高考数学二轮复习课时跟踪检测11“专题三”补短增分综合练（含答案）

课时跟踪检测（十一）  “专题三”补短增分（综合练）

A组——易错清零练

1．(2018·洛阳模拟)已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为(　　)

A.π　　　　　　　　 B.π

C.π  D．π

解析：选A　将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2.因为球O与正四面体的各棱都相切，所以球O为正方体的内切球，即球O的直径为正方体的棱长2，则球O的体积V＝πR3＝π，故选A.

2.(2018·成都模拟)如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)

A．4π  B．16π

C．24π  D．25π

解析：选C　由三视图知该几何体是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，三条侧棱长分别为2,2,4，将该三棱锥补成一个长方体，可知该三棱锥的外接球直径就是长方体的体对角线，所以外接球直径2R＝＝2，则R＝，故该球的表面积为4πR2＝24π，故选C.

3．(2018·陕西模拟)《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为(　　)

A．2  B．4＋2

C．4＋4  D．4＋6

解析：选C　由三视图知，该几何体是直三棱柱ABC­A1B1C1，其中AB＝AA1＝2，BC＝AC＝，∠C＝90°，其直观图如图所示，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S＝(2＋2)×2＝4＋4，故选C.

4．(2018·湖南长郡中学月考)正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为________．

解析：如图，设正方体的棱长为a，则正方体的表面积为S1＝6a2.正四面体P­ABC的边长为＝a，则其表面积为S2＝4××a×a×sin 60°＝2a2.所以正方体与正四面体的表面积之比为S1∶S2＝6a2∶2a2＝∶1.

答案：∶1

B组——方法技巧练

1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　　)

A．6  B．8

C．10  D．12

解析：选D　根据题中所给的三视图，可以还原几何体，如图所示．

该几何体可以将凸出的部分补到凹进去的地方成为一个长、宽、高分别是3,2,2的长方体，所以该几何体的体积为2×2×3＝12，故选D.

2．(2018·湖南五市十校联考)圆锥的母线长为L，过顶点的最大截面的面积为L2，则圆锥底面半径与母线长的比的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选D　设圆锥的高为h，过顶点的截面的顶角为θ，则过顶点的截面的面积S＝L2sin θ，而0<sin θ≤1，所以当sin θ＝1，即截面为等腰直角三角形时取最大值，故圆锥的轴截面的顶角必须大于或等于90°，得L>r≥Lcos 45°＝L，所以≤<1.

3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，则点B到平面D1AC的距离等于________．

解：如图，连接BD1，易知D1D就是三棱锥D1­ABC的高，AD1＝CD1＝，AC＝2，取AC的中点O，连接D1O，则D1O⊥AC，所以D1O＝＝.

设点B到平面D1AC的距离为h，则由VB­D1AC＝VD1­ABC，即S△D1AC·h＝S△ABC·D1D，又S△D1AC＝D1O·AC＝××2＝，S△ABC＝AB·BC＝×2×2＝2，所以h＝.

答案：

4.如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC­A1B1C1的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE＝2，AC＝AA1＝4，∠E＝60°，点B在线段ED上．

(1)当点B在何处时，平面A1BC⊥平面A1ABB1；

(2)点B在线段ED上运动的过程中，求三棱柱ABC­A1B1C1表面积的最小值．

解：(1)由于三棱柱ABC­A1B1C1为直三棱柱，则AA1⊥平面ABC，

因为BC⊂平面ABC，

所以AA1⊥BC.而AA1∩AB＝A，只需BC⊥平面A1ABB1，

即AB⊥BC，就有“平面A1BC⊥平面A1ABB1”．

在平行四边形ACDE中，因为AE＝2，AC＝AA1＝4，∠E＝60°.

过B作BH⊥AC于H，则BH＝.

若AB⊥BC，有BH2＝AH·CH.

由AC＝4，得AH＝1或3.

两种情况下，B为ED的中点或与点D重合．

(2)三棱柱ABC­A1B1C1的表面积等于侧面积与两个底面积之和．

显然三棱柱ABC­A1B1C1其底面积和平面A1ACC1的面积为定值，只需保证侧面A1ABB1和侧面B1BCC1面积之和最小即可．

过B作BH⊥AC于H，则BH＝.

令AH＝x，则侧面A1ABB1和侧面B1BCC1面积之和等于4(AB＋BC)＝4[＋]．

其中＋可以表示动点(x,0)到定点(0，－)和(4，)的距离之和，当且仅当x＝2时取得最小值．所以三棱柱的表面积的最小值为2××4×＋42＋4×2＝4＋8＋16.

5.(2018·石家庄模拟)如图，已知四棱锥P­ABCD，底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD，过AB的平面ABFE与侧面PCD的交线为EF，且满足S△PEF∶S四边形CDEF＝1∶3.

(1)证明：PB∥平面ACE；

(2)当PA＝2AD＝2时，求点F到平面ACE的距离．

解：(1)证明：由题知四边形ABCD为正方形，

∴AB∥CD，

∵CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，

∴AB∥平面PCD.

又AB⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD＝EF，

∴EF∥AB，∴EF∥CD.

由S△PEF∶S四边形CDEF＝1∶3知E，F分别为PD，PC的中点．

如图，连接BD交AC于点G，则G为BD的中点，连接EG，则EG∥PB.

又EG⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，

∴PB∥平面ACE.

(2)∵PA＝2，AD＝AB＝1，

∴AC＝，AE＝PD＝，

∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，

又CD⊥AD，AD∩PA＝A，

∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.

在Rt△CDE中，CE＝＝.

在△ACE中，由余弦定理知cos∠AEC＝＝，∴sin∠AEC＝，

∴S△ACE＝·AE·CE·sin∠AEC＝.

设点F到平面ACE的距离为h，连接AF，则VF­ACE＝××h＝h.

∵DG⊥AC，DG⊥PA，AC∩PA＝A，∴DG⊥平面PAC.

∵E为PD的中点，

∴点E到平面ACF的距离为DG＝.

又F为PC的中点，∴S△ACF＝S△ACP＝，

∴VE­ACF＝××＝.

由VF­ACE＝VE­ACF，得h＝，得h＝，

∴点F到平面ACE的距离为.

C组——创新应用练

1．某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为(　　)

A．2  B．2

C．4  D．2

解析：选C　本题可以以长方体为载体，设该几何体中棱长为的棱与此长方体的体对角线重合，则此棱各射影分别为相邻三面的对角线，其长度分别为，a，b，设长方体的各棱长分别为x，y，z，则有⇒a2＋b2＝8.所以≥2⇒a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故a＋b的最大值为4.

2．(2018·昆明模拟)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为(　　)

A．63π  B．72π

C．79π  D．99π

解析：选A　由三视图得，凿去部分是一个半球与一个圆柱的组合体，其中半球的半径为3，体积为×π×33＝18π，圆柱的底面半径为3，高为5，体积为π×32×5＝45π.所以凿去部分的体积为18π＋45π＝63π.故选A.

3．(2018·沈阳质检)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A­BCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若△PBD的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是(　　)

解析：选A　如图，作PQ⊥BC于Q，作QR⊥BD于R，连接PR，则由鳖臑的定义知PQ∥AB，QR∥CD，PQ⊥QR.

设AB＝BD＝CD＝1，CP＝x(0≤x≤1)，则＝＝，

即PQ＝，又＝＝＝，

所以QR＝，

所以PR＝＝

＝ ，

又由题知PR⊥BD，

所以f(x)＝ ＝ ，结合选项知选A.

4．(2018·长春模拟)已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则该圆锥体积的最大值为________．

解析：由题意得圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r，高为h，则h＝，所以圆锥的体积V＝πr2h＝πr2＝π.设f(r)＝9r4－r6(r>0)，则f′(r)＝36r3－6r5，令f′(r)＝36r3－6r5＝6r3(6－r2)＝0，得r＝，所以当0<r<时，f′(r)>0，f(r)单调递增，当r>时，f′(r)<0，f(r)单调递减，所以f(r)max＝f()＝108，所以Vmax＝π×＝2π.

答案：2π

5．(2018·惠州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，且图中的三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为________．

解析：将三视图还原为如图所示的三棱锥P­ABC，其中底面ABC是直角三角形，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，BC＝2，PA2＋y2＝102，(2)2＋PA2＝x2，

所以xy＝x

＝x≤＝64，

当且仅当x2＝128－x2，即x＝8时取等号，因此xy的最大值是64.

答案：64

6．(2019届高三·湖北七市(州)联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM­DCP与刍童ABCD­A1B1C1D1的组合体中，AB＝AD，A1B1＝A1D1.

(1)证明：直线BD⊥平面MAC；

(2)若AB＝1，A1D1＝2，MA＝，三棱锥A­A1B1D1的体积V′＝，求该组合体的体积．

解：(1)证明：由题可知ABM­DCP是底面为直角三角形的直棱柱，

∴AD⊥平面MAB，∴AD⊥MA，

又MA⊥AB，AD∩AB＝A，

∴MA⊥平面ABCD，

∴MA⊥BD，又AB＝AD，

∴四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，

又MA∩AC＝A，

∴BD⊥平面MAC.

(2)设刍童ABCD­A1B1C1D1的高为h，

则三棱锥A­A1B1D1的体积V′＝××2×2×h＝，∴h＝，

故该组合体的体积V＝×1××1＋×(12＋22＋)×＝＋＝.