专题七 鳄鱼模型-备战2024年高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破

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专题七　鳄鱼模型
【方法总结】
鳄鱼模型即普通三棱锥模型，用找球心法可以解决．如果已知其中两个面的二面角，则可用秒杀公式：R2＝＋(其中l＝|AB|)解决．

【例题选讲】
[例]　(1)在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为________．
答案　　解析　如图，取中点，连接，，因为与均为边长为2的等边三角形，所以，，则为二面角的平面角，即，设与外接圆圆心分别为，，则由，可得，，分别过作平面，平面的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为，连接，，则由对称性可得，所以，则，则三棱锥外接球的表面积，

(2)在等腰直角中，，，为斜边的高，将沿折叠，使二面角为，则三棱锥的外接球的表面积为________．
答案　　解析　沿折叠后二面角为，即折叠后，所以为等边三角形，又因为，所以折叠后，设点为三棱锥外接球的球心，为的外心，所以，所以，又，所以球心半径，所以．
(3)在四面体ABCD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝90°，二面角A－BD－C的大小为150°，则四面体ABCD外接球的半径为________．
答案　　解析　因为∠BCD＝90°，所以BC⊥CD，设BD的中点为O2，则O2为△BCD外接圆的圆心，由AB＝AD＝2，∠BAD＝60°知，△ABD为等边三角形，设△ABD的外接圆的圆心为O1，连接AO2，则O1在线段AO2上，过O1，O2分别作平面ABD与平面BDC的垂线，交于点O，则O为四面体ABCD外接球的球心，过O2在平面BCD内作O2E⊥BD，交DC于点E，则∠AO2E＝150°，所以∠AO2O＝60°，又O1O2＝，所以OO1＝1，连接OA，又AO1＝，所以OA＝＝＝．
(3)在三棱锥S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝，SA＝SC＝2，二面角S－AC－B的余弦值是－，若S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是(　　)
A．4π　　　　　　　　B．6π　　　　　　　　C．8π　　　　　　　　D．9π
答案　B　解析　如图，取AC的中点D，连接SD，BD．因为SA＝SC，AB＝BC，所以SD⊥AC，BD⊥AC，可得∠SDB即为二面角S－AC－B的平面角，故cos∠SDB＝－．在△ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝，则AC＝＝2，所以CD＝AD＝1．在Rt△SDC中，SD＝＝＝，同理可得BD＝1，由余弦定理得cos∠SDB＝＝－，解得SB＝．在△SCB中，SC2＋CB2＝4＋2＝()2＝SB2，所以△SCB为直角三角形，同理可得△SAB为直角三角形，取SB的中点E，则SE＝EB＝，在Rt△SCB与Rt△SAB中，EA＝＝，EC＝＝，所以点E为该球的球心，半径为，所以该球的表面积为S＝4×π×＝6π，故选B．

(4)已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　D　解析　取中点，中点，易知，，，且平面平面，作交的延长线于，则平面，球心在过与平面垂直的直线上如图：作于，设，由已知条件可得，，，，从而，，在直角三角形中，，在直角三角形中，，由解得，，，
(5)在三棱锥中，，三角形为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大值为时，三棱锥的外接球的表面积为________．
答案　　解析　如图所示，过点作面，垂足为，过点作交于点，连接，则为二面角的平面角的补角，即有，易知面，则，而为等边三角形，所以为中点，设，，，则，故三棱锥的体积为：，当且仅当时，体积最大，则，即，，所以、、三点共线，设三棱锥的外接球的球心为，半径为，过点作于，则四边形为矩形，则，，，在中，，解得，三棱锥的外接球的表面积为．
(6)在体积为的四棱锥中，底面为边长为2的正方形，为等边三角形，二面角为锐角，则四棱锥外接球的半径为　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
答案　A　解析　取的中点，的中点，连接，，，过作于，由，可得，，所以面，可得，，所以面，所以，解得，而为等边三角形，所以，所以，所以可得，可得，，，所以，所以，取的中点，即四边形的对角线的交点，，过作垂直于底面，可得，取为外接球的球心，设外接球的半径为，连接，，则可得，过作于，则四边形为矩形，所以，，当，在面的同侧时，在中，①，在中，②，由①②可得（舍，当，在面的两侧时，在中，③，过在中，②，由②③可得，，所以，
【对点训练】
1．在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥
外接球的表面积是　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
2．已知三棱锥，，且、均为等边三角形，二面角的平面角为，
则三棱锥外接球的表面积是________．
3．已知边长为6的菱形中，，沿对角线折成二面角的大小为的四面
体且，则四面体的外接球的表面积为________．
4．在三棱锥中，顶点在底面的投影是的外心，，且面与底面
所成的二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为________．
5．直角三角形，，，将绕边旋转至位置，若二面角
的大小为，则四面体的外接球的表面积的最小值为　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
6．已知空间四边形中，，，，若二面角的取值范围
为，，则该几何体的外接球表面积的取值范围为________．
7．在三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，，，二面角
的大小为，则此三棱锥的外接球的表面积为________．
8．在四面体中，，，二面角的平面角为，则
四面体外接球的表面积为　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
9．在三棱锥中，，，二面角是钝角．若三棱锥
的体积为2．则三棱锥的外接球的表面积是　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
10．在平面五边形中，，，，，且．将
五边形沿对角线折起，使平面与平面所成的二面角为，则沿对角线折起后所得几何体的外接球的表面积是________．