2019年湘潭市初中学业水平考试试卷数学

这是一份2019年湘潭市初中学业水平考试试卷数学，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解题题等内容，欢迎下载使用。

2019年湘潭市初中学业水平考试试卷数学
一、选择题(本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分)
1. 下列各数中是负数的是(　　)
A. |－3| B. －3 C. －(－3) D.
2. 下列立体图形中，俯视图是三角形的是(　　)

3. 今年湘潭市参加初中学业水平考试的九年级生人数约24000人，24000用科学记数法表示为(　　)
A. 0.24×105 B. 2.4×104
C. 2.4×103 D. 24×103
4. 下列计算正确的是(　　)
A. a6÷a3＝a2 B. (a2)3＝a5
C. 2a＋3a＝6a D. 2a·3a＝6a2
5. 已知关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0有两个相等的实数根，则c＝(　　)
A. 4 B. 2 C. 1 D. －4
6. 随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待，将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地又将多“地铁”这一选择，为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是(　　)
A. 平均数是8 B. 众数是11
C. 中位数是2 D. 极差是10

第6题图 第7题图
7. 如图，将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，若∠AOB＝40°，则∠AOD＝
(　　)
A. 45° B. 40° C. 35° D. 30°
8. 现代互网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，湘潭某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所有和的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件，若设小江每小时分拣x个物件，则可列方程为(　　)
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
二、填空题(本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分)
9. 函数y＝中，自变量x的取值范围是________．
10. 若a＋b＝5，a－b＝3，则a2－b2＝________．
11. 为庆祝新中国成立70周年，某校开展以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动，七年级准备从两名男生和三名女生中选出一名同学领唱，如果每年一位同学被选中的机会均等，则选出的已恰为女生的概率是________．
12. 计算：()－1＝________．
13. 将一次函数y＝3x的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为________．
14. 四边形的内角和是________．
15. 如图，在四边形ABCD中，若AB＝CD，则添加一个条件________，能得到平行四边形ABCD.(不添加辅助线，任意添加一个符合题意的条件即可)

第15题图 第16题图
16. 《九章算术》是我国古代数学成杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)．弧田是由圆弧和其所对的弦围成(如图中的阴影部分)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到统的距离之差，运用垂径定理(当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB)可以求解．现已知弦AB＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为________平方米．
三、解题题(本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分72分)
17. (本题满分6分)解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

第17题图







18. (本题满分6分)阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与言方差公式，其公式如下：
立方和公式：x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)．
立方差公式：x3－y3＝(x－y)(x2＋xy＋y2)．
根据材料和已学知识，先化简，再求值：－，其中x＝3.






19. (本题满分6分)我国于2019年6年5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N玻到A的距离为8千米，仰角为30°.火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B处与发展站点M处的距离．(结果精确到0.1千米)(参考数据：≈1.41，≈1.73)

第19题图














20. (本题满分6分)每年5月份是心理健康宣传月，某中学开展以“美心他人，关爱自己”为主题的心理健康系列活动．为了解师生的心理健康状况，对他体2000名师生进行了心理测评，随机抽取20名师生的测评分数进行了以下数据的整理与分析：
①数据收集　抽取的20名师生测评分数如下：
85，82，94，72，78，89，96，98，84，65，
73，54，83，76，70，85，83，63，92，90.
②数据整理　将收集的数据进行分组并评价等第：
分数x
90≤
x<100
80≤
x<90
70≤
x<80
60≤
x＝70
x<60
人数
5
a
5
2
1
等第
A
B
C
D
E
③数据分析　绘制成不完整的扇形统计图：
④依据统计信息回答问题
(1)统计表中的a＝________．
(2)心理测评等第C等的师生人数所占扇形的圆心角度数为________．
(3)学校决定对E等的师生进行团队心理辅导，请你根据数据分析结果，估计有多少师生需要参加团队心理辅导？

第20题图













21. (本题满分6分)如图，将△ABC沿着AC边翻折，得得△ADC，且AB∥CD.
(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
(2)若AC＝16，BC＝10，求四边形ABCD的面积．

第21题图









22. (本题满分6分)2018年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“3＋1＋2”的高考选考方案．“3”是指语文、数学、外语三科必考：“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加物考．
(1)“1＋2”的选考方案共有多少种？请直接写出所有可能的选法；(选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法)
(2)高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物．他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率．











23. (本题满分8分)如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴的正半轴交于A、B两点，与y轴的正半轴相切于点C，连接MA、MC，已知⊙M半径为2，∠AMC＝60°人，双曲线y＝(x>0)经过圆心M.
(1)求双曲线y＝的解析；
(2)求直线BC的解析式．

第23题图












24. (本题满分8分)湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌，小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼合一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲神龛进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每年的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．
(1)求该店平均每年销售这两种湘莲礼盒各多少盒？
(2)小亮调查发展，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒，若B种湘莲礼盒的售价的销量不变，当A种湘莲礼盒降价多元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？













25. (本题满分10分)如图一，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，)三点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)P(x1，y1)、Q(4，y2)两点均在该抛物线上，若y1≥y2，求P点横坐标x1的取值范围；
(3)如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN周长的最小值．

第25题图












26. (本题满分10分)如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，AD＝5，CD＝5，点M是线段AC上一动点(不与点A重合)，连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点N，连接BN.
(1)求∠CAD的大小；
(2)问题探究：动点M在运动的过程中，
①就否能使△AMN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由．
②∠MBN的大小是否改变？若不改变，请求出∠MBN的大小；若改变，请说明理由．
(3)问题解决：
如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段FH的长度．

第26题图












2019年湘潭市中考真题解析
1. B　【解析】比0小的数是负数．∵|－3|＝3＞0，－3＜0，－(－3)＝3＞0，＞0，∴－3是负数．
2. C　【解析】正方体的俯视图是正方形；圆柱的俯视图是圆；三棱柱的俯视图是三角形；圆锥的俯视图是带有圆心的圆．
3. B　【解析】24000＝2.4×104.
4. D　【解析】
选项
逐项分析
正误
A
a6÷a3＝a6－3＝a3≠a2

B
(a2)3＝a2×3＝a6≠a5

C
2a＋3a＝(2＋3)a＝5a≠6a

D
2a·3a＝(2×3)·(a·a)＝6a2
√
5. A　【解析】由题意得(－4)2－4×1×c＝0，解得c＝4.
6. A　【解析】由条形统计图可知，这组数据为7，2，13，11，7，∴平均数x＝×(7＋2＋13＋11＋7)＝8.A正确；∵7出现了两次，出现次数最多，∴众数是7.B错误；将数据按由小到大的排序是2，7，7，11，13，处在最中间的数是7，∴中位数是7.C错误；∵数据中最大的数是13，最小的数是2，∴极差为13－2＝11.D错误．
7. D　【解析】∵将△OAB绕点O逆时针旋转70°到△OCD的位置，∴∠BOD＝70°.又∵∠AOB＝40°，∴∠AOD＝∠BOD－∠AOB＝70°－40°＝30°.
8. B　【解析】∵小江每小时分拣x个物件，小李每小时比小江多分拣20个物件，∴小李每小时分拣(x＋20)个物件．根据等量关系“小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同”可列方程＝.
9. x≠6　【解析】在函数y＝中，式子有意义的条件是x－6≠0，∴x≠6，即自变量x的取值范围是x≠6.
10. 15　【解析】∵a＋b＝5，a－b＝3，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝5×3＝15.
11. 　【解析】利用等可能条件下的概率公式P＝求解．由题意知m＝3，n＝2＋3＝5，∴P(选出的恰为女生)＝.
12. 4　【解析】()－1＝＝4.
13. y＝3x＋2　【解析】一次函数图象的平移规律为“左加右减，上加下减”，∴将一次函数y＝3x的图象向上平移2个单位，所得图象的函数表达式为y＝3x＋2.
14. 360°　【解析】多边形的内角和公式为(n－2)·180°，其中n为多边形的边数．当n＝4时，(4－2)×180°＝2×180°＝360°，即四边形的内角和为360°.
15. 答案不唯一，如①AB∥CD，②AD＝BC　【解析】∵AB＝CD，∴依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”应添加AB∥CD，或者依据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”应添加AD＝BC.
16. 10　【解析】由题意可知，S弧田＝(AB·CD＋CD2)．∵OA＝OB，OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB.∵AB＝8，∴AD＝4.又∵OA＝5，∴在Rt△OAD中，由勾股定理得OD＝＝3.∴CD＝OC－OD＝5－3＝2.∴S弧田＝×(8×2＋22)＝10.
17. 解：，由①得x≤3.由②得x＞－1.∴不等式组的解集为－1＜x≤3.不等式组的解集在数轴上表示如解图：

第17题解图
18. 解：原式＝－
＝－
＝.
当x＝3时，原式＝＝2.
19. 解：在Rt△AMN中，cos∠ANM＝，∵∠ANM＝30°，AN＝8，∴MN＝AN·cos∠ANM＝8cos30°＝8×＝4.在Rt△BMN中，∵∠BNM＝45°，MB＝MN＝4≈4×1.73≈6.9(千米)．
答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9千米．
20. 解：(1)7；　【解法提示】∵总人数为20，∴5＋a＋5＋2＋1＝20，解得a＝7.
(2)90°；　【解法提示】先求出心理测评等第C等的百分比，然后乘以360°.即×360°＝90°.
(3)×2000＝100.
答：估计有100名师生需要参加团队心理辅导．
21. 解：(1)四边形ABCD是菱形．理由如下：由折叠得AD＝AB，BC＝DC，∠BCA＝∠DCA.∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC.∴AD＝AB＝BC＝DC，∴四边形ABCD是菱形；
(2)如解图所示，连接BD交AC于点O.由(1)知四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，CO＝AO＝AC＝×16＝8，BO＝DO＝BD.在Rt△OBC中，由勾股定理得OB＝＝＝6，∴BD＝2OB＝12，∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝×16×12＝96.

第21题解图
22. 解：(1)“1＋2”的选考方案共有12种，分别为：①物理、政治、化学；②物理、政治、地理；③物理、政治、生物；④物理、化学、地理；⑤物理、化学、生物；⑥物理、地理、生物；⑦历史、政治、化学；⑧历史、政治、地理；⑨历史、政治、生物；⑩历史、化学、地理；⑪历史、化学、生物；⑫历史、地理、生物；
(2)用列表法列出所有可能出现的结果如下：
　 小明



小杰　
政治
化学
地理
政治
(政治，政治)
(政治，化学)
(政治，地理)
化学
(化学，政治)
(化学，化学)
(化学，地理)
地理
(地理，政治)
(地理，化学)
(地理，地理)
由表格可知，一共有9种等可能的结果，其中两人都选中政治有1种结果．∴P(都选中政治)＝.
23. 解：(1)如解图①所示，过点M作MD⊥x轴于点D，则∠MDO＝90°.∵⊙M的半径为2，∴MC＝MA＝2.∵⊙M与y轴的正半轴相切于点C，∴MC⊥y轴，∴MC∥x轴．∴∠MAD＝∠AMC＝60°.在Rt△ADM中，sin∠MAD＝，∴MD＝AM·sin∠MAD＝2sin60°＝2×＝，∴M(2，)．把M(2，)代入y＝得k＝2.∴反比例函数关系式为y＝；

第23题解图①
(2)如解图②所示，作直线BC，过点M作MD⊥x轴于点D.由(1)知M(2，)，∴C(0，)，OD＝2，MD＝.在Rt△ADM中，由勾股定理得AD＝＝＝1.∵MD⊥AB，∴BD＝AD＝1.∴OB＝OD＋BD＝2＋1＝3.∴B(3，0)．设直线BC的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，把B(3，0)、C(0，)代入得解得k＝－，b＝.∴直线BC的函数关系式为y＝－x＋.

第23题解图②
24. 解：(1)设该店平均每天销售A种、B种湘莲礼盒分别为x盒、y盒．
根据题意得解得
答：该店平均每天销售A种、B种湘莲礼盒分别为10盒、20盒；
(2)设A种湘莲礼盒降价m元/盒时(0≤m≤48)，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润为w元．
根据题意得w＝(10＋×1)(120－72－m)＋20×(80－40)，
∴w＝－(m－9)2＋1307.∵－＜0，∴当m＝9时，w取最大值，最大值为1307.
∴A种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．
25. 解：(1)设抛物线的函数关系式为y＝a(x－x1)( x－x2)(a≠0)．∵A(－1，0)、B(3，0)，∴y＝a(x＋1)( x－3)．把C(0，)代入，得＝a(0＋1)(0－3)．解得a＝－.∴y＝－(x＋1)( x－3)，即该抛物线的函数关系式为y＝－x2＋x＋；
(2)把Q(4，y2)代入y＝－x2＋x＋得y2＝－×42＋×4＋＝－.∵y1≥y2，∴y1≥－.在y＝－x2＋x＋中，当y＝－时，即－＝－x2＋x＋.解得x1＝－2，x2＝4.∵a＝－＜0，∴抛物线开口向下．观察函数图象，当y1≥－时，－2≤x≤4.即y1≥y2，∴点P横坐标x1的取值范围是－2≤x≤4；
(3)如解图所示，作点F关于直线CD的对称点F1，作点F关于直线CE的对称点F2，连接F1F2分别交CD、CE于点M、N.连接FM、FN.由对称性得FM＝F1M，FN＝F2N.∴△FMN的周长＝F1M＋MN＋F2N＝F1F2.根据“两点之间，线段最短”可知此时△FMN的周长最小，最小值为线段F1F2的长．∵B(3，0)，C(0，)，点F是线段CB的中点，∴F(，)．又∵CE∥x轴，C(0，)，∴F2(，)．∵B(3，0)，C(0，)，∴OB＝3，OC＝.在Rt△OBC中，tan∠OBC＝＝，∴∠OBC＝30°.∴∠OCB＝60°.∵A(－1，0)，B(3，0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，∴D(1，0)，∴OD＝1.在Rt△OCD中，tan∠OCD＝＝＝，∴∠OCD＝30°.∴∠BCD＝∠OCB－∠OCD＝60°－30°＝30°.∴∠OCD＝∠BCD.在Rt△OBC中，∠OBC＝30°，∴BC＝2OC.∵点F为BC的中点，∴BC＝2CF.∴OC＝CF.又∵CF1＝CF，∴OC＝CF1.∴点F1与点O重合．∴线段F1F2就是线段OF2.过点F2作F2H⊥x轴于点H.∵F2(，)，∴OH＝，F2H＝.在Rt△OHF2中，OF2＝＝＝3，即△FMN周长的最小值为3.

第25题解图
26. 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°.在Rt△ACD中，tan∠CAD＝，∵AD＝5，CD＝5，∴tan∠CAD＝＝，∴∠CAD＝30°；
(2)①如解图①，过点B作BG⊥AC于点G，易得∠ABG＝30°.当点M与G重合时，点N与点A重合，此时点A、M、N共线，无法构成三角形．当点M在线段GC上时，如解图①所示．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠D＝∠BAD＝90°.∵BM⊥MN，∴∠BMN＝90°.在四边形ANMB中，∠BAD＋∠ABM＋∠BMN＋∠ANM＝360°，∴∠ABM＋∠ANM＝180°.∴此时30°＜∠ABM≤90°，∴90°≤∠ANM＜150°.∵△AMN是等腰三角形，∠ANM为顶角．∴AN＝MN.在Rt△ANB和Rt△MNB中，∵，∴Rt△ANB≌Rt△MNB(HL)．∴BM＝BA＝5.∴BN是线段AM的垂直平分线．即BN⊥AM，∴此时BN与AC的交点即为点G.∵在△ABM中，AB＝BM，∠BAC＝60°∴△ABM是等边三角形，∴AM＝AB＝5，∴MC＝AC－AM＝－AM＝10－5＝5；

第26题解图①
当点M在线段AG上时，如解图②所示，此时N在AE上，过点M作PQ⊥BC于点Q，PQ交AD于点P.∵∠NAM＝∠NAB＋∠BAM＝90°＋60°＝150°，∴∠NBM＝180°－∠NAM＝30°.∵∠NAM＞90°，△AMN是等腰三角形，∴∠NAM为顶角．∴AN＝AM.设MC＝x，则AM＝10－x.∵AD∥BC，∴∠BCA＝∠DAC＝30°.∴MQ＝MC＝x，CQ＝MQ＝x.∴BQ＝BC－CQ＝5－x，PM＝PQ－MQ＝5－x，AP＝BQ＝5－x.∵∠BMN＝90°，∴∠PMN＋∠BMQ＝90°.∵PQ⊥BC，∴∠MPN＝∠MQB＝90°，∠QBM＋∠BMQ＝90°.∴∠PMN＝∠QBM.∴△QBM∽△PMN，∴＝，即＝＝.∴PN＝x，∴AN＝PN－AP＝x－(5－x)＝x－5.∵AN＝AM，∴x－5＝10－x，解得x＝5.

第26题解图②
综上，MC的长为5或5时，△AMN是等腰三角形；
②∠MBN的大小不变．理由如下：如解图①所示，过点M作PQ⊥BC于点Q，交AD于点P，设MC＝x.同①得△QBM∽△PMN，BQ＝5－x，PM＝5－x.∴＝＝＝＝.在Rt△BMN中，tan∠MBN＝，∴tan∠MBN＝.∴∠MBN＝30°，即∠MBN的大小不变；
(3)如解图③所示．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.又∵点M是AC的中点，∴BM＝AC＝5.由(2)②知∠MBN＝30°.∴MN＝tan∠MBN·BM＝＝＝.∵点H是MN的中点，∴NH＝MN＝.∵BM＝CM，∴∠MBC＝∠ACB＝30°.∴∠NBC＝60°.∵AD∥BC，∴∠ANB＝∠NBC＝60°.又∵∠CAD＝30°，∴在△ANF中，∠AFN＝180°－∠CAD－∠ANB＝180°－30°－60°＝90°.在Rt△MFN中，∵点H是MN的中点，∴FH＝NH＝.

第26题解图③