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2023-2024学年苏科版九年级上册开学考试数学试卷（盐城地区）
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这是一份2023-2024学年苏科版九年级上册开学考试数学试卷（盐城地区），共14页。试卷主要包含了下列式子中，最简二次根式是，若关于x的一元二次方程等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年苏科版九年级上学期开学考试数学试卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一．选择题(每小题3分 共30分)
1．下列式子中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
3．把水匀速滴进如图所示玻璃容器，那么水的高度随着时间变化的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
4．一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，并按得分的1：4：3的比例确定选手个人总分，已知某位选手三方面的得分分别为88，72，50，则这位选手个人总分为（ ）
A．68.24 B．64.56 C．65.75 D．67.32
5．一元二次方程y2+y＝0，配方后可化为（ ）
A．（y+）2＝1 B．（y﹣）2＝1 C．（y+）2＝ D．（y﹣）2＝
6．如图，已知长方形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长先增大后变小
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
7．如图，反比例函数y1=和正比例函数y2═k2x的图象交于A（﹣2，﹣3），B（2，3）两点．若x，则x的取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜0 B．﹣2＜x＜2 C．x＜﹣2或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0 或x＞2
8．正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
9．将6×6的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形ABCD的顶点都在格点上，若直线y＝kx（k≠0）与正方形ABCD有公共点，则k的值不可能是（ ）
A． B．1 C． D．
10.已知实数m，n同时满足m2＋n2－12＝0，m2－5n－6＝0，则n的值为(A)
A. 1 B. 1，－6 C. －1 D. －6
二．题空题(每小题3分 共30分)
11．把长方形ABCD沿着直线EF对折，折痕为EF，对折后的图形EB′GF的边FG恰好经过点C，若∠AFE＝55°，则∠CEB'＝ ．
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
12．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝，CD＝8，则四边形ABCD的面积为 ．
13.如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y=（k＞0）经过A、E两点， 若平行四边形AOBC的面积为30，则k=_________．
14. 如图，点A在双曲线y=上，且OA=4，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，△ABC的周长为2，则k=_________
15．若关于x的分式方程+=2有增根，则m的值是___________
16. 已知菱形的边长为6，，如果点是菱形内一点，且，那么的长为_________．
17．如图1有两张等宽的矩形纸片，矩形不动，将矩形按如下方式缠绕：如图2所示，先将点与点重合，再先后沿、对折，点、点所在的相邻两边不重叠、无空隙，最后点刚好与点重合，则图1中两张纸片的长度之比AD:EG=____
第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
18. 在图中，一次函数与反比例函数的图象交点为A、B．则一次函数值小于反比例函数值时x的取值范围是_____________.
19.已知，如上右图，动点P在函数y=（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=﹣x+1相交于点E，F，则AF•BE的值是_____________
20．如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为__________.
三．解答题（90分）
21．（18分）解方程
(1)（公式法） (2)（配方法）；
(3)（因式分解法） (4)（适当的方法）．
(5)x2+2x﹣1＝0；（用配方法） (6)3x2+5x＝3x+3．（选择适当的方法）
22．（8分）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
（Ⅰ）AC的长度等于 ；
（Ⅱ）在图中有一点P，若连接AP，PB，PC，满足AP平分∠A，且PC＝PB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
23．（10分）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．两车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题：
（1）慢车的速度为 km/h，快车的速度为 km/h；
（2）解释图中点C的实际意义并求出点C的坐标；
（3）求当x为多少时，两车之间的距离为500km．
24. （10分）阅读下面问题：＝＝－1；＝＝－；
＝＝－；试求：
（1）＝________；
（2）当n为正整数时，＝________；
（3）求＋＋＋…＋＋的值．
25. （10分）如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为4， （1）求 k的值；（2）利用图形直接写出不等式x＞的解；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y=（k＞0）于P，Q两点（P点在第一象限），若由点 A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为 24，求点 P的坐标．
26.（10分）如图铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得：
（1）①若C、D两村到E站的距离相等，则E站应建立在离A站多少km处？②若E站到C、D站的距离之和最短，则E站应建立在离A站多少km处？
（2）受（1）小题第②问启发，你能否解决以下问题：正数a、b满足条件a+b＝5，且，则s的最小值＝ ．
27．（12分）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：＝＝x+＝x﹣1+，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．根据以上阅读材料解答下列问题：
（1）假分式可化为带分式 形式；
（2）利用分离常数法，求分式的取值范围；
（3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，则m2+n2+mn的最小值为 ．
28．（12分）【阅读理解】对于任意正实数a、b，因为≥0，所以a﹣≥0，所以a+b≥，只有当a=b时，等号成立．
【获得结论】在a+b≥2（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2，只有当a=b时，a+b有最小值2．
根据上述内容，回答下列问题：若m＞0，只有当m= 时，m+有最小值 ．
【探索应用】如图，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），P为双曲线上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
教师样卷
一．选择题(每小题3分 共30分)
1．下列式子中，最简二次根式是（ B ）
A． B． C． D．
解：A、＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意；C、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B．
2．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ A ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
解：把x=0代入方程（a+1）x2+x+a2﹣1=0得：a2﹣1=0，解得：a=±1，∵方程为一元二次方程，∴a+1≠0，∴a≠﹣1，∴a=1，故选：A．
3．把水匀速滴进如图所示玻璃容器，那么水的高度随着时间变化的图象大致是（ D ）
A．B．C．D．
解：因为根据图象可知，物体的形状为首先大然后变小最后又变大，而水滴的速度是相同的，
所以开始与最后上升速度慢，中间上升速度变快，故选：D．
4．一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，并按得分的1：4：3的比例确定选手个人总分，已知某位选手三方面的得分分别为88，72，50，则这位选手个人总分为（ C ）
A．68.24 B．64.56 C．65.75 D．67.32
解：这位选手个人总分为＝65.75，故选：C．
5．一元二次方程y2+y＝0，配方后可化为（ A ）
A．（y+）2＝1 B．（y﹣）2＝1 C．（y+）2＝ D．（y﹣）2＝
解：∵y2+y＝0，∴y2+y＝，则y2+y+＝+，即（y+）2＝1，故选：A．
6．如图，已知长方形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（ C ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长先增大后变小
解：连接AR．∵E、F分别是AP、RP的中点，∴EF为△APR的中位线，∴EF=AR，为定值．∴线段EF的长不改变．故选：C．
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
7．如图，反比例函数y1=和正比例函数y2═k2x的图象交于A（﹣2，﹣3），B（2，3）两点．若x，则x的取值范围是（ C ）
A．﹣2＜x＜0 B．﹣2＜x＜2 C．x＜﹣2或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0 或x＞2
8．正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（ D ）
A．10 B．12 C．14 D．16
解：连DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，在梯形GDBE中，S△GDB=S△EDB（同底等高）
∴S△GDB﹣公共三角形=S△EDB﹣公共三角形即∴S△DGE=S△GEB，S△GKE=S△GFE同理S△GKE=S△GFE∴S阴影=S△DGE+S△GKE=S△GEB+S△GEF=S正方形GBEF=42=16故选：D．
9．将6×6的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形ABCD的顶点都在格点上，若直线y＝kx（k≠0）与正方形ABCD有公共点，则k的值不可能是（ D ）
A． B．1 C． D．
解：由图象可知A（1，2），C（2，1），把A的坐标代入y＝kx中，求得k＝2，把C的坐标代入y＝kx中，求得k＝，根据图象，当时，直线y＝kx（k≠0）与正方形ABCD有公共点，所以，k的值不可能是D，故选：D．
10.已知实数m，n同时满足m2＋n2－12＝0，m2－5n－6＝0，则n的值为(A)
A. 1 B. 1，－6 C. －1 D. －6
解:两式相减，得 (m2＋n2－12)－(m2－5n－6)＝0，∴m2＋n2－12－m2＋5n＋6＝0，∴n2＋5n－6＝0，即(n＋6)(n－1)＝0，∴n1＝－6，n2＝1.把n＝－6代入m2＋n2－12＝0，得m2＝－24，不合题意，舍去；把n＝1代入m2＋n2－12＝0，得m2＝11，即m＝±，∴n＝1.
二．题空题(每小题3分 共30分)
11．把长方形ABCD沿着直线EF对折，折痕为EF，对折后的图形EB′GF的边FG恰好经过点C，若∠AFE＝55°，则∠CEB'＝ 70° ．
解：如图，在长方形ABCD中，AD∥BC，则∠FEC＝∠AFE＝55°．∴∠BEF＝180°﹣55°＝125°．根据折叠的性质知：∠B′EF＝∠BEF＝125°．∴∠CEB'＝∠B′EF﹣∠FEC＝125°﹣55°＝70°．故答案是：70°．
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
12．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝，CD＝8，则四边形ABCD的面积为 12 ．
解：连接BD．∵AD＝AB＝4，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AD＝4，
∵BC＝4，CD＝8，∴BC2＝BD2+CD2，∴∠BDC＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝×42+×4×4＝4+8＝12，故答案为12．
13.如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y=（k＞0）经过A、E两点， 若平行四边形AOBC的面积为30，则k=____10______．
解：如图，过A作AD⊥OB于D，EF⊥OB于F，设A（x，），B（a，0），∵四边形AOBC是平行四边形，∴AE=EB，∴EF为△ABD的中位线， ∴EF=AD=，DF=（a-x），OF=OD+DF=，∴E（，），∵E在双曲线y=上，∴•=k，∴a=3x，∵S▱AOBC=OB•AD=30，∴a•=3x•=3k=30，解得：k=10．故答案为10．
14. 如图，点A在双曲线y=上，且OA=4，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，△ABC的周长为2，则k=_________【答案】6 解：∵OA的垂直平分线交OC于B，∴AB=OB，∴△ABC的周长=OC+AC，∴OC+AC=2①，∵OA=4，AC⊥x轴，垂足为C，∴AC2+OC2=16②，由①②可得：AC•OC=6，∴k=6，故答案为6．
15．若关于x的分式方程+=2有增根，则m的值是___﹣1__________
解：方程两边都乘以（x﹣3）得，2﹣x﹣m=2（x﹣3），∵分式方程有增根，∴x﹣3=0，解得x=3，∴2﹣3﹣m=2（3﹣3），解得m=﹣1．
16. 已知菱形的边长为6，，如果点是菱形内一点，且，那么的长为__4或2． ________．
解：当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M，∵AD=AB，DP=BP，∴AP⊥BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），在直角△ABM中，∠BAM=30°，∴AM=AB•cos30°=3，BM=0.5AB=3，∴PM==，∴AP=AM+PM=4；当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点MAP=AM-PM=2；当P与M重合时，PD=PB=3，与PB=PD=2矛盾，舍去．AP的长为4或2．故答案为：4或2．
17．如图1有两张等宽的矩形纸片，矩形不动，将矩形按如下方式缠绕：如图2所示，先将点与点重合，再先后沿、对折，点、点所在的相邻两边不重叠、无空隙，最后点刚好与点重合，则图1中两张纸片的长度之比AD:EG=_____
解：由题意可知，，，，，，由折叠过程可知，，，是等边三角形，，，，，，，，，，
，设，，，，在中，，
，，，，
第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
18. 在图中，一次函数与反比例函数的图象交点为A、B．则一次函数值小于反比例函数值时x的取值范围是___ 或 ___________.
解：解方程组，得或.所以A点坐标为，B点坐标为，∴当或 ，一次函数值小于反比例函数值．
19.已知，如上右图，动点P在函数y=（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=﹣x+1相交于点E，F，则AF•BE的值是________1___________
解:作FG⊥x轴，∵P的坐标为（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA，∴N的坐标为（0，），M点的坐标为（a，0），∴BN=1﹣，在直角△BNF中，∠NBF=45°，OB=OA=1，△OAB是等腰直角三角形，∴NF=BN=1﹣，∴F点的坐标为（1﹣，），同理可得出E点的坐标为（a，1﹣a），∴AF2=（1﹣1+）2+（）2=，BE2=a2+（﹣a）2=2a2，∴AF2•BE2=•2a2=1，即AF•BE=1．故选C．
20．如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为____10______.
解：如图：连接PD，DE，∵AD＝12，AB＝8，EB＝3∴AE＝AB﹣EB＝5，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝90°，∴，由翻折可得PE＝EB，∴PE＝4，∵DP≥DE﹣EP，∴当E，P，D三点共线时，DP最小，∴DP最小值＝DE﹣EP＝13﹣3＝10．选：A．
三．解答题（90分）
21．（18分）解方程
(1)（公式法） (2)（配方法）； (3)（因式分解法） (4)（适当的方法）．
(5)x2+2x﹣1＝0；（用配方法） (6)3x2+5x＝3x+3．（选择适当的方法）
【答案】(1)解：∵，∴，，，∴，∴，∴，；
(2)解：∵，∴，∴，∴， ∴，∴，∴，；
(3)解：∵∴，∴，∴，∴，；
(4)解：∵，∴，∴，∴，．
(5)解：x2+2x﹣1＝0，x2+2x＝1，x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，∴x+1＝±，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
(6) 解：3x2+5x＝3x+3，3x2+2x-3=0∵a＝3，b＝2，c＝-3，∴Δ＝22﹣4×3×（﹣3）＝40＞0， ∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．
22．（8分）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
（Ⅰ）AC的长度等于 5 ；
（Ⅱ）在图中有一点P，若连接AP，PB，PC，满足AP平分∠A，且PC＝PB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 取格点O、E、F，M，N，作射线AO，连接EF，MN交网格线于H，Q，HQ与射线AO的交点于点P，点P即为所求 ．
解：（Ⅰ）AC＝，故答案为：5；
（2）如图所示：点P即为所求：故答案为：取格点O、E、F，M，N，作射线AO，连接EF，MN交网格线于H，Q，HQ与射线AO的交点于点P，点P即为所求．
23．（10分）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．两车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题：
（1）慢车的速度为 80 km/h，快车的速度为 120 km/h；
（2）解释图中点C的实际意义并求出点C的坐标；
（3）求当x为多少时，两车之间的距离为500km．
解：（1）设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h，根据题意，得，解得，故答案为80，120；（2）图中点C的实际意义是：快车到达乙地；∵快车走完全程所需时间为720÷120＝6（h），∴点C的横坐标为6，纵坐标为（80+120）×（6﹣3.6）＝480，即点C（6，480）；（3）由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为500km．即相遇前：（80+120）x＝720﹣500，解得x＝1.1，相遇后：∵点C（6，480），∴慢车行驶20km两车之间的距离为500km，∵慢车行驶20km需要的时间是＝0.25（h），∴x＝6+0.25＝6.25（h），故x＝1.1 h或6.25 h，两车之间的距离为500km．
24. （10分）阅读下面问题：＝＝－1；＝＝－；
＝＝－；试求：
（1）＝________；
（2）当n为正整数时，＝________；
（3）求＋＋＋…＋＋的值．
解：（1），故答案为：；
（2），故答案为：；
（3）
．
25. （10分）如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为4， （1）求 k的值；（2）利用图形直接写出不等式x＞的解；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y=（k＞0）于P，Q两点（P点在第一象限），若由点 A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为 24，求点 P的坐标．
解：（1）∵直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为 4，∴×4=2，即：A点的坐标为（4，2），∴k=4×2=8， 即：k的值为 8．（2）∵点 A与点 B关于原点 O对称，∴点B的坐标为（﹣4，﹣2），又∵不等式x＞的解，是函数图象上直线位于双曲线上方的部分对应的x的取值，∴由图象可知：不等式 x＞的解是：﹣4＜x＜0和x＞4．（3）作AM⊥x轴于点M，PN⊥x轴于点N．设P点的坐标为（a，）．∵P、Q 关于 O 点对称，A、B 关于 O 点对称，∴四边形 APBQ 为平行四边形，∴4S△OAP=24∴S△OAP=6．①当点 P 在直线 AB 的下方时，如图 1 所示，
S△OAP=×4×2+（+2）（a﹣4）﹣a•=6，∴a2﹣6a﹣16=0，解得：a1=﹣2，a2=8，∴此时点P的坐标为（8，1）；②当点 P 在直线 AB 的上方时，如图 2 所示，S△OAP=a•+（+2）（4﹣a）﹣×4×2=6， ∴a2+6a﹣16=0，解得：a1=2，a2=﹣8，∴此时点P的坐标为（2，4）．综上所述：点P的坐标为（8，1）或（2，4）．
26． （10分）如图铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得：
（1）①若C、D两村到E站的距离相等，则E站应建立在离A站多少km处？②若E站到C、D站的距离之和最短，则E站应建立在离A站多少km处？
（2）受（1）小题第②问启发，你能否解决以下问题：正数a、b满足条件a+b＝5，且，则s的最小值＝ ．
解：（1）①设AE＝xkm，则BE＝（25﹣x）km，在Rt△DAE中，DE2＝DA2+AE2＝225+x2在Rt△CBE中，CE2＝BE2+BC2＝（25﹣x）2+100，∵DE2＝CE2，∴x＝10，∴AE＝10km．答：E站应建立在离A站10km处；
②“将军饮马”问题，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E′，即E′站到C、D站的距离之和最短，过点D′作D′F⊥CB的延长线于点F，则∠F＝90°，D′F＝AB＝25，CF＝CB+BF＝CB+AD′＝CB+AD＝25，∴D′F＝CF，∴CD′＝＝25． E′C+E′D的最小值即为CD′，此时∠BCE′＝45°，∴∠AE′D′＝∠CE′B＝45°，
∴∠AD′E′＝∠ADE′＝45°，∴AE′＝AD＝15km．答：E站应建立在离A站15km处；
（2）同（1）②的方法：s＝＝，
则s表示点（a，0）到（0，4）和（5，3）距离之和的最小值，∴s的最小值＝＝．故答案为：．
27．（12分）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：＝＝x+＝x﹣1+，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．根据以上阅读材料解答下列问题：
（1）假分式可化为带分式 1+ 形式；
（2）利用分离常数法，求分式的取值范围；
（3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，则m2+n2+mn的最小值为 27 ．
解：（1）＝＝1+，故答案为：1+；（2）＝＝2+，∵x2+1≥1，∴0＜≤3，∴2＜≤5；（3）∵＝＝5x﹣1﹣，而分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，∴5x﹣1＝5m﹣11，n﹣6＝﹣（x+2），∴m＝x+2，n＝﹣x+4，∴m+n＝6，mn＝（x+2）（﹣x+4）＝﹣x2+2x+8，而m2+n2+mn＝（m+n）2﹣mn＝36﹣（﹣x2+2x+8）＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27，∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+27≥27，∴当x＝1时，m2+n2+mn最小值是27．故答案为：27．
28．（12分）【阅读理解】对于任意正实数a、b，因为≥0，所以a﹣≥0，所以a+b≥，只有当a=b时，等号成立．
【获得结论】在a+b≥2（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2，只有当a=b时，a+b有最小值2．
根据上述内容，回答下列问题：若m＞0，只有当m= 1 时，m+有最小值 2 ．
【探索应用】如图，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），P为双曲线上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
解：（1）根据题目所给信息可知m+≥2，且当m=时等号，∴当m=1时，m+≥2，即当m=1时，m+有最小值2，故答案为：1，2；
（2）设P（x，），则C（x，0），D（0，），∴CA=x+3，BD=+4，∴S四边形ABCD=CA×BD=（x+3）（+4），化简得：S=2（x+）+12，∵x＞0，＞0，∴x+≥2=6，
只有当x=，即x=3时，等号成立，∴S≥2×6+12=24．∴S四边形ABCD有最小值24，
此时，P（3，4），C（3，0），D（0，4），AB=BC=CD=DA=5，∴四边形ABCD是菱形．
2023-2024学年苏科版九年级上学期开学考试数学试卷
（时间：120分钟 满分：150分）
一．选择题(每小题3分 共30分)
1．下列式子中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
3．把水匀速滴进如图所示玻璃容器，那么水的高度随着时间变化的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
4．一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，并按得分的1：4：3的比例确定选手个人总分，已知某位选手三方面的得分分别为88，72，50，则这位选手个人总分为（ ）
A．68.24 B．64.56 C．65.75 D．67.32
5．一元二次方程y2+y＝0，配方后可化为（ ）
A．（y+）2＝1 B．（y﹣）2＝1 C．（y+）2＝ D．（y﹣）2＝
6．如图，已知长方形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长先增大后变小
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
7．如图，反比例函数y1=和正比例函数y2═k2x的图象交于A（﹣2，﹣3），B（2，3）两点．若x，则x的取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜0 B．﹣2＜x＜2 C．x＜﹣2或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0 或x＞2
8．正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
9．将6×6的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形ABCD的顶点都在格点上，若直线y＝kx（k≠0）与正方形ABCD有公共点，则k的值不可能是（ ）
A． B．1 C． D．
10.已知实数m，n同时满足m2＋n2－12＝0，m2－5n－6＝0，则n的值为(A)
A. 1 B. 1，－6 C. －1 D. －6
二．题空题(每小题3分 共30分)
11．把长方形ABCD沿着直线EF对折，折痕为EF，对折后的图形EB′GF的边FG恰好经过点C，若∠AFE＝55°，则∠CEB'＝ ．
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
12．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝，CD＝8，则四边形ABCD的面积为 ．
13.如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y=（k＞0）经过A、E两点， 若平行四边形AOBC的面积为30，则k=_________．
14. 如图，点A在双曲线y=上，且OA=4，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，△ABC的周长为2，则k=_________
15．若关于x的分式方程+=2有增根，则m的值是___________
16. 已知菱形的边长为6，，如果点是菱形内一点，且，那么的长为_________．
17．如图1有两张等宽的矩形纸片，矩形不动，将矩形按如下方式缠绕：如图2所示，先将点与点重合，再先后沿、对折，点、点所在的相邻两边不重叠、无空隙，最后点刚好与点重合，则图1中两张纸片的长度之比AD:EG=____
第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
18. 在图中，一次函数与反比例函数的图象交点为A、B．则一次函数值小于反比例函数值时x的取值范围是_____________.
19.已知，如上右图，动点P在函数y=（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=﹣x+1相交于点E，F，则AF•BE的值是_____________
20．如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为__________.
三．解答题（90分）
21．（18分）解方程
(1)（公式法） (2)（配方法）；
(3)（因式分解法） (4)（适当的方法）．
(5)x2+2x﹣1＝0；（用配方法） (6)3x2+5x＝3x+3．（选择适当的方法）
22．（8分）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
（Ⅰ）AC的长度等于 ；
（Ⅱ）在图中有一点P，若连接AP，PB，PC，满足AP平分∠A，且PC＝PB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
23．（10分）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．两车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题：
（1）慢车的速度为 km/h，快车的速度为 km/h；
（2）解释图中点C的实际意义并求出点C的坐标；
（3）求当x为多少时，两车之间的距离为500km．
24. （10分）阅读下面问题：＝＝－1；＝＝－；
＝＝－；试求：
（1）＝________；
（2）当n为正整数时，＝________；
（3）求＋＋＋…＋＋的值．
25. （10分）如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为4， （1）求 k的值；（2）利用图形直接写出不等式x＞的解；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y=（k＞0）于P，Q两点（P点在第一象限），若由点 A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为 24，求点 P的坐标．
26.（10分）如图铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得：
（1）①若C、D两村到E站的距离相等，则E站应建立在离A站多少km处？②若E站到C、D站的距离之和最短，则E站应建立在离A站多少km处？
（2）受（1）小题第②问启发，你能否解决以下问题：正数a、b满足条件a+b＝5，且，则s的最小值＝ ．
27．（12分）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：＝＝x+＝x﹣1+，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．根据以上阅读材料解答下列问题：
（1）假分式可化为带分式 形式；
（2）利用分离常数法，求分式的取值范围；
（3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，则m2+n2+mn的最小值为 ．
28．（12分）【阅读理解】对于任意正实数a、b，因为≥0，所以a﹣≥0，所以a+b≥，只有当a=b时，等号成立．
【获得结论】在a+b≥2（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2，只有当a=b时，a+b有最小值2．
根据上述内容，回答下列问题：若m＞0，只有当m= 时，m+有最小值 ．
【探索应用】如图，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），P为双曲线上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
教师样卷
一．选择题(每小题3分 共30分)
1．下列式子中，最简二次根式是（ B ）
A． B． C． D．
解：A、＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意；C、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B．
2．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（ A ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
解：把x=0代入方程（a+1）x2+x+a2﹣1=0得：a2﹣1=0，解得：a=±1，∵方程为一元二次方程，∴a+1≠0，∴a≠﹣1，∴a=1，故选：A．
3．把水匀速滴进如图所示玻璃容器，那么水的高度随着时间变化的图象大致是（ D ）
A．B．C．D．
解：因为根据图象可知，物体的形状为首先大然后变小最后又变大，而水滴的速度是相同的，
所以开始与最后上升速度慢，中间上升速度变快，故选：D．
4．一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，并按得分的1：4：3的比例确定选手个人总分，已知某位选手三方面的得分分别为88，72，50，则这位选手个人总分为（ C ）
A．68.24 B．64.56 C．65.75 D．67.32
解：这位选手个人总分为＝65.75，故选：C．
5．一元二次方程y2+y＝0，配方后可化为（ A ）
A．（y+）2＝1 B．（y﹣）2＝1 C．（y+）2＝ D．（y﹣）2＝
解：∵y2+y＝0，∴y2+y＝，则y2+y+＝+，即（y+）2＝1，故选：A．
6．如图，已知长方形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（ C ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长先增大后变小
解：连接AR．∵E、F分别是AP、RP的中点，∴EF为△APR的中位线，∴EF=AR，为定值．∴线段EF的长不改变．故选：C．
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
7．如图，反比例函数y1=和正比例函数y2═k2x的图象交于A（﹣2，﹣3），B（2，3）两点．若x，则x的取值范围是（ C ）
A．﹣2＜x＜0 B．﹣2＜x＜2 C．x＜﹣2或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0 或x＞2
8．正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（ D ）
A．10 B．12 C．14 D．16
解：连DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，在梯形GDBE中，S△GDB=S△EDB（同底等高）
∴S△GDB﹣公共三角形=S△EDB﹣公共三角形即∴S△DGE=S△GEB，S△GKE=S△GFE同理S△GKE=S△GFE∴S阴影=S△DGE+S△GKE=S△GEB+S△GEF=S正方形GBEF=42=16故选：D．
9．将6×6的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形ABCD的顶点都在格点上，若直线y＝kx（k≠0）与正方形ABCD有公共点，则k的值不可能是（ D ）
A． B．1 C． D．
解：由图象可知A（1，2），C（2，1），把A的坐标代入y＝kx中，求得k＝2，把C的坐标代入y＝kx中，求得k＝，根据图象，当时，直线y＝kx（k≠0）与正方形ABCD有公共点，所以，k的值不可能是D，故选：D．
10.已知实数m，n同时满足m2＋n2－12＝0，m2－5n－6＝0，则n的值为(A)
A. 1 B. 1，－6 C. －1 D. －6
解:两式相减，得 (m2＋n2－12)－(m2－5n－6)＝0，∴m2＋n2－12－m2＋5n＋6＝0，∴n2＋5n－6＝0，即(n＋6)(n－1)＝0，∴n1＝－6，n2＝1.把n＝－6代入m2＋n2－12＝0，得m2＝－24，不合题意，舍去；把n＝1代入m2＋n2－12＝0，得m2＝11，即m＝±，∴n＝1.
二．题空题(每小题3分 共30分)
11．把长方形ABCD沿着直线EF对折，折痕为EF，对折后的图形EB′GF的边FG恰好经过点C，若∠AFE＝55°，则∠CEB'＝ 70° ．
解：如图，在长方形ABCD中，AD∥BC，则∠FEC＝∠AFE＝55°．∴∠BEF＝180°﹣55°＝125°．根据折叠的性质知：∠B′EF＝∠BEF＝125°．∴∠CEB'＝∠B′EF﹣∠FEC＝125°﹣55°＝70°．故答案是：70°．
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
12．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝，CD＝8，则四边形ABCD的面积为 12 ．
解：连接BD．∵AD＝AB＝4，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AD＝4，
∵BC＝4，CD＝8，∴BC2＝BD2+CD2，∴∠BDC＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝×42+×4×4＝4+8＝12，故答案为12．
13.如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y=（k＞0）经过A、E两点， 若平行四边形AOBC的面积为30，则k=____10______．
解：如图，过A作AD⊥OB于D，EF⊥OB于F，设A（x，），B（a，0），∵四边形AOBC是平行四边形，∴AE=EB，∴EF为△ABD的中位线， ∴EF=AD=，DF=（a-x），OF=OD+DF=，∴E（，），∵E在双曲线y=上，∴•=k，∴a=3x，∵S▱AOBC=OB•AD=30，∴a•=3x•=3k=30，解得：k=10．故答案为10．
14. 如图，点A在双曲线y=上，且OA=4，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，△ABC的周长为2，则k=_________【答案】6 解：∵OA的垂直平分线交OC于B，∴AB=OB，∴△ABC的周长=OC+AC，∴OC+AC=2①，∵OA=4，AC⊥x轴，垂足为C，∴AC2+OC2=16②，由①②可得：AC•OC=6，∴k=6，故答案为6．
15．若关于x的分式方程+=2有增根，则m的值是___﹣1__________
解：方程两边都乘以（x﹣3）得，2﹣x﹣m=2（x﹣3），∵分式方程有增根，∴x﹣3=0，解得x=3，∴2﹣3﹣m=2（3﹣3），解得m=﹣1．
16. 已知菱形的边长为6，，如果点是菱形内一点，且，那么的长为__4或2． ________．
解：当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M，∵AD=AB，DP=BP，∴AP⊥BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），在直角△ABM中，∠BAM=30°，∴AM=AB•cos30°=3，BM=0.5AB=3，∴PM==，∴AP=AM+PM=4；当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点MAP=AM-PM=2；当P与M重合时，PD=PB=3，与PB=PD=2矛盾，舍去．AP的长为4或2．故答案为：4或2．
17．如图1有两张等宽的矩形纸片，矩形不动，将矩形按如下方式缠绕：如图2所示，先将点与点重合，再先后沿、对折，点、点所在的相邻两边不重叠、无空隙，最后点刚好与点重合，则图1中两张纸片的长度之比AD:EG=_____
解：由题意可知，，，，，，由折叠过程可知，，，是等边三角形，，，，，，，，，，
，设，，，，在中，，
，，，，
第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
18. 在图中，一次函数与反比例函数的图象交点为A、B．则一次函数值小于反比例函数值时x的取值范围是___ 或 ___________.
解：解方程组，得或.所以A点坐标为，B点坐标为，∴当或 ，一次函数值小于反比例函数值．
19.已知，如上右图，动点P在函数y=（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=﹣x+1相交于点E，F，则AF•BE的值是________1___________
解:作FG⊥x轴，∵P的坐标为（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA，∴N的坐标为（0，），M点的坐标为（a，0），∴BN=1﹣，在直角△BNF中，∠NBF=45°，OB=OA=1，△OAB是等腰直角三角形，∴NF=BN=1﹣，∴F点的坐标为（1﹣，），同理可得出E点的坐标为（a，1﹣a），∴AF2=（1﹣1+）2+（）2=，BE2=a2+（﹣a）2=2a2，∴AF2•BE2=•2a2=1，即AF•BE=1．故选C．
20．如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为____10______.
解：如图：连接PD，DE，∵AD＝12，AB＝8，EB＝3∴AE＝AB﹣EB＝5，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝90°，∴，由翻折可得PE＝EB，∴PE＝4，∵DP≥DE﹣EP，∴当E，P，D三点共线时，DP最小，∴DP最小值＝DE﹣EP＝13﹣3＝10．选：A．
三．解答题（90分）
21．（18分）解方程
(1)（公式法） (2)（配方法）； (3)（因式分解法） (4)（适当的方法）．
(5)x2+2x﹣1＝0；（用配方法） (6)3x2+5x＝3x+3．（选择适当的方法）
【答案】(1)解：∵，∴，，，∴，∴，∴，；
(2)解：∵，∴，∴，∴， ∴，∴，∴，；
(3)解：∵∴，∴，∴，∴，；
(4)解：∵，∴，∴，∴，．
(5)解：x2+2x﹣1＝0，x2+2x＝1，x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，∴x+1＝±，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．
(6) 解：3x2+5x＝3x+3，3x2+2x-3=0∵a＝3，b＝2，c＝-3，∴Δ＝22﹣4×3×（﹣3）＝40＞0， ∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．
22．（8分）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
（Ⅰ）AC的长度等于 5 ；
（Ⅱ）在图中有一点P，若连接AP，PB，PC，满足AP平分∠A，且PC＝PB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 取格点O、E、F，M，N，作射线AO，连接EF，MN交网格线于H，Q，HQ与射线AO的交点于点P，点P即为所求 ．
解：（Ⅰ）AC＝，故答案为：5；
（2）如图所示：点P即为所求：故答案为：取格点O、E、F，M，N，作射线AO，连接EF，MN交网格线于H，Q，HQ与射线AO的交点于点P，点P即为所求．
23．（10分）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．两车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题：
（1）慢车的速度为 80 km/h，快车的速度为 120 km/h；
（2）解释图中点C的实际意义并求出点C的坐标；
（3）求当x为多少时，两车之间的距离为500km．
解：（1）设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h，根据题意，得，解得，故答案为80，120；（2）图中点C的实际意义是：快车到达乙地；∵快车走完全程所需时间为720÷120＝6（h），∴点C的横坐标为6，纵坐标为（80+120）×（6﹣3.6）＝480，即点C（6，480）；（3）由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为500km．即相遇前：（80+120）x＝720﹣500，解得x＝1.1，相遇后：∵点C（6，480），∴慢车行驶20km两车之间的距离为500km，∵慢车行驶20km需要的时间是＝0.25（h），∴x＝6+0.25＝6.25（h），故x＝1.1 h或6.25 h，两车之间的距离为500km．
24. （10分）阅读下面问题：＝＝－1；＝＝－；
＝＝－；试求：
（1）＝________；
（2）当n为正整数时，＝________；
（3）求＋＋＋…＋＋的值．
解：（1），故答案为：；
（2），故答案为：；
（3）
．
25. （10分）如图，已知直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为4， （1）求 k的值；（2）利用图形直接写出不等式x＞的解；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y=（k＞0）于P，Q两点（P点在第一象限），若由点 A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为 24，求点 P的坐标．
解：（1）∵直线y=x与双曲线y=（k＞0）交于A，B两点，且点A的横坐标为 4，∴×4=2，即：A点的坐标为（4，2），∴k=4×2=8， 即：k的值为 8．（2）∵点 A与点 B关于原点 O对称，∴点B的坐标为（﹣4，﹣2），又∵不等式x＞的解，是函数图象上直线位于双曲线上方的部分对应的x的取值，∴由图象可知：不等式 x＞的解是：﹣4＜x＜0和x＞4．（3）作AM⊥x轴于点M，PN⊥x轴于点N．设P点的坐标为（a，）．∵P、Q 关于 O 点对称，A、B 关于 O 点对称，∴四边形 APBQ 为平行四边形，∴4S△OAP=24∴S△OAP=6．①当点 P 在直线 AB 的下方时，如图 1 所示，
S△OAP=×4×2+（+2）（a﹣4）﹣a•=6，∴a2﹣6a﹣16=0，解得：a1=﹣2，a2=8，∴此时点P的坐标为（8，1）；②当点 P 在直线 AB 的上方时，如图 2 所示，S△OAP=a•+（+2）（4﹣a）﹣×4×2=6， ∴a2+6a﹣16=0，解得：a1=2，a2=﹣8，∴此时点P的坐标为（2，4）．综上所述：点P的坐标为（8，1）或（2，4）．
26． （10分）如图铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得：
（1）①若C、D两村到E站的距离相等，则E站应建立在离A站多少km处？②若E站到C、D站的距离之和最短，则E站应建立在离A站多少km处？
（2）受（1）小题第②问启发，你能否解决以下问题：正数a、b满足条件a+b＝5，且，则s的最小值＝ ．
解：（1）①设AE＝xkm，则BE＝（25﹣x）km，在Rt△DAE中，DE2＝DA2+AE2＝225+x2在Rt△CBE中，CE2＝BE2+BC2＝（25﹣x）2+100，∵DE2＝CE2，∴x＝10，∴AE＝10km．答：E站应建立在离A站10km处；
②“将军饮马”问题，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E′，即E′站到C、D站的距离之和最短，过点D′作D′F⊥CB的延长线于点F，则∠F＝90°，D′F＝AB＝25，CF＝CB+BF＝CB+AD′＝CB+AD＝25，∴D′F＝CF，∴CD′＝＝25． E′C+E′D的最小值即为CD′，此时∠BCE′＝45°，∴∠AE′D′＝∠CE′B＝45°，
∴∠AD′E′＝∠ADE′＝45°，∴AE′＝AD＝15km．答：E站应建立在离A站15km处；
（2）同（1）②的方法：s＝＝，
则s表示点（a，0）到（0，4）和（5，3）距离之和的最小值，∴s的最小值＝＝．故答案为：．
27．（12分）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：＝＝x+＝x﹣1+，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．根据以上阅读材料解答下列问题：
（1）假分式可化为带分式 1+ 形式；
（2）利用分离常数法，求分式的取值范围；
（3）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，则m2+n2+mn的最小值为 27 ．
解：（1）＝＝1+，故答案为：1+；（2）＝＝2+，∵x2+1≥1，∴0＜≤3，∴2＜≤5；（3）∵＝＝5x﹣1﹣，而分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，∴5x﹣1＝5m﹣11，n﹣6＝﹣（x+2），∴m＝x+2，n＝﹣x+4，∴m+n＝6，mn＝（x+2）（﹣x+4）＝﹣x2+2x+8，而m2+n2+mn＝（m+n）2﹣mn＝36﹣（﹣x2+2x+8）＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27，∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+27≥27，∴当x＝1时，m2+n2+mn最小值是27．故答案为：27．
28．（12分）【阅读理解】对于任意正实数a、b，因为≥0，所以a﹣≥0，所以a+b≥，只有当a=b时，等号成立．
【获得结论】在a+b≥2（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2，只有当a=b时，a+b有最小值2．
根据上述内容，回答下列问题：若m＞0，只有当m= 1 时，m+有最小值 2 ．
【探索应用】如图，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），P为双曲线上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
解：（1）根据题目所给信息可知m+≥2，且当m=时等号，∴当m=1时，m+≥2，即当m=1时，m+有最小值2，故答案为：1，2；
（2）设P（x，），则C（x，0），D（0，），∴CA=x+3，BD=+4，∴S四边形ABCD=CA×BD=（x+3）（+4），化简得：S=2（x+）+12，∵x＞0，＞0，∴x+≥2=6，
只有当x=，即x=3时，等号成立，∴S≥2×6+12=24．∴S四边形ABCD有最小值24，
此时，P（3，4），C（3，0），D（0，4），AB=BC=CD=DA=5，∴四边形ABCD是菱形．
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