中考数学专题05 二次根式（学案含解析）

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中考数学一轮复习学案
05 二次根式

中考命题说明


考点
课标要求
考查角度
1
乘方与开方
了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根．了解乘方与开方互为逆运算．
会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根．
常以选择、填空题为主．
2
二次根式的概念和性质
了解二次根式、最简二次根式的概念．
考查二次根式的概念和基本性质．能掌握形如：，的化简与运算（分母有理化）．
常以选择、填空题、解答题的形式命题．
3
二次根式的运算
了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算．
考查二次根式的运算．
常以选择、填空题、解答题的形式命题．

思维导图



知识点1：数的乘方与开方

知识点梳理


1. 数的乘方：负数的奇次幕是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0．
2. 数的开方：（1）正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0，正数的正的平方根叫做算术平方根．
（2）若，则b叫做a的立方根．
典型例题

【例1】（2022•宜宾）4的平方根是（ ）
A．2 B．－2 C．16 D．±2
【考点】平方根
【分析】根据平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：∵(±2)2＝4，
∴4的平方根是±2，
故选：D．
【点评】本题考查平方根的定义，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．
【例2】（2022•凉山州）化简：（ ）
A．±2 B．－2 C．4 D．2
【考点】算术平方根
【分析】根据算术平方根的意义，即可解答．
【解答】解：＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．
【例3】（3分）（2021•上海9/25）已知，则x= ．
【考点】算术平方根
【分析】根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为进行解答即可．
【解答】解：∵，
∴x+4=9
∴x=5．
故答案为：5．
【例4】（2022•淮安）实数27的立方根是 ．
【考点】立方根
【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
【解答】解：∵3的立方等于27，
∴27的立方根等于3．
故答案为3．
【点评】此题主要考查了求一个数的立方根，解题时先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
【例5】（3分）（2021•包头15/26）一个正数a的两个平方根是2b-1和b+4，则a+ b的立方根为 ．
【考点】平方根；立方根
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出b的值，再求得两个平方根中的一个，然后平方可得a的值；将a、b的值代入计算得出a+ b的值，再求其立方根即可．
【解答】解：∵一个正数a的两个平方根是2b-1和b+4，
∴2b-1+b+4=0，
∴b=-1．
∴b +4=-1+4=3，
∴a=9．
∴a+b=9+(-1)=8，
∵8的立方根为2，
∴a+b的立方根为2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查平方根和立方根，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义和性质．
【例6】若a满足，则a的值为（ ）
A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或1或–1
【分析】∵，∴a为0或1．故选C．
【答案】C．
知识点2：二次根式的概念和性质

知识点梳理


1. 二次根式：形如(a≥0)的式子叫做二次根式．
2. 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于 0 ．
3. 最简二次根式：必须同时满足以下两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
如：，是最简二次根式，而，，都不是最简二次根式．
4. 同类二次根式：当二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
5. 二次根式的性质：
（1）()2= a (a≥0) ． 
（2）=|a|=
（3） (a ≥ 0，b ≥ 0) ．
（4） (a ≥ 0，b > 0) ．
典型例题

【例7】（2022•贵阳）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x＞3 C．x≤3 D．x＜3
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】直接利用二次根式的定义得出x－3≥0，进而求出答案．
【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴x－3≥0，
解得：x≥3，
∴x的取值范围是：x≥3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x－3的取值范围是解题关键．
【例8】（2022•雅安）使有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次根式有意义的条件；在数轴上表示不等式的解集
【分析】根据二次根式有意义的条件，得出关于x的不等式，解不等式，即可得出答案．
【解答】解：∵有意义，
∴x－2≥0，
∴x≥2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件及在数轴上表示不等式的解集，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解决问题的关键．
【例9】（2022•广州）代数式有意义时，x应满足的条件为（ ）
A．x≠－1 B．x＞－1 C．x＜－1 D．x≤－1
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：代数式有意义时，x＋1＞0，
解得：x＞－1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
【例10】（3分）（2020•上海1/25）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．
【解答】解：A、与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；
B、，与不是同类二次根式；
C、，与被开方数相同，故是同类二次根式；
D、，与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
【例11】（3分）（2021•上海1/25）下列实数中，有理数是（ ）
A． B． C． D．
【考点】实数；二次根式的性质与化简
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A、，不是有理数，不合题意；
B、，不是有理数，不合题意；
C、，是有理数，符合题意；
D、，不是有理数，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
知识点3：非负性
知识点梳理

1. 概念：正数和零叫做非负数．常见的非负数有|a|，a2，(a≥0)．
2. 性质：若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．
如：若a2+|b|+=0，则a2=0，|b|=0，=0，可得a=b=c=0．
典型例题

【例12】（2022•贺州）若实数m，n 满足，则3m＋n＝ ．
【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组
【分析】根据非负数的性质求出m和n的值，再代入3m＋n计算可得．
【解答】解：∵，
∴m－n－5＝0，2m＋n－4＝0，
∴m＝3，n＝－2，
∴3m＋n＝9－2＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．
【例13】（2022•黔东南州）若，则x－y的值是 ．
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根
【分析】根据非负数的性质可得，应用整体思想①－②即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
，
由①－②得，
x－y＝9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了非负数的性质及解二元一次方程组，熟练掌握非负数的性质及解二元一次方程组的方法进行求解是解决本题的关键．
【例14】（3分）（2021•青海3/25）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足+（2a+3b﹣13）2＝0，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【分析】首先根据+（2a+3b﹣13）2＝0，并根据非负数的性质列方程组求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可．
【解答】解：∵+（2a+3b﹣13）2＝0，
∴，
解得：，
当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，周长为7；
当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8，
∴等腰三角形的周长为7或8．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理、二元一次方程方程组，关键是根据2，3分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
知识点4：二次根式的化简与运算

知识点梳理


1. 加减运算：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
2. 乘除运算：
(a≥0，b≥0)；
(a≥0，b > 0) ． 
3. 混合运算：与实数的运算顺序相同．运算结果必须为最简二次根式．
4. 把分母中的根号化去（分母有理化）的方法：
（1）；
（2）．
典型例题

【例15】（2022•六盘水）计算： ．
【考点】二次根式的加减法
【分析】先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．
【解答】解：．
故答案为0．
【点评】本题考查二次根式的加减，解题的关键是首先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．
【例16】（2022•哈尔滨）计算的结果是 ．
【考点】二次根式的加减法；二次根式的性质与化简
【分析】先化简各二次根式，再根据混合运算的顺序依次计算可得答案．
【解答】解：原式

．
故答案为：．
【点评】此题考查的是二次根式的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
【例17】（2022•山西）计算：的结果为 ．
【考点】二次根式的乘除法
【分析】按照二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：原式．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则．
【例18】（2022•青岛）计算的结果是（ ）
A． B．1 C． D．3
【考点】二次根式的混合运算
【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后算减法即可．
【解答】解：


＝3－2
＝1，
故选：B．
【点评】本题考了二次根式的混合运算，能正确运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
【例19】（2022•天津）计算的结果等于 ．
【考点】平方差公式；二次根式的混合运算
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：原式＝19－1＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
【例20】（2022•济宁）已知，，求代数式a2b＋ab2的值．
【考点】二次根式的混合运算；代数式求值
【分析】利用因式分解，进行计算即可解答．
【解答】解：∵，，
∴a2b＋ab2
＝ab(a＋b)

＝(4－5)×4
＝－1×4
＝－4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
知识点5：二次根式的估值

知识点梳理


一般步骤：
1. 一般先对根式进行平方，如；
2. 找出与平方后所得数相邻的两个完全平方数，如4