2020年郴州市初中学业水平考试试卷数学

这是一份2020年郴州市初中学业水平考试试卷数学，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年郴州市初中学业水平考试试卷数学
一、选择题(共8小题，每小题3分，共24分)
1. 如图表示互为相反数的两个点是(　　)
A. 点A与点B B. 点A与点D
C. 点C与点B D. 点C与点D

第1题图
2. 2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒(1秒＝1 000000000纳秒)．用科学记数法表示10纳秒为(　　)
A. 1×10－8秒 B. 1×10－9秒
C. 10×10－9秒 D. 0.1×10－9秒
3. 下列图形是中心对称图形的是(　　)

4. 下列运算正确的是(　　)
A. (－a)4＝a4 B. a2·a3＝a6
C. －＝ D. 2a3＋3a2＝5a5
5. 如图，直线a, b被直线c, d所截．下列条件能判定a∥b的是(　　)

第5题图
A. ∠1＝∠3 B. ∠2＋∠4＝ 180°
C. ∠4＝∠5 D. ∠1＝∠2
6. 某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：
鞋的尺码(cm)
24
24.5
25
25.5
26
26.5
销售数量(双)
2
7
18
10
8
3
则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是(　　)
A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差
7. 如图①，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图②所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式(　　)
A. x2－2x＋1＝(x－1)2 B. x2－1＝(x＋1)(x－1)
C. x2＋2x＋1＝(x＋1)2 D. x2－x＝x(x－1)

图①

图②
第7题图
8. 在平面直角坐标系中， 点A是双曲线y1＝(x>0)上任意一点， 连接AO，过点O作AO的垂线与双曲线y2＝(x<0)交于点B，连接AB.已知＝2，则＝(　　)

第8题图
A. 4 B. －4 C. 2 D. －2
二、填空题(共8小题，每小题3分，共24分)
9. 若分式的值不存在，则x＝________．
10. 已知关于x的一元二次方程2x2－5x＋c＝0有两个相等的实数根．则c＝________．
11. 质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有________件次品．
12. 某5人学习小组在寒假期间进行线上测试．其成绩(分)分别为：86，88，90，92，94，方差为s2＝8.0.后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差s＝________．
13. 小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：
日期x(日)
1
2
3
4
成绩y(个)
40
43
46
49
小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系， 则该函数表达式为________．
14. 在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1.已知A(2，3)，则点A1的坐标是________．

第14题图
15. 如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为________．

　第15题图 第16题图
16.如图，在矩形ABCD中，AD＝4, AB＝8. 分别以点B, D为圆心，以大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点E和F.作直线EF分别与DC, DB, AB交于点M，O, N，则MN＝________．
三、解答题(17～19题每小题6分，20～23题每小题8分，24～25题每小题10分，26题12分，共82分)
17. 计算：()－1－2cos 45°＋|1－|－(＋1)0.







18. 解方程：＝＋1.








19. 如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF.连接DE，DF，BE，BF.
求证：四边形BEDF是菱形．

第19题图











20. 疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送，某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查(学习效果分为： A．效果很好；B.效果较好；C.效果一般；D.效果不理想)，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：

第20题图

(1)此次调查中，共抽查了________名学生；
(2)补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠a的度数；
(3)某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般，从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？ (要求画树状图或列表求概率)












21. 2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°.已知C, D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度(结果精确到1米/秒，参考数据：≈1.732，≈1.414)．

第21题图




22. 为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨， 甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．
(1)求甲、乙两种物资各采购了多少吨？
(2)现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资，甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车，按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？















23. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC.线段DC，AB的延长线交于点E.
(1)求证：直线DC是⊙O的切线；
(2)若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．

第23题图












24. 为了探索函数y＝x＋(x>0)的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
列表：
x
…



1
2
3
4
5
…
y
…



2




…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图①所示：
　
图① 图②
第24题图
(1)如图①，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
(2)已知点(x1，y1)，(x2，y2)在函数图象上， 结合表格和函数图象，回答下列问题：
若0 若x1·x2＝1，则y1________y2(填“＞”，“＝”或“＜”)．
(3)某农户要建造一个图②所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5 千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．
①请写出y与x的函数关系式；
②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？









25. 如图①，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4，点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE.将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α(0°＜α°＜90°)．
　 　
图① 图② 图③
(1)如图②，在旋转过程中，
①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；
②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．
(2)如图③，延长CE交直线AG于点P.
①求证：AG⊥CP；
②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．












26. 如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.已知直线y＝kx＋n过B，C两点．
　　
图① 图② 备用图
第26题图
(1)求抛物线和直线BC的表达式；
(2)点P是抛物线上的一个动点，
①如图①，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D.设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值．
②如图②，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F.点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．






　　2020年湖南郴州中考真题解析
1. B　【解析】根据题图可知，点A、B、C、D在数轴上表示的数分别为－3、2、－1、3，∵－3与3只有符号不同，∴－3与3互为相反数，∴点A与点D互为相反数，故选B.
2. A　【解析】∵1秒＝1000000000纳秒＝109纳秒，∴1纳秒＝10－9秒，∴10纳秒＝10×10－9秒＝ 1×10－8秒．故选A.
3. D　【解析】根据中心对称图形的定义，可知选项A、B、C均不是中心对称图形，只有D选项是中心对称图形．故选D.
4. A　【解析】逐项分析如下：

选项
逐项分析
正误
A
(－a)4＝a4
√
B
a2·a3＝a2＋3＝a5≠a6
×
C
－＝2－＝≠
×
D
2a3与3a2不是同类项，不能合并
×
5. D　【解析】∵∠1＝∠3，∴c∥d(同位角相等，两直线平行)；∵∠2＋∠4＝180°，∴c∥d(同旁内角互补，两直线平行)；∵∠4＝∠5，∴c∥d(内错角相等，两直线平行)；∵∠1＝∠2，∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．故选D.
6. C　【解析】对这个鞋店来说，最关注的是哪一型号的鞋卖得最多，众数是一组数据中出现次数最多的数据．故选C.
7. B　【解析】将边长为x的正方形剪去一个边长为1的正方形，剩余图形的面积是(x2－1)，拼成的矩形的面积是(x＋1)(x－1)，故题中的两个图解释的等式是x2－1＝(x＋1)(x－1)．故选B.
8. B　【解析】如解图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，则S△AOE＝|k1|，S△BOF＝|k2|，由题图易得k1>0，k2<0，∠OAE＋∠AOE＝90°，∵AO⊥BO，∴∠BOF＋∠AOE＝90°，∴∠BOF＝∠OAE，∵∠OEA＝∠OFB＝90°，∴△AOE∽△OBF，∴＝()2，∵＝2，∴＝＝4，即＝4，∵k1＞0，k2＜0，∴＝－4.故选B.

第8题解图
9. －1　【解析】若分式的值不存在，则x＋1＝0，解得x＝－1.
10. 　【解析】∵关于x的一元二次方程2x2－5x＋c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－5)2－4×2c＝25－8c＝0，解得c＝.
11. 20　【解析】∵随机从中抽取100件检测，其中有2件次品，∴次品所占的百分比是：，∴这批电子元件中次品的件数大约为：1000×＝20(件)．
12. 8.0　【解析】将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，这组数据的波动情况不变，即方差不变，∴将这5人的成绩都加上2分后，所得到的一组数据的方差将不变，∴这5人新成绩的方差s＝s2＝8.0.
13. y＝3x＋37　【解析】设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，把(1，40)，(2，43)代入得，解得，∴y＝3x＋37.令x＝3，则y＝3×3＋37＝46，满足题意，故y与x之间的函数关系式为y＝3x＋37.
14. (，2)　【解析】根据题意可知，△OA1B1与△OAB是以坐标原点O为位似中心的位似图形，位似比为，∵A(2，3)，∴点A1的坐标为(2×，3×)，即(，2)．
15. 48　【解析】设圆锥底面圆的半径为R，根据题意得×2πR×10＝60π，∴R＝6，∴圆锥的高＝＝8，∵圆锥的主视图是等腰三角形，且底边2R＝12，高为8，∴圆锥的主视图的面积为×12×8＝48.
16. 2　【解析】如解图，连接DN，由作图痕迹可知：直线EF是线段BD的垂直平分线，∴DN＝BN，OB＝OD，EF⊥BD，设DN＝x，则BN＝x，∵AB＝8，AD＝4，∴AN＝AB－BN＝8－x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴AN2＋AD2＝DN2，即(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，即DN＝5，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝＝＝4，∴OD＝2，在Rt△DNO中，ON＝＝＝，又∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠MDO＝∠NBO，∠OMD＝∠ONB，∴△OMD≌△ONB(AAS)，∴OM＝ON，∴MN＝2ON＝2.

第16题解图
17. 解：原式＝3－2×＋－1－1
＝3－＋－1－1
＝1.
18. 解：去分母得：x(x＋1)＝4＋x2－1，
去括号得：x2＋x＝4＋x2－1，
移项得：x＝4－1，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x2－1≠0，
∴x＝3是原方程的解．
19. 证明：如解图，连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．

第19题解图
20. 解：(1)200；
【解法提示】根据题意得，本次共抽查的学生人数为：80÷40%＝200(名)；
(2)调查效果为C的人数为：200－80－60－20＝40(个)；
补全统计图如解图：

第20题解图
扇形统计图中∠α的度数为×360°＝72°；
(3)列表如下：

甲
乙
丙
丁
甲

乙、甲
丙、甲
丁、甲
乙
甲、乙

丙、乙
丁、乙
丙
甲、丙
乙、丙

丁、丙
丁
甲、丁
乙、丁
丙、丁

由表格可得，共有12种等可能的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的结果有4种，
∴P(1人认为效果很好，1人认为效果较好)＝＝.
21. 解：由题意得：在Rt△AOD中，
∵∠D＝30°，AD＝4000(米)，
∴sin D＝＝＝，
∴OA＝2000(米)．
∵cos D＝＝＝，
∴OD＝2000(米)．
∴OC＝OD－CD＝(2000－460)米．
在Rt△BOC中，∵∠OCB＝45°，
∴OC＝OB＝(2000－460)米．
∴AB＝OB－OA＝2000－460－2000＝(2000－2460)米．
∴火箭从A到B处的平均速度为：(2000－2460)÷3≈(2000×1.732－2460)÷3≈335(米/秒)．
22. 解：(1)设甲种物资采购了x吨，乙种物资采购了y吨，根据题意列方程组得：
，解得.
∴甲种物资采购了300吨，乙种物资采购了240吨．
(2)设计划安排A种卡车m辆，则B种卡车(50－m)辆，根据题意列不等式组得：
，解得：25≤m≤27.
∵m为正整数，∴m的值为25，26，27，共有三种运输方案，分别为：
方案一：A种卡车25辆，B种卡车25辆；
方案二：A种卡车26辆，B种卡车24辆；
方案三：A种卡车27辆，B种卡车23辆．
23. (1)证明：如解图，连接OD，OC，

第23题解图
在△ADO和△CDO中，
∵，∴△ADO≌△CDO(SSS)，
∴∠OCD＝∠OAD，
∵直线l与⊙O相切，
∴∠OAD＝90°，
∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线；
(2)解：∵∠COB＝2∠CAB＝2×30°＝60°，
又∵OC＝OB，
∴△OCB是等边三角形．
∴OC＝BC＝2.
由(1)证得OC⊥CD，
在Rt△OCE中，∵∠COE＝60°，OC＝2，
∴tan∠COE＝＝＝，∴CE＝2；
∴S阴影＝S△COE－S扇形COB＝×2×2－＝2－π.
24. 解：(1)作出函数图象如解图：

第24题解图
(2)＞，＜，＝；
【解法提示】若0y2；若1 (3)①∵长方体的底面积为1平方米，底面一边的长为x米，则另一边的长为米，
则y与x的函数关系式为：y＝1×1＋(2x＋)×0.5＝1＋x＋；(x>0)
②由题意得：y＝1＋x＋≤3.5，∴x＋≤2.5，由图象可得：不等式x＋≤2.5的解集就是函数y＝x＋图象在直线y＝2.5下方对应的自变量x的取值范围，结合表格所给数据可知，自变量x的取值范围为≤x≤2，
∴水池底面一边的长x应控制在0.5米到2米的范围内．
25. (1)①全等，理由如下：
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
在正方形DEFG中，∵DG＝DE，∠GDE＝90°，
∴∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠GDE－∠EDA＝∠ADC－∠EDA，即∠GDA＝∠EDC.
在△GDA和△EDC中，
∵，
∴△GDA≌△EDC(SAS)；
②如解图①所示，过点A作AM⊥GD于点M，

第25题解图①
由①证得△GDA≌△EDC，
∴CE＝AG.
∵CE＝CD＝AD＝4，
∴AG＝AD＝4.
∵E是AD中点，
∴DE＝AD＝2.
∵AM⊥GD，
∴GM＝DG＝DE＝×2＝1.
在Rt△AGM中，由勾股定理得：AM＝＝＝，
在正方形DEFG中，
∵GF＝DE＝2，∠FGD＝∠F＝90°，
∴∠FGD＋∠AMG＝180°.
∴AM∥FG，
∴∠FGA＝∠MAG.
∵∠F＝∠AMG＝90°，
∴△FGH∽△MAG.
∴＝ .
∴＝，∴GH＝；
(2)①如解图②所示，设线段PC与AD相交于点H，

第25题解图②
由(1)证得△GDA≌△EDC，
∴∠DCE＝∠GAD.
∵∠AHP＝∠CHD，
∴△AHP∽△CHD.
∴∠APH＝∠CDH＝90°.
∴PC⊥AG.
②存在，理由如下：
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD＝4，∠ADC＝90°.
∴由勾股定理可得：AC＝＝4，
由①证得：PC⊥AG，
在Rt△ACP中，cos∠ACP＝＝，
∴PC＝4cos∠ACP，
∵0°＜α＜90°，
∴动点E始终在△ADC的内部，
∴cos∠ACP的值随∠ACP的增大而减小，
∵∠ACP＋∠DCP＝45°，
∴当∠DCP最大时，∠ACP的值最小，则cos∠ACP的值最大，即PC的值最大；
如解图③所示，当直线PC和⊙D相切时，∠DCP最大，此时点F与点P 重合，
∴PC的最大值为EF＋CE，
在Rt△DCE中，∵DE＝2，DC＝4，
∴由勾股定理得：CE＝＝2.
∴EF＋CE＝DE＋CE＝2＋2.
∴PC的最大值为2＋2.

第25题解图③
26. 解：(1)把点A(－1，0)和B(3，0)代入y＝ax2＋bx＋3得：
，解得，
∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3；
当x＝0时，y＝－x2＋2x＋3＝3，
∴点C的坐标为(0，3)．
把点B(3，0)和C(0，3)代入y＝kx＋n得：
，解得，
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3；
(2)①如解图①，过点A作AM∥y轴交直线BC于点M，过点P作PN∥y轴交直线BC于点N，则AM∥PN，
∴△ADM∽△PDN，∴＝ .
当x＝－1时，y＝－x＋3＝4，∴点M的坐标为(－1，4)，则AM＝4；
∵点P在抛物线上，设点P的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，
∵点N在直线BC上，∴点N的坐标为(m，－m＋3)，
∵点P在第一象限，
∴PN＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m(0 ∵△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，
∴＝＝＝＝－m2＋m＝－(m－)2＋.
∴当m＝时，有最大值，最大值为.

第26题解图①
②存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点P、Q的坐标分别为：P(2，3)，Q(1，2)；或P(0，3)，Q(1，4)；或P(2，3)，Q(1，－2)；理由如下：
∵抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3；
∴抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴为直线x＝1，
∴点E的坐标为(1，0)，
∵直线BC的解析式为y＝－x＋3，EF⊥BC，
∴设直线EF的解析式为y＝x＋b.
把点E(1，0)代入y＝x＋b得：b＝－1，
∴直线EF的解析式为y＝x－1，
联立，解得，
∴点F的坐标为(2，1)．
设点P的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，
①以线段EF为边构造平行四边形：
当点P在对称轴l的右侧时，过点F作PF∥l交抛物线于点P，过点P作PQ∥EF交直线l于点Q，则构成平行四边形EFPQ，如解图②所示，
∵F(2，1)，
当x＝2时，y＝－x2＋2x＋3＝3.
∴点P的坐标为(2，3)，∴PF＝3－1＝2，
在▱EFPQ中，∵PF＝EQ＝2，
∴点Q的坐标为(1，2)；
当点P在对称轴l的左侧时 ，如解图③所示，
在▱EFQP中，∵对角线EQ与FP互相平分，
∴PF的中点在对称轴x＝1上，
∵点P(m，－m2＋2m＋3)，点F(2，1)，
∴＝1，解得m＝0，
∴此时点P与点C重合，即点P的坐标为(0，3)，
设直线BC与直线l相交于点D，如解图③所示，则点D的坐标为(1，2)，
∴点D即为对角线EQ与FP的交点，DE＝2，
∵QD＝DE＝2，∴点Q的坐标为(1，4)；
②以线段EF为对角线构造平行四边形，则对角线EF与PQ互相平分，
∵E(1，0)，F(2，1)，∴EF的中点为(，)，
∵点Q的横坐标为1，点P的横坐标为m，
∴＝，解得m＝2，
令m＝2，则－m2＋2m＋3＝3，
∴点P的坐标为(2，3)，
∵点F(2，1)，∴FP＝3－1＝2，
如解图④所示，在▱EPFQ中，
∵EQ∥PF，且EQ＝PF.
∴EQ＝PF＝2，
∴点Q的坐标为(1，－2)．
综上所述，存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点P、Q的坐标分别为：P(2，3)，Q(1，2)；或P(0，3)，Q(1，4)；或P(2，3)，Q(1，－2)．

第26题解图②
　
第26题解图③
　
第26题解图④