【同步讲义】北师大版数学八年级下册：第六章 平行四边形（题型过关）

第六章 平行四边形

【题型一】利用平行线的性质求解

典例1．如图，平行四边形中两个邻角的度数比为，求其中较小的内角的度数．

1．综合与实践

如图所示，在四边形中，，，，点Q从点A出发以的速度向点D运动，点P从点B出发以的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．若设运动时间为．

(1)直接写出：____________；（用含t的式子表示）

(2)当t为何值时，四边形为平行四边形？

2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点．

(1)请在网格中作出，使得边长为4和（顶点均在格点上）．

(2)求（1）中较大的对角线的长是______．

3．如图，在□ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，EF过点O且垂直于AD．

(1)求证：OE＝OF；

(2)若S▱ABCD＝63，OE＝3.5，求AD的长．

4．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，此时恰为等边三角形．

(1)求的长度；

(2)请直接写出重叠部分的周长．

【题型二】证明四边形是平行四边形

典例2．已知：如图A、C是▱DEBF的对角线EF所在直线上的两点，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．

1．如图，在四边形中，，延长到E，使，连接交于点F，点F是的中点．求证：

（1）．

（2）四边形是平行四边形．

2．已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE、BF，分别交AB于点H，交BC于点G，若AD∥BC，AE＝CF．

(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；

(2)若∠DAH＝∠GBA，GF＝2，CF＝4，求AD的长．

3．如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，．

（1）求证：．

（2）判断四边形的形状，并证明．

4．如图，在□ABCD中，F是CD的中点，延长AB到点E，使BE＝AB，连结BF，CE．

(1)求证：四边形BECF是平行四边形；

(2)若AB＝6，AD＝4，∠A＝60°，求CE的长．

【题型三】利用平行四边形的性质与判定求解

典例3．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．

（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；

（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；

（3）若AB＝1，BC＝，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．

1．如图，在平行四边形ABCD中，AF平分∠BAD交CD点F，BG平分∠ABC交CD点G，AF与BG交于点E．

(1)求证：DG＝CF；

(2)若AB＝10，AD＝6，AF＝8，求FG和BG的长度．

2．如图，在中，，，过点A作，且点D在点A的右侧，点P，Q分别是射线，射线上的一点，点E是线段上的点，且，设，为y，则．当点Q为中点时，．

(1)求，的长度；

(2)若，求的长；

(3)请问是否存在x的值，使得以A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

3．（1）方法回顾

在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：

第一步添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE（D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF＝DE，连接CF；

第二步证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到中位线DE与BC的关系是______；（直接填写结果）

（2）问题解决

如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．

（3）拓展研究

如图3，在四边形ABCD中，∠A＝105°，∠D＝120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．

4．如图，在中，分别平分和，交于点，线段相交于点M.

（1）求证：；

（2）若，则的值是__________.

【题型四】与三角形中位线有关的计算典例4．如图，平行四边形的对角线、相交于点O，且E、F、G、H分别是、、、的中点．

(1)求证：四边形是平行四边形；

(2)若，求的周长．

1．已知：如图，是的角平分线，点E、F分别在上，且，．

(1)求证：；

(2)若的周长为3，求的周长．

2．如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接BE、CE，F是BE的中点，连接FD交CF于点G．FG与DG是否相等，说明理由．

3．如图，四边形ABCD中，，点E是BC的中点．请用无刻度直尺按下列要求画图．（保留画图痕迹，不写作法）

(1)在图1中，过点E作四边形ABCD的高；

(2)在图2中，作的中位线．

4．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为点D，M是边AB的中点，AB＝20，AC＝10，求线段DM的长．

【题型五】多边形的内角和与外角和综合

典例5．已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，求这个多边形的边数．

1．一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．    

（1）求这个多边形是几边形；

（2）求这个多边形的内角和

2．如图，求的度数.

3．（1）结合图1中的四边形，证明四边形的外角和是；

（2）图2中在四边形中，平分，，为中点，求证：．

4．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的倍还大．

（1）求这个多边形的边数；

（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？

5．阅读材料，回答下列问题：

【材料提出】

“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．

【探索研究】

探索一：如图1，在八字形中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ；

探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 ；

探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 ．

【模型应用】

应用一：如图4，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P．则∠A＝ （用含有α和β的代数式表示），∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）

应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）

【拓展延伸】

拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 ．（用x、y表示∠P）

拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 ．

6．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．

(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图(1)中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；

(2)若对图(1)中星形截去一个角，如图(2)，请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；

(3)若再对图(2)中的角进一步截去，你能由题(2)中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程)