答案】2（a+1）2
【分析】
【详解】2（a+1）2.
故答案为2（a+1）2
考点：因式分解
12. 已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是_____．
【正确答案】4
【详解】把数据从小到大排列为:2,2,4,5,6
中间的数是4,
∴中位数是4
故答案为:4
13. 若关于x的方程x2＋mx＋5＝0有一个根为1，则该方程的另一根为_______．
【正确答案】5
【详解】∵关于x的方程x2＋mx＋5＝0有一个根为1,
∴设另一根为m,
可得: ,
解得:m=5.
故答案为:5.
14. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=50°，则∠CAD=________ ．
【正确答案】40°
【详解】连接CD,则∠ADC=∠ABC=50°,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°,∴∠CAD+∠ADC=90°,∴∠CAD=90°-∠ADC=90°-50°=40°,故答案为: 40°.
15. 如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点，EF与BD相交于点M，若△DEM的面积为1，则□ABCD的面积为________．
【正确答案】16
【详解】延长EF交BC的延长线与H,
在平行四边形ABCD中,
∵AD=BC,AD∥BC
∴△DEF∽△CHF, △DEM∽△BHM
∴ ,
∵F是CD的中点
∴DF=CF
∴DE=CH
∵E是AD中点
∴AD=2DE
∴BC=2DE
∴BC=2CH
∴BH=3CH
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
故答案为:16.
16. 如图，A（a，b）、B（1，4）（a＞1）是反比例函数y＝（x＞0）图像上两点，过A、B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E、F，AE、BD交于点G．则四边形ACDG的面积随着a的增大而_________．（填“减小”、“没有变”或“增大”）
【正确答案】增大
【详解】DC=a−1，AC=b，
则=AC⋅DC=(a−1)b=ab−b.
∵B(1,4)、A(a,b)在函数y=(x>0)的图象上，
∴ab=k=4(常数).
∴=AC⋅DC=4−n，
∵当a>1时，b随a的增大而减小，
∴=4−a随a的增大而增大.
17. 二次函数y=a（x﹣b）2+c（a＜0）的图象点（1，1）和（3，3），则b的取值范围是________．
【正确答案】b＞2
【详解】∵二次函数y＝a(x－b)2＋c（a＜0）的图像点（1，1）和（3，3）
∴
∴
∵a<0
∴4-2b<0
b>2
18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠PAB＝∠PBC，则CP的最小值为_________．
【正确答案】－1
详解】如图所示：
在△ABC中，，AC=BC=1
又∵∠PAB=∠PBC
∴∠APB=135°
∴点P在以AB为弦的⊙O上,
∵∠APB=135°
∴∠AOB=90°
∴四边形ACBO为矩形
四边形AOBC为正方形
当点O、P、C在一条直线上时，PC有最小值
PC最小值=OC-OP=-1．
故-1．
三、解 答 题（共10小题）
19. 计算:.
【正确答案】-2
【详解】分析：利用零次幂的性质，值，二次根式的性质，负整指数幂的性质，依次计算即可.
详解：
=1-2+3-4
=-2
点睛：此题主要考查了实数的运算，关键是熟记零次幂的性质，值，二次根式的性质，负整指数幂的性质，灵活计算即可.
20. 解没有等式组，并把它们的解集表示在数轴上．
【正确答案】，数轴见解析
【分析】分别求出两个没有等式的解集，然后求出两个解集的公共部分即可得解．
【详解】解：，
解没有等式①得，，
解没有等式②得，，
在数轴上表示如下：
所以没有等式组的解集为：．
本题主要考查了一元没有等式组解集的求法，解题的关键是掌握其简便求法就是用口诀求解．求没有等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小找没有到（无解）．
21 先化简，再求值：() ÷ ．其中．
【正确答案】2b，2
【详解】分析：根据分式的混合运算的顺序，先把括号内的式子通分后再加减，然后再算除法，化简后再代入求值.
详解：原式＝
＝2b
当时，原式=
点睛：本考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
22. 一个没有透明的袋子中，装有2个红球，1个白球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．求下列的概率：
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；
（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是红球．
【正确答案】（1）；（2）
【详解】试题分析：（1）直接根据概率的概念求解；
（2）根据题意展示所有6种等可能的结果，其中摸出两个球恰好是2个红球占1种，然后根据概率的概念计算即可．
试题解析：
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果共有4种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“恰好是红球”(记为A)的结果有2种，
所以P(A)＝＝．
（2）搅匀后从中任意摸出2个球，所有可能出现的结果有：(红1，红2)、(红1，黄)、(红2，黄)、(红1，白)、(红2，白)、(白，黄)，共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“2个都是红球”(记为B)的结果只有1种，所以P(B)＝．
点睛:用列举法计算概率时,要注意求出发生情况的数目及其中一个发生的数目,而且每一种情况发生的可能性都相同,需要操作即可完成的,用概率公式来求解;需要两次或两次以上的操作完成的,先用列表法或画树状图法列举所有等可能的情况,再利用概率计算公式求解.
23. 某公司在某市五个区投放共享单车供市民使用，投放量的分布及投放后的使用情况统计如下．
（1）该公司在全市一共投放了 万辆共享单车；
（2）在扇形统计图中，B区所对应扇形的圆心角为 °；
（3）该公司在全市投放的共享单车的使用量占投放量的85%，请计算C区共享单车的使用量并补全条形统计图．
【正确答案】（1）4；（2）36 ；（3）C区共享单车的使用量为0.7万辆，图见解析.
【详解】试题分析：（1）根据D区投放量除以占的百分比，求出总量数；
（2）先求出C区所占的百分比，再求出B区所占的百分比，乘以360°；
（3）求出共享单车的使用量，减去其余各区的就可求出C区共享单车的使用量．
试题解析：
（1）
（2），
（3）C区共享单车的使用量=4×85%－0.8－0.3－0.9－0.7＝0.7（万辆）；
补全条形统计图如图：
答： C区共享单车的使用量为0.7万辆．
24. 将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为．
（1）求证：；
（2）连接，判断四边形是没有是平行四边形？证明你的结论．
【正确答案】（1）见解析；（2）是，理由见解析
【分析】（1）根据折叠得性质得CD=AD′，CE=AE，DF=D′F，∠CEF=∠AEF，再根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，AD=BC，则AB=AD′；由AD∥BC得到∠AFE=∠CEF，则∠AFE=∠AEF，所以AE=AF，AF=CE，DF=BE，得到BE=FD′，于是可利用“SSS”判断△ABE≌△AD′F；
（2）证明AF=EC，再由AF∥EC即可得到结论．
【详解】解：（1）∵平行四边形纸片ABCD折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF，
∴CD=AD′，CE=AE，DF=D′F，∠CEF=∠AEF
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，
∴AB=AD′，
∵AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF，
∴AF=CE，
∴AD-AF=BC-CE，
∴DF=BE，
∴BE=FD′，
在△ABE和△AD′F中，
，
∴△ABE≌△AD′F（SSS）；
（2）四边形AECF是平行四边形．
证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠5=∠6．
∴∠4=∠6．
∴AF=AE．
∵AE=EC，
∴AF=EC．
又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
此题考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定方法，做题时要求学生对常用的知识点牢固掌握．
25. 如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于点A、B，AB=2，
（1）求k的值；
（2）若反比例函数y=的图象上存在一点C，则当△ABC为直角三角形，请直接写出点C的坐标．
【正确答案】（1）k=2（2）当△ABC为直角三角形，点C的坐标为（﹣4，﹣）、（4，）、（﹣2，﹣1）或（2，1）
【详解】分析：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，由点A、B的对称性可求出OA的值，根据点在直线上，设点A的坐标为（a，2a），在Rt△OAD中，通过勾股定理即可求出A的坐标，由点A的坐标利用待定系数法即可求出结论；
（2）由点A、B的对称性，点A的坐标求出点B的坐标，根据点C在反比例函数上，设出点C的坐标为（n，），分△ABC三个角分别为直角来考虑，利用“两直线垂直斜率之积为-1（斜率都存在）”求出点C的坐标.
详解：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D，如图1所示．
由题意可知点A与点B关于点O对称，且AB=2，∴OA=OB=．
设点A的坐标为（a，2a），在Rt△OAD中，∠ADO=90°，由勾股定理得：
a2+（2a）2=（）2，解得：a=1，∴点A的坐标为（1，2）．
把A（1，2）代入y=中得：2=，解得：k=2．
（2）∵点A的坐标为（1，2），点A、B关于原点O对称，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣2）．设点C的坐标为（n，），
△ABC为直角三角形分三种情况：
①∠ABC=90°，则有AB⊥BC，=﹣1，即n2+5n+4，
解得：n1=﹣4，n2=﹣1（舍去），此时点C的坐标为（﹣4，﹣）；
②∠BAC=90°，则有BA⊥AC，=﹣1，即n2﹣5n+4=0，
解得：n3=4，n4=1（舍去），此时点C的坐标为（4，）；
③∠ACB=90°，则有AC⊥BC，=﹣1，即n2=4，解得：n5=﹣2，n6=2，
此时点C的坐标为（﹣2，﹣1）或（2，1）．综上所述：当△ABC为直角三角形，点C的坐标为（﹣4，﹣）、（4，）、（﹣2，﹣1）或（2，1）．
点睛：此题考查了正比列函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，利用了数形的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
26. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD·BC＝AC·CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E点B，与AB，BC分别交于点F，G．
（1）求证：AC是⊙E的切线；
（2）若AF＝4，CG＝5，
①求⊙E的半径；
②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝ ．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）①⊙E的半径为20；②IE＝
【分析】（1）证明△CDE∽△CAB，得∠EDC=∠A=90°，所以AC是⊙E的切线；
（2）①如图1，作辅助线，构建矩形AHED，设⊙E的半径为r，表示BH和EC的长，证明△BHE∽△EDC，
列比例式代入r可得结论；
②如图2，作辅助线，构建直角△IME，分别求IM和ME的值，利用勾股定理可求IE的长．
【详解】（1）∵CD•BC=AC•CE，
∴，
∵∠DCE=∠ACB，
∴△CDE∽△CAB，
∴∠EDC=∠A=90°，
∴ED⊥AC，
∵点D在⊙E上，
∴AC是⊙E的切线；
（2）①如图1，过E作EH⊥AB于H，
∴BH=FH，
∵∠A=∠AHE=∠ADE=90°，
∴四边形AHED是矩形，
∴ED=AH，ED∥AB，
∴∠B=∠DEC，
设⊙E的半径为r，则EB=ED=EG=r，
∴BH=FH=AH-AF=DE-AF=r-4，
EC=EG+CG=r+5，
在△BHE和△EDC中，
∵∠B=∠DEC，∠BHE=∠EDC=90°，
∴△BHE∽△EDC，
∴，即，
∴r=20，
∴⊙E的半径为20；
②如图2，过I作IM⊥BC于M，过I作IJ⊥AB于J，
由①得：FJ=BJ=r-4=20-4=16，AB=AF+2BJ=4+2×16=36，
BC=2r+5=2×20+5=45，
∴AC==27，
∵I是Rt△ABC的内心，
∴IM==9，
∴AJ=IM=9，
∴BJ=BM=36-9=27，
∴EM=27-20=7，
在Rt△IME中，由勾股定理得：IE=．
27. 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的值及此时点P的坐标．
【正确答案】（1）；（2）E的坐标为、（0，﹣4）、；（3），．
【详解】试题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；
（2）先求得直线BC的解析式为，则可设E（m，），然后分三种情况讨论即可求得；
（3）利用△PBD的面积即可求得．
试题解析：（1）∵二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，
∴，解得：，∴该二次函数的解析式为；
（2）由二次函数可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为，∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设E（m，），
当DC=CE时，，即，解得，（舍去），∴E；
当DC=DE时，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；
当EC=DE时，，解得=，∴E．
综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为、（0，﹣4）、；
（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为：，
∵△PBD的面积
==
=，
∴当m=时，△PBD的面积为，∴点P的坐标为．
考点：二次函数综合题．
28. 如图，A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
【正确答案】（1）C (0,3)；（2）t值为4+或4+3；（3）t的值为1或4或5.6.
【详解】试题分析：（1）由∠CBO=45°，∠BOC为直角，得到△BOC为等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰直角三角形AOB的性质知OC=OB=3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标；
（2）需要对点P的位置进行分类讨论：①当点P在点B右侧时，如图2所示，由∠BCO=45°，用∠BCO-∠BCP求出∠PCO为30°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；②当点P在点B左侧时，如图3所示，用∠BCO+∠BCP求出∠PCO为60°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；
（3）当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，分三种情况考虑：
①当⊙P与BC边相切时，利用切线的性质得到BC垂直于CP，可得出∠BCP=90°，由∠BCO=45°，得到∠OCP=45°，即此时△COP为等腰直角三角形，可得出OP=OC，由OC=3，得到OP=3，用OQ-OP求出P运动的路程，即可得出此时的时间t；
②当⊙P与CD相切于点C时，P与O重合，可得出P运动的路程为OQ的长，求出此时的时间t；
③当⊙P与AD相切时，利用切线的性质得到∠DAO=90°，得到此时A为切点，由PC=PA，且PA=9-t，PO=t-4，在Rt△OCP中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到此时的时间t．
综上，得到所有满足题意的时间t的值．
试题解析：：（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，
∴OC=OB=3，
又∵点C在y轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（0，3）；
（2）分两种情况考虑：
①当点P在点B右侧时，如图2，
若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，
故PO=CO•tan30°=，此时t=4+；
②当点P在点B左侧时，如图3，
由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，
故OP=COtan60°=3，
此时，t=4+3，
∴t的值为4+或4+3；
（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：
①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，
从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1；
②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4；
③当⊙P与AD相切时，由题意，得∠DAO=90°，
∴点A为切点，如图4，PC2=PA2=（9-t）2，PO2=（t-4）2，
于是（9-t）2=（t-4）2+32，即81-18t+t2=t2-8t+16+9，
解得：t=5.6，
∴t的值为1或4或5.6．
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