【同步讲义】北师大版数学八年级下册：第一章 三角形的证明（题型过关）

第一章 三角形的证明 

【题型一】等腰三角形的定义

典例1．（2022秋·甘肃定西·八年级统考期中）回答下列问题：

(1)一个等腰三角形的周长是，若它的一条边长为，求它的另两条边长．

(2)一个等腰三角形的一边长是，另一边长是，求这个等腰三角形的周长．

变式1-1．（2022秋·全国·八年级期中）用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形．

(1)如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．

(2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．

变式1-2（2022秋·福建龙岩·八年级统考期中）已知：如图，，交于点，，，，垂足分别为，．求证：是等腰三角形．

变式1-3．（2022秋·辽宁营口·八年级校考期中）已知的三边长分别为，，．

（1）若，，求的取值范围；

（2）在（1）的条件下，若为奇数，试判断的形状，并说明理由．

变式1-4．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，已知在中，，，，若动点P从点B开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒．

(1)出发2秒后，求CP的长．

(2)出发几秒钟后，CP恰好平分的周长．

(3)当t为何值时，为等腰三角形？

【题型二】利用等腰三角形的性质求解

典例2．（2022秋·浙江金华·八年级统考期中）已知：如图，在中，，，试求和的度数．

变式2-1．（2022秋·浙江丽水·八年级校联考期中）如图所示，在中，，点是上一点，于点，

(1)若，求的度数；

(2)若点是的中点，证明．

变式2-2．（2022春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．

(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝______°，∠DEC＝______°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变______（填“大”或“小”）；

(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；

(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请写出∠BDA的度数．并说明理由．

变式2-3．（2022春·辽宁沈阳·八年级沈阳市南昌初级中学（沈阳市第二十三中学）校考期中）学习了定理“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合”之后，小波同学有如下思考：他认为把该定理的条件和结论互换，所得的命题应该也是真命题，于是他做了如下探究．

(1)如图①，在中，AD平分，，求证：．请你帮助他证明．

(2)接下来，他又想到一个问题：“如图②，若在中，AD平分，，则”．请你判断（2）是否一定成立，若一定成立请你证明，若不一定成立，请说明理由．

变式2-4．（2022秋·福建南平·八年级统考期中）如图，在中，，是边上的中点，于点，于点．求证：．

【题型三】等腰三角形性质与判定综合

典例3．（2022秋·江西宜春·八年级统考期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

(1)问题发现：

如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；

    图1                                         图2

(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.

变式3-1．（2022秋·广东清远·八年级校联考期中）如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．

(1)出发3s后，求PQ的长；

(2)当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？

(3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．

变式3-2．（2022秋·广东江门·八年级校考期中）如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O是△ABC内的一点，∠BOC=130°．

（1）求证：OB=DC；

（2）求∠DCO的大小；

（3）设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形．

变式3-3．（2022秋·江西南昌·八年级南昌市外国语学校校考期中）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度；

（2）设，．

①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；

②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

变式3-4．（2022秋·全国·八年级期中）（1）问题发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．

（2）拓展探究

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请求∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．

【题型四】利用等边三角形的性质求解

典例4．（2022春·陕西宝鸡·八年级校联考期中）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P．

(1)求证：△ABE≌△CAD；

(2)求∠BPQ的度数；

(3)若BQ⊥AD于Q，PQ＝6，PE＝2，求AD的长．

变式4-1．（2022秋·河北保定·八年级统考期中）如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：DB＝DE．

变式4-2．（2022秋·湖南常德·八年级统考期中）如图，A，B、C三点在一条直线上，和都是等边三角形，连接AE和DC，交点为O．

(1)吗？请说明理由．

(2)猜想的度数，无需说明理由．

变式4-3．（2022秋·江苏·八年级期中）如图，在四边形中，．

(1)求的度数；

(2)求四边形的面积．

【题型五】利用勾股定理逆定理求解

典例5．（2022春·河北唐山·八年级统考期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．

(1)求BC的长；

(2)求△ABC的面积；

(3)判断△ABC的形状．

变式5-1．（2022春·广东广州·八年级统考期中）如图所示， ，，，，，求阴影部分的面积.

变式5-2．（2022春·湖北黄冈·八年级统考期中）如图，已知等腰△ABC的底边BC=10cm，D是腰AC上一点，且CD=6cm，BD=8cm．

(1)判断△BCD的形状，并说明理由；

(2)求△ABC的周长．

变式5-3．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．

变式5-4．（2022秋·江西萍乡·八年级统考期中）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．

(1)问是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；

(2)求原来的路线的长．

变式5-5（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？

变式5-6．（2022春·河南驻马店·八年级统考期中）沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气很混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一城镇，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为：，，，以沙尘暴中心为圆心周围25km以内为受影响区域．

(1)请通过计算说明城镇C会受到沙尘暴影响的原因；

(2)若沙尘暴中心的移动速度为20km/h，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？

【题型六】利用垂直平分线的性质与判定求解

典例6．（2022秋·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）如图，已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AD，CE⊥AD，交AD的延长线于E.求证：AB+AC=2AE.

变式6-1．（2022秋·吉林松原·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F，

(1)求证：△BCE≌△FDE；

(2)连结AE，当AE⊥BF，BC=2，AD=1时，求AB的长．

变式6-2．（2022秋·广东阳江·八年级统考期中）如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，，垂足分别为点，，且．

(1)求证：为的角平分线；

(2)探究，，之间的数量关系并给出证明

变式6-3．（2022春·福建漳州·八年级漳州三中校联考期中）如图，在中，垂直平分，分别交边于点D，点E，平分．

(1)若，求的周长；

(2)设，试用含的式子表示，再求当，的值．

变式6-4．（2022秋·河南信阳·八年级统考期中）如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．

（1）求证：∠DEF＝∠DFE；

（2）求证：AD垂直平分EF．

变式6-5．（2022秋·江苏·八年级期中）如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，．

(1)求的最小值，并说明理由．

(2)求周长的最小值．

【题型七】利用角平分线的性质与判定求解

典例7．（2022秋·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图，在中，，BD是的平分线，于点E，点F在BC上，连接DF，且．

(1)求证：；

(2)若，，求AB的长．

变式7-1．（2022秋·北京东城·八年级东直门中学校考期中）如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线．

变式7-2．（2022秋·广东江门·八年级台山市新宁中学校考期中）如图，已知△ABC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G.

(1)求证：AD垂直平分EF；

(2)若AB＋AC＝10，DE＝3，求△ABC的面积.

变式7-3．（2022秋·广西玉林·八年级校联考期中）已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA＝DB，DM⊥BP于点M．

（1）若AC＝6，DM＝2，求△ACD的面积；    

（2）求证：AC＝BM＋CM．

变式7-4．（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）如图1，在△ABC中，BO⊥AC于点O，AO＝BO＝3，OC＝1，过点A作AH⊥BC于点H，交BO于点P．

（1）求线段OP的长度；

（2）连接OH，求证：∠OHP＝45°；

（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为线段BO延长线上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交线段OA延长线于N点，则S△BDM－S△ADN的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．

变式7-5．（2022秋·广东惠州·八年级校考期中）如图，已知△ABC和△CDE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，

(1)求证：BD=AE，并求出∠DOE的度数；

(2)判断△CFG的形状并说明理由；

(3)求证：OA+OC=OB．