资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩10页未读，
继续阅读
所属成套资源：【同步讲义】北师大版数学七年级下册-全册精讲精练讲义
成套系列资料，整套一键下载
【同步讲义】北师大版数学七年级下册：第四章 三角形（题型过关）
展开
这是一份【同步讲义】北师大版数学七年级下册：第四章 三角形（题型过关），文件包含第四章三角形原卷版docx、第四章三角形解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。
【题型一】三角形的三边关系
典例1．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5．
(1)求CD的取值范围；
(2)若AE∥BD，∠A＝50°，∠BDE＝130°，求∠C的度数．
【答案】(1)1＜CD＜9
(2)80°
【分析】（1）三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，据此可得CD的取值范围；
（2）先根据平行线的性质，得到∠AEF的度数，再根据三角形外角性质，即可得到∠C的度数．
【详解】（1）解：∵△BCD中，BC＝4，BD＝5，
∴5−4＜CD＜5＋4，
∴CD的取值范围是：1＜CD＜9；
（2）解：∵AE∥BD，
∴∠AEF＝∠BDE＝130°，
∵∠AEF是△ACE的外角，
∴∠C＝∠AEF−∠A＝130°−50°＝80°．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系以及平行线的性质和三角形外角的性质，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
1．已知△ABC的三边长分别为1，4，a，化简：．
【答案】
【分析】直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案．
【详解】解：因为△ABC的三边长分别为1，4，a．
所以4-1解得3∴，，，
∴
．
【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质，正确得出a的取值范围是解题关键．
2．（1）已知一个三角形的两边长分别是4cm、7cm，则这个三角形的周长的取值范围是什么？
（2）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为14cm，BD是AC边上的中线，△ABD比△BCD周长长4cm，求△ABC各边长．
【答案】（1）14【分析】（1）根据三角形三边关系，先求出三角形第三边长的范围，即可求出周长范围．
（2）根据三角形中线的定义可得，从而可得再根据的周长是14，，以及，可得进行计算即可解答．
【详解】解：（1）设第三边长为x，根据三角形的三边关系得
∴三角形的周长C的取值范围为：
（2）如图所示：
∵BD是AC边上的中线，
∵△ABD比△BCD周长长4cm，
的周长是14，
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
3．在立方体纸盒的顶点A处有一只蚂蚁，在另一顶点E处有一粒糖，你能为这只蚂蚁设计一条最短路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行，最快捷吃到糖吗？以下提供三个方案：
(1)三种方案①、②、③中爬行路线最短的方案是 ；最长的方案是 ．
(2)请根据数学知识说明理由： ．
【答案】(1)③；①；
(2)三角形的两边之和大于第三边
【分析】（1）根据三种爬行方案，即可求解；
（2）根据题意，分别求出三种方案爬行的路程，再根据三角形的两边之和大于第三边，即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴爬行路线最短的方案是③；最长的方案是①；
故答案为：③；①；
（2）解：根据题意得：方案①爬行的路程为AB+BC+CE，
方案②爬行的路程为AC+CE，
方案③爬行的路程为AE，
如图，
在△ABC中，AB+BC＞AC（三角形的两边之和大于第三边），
∴AB+BC+CE＞AC+CE，
在△ACE中，AC+CE＞AE（三角形的两边之和大于第三边），
∴AB+BC+CE＞AC+CE＞AE，
故答案为：三角形的两边之和大于第三边
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
【题型二】与三角形中位线有关的计算
典例2．如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=10cm，AC=24cm，BC=26cm，∠CAB=90°．
(1)求△ACE与△ABE的周长的差；
(2)求AD的长．
【答案】(1)△ACE与△ABE的周长的差是14cm
(2)AD的长度为cm
【分析】（1）根据三角形中线的性质可知BE=CE，再根据三角形周长公式计算即可；
（2）利用等积法计算即可．
【详解】（1）解：∵AE为BC边上的中线，
∴BE=CE，
∴，
即△ACE与△ABE的周长的差是14cm；
（2）∵，AD是边BC上的高，
∴，
∴，
即AD的长度为cm．
【点睛】本题考查三角形中线的性质，三角形的面积公式．（1）根据三角形中线的性质得出BE=CE是解题关键；（2）利用等积法解题是关键．
1．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠CAB＝90°，求：
（1）AD的长；
（2）△ACE和△ABE的周长的差．
【答案】（1）AD的长度为cm；（2）△ACE和△ABE的周长的差是1cm．
【分析】（1）根据直角三角形的面积计算方法求解即可；
（2）先按图写出两个三角形的周长，再作差计算即可.
【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
∴AB•AC＝BC•AD，
∴AD＝（cm），
即AD的长为cm；
（2）∵AE为BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+CE+AE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝4﹣3＝1（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是1cm．
【点睛】本题考查了利用直角三角形的面积计算斜边上的高和三角形的中线等知识，难度不大，属于基础题型.
2．如图，AD为的中线，点E在AD上，AE=2ED．
(1)当，时，求的度数；
(2)若的面积为30，求的面积．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）根据三角形外角和定理计算即可．
（2）根据三角形的面积的性质计算即可．
（1）
是的外角，
=15°+25°
．
的度数为．
（2）
因为AD为的中线，AE=2ED，
所以，，
因为的面积为30，
所以．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握中线的性质是解题的关键．
3．如图，中，，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒2cm．设运动的时间为t秒．
(1)______．
(2)当t＝______秒时，CP把的周长分成相等的两部分？
(3)当t＝______秒时，CP把的面积分成相等的两部分？
(4)当t为何值时，的面积为12？
【答案】(1)
(2)6
(3)6.5
(4)t为2秒或6.5秒
【分析】（1）根据直角三角形面积等于两条直角边长度乘积的一半即可解答；
（2）先求出△ABC的周长为24，所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP＝BP+BC＝12，再根据时间＝路程÷速度即可求解；
（3）根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；
（4）分两种情况：①P在AC上；②P在AB上，根据三角形面积公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，
∴S△ABC＝AC×BC＝8×6＝24cm2；
（2）解：△ABC中，∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，
∴△ABC的周长＝8+6+10＝24（cm），
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，
此时CA+AP＝BP+BC＝12（cm），
∴2t＝12，
解得t＝6．
故答案为：6；
（3）解：当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时CA+AP＝8+5＝13（cm），
∴2t＝13，
解得t＝6.5．
故答案为：6.5；
（4）解：分两种情况：
①当P在AC上时，
∵△BCP的面积＝12，
∴×6×CP＝12，
∴CP＝4，
∴2t＝4，t＝2；
②当P在AB上时，
∵△BCP的面积＝12＝△ABC面积的一半，
∴P为AB中点，
∴2t＝13，t＝6.5．
故t为2或6.5秒时，△BCP的面积为12．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，利用分类讨论的思想是解（4）题的关键．
4．如图，在的网格中，每一个小格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上．
(1)画出的中线；
(2)画出边上的高；
(3)直接写出的面积________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)6
【分析】（1）根据三角形中线的定义画图即可；
（2）根据三角形高的定义画图即可；
（3）结合图形，利用三角形网格求面积即可．
（1）
解：如图所示，线段BD即为所求；
（2）
如图所示，线段CE即为所求；
（3）
，
故答案为：6．
【点睛】题目主要考查基本的作图，三角形中线、高线，三角形面积等知识，解题关键是学会利用数形结合思想．
【题型三】三角形外角性质
典例3．如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，求的度数；
(2)如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α、β之间的数量关系（并画出相应的图形）．
【答案】(1)
(2)；理由见解析
(3)或者，绘图见解析
【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质得出，，然后求出，，即可得出答案；
（2）过P作交于E，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（3）分两种情况当P在延长线上，当P在DB延长线上，分别画出图形，利用平行线的性质和三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）解：过点P作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
（2）解：，理由：
如图2，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：①如图所示，当P在延长线上时，
；
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴；
②如图所示，当P在延长线上时，
；
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴；
综上所述：或者．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的应用，三角形外角的性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
1．在如图所示的星形中，，，，，求k的值．
【答案】
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可．
【详解】解：如图：
由三角形的外角性质得，∠1=∠B+∠E，∠3=∠A+∠D，
∠2=∠F+∠GOF=∠F+∠C+∠G，
由三角形的内角和定理得，∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°．
∵∠B+∠C+∠F=14°+15°+16°=45°，
∴∠A+∠D+∠E+∠G=180°-45°=135°=k⋅45°，
∴k=3．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
2．【阅读理解】题目：如图①，∠ABE和∠DCE的边AB与CD互相平行，边BE与CE交于点E．若，，求∠BEC的度数．
老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）．
解：如图②，过点E作．
∴（）．
∵，
∴．
∵（），
∴（）．
∴（）
∵，
∴．
∴（）°
【问题迁移】如图③，D、E分别是∠ABC边AB、BC上的点，在直线DE的右侧作DE的平行线分别交边BC、AB于点F、G．P是线段DG上一点，连结PE、PF．若，，求∠EPF的度数．
【拓展应用】如图④，D、E分别是∠ABC边AB、BC上的点，在直线DE的右侧作DE的平行线分别交边BC、AB于点F、G．P是射线DG上一点，连结PE、PF．若，，直接写出∠EPF与、之间的数量关系．
【答案】【阅读理解】两直线平行，同旁内角互补；已知；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，或平行于同一条直线的两条直线平行；∠DCE；100．
【问题迁移】70°
【拓展应用】∠EPF＝或∠EPF＝．
【分析】[阅读理解]如图②，过点E作EF//AB，根据推理步骤逐步写出答案即可；
[问题迁移]如图，过点P作PQ//DE，先求出∠EPQ=∠DEP=40°，再求∠FPQ=∠GFP=30°，得∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=70°即可；
[拓展应用]当点P在线段DG上，过点P作PQ//DE，先证明∠EPQ=∠DEP=，再证明∠FPQ=∠GFP=B，得∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=+；当点P在线段DG的延长线上时，先证明∠FHE=∠DEP=，已知∠EPF=∠FHE-∠PFA，得∠EPF=-．
【详解】解：【阅读理解】如图②，过点E作．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵，
∴．
∵（已知），
∴（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
∴（∠DCE）
∵，
∴．
∴（100）°．
故答案是：两直线平行，同旁内角互补；已知；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠DCE；100．
【问题迁移】如图，过点P作PQ//DE．
∴∠EPQ＝∠DEP＝40°．
∵DE//FG，
∴PQ//FG．
∴∠FPQ＝∠GFP＝30°．
∴∠EPF＝∠EPQ＋∠FPQ＝70°．
【拓展应用】当点P在线段DG上，过点P作PQ//DE，
∴∠EPQ=∠DEP=，
∵DE//FG
∴PQ//FG
∴∠FPQ=∠GFP=
∴∠EPF=∠EPQ+∠QPF=；
当点P在线段DG的延长线上时，
∴∠FHE=∠DEP=，
∵∠EPF=∠FHE-∠PFA，
∴∠EPF=．
∴∠EPF＝或∠EPF＝．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形的外角性质、角的和差等知识点；熟练掌握平行线的判定与性质、正确作出辅助线是解答本题的关键．
3．如图1，△ABC的外角平分线交于点F．
（1）若∠A＝40°，则∠F的度数为 ；
（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M，N，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A与α+β的数量关系是 ；
（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．
①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由；
②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．
【答案】（1）70°（2） （3）①见解析 ②不成立；或
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠F的度数；
（2）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠BFC的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠A与α+β的数量关系；
（3）①根据（2）中的结论∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定义，即可得到∠A与α，β之间的数量关系；
②分两种情况进行讨论，根据（2）中的结论∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定义，即可得到∠A与α，β之间的数量关系．
【详解】解：（1）如图1，∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣140°＝220°，
又∵△ABC的外角平分线交于点F，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×220°＝110°，
∴△BCF中，∠F＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°；
（2）如图2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，
又∵△ABC的外角平分线交于点F，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×（180°+∠A）＝90°+∠A ，
∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+∠A ）＝90°﹣∠A，
又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，
∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，
∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，
∴α+β+90°﹣∠A＝180°，
即α+β﹣∠A＝90°，
故答案为：α+β﹣∠A＝90°；
（3）①α+β﹣∠A＝90°，理由如下：
如图3，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，
∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，
∴α+β+90°﹣∠A＝180°，
即α+β﹣∠A＝90°，
②当直线MN与线段BC有交点时，①中∠A与α，β之间的数量关系不成立．
分两种情况：
如图4，当M在线段AB上，N在AC延长线上时，
由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，
∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，
∴90°﹣∠A﹣α+β＝180°，
即β﹣α﹣∠A＝90°；
如图5，当M在AB的延长线上，N在线段AC上时，
由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，
∵∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，
∴90°﹣∠A﹣β+α＝180°，
即α﹣β﹣∠A＝90°；
综上所述，∠A与α，β之间的数量关系为β﹣α﹣∠A＝90°或α﹣β﹣∠A＝90°．
【点睛】此题主要考查三角形的角度求解与证明，解题的关键是根据题意分情况作图．
4．如图，已知，直线与交于点，与交于点，射线和射线交于点．
(1)若平分，平分，，则______；
(2)若，，，则______；
(3)将（2）中“”改为“”，其余条件不变，求的度数（用含的代数式表示）；
(4)若将分成两部分，也将分成两部分，，则的度数=______________________（用含的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或或
【分析】（1）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根据三角形外角性质进行计算即可；
（2）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根据三角形外角性质进行计算即可；
（3）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根据三角形外角性质进行计算即可；
（4）分四种情况：①当，时；②当，时；③当，时；④当，时，进行讨论，即可得到的度数．
【详解】（1）解：∵，即，，
∴，
∵平分，平分，，
∴，，
∴．
故答案为：．
（2）解：∵，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴；
故答案为：．
（3）解：∵，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴．
（4）解：①当时，，
∵，
∵将分成两部分，
即，
∴，
∵，
∴，
解得：；
②当时，，
∵将分成两部分，
即，
∴射线和射线无交点；
③当时，，
∵，
∵将分成两部分，
即，
∴，
∵，
∴，
解得：；
④当时，，
∵，
∵将分成两部分，
即，
∴，
∵，
∴，
解得：；
综上可得：的度数为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了角平分线的定义以及三角形外角性质，解本题的关键在（4）中找出所有情况．三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【题型四】证明两个三角形全等
典例4．如图，中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且．
(1)求证：≌；
(2)若，，试求DE的长．
【答案】(1)见解析；
(2)；
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等；全等三角形的判定（角角边）；即可证明；
（2）由（1）结论计算线段差即可解答；
【详解】（1）证明：∵BE∥CF，∴∠BED=∠CFD，
∵∠BDE=∠CDF，BD=CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
（2）解：由（1）结论可得DE=DF，
∵EF=AE-AF=15-8=7，
∴DE=；
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定（AAS）和性质；掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
1．如图，已知，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】由题意易得，然后根据“SAS”可证三角形全等．
【详解】解：∵，
∴，
即，
在和中，，
∴（SAS）．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
2．如图，在ΔABC中． AD是BC边上的中线，交BC于点D．
(1)如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE． 求证：ΔACD≌ΔEBD
(2)如图②，若∠BAC=90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．
(3)如图③，若CE是边AB上的中线，且CE交AD于点O． 请你猜想线段AO与OD之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AD=，理由见解析
(3)AO=2OD，理由见解析
【分析】（1）利用SAS可得ΔACD≌ΔEBD；
（2）延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．先根据△ACD≌△EBD证得∠C = ∠CBE，AC=BE，进而得到AC∥EB， AD=；再证得△ABC≌△BAE（SAS）利用全等三角形全等的性质即可；
（3）延长OE到点M，使EM=OE，连接AM．延长OD到点N，使DN=OD，连接BM，BN，BO．证得△MOB≌△NBO(ASA)可得MB=NO，进而得到AO=2OD．
【详解】（1）证明：在△ACD和△EBD中，
∴△ACD≌△EBD（SAS）；
（2）解：AD=，理由如下：
延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．如图
由（1）得△ACD≌△EBD
∴∠C = ∠CBE，AC=BE
∴AC∥EB， AD=
∴∠BAC+∠ABE=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAC=∠ABE
在△ABC和△BAE中
∴△ABC≌△BAE（SAS）
∴BC=AE，
∴AD=
（3）AO=2OD，理由如下：
解：延长OE到点M，使EM=OE，连接AM．延长OD到点N，使DN=OD，连接BM，BN，BO．如图，
由（1）得△AOE≌△BME，△ODC≌△NDB
∴∠AOE=∠BME ，∠OCD=∠NBD，AO=BM
∴AO∥BM ，OC∥NB，
∴∠MBO=∠BON ，∠MOB =∠NBO
在△MOB和△NBO中
，
∴△MOB≌△NBO(ASA)
∴MB=NO
∴AO=2OD
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
4．如图1，已知中，，，、分别与过点的直线垂直，且垂足分别为E，D．
(1)猜想线段AD、、三者之间的数量关系，并给予证明．
(2)如图2，当过点C的直线绕点旋转到的内部，其他条件不变，如图2所示，
①线段AD、、三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；
②若，时，求的长．
【答案】(1)，证明见解析
(2)①发生改变，；②1.3
【分析】（1）证明，可得，CD＝BE， 即可求解；
（2）①证明，可得，CD＝BE， 即可求解；②由①可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：， 理由如下：
∵、分别与过点的直线垂直，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
，
，CD＝BE，
∵ DE＝EC＋CD，
；
（2）解：①发生改变．
∵、分别与过点的直线垂直，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
，
，CD＝BE，
∵ DE＝CE-CD，
∴；
②由①知：，
∴，
∴BE的长为1.3.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上．
（1）求证：AC=AE；
（2）若AC=8，AB=10，且△ABC的面积等于24，求DE的长．
【答案】（1）证明见解析，（2）
【分析】（1）由于DE⊥AB，那么∠AED＝90°，则有∠ACB＝∠AED，联合∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，利用AAS可证．
（2）由△ACD≌△AED，证得DC＝DE，然后根据S△ACB＝S△ACD+S△ADB即可求得DE．
【详解】解：（1）∵∠C＝90°，DE⊥AB
∴∠C＝∠AED＝90°，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC＝AE．
（2）由（1）得：△ACD≌△AED，
∴DC＝DE，
∵S△ACB＝S△ACD+S△ADB，
∴，
又∵AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质．
5．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长AD到E点，使，连接BE． 根据______可以判定 ______，得出______．
这样就能把线段AB、AC、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是．
【方法感悟】
当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【问题解决】
（2）如图2，在中，，D是BC边的中点，，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：．
【问题拓展】
（3）如图3，中，，，AD是的中线，，，且．直接写出AE的长＝______．
【答案】（1）；；；；（2）见解析；（3）8．
【分析】（1）根据三角形全等的判定方法和全等三角形的性质以及三角形三边的关系求解即可；
（2）延长ED使DG=ED，连接FG，GC，根据垂直平分线的性质得到，然后利用SAS证明，得到，，进而得到,最后根据勾股定理证明即可；
（3）延长AD交EC的延长线于点F，根据ASA证明，然后根据垂直平分线的性质得到，最后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）在和中，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴，
解得：；
故答案为：；；；；
（2）如图所示，延长ED使DG=ED，连接FG，GC，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴；
（3）如图所示，延长AD交EC的延长线于点F，
∵，
，
在和中，
，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，“中线加倍”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形．
6．王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点和分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：；
（2）求两堵木墙之间的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）两堵木墙之间的距离为．
【分析】（1）根据同角的余角相等可证，然后利用AAS即可证出；
（2）根据题意即可求出AD和BE的长，然后根据全等三角形的性质即可求出DC和CE，从而求出DE的长．
【详解】（1）证明：由题意得：，，
∴，
∴，
∴
在和中
，
∴；
（2）解：由题意得：，
∵，
∴，
∴，
答：两堵木墙之间的距离为．
【点睛】此题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．
【题型五】尺规作图
典例5．一个缺角的三角形木板，不恢复三角形，请你画出边上的高所在的直线．你是怎样画的？请说明理由．
【答案】画图见解析
【分析】分别过点A和点B画出三角形的两条高线，然后过两条高线的交点作AB的垂线，该直线即是AB边上的高所在的直线．
【详解】解：如图，直线OE即为所求．
步骤：①分别过点A、点B画三角形的高线AC、BD，AC与BD相交于点O；
②过点O作OE⊥AB，垂足为E；
③OE即为AB边上的高所在的直线．
理由：∵AC、BD是三角形的高线，锐角三角形的三高线相交于一点，
∴点O在AB边的上高线上．
∵过点O有且只有一条直线与AB垂直，
∴OE为AB边上的高所在的直线．
【点睛】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，理解三角形的三条高线所在的直线相交于一点是解题的关键．
1．我们学过三角形的相关知识，在“信息技术应用”——画图找规律的实践学习中，我们发现了几个基本事实：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条角平分线交于一点，三角形的三条高所在的直线交于一点．请根据以上的基本事实，解决下面的问题．
如图，钝角三角形中，，分别为，边上的高．
(1)请用无刻度直尺画出边上的高（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，，求高与的比是多少？
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）延长DA交BE的延长线于点G，连接CG交BA延长线于F，即可得出AB边上的高CF ；
（2）利用三角形A BC的面积公式即可得出CF和BE的比例关系．
（1）
解：
如图，线段即为所求作的高．
（2）
解：解：∵，分别是的边，上的高，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形的三角形中的特殊线段，熟练根据三角形的面积公式得出线段的比例关系是解题的关键．
2．尺规作图
已知：，和线段a，求作，使，，．
要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母．
【答案】见解析
【分析】首先作射线进而截取AB=a，再分别以A，B为端点，作∠A=∠α，∠B=2∠β，两条射线交于点C，即可得到所求的△ABC．
【详解】解：如图，△ABC即为所求．
．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，正确掌握作一角等于已知角的方法是解题关键．
3．如图，已知△ABC，用无刻度的直尺和圆规按以下要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)在图①中作△BCD，使其面积与△ABC的面积相等（作出一个满足条件的即可）；
(2)在图②中作△BCE，使其面积是△ABC面积的2倍（作出一个满足条件的即可）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）延长BA，过点A作的等角，得到BC平行线l，D为l上任意一点，连接BD，CD即可
（2）在BA延长线上取，连接CE即可
（1）
如图①，△BCD即为所求
（2）
如图②，△BCE即为所求
【点睛】本题考查三角形面积问题；小问1是等底等高时面积相等，小问2是等底或等高时面积比等于高之比或底之比
4．如图，已知∠1与线段a、b，用直尺和圆规按下列步骤作图(保留作图痕迹，不写作法)
①作∠A=∠1；
②在∠A的两边分别作AB=a、AC=b；
③连接BC．
【答案】见解析
【分析】根据要求①作∠A=∠1；②在∠A的两边分别作AB=a，AC=b；③连接BC．△ABC即为所求．
【详解】解：如图，△ABC即为所求．
．
【点睛】本题考查作图-复杂作图．熟练掌握基本尺规作图的步骤是解答的关键．
【题型六】三角形全等综合
典例6．如图所示，点M是线段AB上一点，ED是过点M的一条直线，连接AE、BD，过点B作BFAE交ED于F，且EM=FM．
（1）若AE=5，求BF的长；
（2）若∠AEC=90°，∠DBF=∠CAE，求证：CD=FE．
【答案】（1）BF=5；（2）见解析．
【分析】（1）证明△AEM≌△BFM即可；
（2）证明△AEC≌△BFD，得到EC=FD，利用等式性质，得到CD=FE．
【详解】（1）∵BFAE，
∴∠MFB=∠MEA，∠MBF=∠MAE，
∵EM=FM，
∴△AEM≌△BFM，
∴AE=BF，
∵AE=5，
∴BF=5；
（2）∵BFAE，
∴∠MFB=∠MEA，
∵∠AEC=90°，
∴∠MFB=90°，
∴∠BFD=90°，
∴∠BFD=∠AEC，
∵∠DBF=∠CAE，AE=BF，
∴△AEC≌△BFD，
∴EC=FD，
∴EF+FC=FC+CD，
∴CD=FE．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等式的性质，熟练掌握平行线性质，灵活进行三角形全等的判定是解题的关键．
1．如图1，在四边形ABDC中，，，，，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且．
（1）求证：．
（2）在图1中，若G在AB上且，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明．
（3）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，，，E在AB上，，且，若，，求BE的长．（用含a，b的代数式表示，可能用到直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半）．
【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析；（3）．
【分析】（1）根据已知推出，根据证明，即可得出结论；
（2）连接，根据证，可得，根据可证，推出即可得出结论；
（3）过C作交的延长线于M，根据全等三角形的性质得出，由（1）（2）可知，分别用含a，b的代数式表示，，最后代入即可得出结论．
【详解】（1）∵，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）如图，连接，
在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）如图，过作交的延长线于，
在和中，
∴，
∴，，
由（1）（2）可知：，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定综合．（1）解题的关键是证明全等三角所需对应角相等；（2）证明两线段和等于一条线段时，通常将两条线段转移到同一条已知线段中，再证明已知线段与求和后的线段相等即可；（3）解题关键在于构造辅助线证明三角形全等．
2．如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且．
(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．
①如图1，若∠BCA＝90°，，则BE_________CF．
②如图2，若0°<∠BCA<180°，请添加一个关于与∠BCA关系的条件__________________，使①中的结论仍然成立，并说明理由；
(2)如图3．若线CD经过∠BCA的外部，，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由
【答案】(1)①BE＝CF；②，理由见解析
(2)EF＝BE＋AF，理由见解析
【分析】（1）①由∠BCA=90°，∠BEC=∠CFA=α=90°，可得∠CBE=∠ACF，从而可证△BCE≌△CAF，故BE=CF．
②若BE=CF，则可使得△BCE≌△CAF．根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，△BCE≌△CAF便可得证．
（2）题干已知条件可证△BCE≌△CAF，故BE=CF，EC=FA，从而可证明EF=BE+AF．
【详解】（1）①∵∠BEC=∠CFA=α=90°，
∴∠BCE+∠CBE=180°-∠BEC=90°．
又∵∠BCA=∠BCE+∠ACF=90°，
∴∠CBE=∠ACF．
在△BCE和△CAF中，
∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE=CF．
②α+∠BCA=180°，理由如下：
∵∠BEC=∠CFA=α，
∴∠BEF=180°-∠BEC=180°-α．
又∵∠BEF=∠EBC+∠BCE，
∴∠EBC+∠BCE=180°-α．
又∵α+∠BCA=180°，
∴∠BCA=180°-α．
∴∠BCA=∠BCE+∠ACF=180°-α．
∴∠EBC=∠FCA．
在△BCE和△CAF中，
∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE=CF．
故答案为：①BE＝CF；②
（2）EF=BE+AF，理由如下：
∵∠BCA=α，
∴∠BCE+∠ACF=180°-∠BCA=180°-α．
又∵∠BEC=α，
∴∠EBC+∠BCE=180°-∠BEC=180°-α．
∴∠EBC=∠FCA．
在△BEC和△CFA中，
∴△BEC≌△CFA（AAS）．
∴BE=CF，EC=FA．
∴EF=EC+CF=FA+BE，即EF=BE+AF．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
3．如图（1），AB=10，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=7，点P在线段AB上以每秒3个单位长度的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t秒．
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1秒时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由；
(2)在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并说明理由；
(3)如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=70°”，其他条件不变，设点Q的运动速度为x个单位长度/秒，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，直接写出相应的x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)全等，理由见解析
(2)PC⊥PQ，理由见解析
(3)存在，x=3个单位长度/秒或x=个单位长度/秒
【分析】（1）结论：△ACP与△BPQ全等，根据SAS证明三角形全等即可；
（2）结论：PC⊥PQ，利用全等三角形的性质解决问题即可；
（3）分两种情形，利用全等三角形的性质构建方程即可解决问题．
（1）
解：△ACP与△BPQ全等，理由如下：
当t=1时，AP=BQ=3，
∵AB=10，
∴BP=AB﹣AP=10﹣3=7，
∵AC=BP=7，
∴BP=AC，
又∵∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
（2）
解：PC⊥PQ，理由如下：
∵△ACP≌△BPQ，
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC＋∠BPQ=∠APC＋∠ACP=90°，
∴∠CPQ=90°，
即PC⊥PQ；
（3）
解：当t=1秒，x=3个单位长度/秒或t=秒，x=个单位长度/秒时，△ACP与△BPQ全等，理由如下：
根据题意得，AP=3t，BP=10﹣3t，BQ=xt，
①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP=7，AP=BQ，
∴10﹣3t=7，
解得：t=1（秒），则x=3（个单位长度/秒）；
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ=7，AP=BP，
则3t=×10=5，解得，t=（秒），
∴xt=7，解得，x=（个单位长度/秒）；
故当t=1秒，x=3个单位长度/秒或t=秒，x=个单位长度/秒时，△ACP与△BPQ全等．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
4．（1）如图1，在四边形中，，，点E、F分别在边上，且，探究图中、、之间的数量关系．
小明探究的方法是：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是______．
（2）如图2，在四边形中，，，点E、F分别在边上，且，探究上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请直接写出与的数量关系为______．
【答案】（1）；（2）仍成立，理由见解析；（3）．
【分析】（1）延长到点G，使，连接，证明和即可得出结论．
（2）延长到点G，使，连接，证明和即可得出结论．
（3）在DC延长线上取一点G，使得，连接AG，证明和，在通过角的和差即可得到结论．
【详解】解：（1）．理由：
如图1，延长到点G，使，连接，证明和即可得出结论．
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）仍成立，理由：
如图2，延长到点G，使，连接，
∵，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，
∴
（3）．
证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得，连接AG，
∵，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．
5．（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；
（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；
（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．
【答案】（1）1＜AD＜6；（2）见解析；（3）结论：EF＝BE﹣FD，证明见解析．
【分析】（1）先证明△CDE≌△BDA（SAS）可得CE＝AB＝5，在△ACE中，利用三角形的三边关系解答即可；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．再证明△BDE≌△CDH（SAS）可得BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系解答即可；
（3）如图3，作辅助线，构建△ABG，同理证明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的结论：EF＝BE﹣DF．
【详解】（1）解：如图1：∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB，
∴△CDE≌△BDA（SAS），
∴EC＝AB＝5，
∵7﹣5＜AE＜7+5，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6，
故答案为1＜AD＜6．
（2）证明：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．
∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，
∵FD⊥EH．DE＝DH，
∴EF＝FH，
在△CFH中，CH+CF＞FH，
∵CH＝BE，FH＝EF，
∴BE+CF＞EF．
（4）结论：EF＝BE﹣FD
证明：如图3中，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
∵AB＝AD，BG＝DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAE＝∠EAF，
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF，
∵EG＝BE﹣BG，
∴EF＝BE﹣FD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中线的性质、三角形的三边关系等知识，掌握倍长中线、构造全等三角形成为本题的关键．
【题型一】三角形的三边关系
典例1．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5．
(1)求CD的取值范围；
(2)若AE∥BD，∠A＝50°，∠BDE＝130°，求∠C的度数．
【答案】(1)1＜CD＜9
(2)80°
【分析】（1）三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，据此可得CD的取值范围；
（2）先根据平行线的性质，得到∠AEF的度数，再根据三角形外角性质，即可得到∠C的度数．
【详解】（1）解：∵△BCD中，BC＝4，BD＝5，
∴5−4＜CD＜5＋4，
∴CD的取值范围是：1＜CD＜9；
（2）解：∵AE∥BD，
∴∠AEF＝∠BDE＝130°，
∵∠AEF是△ACE的外角，
∴∠C＝∠AEF−∠A＝130°−50°＝80°．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系以及平行线的性质和三角形外角的性质，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
1．已知△ABC的三边长分别为1，4，a，化简：．
【答案】
【分析】直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案．
【详解】解：因为△ABC的三边长分别为1，4，a．
所以4-1
∴
．
【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质，正确得出a的取值范围是解题关键．
2．（1）已知一个三角形的两边长分别是4cm、7cm，则这个三角形的周长的取值范围是什么？
（2）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为14cm，BD是AC边上的中线，△ABD比△BCD周长长4cm，求△ABC各边长．
【答案】（1）14
（2）根据三角形中线的定义可得，从而可得再根据的周长是14，，以及，可得进行计算即可解答．
【详解】解：（1）设第三边长为x，根据三角形的三边关系得
∴三角形的周长C的取值范围为：
（2）如图所示：
∵BD是AC边上的中线，
∵△ABD比△BCD周长长4cm，
的周长是14，
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
3．在立方体纸盒的顶点A处有一只蚂蚁，在另一顶点E处有一粒糖，你能为这只蚂蚁设计一条最短路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行，最快捷吃到糖吗？以下提供三个方案：
(1)三种方案①、②、③中爬行路线最短的方案是 ；最长的方案是 ．
(2)请根据数学知识说明理由： ．
【答案】(1)③；①；
(2)三角形的两边之和大于第三边
【分析】（1）根据三种爬行方案，即可求解；
（2）根据题意，分别求出三种方案爬行的路程，再根据三角形的两边之和大于第三边，即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴爬行路线最短的方案是③；最长的方案是①；
故答案为：③；①；
（2）解：根据题意得：方案①爬行的路程为AB+BC+CE，
方案②爬行的路程为AC+CE，
方案③爬行的路程为AE，
如图，
在△ABC中，AB+BC＞AC（三角形的两边之和大于第三边），
∴AB+BC+CE＞AC+CE，
在△ACE中，AC+CE＞AE（三角形的两边之和大于第三边），
∴AB+BC+CE＞AC+CE＞AE，
故答案为：三角形的两边之和大于第三边
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
【题型二】与三角形中位线有关的计算
典例2．如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=10cm，AC=24cm，BC=26cm，∠CAB=90°．
(1)求△ACE与△ABE的周长的差；
(2)求AD的长．
【答案】(1)△ACE与△ABE的周长的差是14cm
(2)AD的长度为cm
【分析】（1）根据三角形中线的性质可知BE=CE，再根据三角形周长公式计算即可；
（2）利用等积法计算即可．
【详解】（1）解：∵AE为BC边上的中线，
∴BE=CE，
∴，
即△ACE与△ABE的周长的差是14cm；
（2）∵，AD是边BC上的高，
∴，
∴，
即AD的长度为cm．
【点睛】本题考查三角形中线的性质，三角形的面积公式．（1）根据三角形中线的性质得出BE=CE是解题关键；（2）利用等积法解题是关键．
1．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠CAB＝90°，求：
（1）AD的长；
（2）△ACE和△ABE的周长的差．
【答案】（1）AD的长度为cm；（2）△ACE和△ABE的周长的差是1cm．
【分析】（1）根据直角三角形的面积计算方法求解即可；
（2）先按图写出两个三角形的周长，再作差计算即可.
【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
∴AB•AC＝BC•AD，
∴AD＝（cm），
即AD的长为cm；
（2）∵AE为BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+CE+AE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝4﹣3＝1（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是1cm．
【点睛】本题考查了利用直角三角形的面积计算斜边上的高和三角形的中线等知识，难度不大，属于基础题型.
2．如图，AD为的中线，点E在AD上，AE=2ED．
(1)当，时，求的度数；
(2)若的面积为30，求的面积．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）根据三角形外角和定理计算即可．
（2）根据三角形的面积的性质计算即可．
（1）
是的外角，
=15°+25°
．
的度数为．
（2）
因为AD为的中线，AE=2ED，
所以，，
因为的面积为30，
所以．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握中线的性质是解题的关键．
3．如图，中，，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒2cm．设运动的时间为t秒．
(1)______．
(2)当t＝______秒时，CP把的周长分成相等的两部分？
(3)当t＝______秒时，CP把的面积分成相等的两部分？
(4)当t为何值时，的面积为12？
【答案】(1)
(2)6
(3)6.5
(4)t为2秒或6.5秒
【分析】（1）根据直角三角形面积等于两条直角边长度乘积的一半即可解答；
（2）先求出△ABC的周长为24，所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP＝BP+BC＝12，再根据时间＝路程÷速度即可求解；
（3）根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；
（4）分两种情况：①P在AC上；②P在AB上，根据三角形面积公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，
∴S△ABC＝AC×BC＝8×6＝24cm2；
（2）解：△ABC中，∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，
∴△ABC的周长＝8+6+10＝24（cm），
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，
此时CA+AP＝BP+BC＝12（cm），
∴2t＝12，
解得t＝6．
故答案为：6；
（3）解：当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时CA+AP＝8+5＝13（cm），
∴2t＝13，
解得t＝6.5．
故答案为：6.5；
（4）解：分两种情况：
①当P在AC上时，
∵△BCP的面积＝12，
∴×6×CP＝12，
∴CP＝4，
∴2t＝4，t＝2；
②当P在AB上时，
∵△BCP的面积＝12＝△ABC面积的一半，
∴P为AB中点，
∴2t＝13，t＝6.5．
故t为2或6.5秒时，△BCP的面积为12．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，利用分类讨论的思想是解（4）题的关键．
4．如图，在的网格中，每一个小格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上．
(1)画出的中线；
(2)画出边上的高；
(3)直接写出的面积________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)6
【分析】（1）根据三角形中线的定义画图即可；
（2）根据三角形高的定义画图即可；
（3）结合图形，利用三角形网格求面积即可．
（1）
解：如图所示，线段BD即为所求；
（2）
如图所示，线段CE即为所求；
（3）
，
故答案为：6．
【点睛】题目主要考查基本的作图，三角形中线、高线，三角形面积等知识，解题关键是学会利用数形结合思想．
【题型三】三角形外角性质
典例3．如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求．
(1)按小明的思路，求的度数；
(2)如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α、β之间的数量关系（并画出相应的图形）．
【答案】(1)
(2)；理由见解析
(3)或者，绘图见解析
【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质得出，，然后求出，，即可得出答案；
（2）过P作交于E，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（3）分两种情况当P在延长线上，当P在DB延长线上，分别画出图形，利用平行线的性质和三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）解：过点P作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
（2）解：，理由：
如图2，过P作交于E，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：①如图所示，当P在延长线上时，
；
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴；
②如图所示，当P在延长线上时，
；
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴；
综上所述：或者．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的应用，三角形外角的性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
1．在如图所示的星形中，，，，，求k的值．
【答案】
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可．
【详解】解：如图：
由三角形的外角性质得，∠1=∠B+∠E，∠3=∠A+∠D，
∠2=∠F+∠GOF=∠F+∠C+∠G，
由三角形的内角和定理得，∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°．
∵∠B+∠C+∠F=14°+15°+16°=45°，
∴∠A+∠D+∠E+∠G=180°-45°=135°=k⋅45°，
∴k=3．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
2．【阅读理解】题目：如图①，∠ABE和∠DCE的边AB与CD互相平行，边BE与CE交于点E．若，，求∠BEC的度数．
老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）．
解：如图②，过点E作．
∴（）．
∵，
∴．
∵（），
∴（）．
∴（）
∵，
∴．
∴（）°
【问题迁移】如图③，D、E分别是∠ABC边AB、BC上的点，在直线DE的右侧作DE的平行线分别交边BC、AB于点F、G．P是线段DG上一点，连结PE、PF．若，，求∠EPF的度数．
【拓展应用】如图④，D、E分别是∠ABC边AB、BC上的点，在直线DE的右侧作DE的平行线分别交边BC、AB于点F、G．P是射线DG上一点，连结PE、PF．若，，直接写出∠EPF与、之间的数量关系．
【答案】【阅读理解】两直线平行，同旁内角互补；已知；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，或平行于同一条直线的两条直线平行；∠DCE；100．
【问题迁移】70°
【拓展应用】∠EPF＝或∠EPF＝．
【分析】[阅读理解]如图②，过点E作EF//AB，根据推理步骤逐步写出答案即可；
[问题迁移]如图，过点P作PQ//DE，先求出∠EPQ=∠DEP=40°，再求∠FPQ=∠GFP=30°，得∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=70°即可；
[拓展应用]当点P在线段DG上，过点P作PQ//DE，先证明∠EPQ=∠DEP=，再证明∠FPQ=∠GFP=B，得∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=+；当点P在线段DG的延长线上时，先证明∠FHE=∠DEP=，已知∠EPF=∠FHE-∠PFA，得∠EPF=-．
【详解】解：【阅读理解】如图②，过点E作．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵，
∴．
∵（已知），
∴（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
∴（∠DCE）
∵，
∴．
∴（100）°．
故答案是：两直线平行，同旁内角互补；已知；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠DCE；100．
【问题迁移】如图，过点P作PQ//DE．
∴∠EPQ＝∠DEP＝40°．
∵DE//FG，
∴PQ//FG．
∴∠FPQ＝∠GFP＝30°．
∴∠EPF＝∠EPQ＋∠FPQ＝70°．
【拓展应用】当点P在线段DG上，过点P作PQ//DE，
∴∠EPQ=∠DEP=，
∵DE//FG
∴PQ//FG
∴∠FPQ=∠GFP=
∴∠EPF=∠EPQ+∠QPF=；
当点P在线段DG的延长线上时，
∴∠FHE=∠DEP=，
∵∠EPF=∠FHE-∠PFA，
∴∠EPF=．
∴∠EPF＝或∠EPF＝．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形的外角性质、角的和差等知识点；熟练掌握平行线的判定与性质、正确作出辅助线是解答本题的关键．
3．如图1，△ABC的外角平分线交于点F．
（1）若∠A＝40°，则∠F的度数为 ；
（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M，N，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A与α+β的数量关系是 ；
（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．
①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由；
②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．
【答案】（1）70°（2） （3）①见解析 ②不成立；或
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠F的度数；
（2）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠BFC的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠A与α+β的数量关系；
（3）①根据（2）中的结论∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定义，即可得到∠A与α，β之间的数量关系；
②分两种情况进行讨论，根据（2）中的结论∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定义，即可得到∠A与α，β之间的数量关系．
【详解】解：（1）如图1，∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣140°＝220°，
又∵△ABC的外角平分线交于点F，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×220°＝110°，
∴△BCF中，∠F＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°；
（2）如图2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，
又∵△ABC的外角平分线交于点F，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×（180°+∠A）＝90°+∠A ，
∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+∠A ）＝90°﹣∠A，
又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，
∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，
∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，
∴α+β+90°﹣∠A＝180°，
即α+β﹣∠A＝90°，
故答案为：α+β﹣∠A＝90°；
（3）①α+β﹣∠A＝90°，理由如下：
如图3，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，
∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，
∴α+β+90°﹣∠A＝180°，
即α+β﹣∠A＝90°，
②当直线MN与线段BC有交点时，①中∠A与α，β之间的数量关系不成立．
分两种情况：
如图4，当M在线段AB上，N在AC延长线上时，
由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，
∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，
∴90°﹣∠A﹣α+β＝180°，
即β﹣α﹣∠A＝90°；
如图5，当M在AB的延长线上，N在线段AC上时，
由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，
∵∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，
∴90°﹣∠A﹣β+α＝180°，
即α﹣β﹣∠A＝90°；
综上所述，∠A与α，β之间的数量关系为β﹣α﹣∠A＝90°或α﹣β﹣∠A＝90°．
【点睛】此题主要考查三角形的角度求解与证明，解题的关键是根据题意分情况作图．
4．如图，已知，直线与交于点，与交于点，射线和射线交于点．
(1)若平分，平分，，则______；
(2)若，，，则______；
(3)将（2）中“”改为“”，其余条件不变，求的度数（用含的代数式表示）；
(4)若将分成两部分，也将分成两部分，，则的度数=______________________（用含的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或或
【分析】（1）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根据三角形外角性质进行计算即可；
（2）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根据三角形外角性质进行计算即可；
（3）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根据三角形外角性质进行计算即可；
（4）分四种情况：①当，时；②当，时；③当，时；④当，时，进行讨论，即可得到的度数．
【详解】（1）解：∵，即，，
∴，
∵平分，平分，，
∴，，
∴．
故答案为：．
（2）解：∵，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴；
故答案为：．
（3）解：∵，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴．
（4）解：①当时，，
∵，
∵将分成两部分，
即，
∴，
∵，
∴，
解得：；
②当时，，
∵将分成两部分，
即，
∴射线和射线无交点；
③当时，，
∵，
∵将分成两部分，
即，
∴，
∵，
∴，
解得：；
④当时，，
∵，
∵将分成两部分，
即，
∴，
∵，
∴，
解得：；
综上可得：的度数为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了角平分线的定义以及三角形外角性质，解本题的关键在（4）中找出所有情况．三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【题型四】证明两个三角形全等
典例4．如图，中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且．
(1)求证：≌；
(2)若，，试求DE的长．
【答案】(1)见解析；
(2)；
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等；全等三角形的判定（角角边）；即可证明；
（2）由（1）结论计算线段差即可解答；
【详解】（1）证明：∵BE∥CF，∴∠BED=∠CFD，
∵∠BDE=∠CDF，BD=CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
（2）解：由（1）结论可得DE=DF，
∵EF=AE-AF=15-8=7，
∴DE=；
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定（AAS）和性质；掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
1．如图，已知，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】由题意易得，然后根据“SAS”可证三角形全等．
【详解】解：∵，
∴，
即，
在和中，，
∴（SAS）．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
2．如图，在ΔABC中． AD是BC边上的中线，交BC于点D．
(1)如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE． 求证：ΔACD≌ΔEBD
(2)如图②，若∠BAC=90°，试探究AD与BC有何数量关系，并说明理由．
(3)如图③，若CE是边AB上的中线，且CE交AD于点O． 请你猜想线段AO与OD之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)AD=，理由见解析
(3)AO=2OD，理由见解析
【分析】（1）利用SAS可得ΔACD≌ΔEBD；
（2）延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．先根据△ACD≌△EBD证得∠C = ∠CBE，AC=BE，进而得到AC∥EB， AD=；再证得△ABC≌△BAE（SAS）利用全等三角形全等的性质即可；
（3）延长OE到点M，使EM=OE，连接AM．延长OD到点N，使DN=OD，连接BM，BN，BO．证得△MOB≌△NBO(ASA)可得MB=NO，进而得到AO=2OD．
【详解】（1）证明：在△ACD和△EBD中，
∴△ACD≌△EBD（SAS）；
（2）解：AD=，理由如下：
延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．如图
由（1）得△ACD≌△EBD
∴∠C = ∠CBE，AC=BE
∴AC∥EB， AD=
∴∠BAC+∠ABE=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAC=∠ABE
在△ABC和△BAE中
∴△ABC≌△BAE（SAS）
∴BC=AE，
∴AD=
（3）AO=2OD，理由如下：
解：延长OE到点M，使EM=OE，连接AM．延长OD到点N，使DN=OD，连接BM，BN，BO．如图，
由（1）得△AOE≌△BME，△ODC≌△NDB
∴∠AOE=∠BME ，∠OCD=∠NBD，AO=BM
∴AO∥BM ，OC∥NB，
∴∠MBO=∠BON ，∠MOB =∠NBO
在△MOB和△NBO中
，
∴△MOB≌△NBO(ASA)
∴MB=NO
∴AO=2OD
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
4．如图1，已知中，，，、分别与过点的直线垂直，且垂足分别为E，D．
(1)猜想线段AD、、三者之间的数量关系，并给予证明．
(2)如图2，当过点C的直线绕点旋转到的内部，其他条件不变，如图2所示，
①线段AD、、三者之间的数量关系是否发生改变？若改变，请直接写出三者之间的数量关系，若不改变，请说明理由；
②若，时，求的长．
【答案】(1)，证明见解析
(2)①发生改变，；②1.3
【分析】（1）证明，可得，CD＝BE， 即可求解；
（2）①证明，可得，CD＝BE， 即可求解；②由①可得，从而得到，即可求解．
【详解】（1）解：， 理由如下：
∵、分别与过点的直线垂直，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
，
，CD＝BE，
∵ DE＝EC＋CD，
；
（2）解：①发生改变．
∵、分别与过点的直线垂直，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
，
，CD＝BE，
∵ DE＝CE-CD，
∴；
②由①知：，
∴，
∴BE的长为1.3.
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上．
（1）求证：AC=AE；
（2）若AC=8，AB=10，且△ABC的面积等于24，求DE的长．
【答案】（1）证明见解析，（2）
【分析】（1）由于DE⊥AB，那么∠AED＝90°，则有∠ACB＝∠AED，联合∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，利用AAS可证．
（2）由△ACD≌△AED，证得DC＝DE，然后根据S△ACB＝S△ACD+S△ADB即可求得DE．
【详解】解：（1）∵∠C＝90°，DE⊥AB
∴∠C＝∠AED＝90°，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC＝AE．
（2）由（1）得：△ACD≌△AED，
∴DC＝DE，
∵S△ACB＝S△ACD+S△ADB，
∴，
又∵AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质．
5．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长AD到E点，使，连接BE． 根据______可以判定 ______，得出______．
这样就能把线段AB、AC、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是．
【方法感悟】
当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【问题解决】
（2）如图2，在中，，D是BC边的中点，，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：．
【问题拓展】
（3）如图3，中，，，AD是的中线，，，且．直接写出AE的长＝______．
【答案】（1）；；；；（2）见解析；（3）8．
【分析】（1）根据三角形全等的判定方法和全等三角形的性质以及三角形三边的关系求解即可；
（2）延长ED使DG=ED，连接FG，GC，根据垂直平分线的性质得到，然后利用SAS证明，得到，，进而得到,最后根据勾股定理证明即可；
（3）延长AD交EC的延长线于点F，根据ASA证明，然后根据垂直平分线的性质得到，最后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）在和中，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴，
解得：；
故答案为：；；；；
（2）如图所示，延长ED使DG=ED，连接FG，GC，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴；
（3）如图所示，延长AD交EC的延长线于点F，
∵，
，
在和中，
，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，“中线加倍”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形．
6．王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（），点在上，点和分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：；
（2）求两堵木墙之间的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）两堵木墙之间的距离为．
【分析】（1）根据同角的余角相等可证，然后利用AAS即可证出；
（2）根据题意即可求出AD和BE的长，然后根据全等三角形的性质即可求出DC和CE，从而求出DE的长．
【详解】（1）证明：由题意得：，，
∴，
∴，
∴
在和中
，
∴；
（2）解：由题意得：，
∵，
∴，
∴，
答：两堵木墙之间的距离为．
【点睛】此题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．
【题型五】尺规作图
典例5．一个缺角的三角形木板，不恢复三角形，请你画出边上的高所在的直线．你是怎样画的？请说明理由．
【答案】画图见解析
【分析】分别过点A和点B画出三角形的两条高线，然后过两条高线的交点作AB的垂线，该直线即是AB边上的高所在的直线．
【详解】解：如图，直线OE即为所求．
步骤：①分别过点A、点B画三角形的高线AC、BD，AC与BD相交于点O；
②过点O作OE⊥AB，垂足为E；
③OE即为AB边上的高所在的直线．
理由：∵AC、BD是三角形的高线，锐角三角形的三高线相交于一点，
∴点O在AB边的上高线上．
∵过点O有且只有一条直线与AB垂直，
∴OE为AB边上的高所在的直线．
【点睛】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，理解三角形的三条高线所在的直线相交于一点是解题的关键．
1．我们学过三角形的相关知识，在“信息技术应用”——画图找规律的实践学习中，我们发现了几个基本事实：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条角平分线交于一点，三角形的三条高所在的直线交于一点．请根据以上的基本事实，解决下面的问题．
如图，钝角三角形中，，分别为，边上的高．
(1)请用无刻度直尺画出边上的高（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，，求高与的比是多少？
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）延长DA交BE的延长线于点G，连接CG交BA延长线于F，即可得出AB边上的高CF ；
（2）利用三角形A BC的面积公式即可得出CF和BE的比例关系．
（1）
解：
如图，线段即为所求作的高．
（2）
解：解：∵，分别是的边，上的高，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形的三角形中的特殊线段，熟练根据三角形的面积公式得出线段的比例关系是解题的关键．
2．尺规作图
已知：，和线段a，求作，使，，．
要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母．
【答案】见解析
【分析】首先作射线进而截取AB=a，再分别以A，B为端点，作∠A=∠α，∠B=2∠β，两条射线交于点C，即可得到所求的△ABC．
【详解】解：如图，△ABC即为所求．
．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，正确掌握作一角等于已知角的方法是解题关键．
3．如图，已知△ABC，用无刻度的直尺和圆规按以下要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)在图①中作△BCD，使其面积与△ABC的面积相等（作出一个满足条件的即可）；
(2)在图②中作△BCE，使其面积是△ABC面积的2倍（作出一个满足条件的即可）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）延长BA，过点A作的等角，得到BC平行线l，D为l上任意一点，连接BD，CD即可
（2）在BA延长线上取，连接CE即可
（1）
如图①，△BCD即为所求
（2）
如图②，△BCE即为所求
【点睛】本题考查三角形面积问题；小问1是等底等高时面积相等，小问2是等底或等高时面积比等于高之比或底之比
4．如图，已知∠1与线段a、b，用直尺和圆规按下列步骤作图(保留作图痕迹，不写作法)
①作∠A=∠1；
②在∠A的两边分别作AB=a、AC=b；
③连接BC．
【答案】见解析
【分析】根据要求①作∠A=∠1；②在∠A的两边分别作AB=a，AC=b；③连接BC．△ABC即为所求．
【详解】解：如图，△ABC即为所求．
．
【点睛】本题考查作图-复杂作图．熟练掌握基本尺规作图的步骤是解答的关键．
【题型六】三角形全等综合
典例6．如图所示，点M是线段AB上一点，ED是过点M的一条直线，连接AE、BD，过点B作BFAE交ED于F，且EM=FM．
（1）若AE=5，求BF的长；
（2）若∠AEC=90°，∠DBF=∠CAE，求证：CD=FE．
【答案】（1）BF=5；（2）见解析．
【分析】（1）证明△AEM≌△BFM即可；
（2）证明△AEC≌△BFD，得到EC=FD，利用等式性质，得到CD=FE．
【详解】（1）∵BFAE，
∴∠MFB=∠MEA，∠MBF=∠MAE，
∵EM=FM，
∴△AEM≌△BFM，
∴AE=BF，
∵AE=5，
∴BF=5；
（2）∵BFAE，
∴∠MFB=∠MEA，
∵∠AEC=90°，
∴∠MFB=90°，
∴∠BFD=90°，
∴∠BFD=∠AEC，
∵∠DBF=∠CAE，AE=BF，
∴△AEC≌△BFD，
∴EC=FD，
∴EF+FC=FC+CD，
∴CD=FE．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等式的性质，熟练掌握平行线性质，灵活进行三角形全等的判定是解题的关键．
1．如图1，在四边形ABDC中，，，，，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且．
（1）求证：．
（2）在图1中，若G在AB上且，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明．
（3）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，，，E在AB上，，且，若，，求BE的长．（用含a，b的代数式表示，可能用到直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半）．
【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析；（3）．
【分析】（1）根据已知推出，根据证明，即可得出结论；
（2）连接，根据证，可得，根据可证，推出即可得出结论；
（3）过C作交的延长线于M，根据全等三角形的性质得出，由（1）（2）可知，分别用含a，b的代数式表示，，最后代入即可得出结论．
【详解】（1）∵，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）如图，连接，
在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）如图，过作交的延长线于，
在和中，
∴，
∴，，
由（1）（2）可知：，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定综合．（1）解题的关键是证明全等三角所需对应角相等；（2）证明两线段和等于一条线段时，通常将两条线段转移到同一条已知线段中，再证明已知线段与求和后的线段相等即可；（3）解题关键在于构造辅助线证明三角形全等．
2．如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且．
(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．
①如图1，若∠BCA＝90°，，则BE_________CF．
②如图2，若0°<∠BCA<180°，请添加一个关于与∠BCA关系的条件__________________，使①中的结论仍然成立，并说明理由；
(2)如图3．若线CD经过∠BCA的外部，，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由
【答案】(1)①BE＝CF；②，理由见解析
(2)EF＝BE＋AF，理由见解析
【分析】（1）①由∠BCA=90°，∠BEC=∠CFA=α=90°，可得∠CBE=∠ACF，从而可证△BCE≌△CAF，故BE=CF．
②若BE=CF，则可使得△BCE≌△CAF．根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，△BCE≌△CAF便可得证．
（2）题干已知条件可证△BCE≌△CAF，故BE=CF，EC=FA，从而可证明EF=BE+AF．
【详解】（1）①∵∠BEC=∠CFA=α=90°，
∴∠BCE+∠CBE=180°-∠BEC=90°．
又∵∠BCA=∠BCE+∠ACF=90°，
∴∠CBE=∠ACF．
在△BCE和△CAF中，
∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE=CF．
②α+∠BCA=180°，理由如下：
∵∠BEC=∠CFA=α，
∴∠BEF=180°-∠BEC=180°-α．
又∵∠BEF=∠EBC+∠BCE，
∴∠EBC+∠BCE=180°-α．
又∵α+∠BCA=180°，
∴∠BCA=180°-α．
∴∠BCA=∠BCE+∠ACF=180°-α．
∴∠EBC=∠FCA．
在△BCE和△CAF中，
∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE=CF．
故答案为：①BE＝CF；②
（2）EF=BE+AF，理由如下：
∵∠BCA=α，
∴∠BCE+∠ACF=180°-∠BCA=180°-α．
又∵∠BEC=α，
∴∠EBC+∠BCE=180°-∠BEC=180°-α．
∴∠EBC=∠FCA．
在△BEC和△CFA中，
∴△BEC≌△CFA（AAS）．
∴BE=CF，EC=FA．
∴EF=EC+CF=FA+BE，即EF=BE+AF．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
3．如图（1），AB=10，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=7，点P在线段AB上以每秒3个单位长度的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t秒．
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1秒时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由；
(2)在（1）的前提条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并说明理由；
(3)如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=70°”，其他条件不变，设点Q的运动速度为x个单位长度/秒，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，直接写出相应的x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)全等，理由见解析
(2)PC⊥PQ，理由见解析
(3)存在，x=3个单位长度/秒或x=个单位长度/秒
【分析】（1）结论：△ACP与△BPQ全等，根据SAS证明三角形全等即可；
（2）结论：PC⊥PQ，利用全等三角形的性质解决问题即可；
（3）分两种情形，利用全等三角形的性质构建方程即可解决问题．
（1）
解：△ACP与△BPQ全等，理由如下：
当t=1时，AP=BQ=3，
∵AB=10，
∴BP=AB﹣AP=10﹣3=7，
∵AC=BP=7，
∴BP=AC，
又∵∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
（2）
解：PC⊥PQ，理由如下：
∵△ACP≌△BPQ，
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC＋∠BPQ=∠APC＋∠ACP=90°，
∴∠CPQ=90°，
即PC⊥PQ；
（3）
解：当t=1秒，x=3个单位长度/秒或t=秒，x=个单位长度/秒时，△ACP与△BPQ全等，理由如下：
根据题意得，AP=3t，BP=10﹣3t，BQ=xt，
①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP=7，AP=BQ，
∴10﹣3t=7，
解得：t=1（秒），则x=3（个单位长度/秒）；
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ=7，AP=BP，
则3t=×10=5，解得，t=（秒），
∴xt=7，解得，x=（个单位长度/秒）；
故当t=1秒，x=3个单位长度/秒或t=秒，x=个单位长度/秒时，△ACP与△BPQ全等．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
4．（1）如图1，在四边形中，，，点E、F分别在边上，且，探究图中、、之间的数量关系．
小明探究的方法是：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是______．
（2）如图2，在四边形中，，，点E、F分别在边上，且，探究上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请直接写出与的数量关系为______．
【答案】（1）；（2）仍成立，理由见解析；（3）．
【分析】（1）延长到点G，使，连接，证明和即可得出结论．
（2）延长到点G，使，连接，证明和即可得出结论．
（3）在DC延长线上取一点G，使得，连接AG，证明和，在通过角的和差即可得到结论．
【详解】解：（1）．理由：
如图1，延长到点G，使，连接，证明和即可得出结论．
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）仍成立，理由：
如图2，延长到点G，使，连接，
∵，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，
∴
（3）．
证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得，连接AG，
∵，
，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．
5．（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；
（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；
（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明．
【答案】（1）1＜AD＜6；（2）见解析；（3）结论：EF＝BE﹣FD，证明见解析．
【分析】（1）先证明△CDE≌△BDA（SAS）可得CE＝AB＝5，在△ACE中，利用三角形的三边关系解答即可；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．再证明△BDE≌△CDH（SAS）可得BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系解答即可；
（3）如图3，作辅助线，构建△ABG，同理证明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF．可得新的结论：EF＝BE﹣DF．
【详解】（1）解：如图1：∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB，
∴△CDE≌△BDA（SAS），
∴EC＝AB＝5，
∵7﹣5＜AE＜7+5，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6，
故答案为1＜AD＜6．
（2）证明：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．
∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，
∵FD⊥EH．DE＝DH，
∴EF＝FH，
在△CFH中，CH+CF＞FH，
∵CH＝BE，FH＝EF，
∴BE+CF＞EF．
（4）结论：EF＝BE﹣FD
证明：如图3中，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
∵AB＝AD，BG＝DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAE＝∠EAF，
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF，
∵EG＝BE﹣BG，
∴EF＝BE﹣FD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中线的性质、三角形的三边关系等知识，掌握倍长中线、构造全等三角形成为本题的关键．
相关试卷
【同步讲义】北师大版数学八年级下册：第四章 因式分解（题型过关）： 这是一份【同步讲义】北师大版数学八年级下册：第四章 因式分解（题型过关），文件包含第四章因式分解原卷版docx、第四章因式分解解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
【同步讲义】北师大版数学七年级下册：第六章 概率初步（题型过关）： 这是一份【同步讲义】北师大版数学七年级下册：第六章 概率初步（题型过关），文件包含第六章概率初步原卷版docx、第六章概率初步解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
【同步讲义】北师大版数学七年级下册：第五章 生活中的轴对称（题型过关）： 这是一份【同步讲义】北师大版数学七年级下册：第五章 生活中的轴对称（题型过关），文件包含第五章生活中的轴对称原卷版docx、第五章生活中的轴对称解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。
