专题一 墙角模型- 高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破

专题一　墙角模型

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点．考查学生的空间想象能力以及化归能力．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．

球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．

空间几何体的外接球与内切球十大模型

1．墙角模型；2．对棱相等模型；3．汉堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鳄鱼模型；8．已知球心或球半径模型；9．最值模型；10．内切球模型．

【方法总结】

墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：

【例题选讲】

[例]　(1)已知三棱锥A－BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC＝，BC＝2，CD＝，则球O的表面积为(　　)

A．12π　　　　　　　　B．7π　　　　　　　　C．9π　　　　　　　　D．8π

答案　A　解析　由AC⊥平面BCD，BC⊥CD知三棱锥A－BCD可构造以AC，BC，CD为三条棱的长方体，设球O的半径为R，则有(2R)2＝AC2＋BC2＋CD2＝3＋4＋5＝12，所以S球＝4πR2＝12π，故选A．

(2)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，，则该三棱锥的外接球半径为(　　)．

A．3　　　　　　　　　B．6　　　　　　　　　C．36　　　　　　　　D．9

答案　A　解析　，，故选A．

(3)已知S，A，B，C，是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积等于(　　)．

A．4π　　　　　　　　　B．3π　　　　　　　　　C．2π　　　　　　　　D．π

答案　　解析　由已知，， π．

(4)在正三棱锥S－ABC中，M，N分别是棱SC，BC的中点，且，若侧棱，则正三棱锥S－ABC外接球的表面积是________．

答案　　解析　，，，，平面，，，，，平面，，故三棱锥的三棱条侧棱两两互相垂直，，即，正三棱锥外接球的表面积是．

(5)(2019全国Ⅰ)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为(　　)．

A．　　　　　　　B．　　　　　　　C．　　　　　　　D．

答案　D　解析　解法一：为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，，又，分别为，的中点，，，又，平面，∴平面，，为正方体的一部分，，，即，故选D．

解法二：设，分别为的中点，，且，为边长为2的等边三角形，，又，，中，由余弦定理可得，作于，，为的中点，，，，，又，两两垂直，，，，故选D．

(6)已知二面角α－l－β的大小为，点P∈α，点P在β 内的正投影为点A，过点A作AB⊥l，垂足为点B，点C∈l，BC＝2，PA＝2，点D∈β，且四边形ABCD满足∠BCD＋∠DAB＝π．若四面体PACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为________．

答案　8π　解析　∵∠BCD＋∠DAB＝π，∴A，B，C，D四点共圆，直径为AC，∵PA⊥平面β，AB⊥l，∴易得PB⊥l，即∠PBA为二面角α－l－β的平面角，即∠PBA＝，∵PA＝2，∴BA＝2，∵BC＝2，∴AC＝2．设球的半径为R，则2－＝，∴R＝，V＝()3＝8π．

【对点训练】

1．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则该球的

表面积为(　　)

A．7π　　　　　　　B．14π　　　　　　　C．π　　　　　　　D．

2．等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B－AD－C，则三棱

锥B－ACD的外接球的表面积为(　　)

A．5π　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．10π　　　　　　　　D．34π

3．已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体

积等于________.

4．已知四面体P－ABC四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝1，AB＝PB

＝2，则球O的表面积为________．

5．三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，三棱锥P－ABC的外接球的体

积为(　　)

A．π　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．27π　　　　　　　　D．27π

6．在空间直角坐标系Oxyz中，四面体ABCD各顶点的坐标分别为A(2，2，1)，B(2，2，－1)，C(0，2，

1)，D(0，0，1)，则该四面体外接球的表面积是(　　)

A．16π　　　　　　B．12π　　　　　　C．4π　　　　　　D．6π

7．在平行四边形ABCD中，∠ABD＝90°，且AB＝1，BD＝，若将其沿BD折起使平面ABD⊥平面BC

D，则三棱锥A－BDC的外接球的表面积为(　D　)

A．2π　　　　　　　　B．8π　　　　　　　　C．16π　　　　　　　　D．4π

8．在正三棱锥S－ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝2，则正三棱锥S－ABC的

外接球的表面积为(　　)

A．6π　　　　　　　　B．12π　　　　　　　　C．32π　　　　　　　　D．36π

9．在古代将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，已知四面体A－BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，

且AB＝BC＝CD，若此四面体的体积为，则其外接球的表面积为________．

10．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3的正方形，AA1＝3，E是线段A1B1上一点，