【同步讲义】北师大版数学七年级下册：第五章 生活中的轴对称（题型过关）

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第五章 生活中的轴对称
 
【题型一】探索轴对称的性质
典例1．如图，长方形纸片ABCD，点E，F，C分别在边AD，AB，CD上．将∠AEF沿折痕EF翻折，点A落在点A'处；将∠DEG沿折痕EG翻折，点D落在点D'处．
（1）如图1，若∠AEF＝40°，∠DEG＝35°，求∠A'ED'的度数；
（2）如图1，若∠A'ED'＝α，求∠FEG的度数（用含α的式子表示）；
（3）如图2，若∠A'ED'＝α，求∠FEG的度数（用含α的式子表示）．

【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由折叠的性质，得到，，然后由邻补角的定义，即可求出答案；
（2）由折叠的性质，先求出，然后求出∠FEG的度数即可；
（3）由折叠的性质，先求出，然后求出∠FEG的度数即可．
【详解】解：（1）将∠AEF沿折痕EF翻折，点A落在点A'处；将∠DEG沿折痕EG翻折，点D落在点D'处，
∴，，
∴；
（2）根据题意，则
，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）根据题意，
，，
∵，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了折叠的性质，邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，正确得到，．
1．将书页的一角斜折过去，使角的顶点A落在A'处，BC为折痕，BD平分∠A'BE．
(1)求∠CBD的度数；
(2)若∠A'BE=120°，求∠CBA的度效．

【答案】(1)90°
(2)30°
【分析】（1）由翻折的性质可知∠ABC＝∠BC，所以∠BC＝∠BA，再根据角平分线的定义可得∠BD＝∠BE，然后根据角的和差关系解答即可；
（2）由∠BE＝120°，再根据∠ABC＝∠BC解答即可．
【详解】（1）解：由翻折的性质可知∠ABC＝∠BC，
所以∠BC＝∠BA，
又因为BD平分∠BE，
所以∠BD＝∠BE，
因为∠BA＋∠BE＝180°，
所以∠CBD＝∠BC＋∠BD＝ (∠BA＋∠BE)＝×180°＝90°；
（2）∠AB＝180°−∠BE＝60°，
因为∠ABC＝∠BC，
所以∠CBA＝30°．
【点睛】本题考查了角的计算，主要利用了翻折变换的性质，角平分线的定义，熟记概念与性质是解题的关键．
2．如图，和关于直线l对称，已知，，DF＝5．求∠F的度数和AC的长．

【答案】；AC的长为5
【分析】根据轴对称的性质解答即可．
【详解】∵和关于直线l对称，，，DF＝5
∴，AC=5
在中，，
∴
【点睛】本题考查了轴对称的性质．
3．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′；
（1）求证：△ABD≌△ACD′；
（2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）根据对称得出AD=AD′，根据SSS证△ABD≌△ACD′即可；
（2）根据全等得出∠BAD=∠CAD′，求出∠BAC=∠DAD′，根据对称得出∠DAE=∠DAD′，代入求出即可．
（）证明：∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，
∴，
在△ABD和△ACD′中，
∵ ，
∴ △ABD≌△ACD′（SSS）.
（）解：∵≌，
∴，
∴，
∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，
∴，
即．
点睛：本题考查了轴对称的性质及全等三角形的性质.熟练应用轴对称的性质是解题的关键.
4．如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．

(1)图中点C的对应点是点　　，∠B的对应角是　　；
(2)若DE＝5，BF＝2，则CF的长为　　；
(3)若∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，求∠EAF的度数．
【答案】(1)E，∠D
(2)3
(3)∠EAF＝39°
【分析】（1）根据△ABC和△ADE关于直线MN对称，得到图中点C的对应点是点E，∠B的对应角是∠D；
（2）根据△ABC与△ADE关于直线MN对称，得到△ABC≌△ADE，推出BC＝DE＝5，根据BF＝2，得到CF＝BC﹣BF＝3；
（3）根据∠BAC＝108°和∠BAE＝30°，推出∠CAE＝108°﹣30°＝78°，根据对称性得到∠EAF＝∠CAF，推出∠EAF＝＝39°．
【详解】（1）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，
∴图中点C的对应点是点E，∠B的对应角是∠D；
故答案为：E，∠D．
（2）∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，
∴△ABC≌△ADE，
∴BC＝DE＝5，
∵BF＝2，
∴CF＝BC﹣BF＝3．
故答案为：3．
（3）∵∠BAC＝108°，∠BAE＝30°，
∴∠CAE＝108°﹣30°＝78°，
根据对称性知，∠EAF＝∠CAF，
∴∠EAF＝＝39°．
【点睛】本题主要考查了轴对称，解决问题的关键是熟练掌握轴对称的定义，成轴对称的两个图形的全等性．
5．同学们，我们已经学习了角的平分线的定义，请你用它解决下列问题：

(1)如图1，已知∠AOC，若将∠AOC沿着射线OC翻折，射线OA落在OB处，则射线OC一定平分∠AOB．理由如下：
因为∠BOC是由∠AOC翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以∠BOC=______，所以射线______是∠AOB的平分线；
(2)如图2，将长方形纸片的一角作折叠，使顶点A落在A′处，EF为折痕．
①若EA′恰好平分∠FEB，求出∠FEB的度数；
②过点E再将长方形的另一角∠B做折叠，使点B落在∠FEB的内部B′处（B′不在射线EA′上），EH为折痕，H为EH与射线BC的交点．请猜想∠A′EF，∠B′EH与∠A′EB′三者的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)∠AOC，OC
(2)①
②2∠A′EF+2∠B′EH＝180°﹣∠A′EB′或2∠A′EF+2∠B′EH＝180°+∠A′EB′
【分析】（1）根据角平分线定义即可解决问题；
（2）①根据折叠的性质和角平分线定义可得3∠AEF＝180°，所以∠AEF＝60°，进而可以解决问题；
②根据题意分两种情况讨论：当EB′落在A′E右侧时，当EB′落在A′E左侧时，根据折叠的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：因为∠BOC是由∠AOC翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以∠BOC＝∠AOC，所以射线OC是∠AOB的平分线；
故答案为：∠AOC，OC；
（2）解：①由翻折可知：∠AEF＝∠A′EF，
∵EA′恰好平分∠FEB，
∴∠A′EF＝∠A′EB，
∵∠AEF+∠A′EF+∠A′EB＝180°，
∴3∠AEF＝180°，
∴∠AEF＝60°，
∴∠FEB＝180°﹣60°＝120°；
∴∠FEB的度数为120°；
②根据题意点B落在∠FEB的内部B′处（B′不在射线EA′上），EH为折痕，
∴2∠A′EF+2∠B′EH＝180°±∠A′EB′，
所以分两种情况讨论：
当EB′落在A′E右侧时，2∠A′EF+∠A′EB′+2∠B′EH＝180°，
∴2∠A′EF+2∠B′EH＝180°﹣∠A′EB′；
当EB′落在A′E左侧时，2∠A′EF+2∠B′EH﹣∠A′EB′＝180°，
∴2∠A′EF+2∠B′EH＝180°+∠A′EB′．
综上所述：2∠A′EF+2∠B′EH＝180°﹣∠A′EB′或2∠A′EF+2∠B′EH＝180°+∠A′EB′．
【点睛】本题考查了翻折变换，角平分线的定义，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
6．已知：如图，是一个长方形的台球面，有、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球，才能使先碰到台边反弹后再击中球？在图中画出球的运动线路．

【答案】见解析
【分析】首先作出点A关于FC的对称点，再连接交FC于点P，连接AP，PB，可得A球的运动路线．
【详解】如图所示：运动路线：．

【点睛】本题主要考查生活中的轴对称现象，关键是掌握轴对称的性质．
【题型二】等腰三角形的定义
典例2． 等腰三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为和两部分，求此三角形的腰和底边的长．

【答案】腰和底边长分别为8cm，11cm或10cm，7cm
【分析】根据等腰三角形的性质，可设腰长是x，底边长是y，然后根据已知条件得出方程，求出腰长和底长，再根据三角形的三边关系验证是否构成三角形，最后得出结论．
【详解】解：设腰长为，分两种情况：
.①腰长与腰长的一半是时，，解得，
所以，底边，所以，，能组成三角形；
②腰长与腰长的一半是时，，解得，
所以，底边，
所以，三角形的三边为，，能组成三角形，
综上所述，此三角形的腰和底边的长分别为，或，．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；此题由于没有明确哪部分的长是15和6，所以一定要分情况进行讨论．最后还要注意看是否符合三角形的三边关系．
1．在中，，为的中线，且将周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．

【答案】AB＝AC＝8，BC＝11或AB＝AC＝10，BC＝7．
【分析】根据中线的定义得到AD＝CD，设AD＝CD＝x，则AB＝2x，分类讨论：当AD+AB＝12，BC+CD＝15；当AD+AB＝15，BC+CD＝12，然后分别求出x和BC，即可得到三角形三边的长．
【详解】解：∵DB为△ABC的中线，
∴AD＝CD．
设AD＝CD＝x，则AB=AC＝2x．
分两种情况讨论：
①当AD+AB＝12，BC+CD＝15时，
即x＋2x＝12，BC＋x＝15，
解得：x＝4，BC＝11，
此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝8，BC＝11；
②当AD+AB＝15，BC+CD＝12时，
即x＋2x＝15，BC＋x＝12，
解得：x＝5，BC＝7，
此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝10，BC＝7．
综上所述：AB＝AC＝8，BC＝11或AB＝AC＝10，BC＝7．
【点睛】本题考查了中线的定义以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
2．如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．

(1)当∠BDA=100°时，∠DEC= °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
(2)当DC等于多少时，ABD≌DCE，请说明理由；
(3)点D在运动过程中，ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】(1)100°，小
(2)当DC=2，ABD≌DCE，见解析
(3)可以，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
【分析】（1）根据∠BDA=100°以及∠ADE=40°，即可得出∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE，进而求出∠DEC的度数；
（2）当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE；
（3）分三种情况讨论：①当DA=DE时，②当AD=AE时，③当EA=ED时，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）解：∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=180°-100°-40°=40°，
∠DEC=180°-∠EDC-∠C=180°-40°-40°=100°，
点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；
故答案为：100°，小；
（2）解：当DC=2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C=40°，
∴∠DEC+∠EDC=140°，
又∵∠ADE=40°，
∴∠ADB+∠EDC=140°，
∴∠ADB=∠DEC，
又∵AB=DC=2，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）解：可以，理由如下：
∵∠B=∠C=40°，∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-40°=100°，
分三种情况讨论：
①当DA=DE时，∠DAE=∠DEA，
∵∠ADE=40°，∠ADE+∠DAE+∠DEA=180°，
∴∠DAE=（180°-40°）÷2=70°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-70°=30°，
∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-30°=110°；
②当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°，
∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，
∴∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=180°-40°-40°=100°，
又∵∠BAC=100°，
∴∠DAE=∠BAE，
∴点D与点B重合，不合题意；
③当EA=ED时，∠DAE=∠ADE=40°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-40°=60°，
∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-60°=80°，
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
3．如图所示，已知在中，，，，现将沿射线方向平移到的位置．若平移距离为，求与的重叠部分的面积．

【答案】
【分析】由于，，，易知△是等腰直角三角形，于是，又△是△平移得到的，那么，进而可得重叠部分的图形是等腰直角三角形，于是利用三角形面积公式可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴△是等腰直角三角形，
∴，
∵△是△平移得到的，
∴△≌△，
∴，
∴阴影部分的图形是等腰直角三角形，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查了平移的性质、等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是证明重叠部分是等腰直角三角形．
【题型三】等腰三角形的性质与判定
典例3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，线段AB的垂直平分线MN交BC于D，求证：CD=2BD．

【答案】见解析
【分析】连接，首先根据垂直平分线的性质得到，然后根据AB=AC，求出，，最后根据30°角所对的直角边是斜边的一半即可证明出CD=2BD．
【详解】证明：连接，

∵直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，30°角直角三角形的性质，解题的关键是连接求出．
1．如图，在中，，点D，E分别在边AB，AC上，，连结CD，BE．

（1）若，求，的度数．
（2）写出与之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）；；（2），见解析
【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出，．
（2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含分别表示，，即可得到两角的关系．
【详解】（1），，
．
在中，，
，
，
，
．
．

（2），的关系：．
理由如下：设，．
在中，，
，
．
，
在中，，
．
．
．
．
【点睛】本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质．三角形的内角和等于 ．三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．等腰三角形等边对等角．
2．如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，∠A=∠E，AC=ED．

(1)求证：BC=CD；
(2)连接BD，求证：∠ABD=∠EBD．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）由“AAS”可证，可得；
（2）由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质和平角的性质可得结论．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
（AAS），
；
（2）证明：如图，连接，

，
，
，
，
又，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键．
3．综合与实践：

(1)问题发现如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．请写出的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．
(2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，CM为中DE边上的高，连接BE．
填空：①的度数为_______；
②线段之间的数量关系为_________，并说明理由．
(3)拓展延伸；在（2）的条件下，若，求四边形ABEC的面积．
【答案】(1)∠AEB=60°，AD=BE，理由见解析
(2)①90°，②AE=BE+2CM，理由见解析
(3)35
【分析】（1）先得出∠ACD=∠BCE，进而用SAS判断出△ACD≌△BCE，即可得出结论；
（2）①同（1）的方法，即可得出结论；
②由△ACD≌△BCE得出AD=BE，再判断出DM=CM，即可得出结论．
（3）根据（2）的结论求得AE＝10，再根据四边形ABEC的面积＝△ACE的面积+△ABE的面积，通过计算即可求解．
【详解】（1）解：∵△ACB和△DCE是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC=∠BEC，AD=BE，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°，
∴∠ADC=180°-∠CDE=120°，
∴∠BEC=120°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°；
（2）解：同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC=∠BEC，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∴∠ADC=180°-∠CDE=135°，
∴∠BEC=135°，
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°；
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME，
在Rt△DCE中，CM⊥DE，∠CDM=45°，
∴∠DCM=∠CDM=45°，
∴DM=CM，
∴DM=ME=CM，
∴AE=AD+DE=BE+2CM．
（3）解：由（2）得：∠AEB=90°，AD=BE=4，
∵△DCE均为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，
∴CM⊥AE，∠CDE=∠CED=45°，
∴∠CDE=∠CED=∠DCM=∠ECM=45°，
∴CM=DM=ME，
∴DE＝2CM＝6，
∴AE＝AD+DE＝4+6＝10，
∴四边形ABEC的面积＝△ACE的面积+△ABE的面积
＝AE×CM+AE×BE
＝×10×3+×10×4
＝35；
故答案为：35．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．
4．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，且与点B，C不重合，连接AD．作以∠FAD为直角的等腰直角△ADF．

(1)若AB＝AC，∠BAC＝90°
①当点D在线段BC上时，试探讨CF与BD的数量关系和位置关系；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由；
(2)若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC．上，且CF⊥BD时，如图3，试求∠BCA的度数．
【答案】(1)①，；②存在，详见解析
(2)45°
【分析】（1）①由“SAS”可证△ACF≌△ABD，可得CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，可证CF⊥BD；
②由“SAS”可证△ACF≌△ABD，可得CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，可证CF⊥BD；
（2）过点A作AE⊥AC交BC于E，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“角角边”证明△ACF和△AED全等，可得AC=AE，∠ACE=45°，即△ACE是等腰直角三角形，再根据CF⊥BD可得∠BCA=45°．
【详解】（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，
∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠FCB=90°，
∴CF⊥BD；
②CE=BD，CF⊥BD，理由如下：
如图2，
∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠FCB=90°，
∴CF⊥BD；
（2）如图，过点A作AE⊥AC交BC于E，

∵
∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=90°
∵AE⊥AC
∴∠AEC+∠BCA=90°
∴∠ACF=∠AEC
∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，
∴∠CAF=∠EAD，
在△ACF和△AED中，
，
∴△ACF≌△AED（AAS），
∴AC=AE，
∴∠ACE=45°，
∴∠BCA=45°
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据同角的余角相等求出两边的夹角相等是证明三角形全等的关键，此类题目的特点是各小题求解思路一般都相同．
5．如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接．
(1)如图1，连接，当点在外部时，试说明；

(2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由；

(3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长．

【答案】(1)见解析
(2)△AEF是等腰三角形；理由见解析
(3)
【分析】（1）根据SAS证明三角形全等即可；
（2）△AEF是等腰三角形．证明∠AEF＝∠AFE＝67.5°即可；
（3）延长AF到T，使得FT＝CF，连接AT，DT．证明△ADT是等腰三角形，推出点E是三角形的重心，可得ET＝2EF＝4，再证明EA＝ET，可得结论．
【详解】（1）证明：∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACB＝∠CDE＝90°，
∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∠ADC＋∠ADE＝90°，
∴∠BCD＝∠ADE，
∵CA＝CB，AC＝AD，
∴DA＝CB，
∵在△ADE和△BCD中，
∴△ADE≌△BCD（SAS）．
（2）解：结论：△AEF是等腰三角形．理由如下：
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝67.5°，
∵△ADE≌△BCD，
∴∠DAE＝∠B＝45°，
∴∠EAF＝∠DCF，
∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CDF＝67.5°，
∴∠AFE＝180°−45°−67.5°＝67.5°，
∴∠AFE＝∠AEF＝67.5°，
∴△AEF是等腰三角形．
（3）解：延长CE到T，使得FT＝CF，连接AT，DT，延长DE交AT于点M，如图所示：

∵AF＝DF，CF＝FT，，
∴（SAS）
∴AC＝DT，∠CAD＝∠ADT，
∵AC＝AD，
∴DA＝DT，
∵∠ACD＋∠DCB＝90°，∠CAD＋2∠ACD＝180°，
∴∠CAD＋∠ACD＝90°，
∴∠DCB＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ADT＝2∠DCB，
∵∠DCB＝∠EDT，
∴∠ADE＝∠TDE，
∵DA＝DT，
∴DE⊥AT，
∴DE平分AT，
∵AF＝FD，
∴点E是△ADT是重心，
∴ET＝2EF＝4，
∵DE垂直平分线段AT，
∴EA＝ET＝4，
∵△ADE≌△BCD，
∴BD＝AE＝4．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的重心的性质，属于中考压轴题．
【题型四】画轴对称图形
典例4．如图，在正方形网格上的一个△ABC，且每个小正方形的边长为1(其中点A，B，C均在网格上)．
（1）作△ABC关于直线MN的轴对称图形△A'B'C'；
（2）在MN上画出点P，使得PA+PC最小；
（3）求出△ABC的面积．

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3） ．
【分析】（1）根据题意，可以画出所求的△A′B′C′；
（2）根据最短路线的作法，可以画出点P，使得PA+PC最小；
（3）利用分割法求面积即可．
【详解】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）如图，连接A′C，交MN于点P，则P即为所求；
（3）．

【点睛】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短问题等知识，解题关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
1．如图，在边长为1个单位长度的正方形方格图中，△ABC的顶点都在格点上．按下述要求画图并解答问题：

(1)已知△ABC，直线m，画出△ABC关于直线m对称的图形；分别标出A、B、C三点的对称点D、E、F．
(2)若∠A＝45°，∠B＝64°，求∠F的度数．
【答案】(1)见解析
(2)71°
【分析】（1）利用网格特点，分别作出点A、B、C关于直线m的对称点并连接即可；
（2）先利用三角形内角和是180°，求出∠C，再根据轴对称图形的性质，即可解答．
【详解】（1）解：如图，△DEF即为所求；

（2）解：在△ABC中，∠A=45°，∠B=64°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-64°=71°，
∵△ABC与△DEF关于直线m对称，
∴∠F=∠C=71°
【点睛】本题考查了作图——轴对称变换、轴对称的两个图形的性质，解题关键是熟练掌握几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
2．如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．

(1)利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l；
(2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小；
(3)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)3
【分析】（1）连接对应点，作出对应点连线的垂直平分线；
（2）连接CD，与直线l交于点P；
（3）用割补法进行计算即可．
【详解】（1）解：如图：直线l即为所求，

（2）如图：连接CD，与直线l交于点P，点P即为所求．

（3）．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积的求解，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
3．在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中是一个格点三角形.请在图1和图2中各画出一个与成轴对称的格点三角形，并画出对称轴．

【答案】见解析
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出成轴对称的三角形即可得解；
【详解】与成轴对称的格点三角形如图所示：即为所求．

【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
【题型五】设计轴对称图形
典例5．下图为多个小等边三角形组成的六芒星图案，其中有三个三角形已涂为灰色．

(1)请你在每个图形中再将一个或两个小等边三角形涂为灰色，使其成为轴对称图形．
(2)一颗玻璃弹子在纸上自由滚动，选择你涂好的其中一个图形，计算它停留在灰色区域的概率．
【答案】(1)见解析
(2)概率为（或）
【分析】（1）根据轴对称进行画图即可；
（2）根据概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图所示：下图为所求；

（2）解：选择图①和图②，珠子停留在灰色区域的概率均为：；
选择图③，珠子停留在灰色区域的概率为：．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，概率公式，正确掌握轴对称图形的性质和根据概率公式求概率是解题的关键．
1．已知图形是一个正方形，图形由三个图形构成．请用图形与合拼成一个轴对称图形，并把它画出来，请画出两个轴对称图形．

【答案】见解析
【分析】根据轴对称的定义解答．
【详解】解：如图所示，（答案不唯一）．
  
【点睛】本题考查轴对称图形的概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，熟练地掌握概念是解决问题的关键．
2．如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色.现在要从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使涂成黑色的图形成为轴对称图形.在下面每个网格中分别画出一种符合要求的图形（画出三种即可）．

【答案】见解析
【分析】根据轴对称的性质设计出图案即可．
【详解】解：如图所示．
．
【点睛】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
3．图①、图②、图③是3×3的正方形网格，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：
（1）在图①中选取1个空白小正方形涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．
（2）在图②中选取1个空白小正方形涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形．
（3）在图③中选取2个空白小正方形涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形．（请将三个小题依次作答在图①、图②、图③中，均只需画出符合条件的一种情形）

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析
【分析】（1）根据轴对称定义，在最上一行右边一列涂上阴影即可；
（2）根据中心对称定义，在中间一行、最右一列涂上阴影即可；
（3）在最下一行、中间一列、最左一列涂上阴影即可．
【详解】（1）如图①所示：

（2）如图②所示；
（3）如图③所示．
【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形定义是解题的关键．
【题型六】将军饮马问题
典例6．（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；

（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；

（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的最小值为
【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；
（2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小；
（3）过点C作，交于，于，连接ME，则最小，证明≌，可得，，可证得△COM≌△EOM，从而得到当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，再根据，可得，即可求解．
【详解】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；

理由：根据作法得：，
∴，
∴当点共线时，最小；
（2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小；

理由：根据作法得：，，
∴，
∴当点共线时，的周长最小；
（3）如图，过点C作，交于，于，连接ME，则最小，

，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，，
∵，OM=OM，
∴△COM≌△EOM，
，
，
∴当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，
过点C作CF⊥AB于点F，
∵，，，，
∴，
即，
解得：，
∵，
，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了轴对称性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及其变形的模型．
1．作图（不写作法）

(1)已知：如图1，点在锐角的内部，在边上求作一点，在边上求作一点，使得的周长最小．
(2)已知：如图2，点在锐角的内部，在边上求作一点，使得点到点的距离与点到边的距离之和最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据轴对称确定最短路线问题，作出点M关于OA的对称点M1，点M关于OB的对称点M2，连接M1M2，与OA，OB的交点即为所求的点P，Q；
（2）作出点M关于OB的对称点，根据垂线段最短，作，与的交点即为所求作的点P．
【详解】（1）解：如图，点P，Q即为所求作的点；

（2）如图，点P即为所求作的点．

【点睛】本题考查轴对称确定最短路线问题，掌握相关知识是解题关键．
2．如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么位置可使所用的输气管线最短？

【答案】见解析
【分析】作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，P点即为所求.
【详解】如图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时的值最小，因此泵站修在P点可使所用的输气管线最短.

【点睛】本题是一个将军饮马模型，主要考查了轴对称最短路径问题，解答此题的关键是熟知轴对称的性质和“两点之间，线段最短”这一性质.
3．如图，点A是将军和马居住的营帐，点B是一块儿指定的草地，一条小河L潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，P点在何处时，将军和马儿走过的路的值最小．

(1)请在图中画出最短路径，标出点P的位置；
(2)证明这时最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作点A关于L的对称点，连接交L于点P，P点即为所求；
（2）在L上另取一点，连接、，在中，当点与点P重合时，有：，即：，即问题得证．
【详解】（1）如图，作点A关于L的对称点，连接交L于点P，

P点即为所求．
（2）在L上另取一点，
连接、，在中���A'P'+BP'>A'B�，
当点与点P重合时，有：，
即：，
∴当位于点P时，最小．
【点睛】本题属于一类将军饮马的问题，掌握P点的作图方法是解答本题的关键．