2020年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷

2020年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷

一、选择题

1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是(　　)

A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.

2. 用换元法解方程＋＝2时，若设＝y，则原方程可化为关于y的方程是(　　)

A. y2－2y＋1＝0  B. y2＋2y＋1＝0

C. y2＋y＋2＝0  D. y2＋y－2＝0

3. 我们经常将调查、收集得来的数据用各种统计图进行整理与表示，下列统计图中，能表示由数据所表现出来的部分与整体的关系的是(　　)

A. 条形图  B. 扇形图

C. 折线图  D. 频数分布直方图

4. 已知反比例函数的图象经过(2，－4)，那么这个反比例函数的解析式是(　　)

A. y＝  B. y＝－

C. y＝  D. y＝－

5. 下列命题中，真命题是(　　)

A. 对角线互相垂直的梯形是等腰梯形

B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形

C. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

D. 对角线平分一组对角的梯形是直角梯形

6. 如果存在一条线把一个图形分割成两部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形，下列图形中，平移重合图形是(　　)

A. 平行四边形  B. 等腰梯形

C. 正六边形  D. 圆

二、填空题

7. 计算：2a·3ab＝__________.

8. 已知f(x)＝，那么f(3)的值是__________.

9. 已知正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的增大而__________.(填“增大”或“减小”)

10. 如果关于x的方程x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是__________.

11. 如果从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中任意选取一个数，那么选到的数恰好是5的倍数的概率是__________.

12. 如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是__________.

13. 为了了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数为__________.

14. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法，如图所示，在进口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为__________米．

第14题图

15. 如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设＝a→，＝b→，那么向量用向量a→、 b→表示为__________.

第15题图

16. 小明从家步行到学校需走的路程为1800米，图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(米)与时间t(分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行__________米．

第16题图

17. 如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，联接AD.如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为__________.

第17题图

18. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，⊙O的半径为2，如果⊙O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO的长取值范围是__________．

第18题图

三、解答题

19. 计算：27＋－()－2＋|3－|.

20. 解不等式组：.

21. 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝3.

(1)求梯形ABCD的面积；

(2)联接BD，求∠DBC的正切值．

第21题图

22. 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%.

(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；

(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等，求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．

23. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H.

(1)求证：△BEC∽△BCH；

(2)如果BE2＝AB·AE，求证：AG＝DF.

第23题图

24. 在平面直角坐标系xOy中(如图)，直线y＝－x＋5与x轴、y轴分别交于A、B，抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A.

(1)求线段AB的长；

(2)如果抛物线y＝ax2＋bx经过AB上的另一点C，且BC＝，求这条抛物线的表达式；

(3)如果抛物线y＝ax2＋bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．

第24题图

25. 如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D.

(1)求证：∠BAC＝2∠ABD；

(2)当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；

(3)当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．

第25题图

2020上海中考数学真题解析

1. C　【解析】与不是同类二次根式，故选项A不符合题意；＝3，与不是同类二次根式，故选项B不符合题意；＝2，与是同类二次根式，故选项C符合题意； ＝3，与不是同类二次根式，故选项D不符合题意．故选C.

2. A　【解析】根据题意，原方程可化为y＋＝2，整理得y2－2y＋1＝0.故选A.

3. B　【解析】根据统计图的特点，能表示由数据所表现出来的部分与整体的关系的统计图是扇形图．故选B.

4. D　【解析】∵反比例函数的图象经过(2，－4)，∴xy＝2×(－4)＝－8，∴反比例函数解析式为y＝－.故选D.

5. C　【解析】对角线互相垂直的梯形不一定是等腰梯形，也可以是一般梯形，故选项A错误；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B错误；对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故选项C正确；对角线平分一组对角的梯形不是直角梯形，故选项D错误．故选C.

6. A　【解析】过平行四边形对边中点的直线，把平行四边形分成两部分，将其中一部分平移后能与另一部分重合，在等腰梯形、正六边形、圆中不存在这样的直线．故选A.

7. 6a2b　【解析】根据单项式乘以单项式的法则，可得2a·3ab＝6a2b.

8. 1　【解析】当x＝3时，f(3)＝＝＝1.

9. 减小　【解析】∵函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象经过第二、四象限，∴k＜0，∴y的值随x的值增大而减小．

10. 4　【解析】∵关于x的方程x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝16－4m＝0，解得m＝4.

11. 　【解析】∵1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中，只有5和10这两个数是5的倍数，∴P(选到的数是5的倍数)＝＝.

12. y＝x2＋3　【解析】根据抛物线平移的规律可知平移后的抛物线的解析式是y＝x2＋3.

13. 3150　【解析】估计该区会游泳的六年级学生人数为8400×＝3150(名)．

14. 7　【解析】∵AC∥BD，∴△ACE∽△BDE，∴＝，∵AB＝1.6，BD＝1，BE＝0.2，∴＝，解得AC＝7，故井深AC为7米．

15. 2＋　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴＝＝，∵＝＋，∴＝＋，∴＝＋＝＋＋＝2＋.

16. 350　【解析】设线段AB的解析式为y＝kx＋b，把点(8，960)，(20，1800)代入得，解得，∴线段AB的解析式为y＝70x＋400(8≤x≤20)，∴当x＝15时，y＝70×15＋400＝1450，∴到学校还需步行1800－1450＝350米．

17. 　【解析】如解图，作EF⊥BC于点F，∵BC＝7，CD＝3，∴BD＝4，∵AB＝4，∴AB＝BD，∵∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，∴∠ADC＝120°，由翻折的性质可知∠ADE＝∠ADC＝120°，CD＝DE＝3，∴∠BDE＝60°，在Rt△DEF中，EF＝DE·sin∠BDE ＝3×sin60°＝3×＝，即点E到BD的距离为.

第17题解图

18. ＜AO＜　【解析】在矩形ABCD中，∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，∴sin∠CAD＝＝，如解图①，当⊙O与AD相切于点E时，连接OE，则OE⊥AD，在Rt△AOE中，sin∠CAD＝＝，OE＝2，∴AO＝；如解图②，当⊙O与BC相切于点F时，同理可得OC＝，∴AO＝10－＝，∴＜AO＜.

第18题解图

19. 解：原式＝3＋－2－4＋3－

＝0.

20.

解：解不等式10x＞7x＋6，得x＞2，

解不等式x－1＜，得x＜5，

∴不等式组的解集为：2＜x＜5.

21. 解：(1)如解图，过点C作CE⊥AB于点E，则四边形AECD是矩形，

∴AE＝CD＝5.

∵AB＝8，

∴BE＝3.

在Rt△BCE中，由勾股定理可得：CE＝＝＝6，

　第21题解图

∴S梯形ABCD＝×(5＋8)×6＝39；

(2)如解图，过点C作CF⊥BD于点F，

∵∠DAB＝90°，AB＝8，AD＝CE＝6，

∴BD＝10，

∵S△BCD＝S梯形ABCD－S△ABD，

∴×10·CF＝39－×6×8，解得CF＝3，

在Rt△BCF中，由勾股定理可知BF＝＝＝6，

∴tan∠DBC＝＝＝.

22.解：(1)∵第七天的营业额是前六天总营业额的12%，

∴这七天的总营业额为450＋450×12%＝504(万元)．

答：该商店去年“十一黄金周”七天的总营业额为504万元；

(2)∵“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等，

∴9月份的营业额为504万元．

设该商店去年8，9月份营业额的月增长率为x，根据题意得350×(1＋x)2＝504，

解得x1＝0.2，x2＝－2.2(不合题意，舍去)，

∴该商店去年8，9月份营业额的月增长率为20%.

答：该商店去年8，9月份营业额的月增长率为20%.

23. 证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，

∴BC＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD.

∵BE＝DF，

∴△BCE≌△DCF(SAS)．

∴∠BCE＝∠DCF.

又∵AB∥CD，

∴∠H＝∠DCF.

∴∠BCE＝∠H.

∵∠B＝∠B，

∴△BEC∽△BCH；

(2)∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，BC∥AD.

∴△BEC∽△AEG.

∴＝，即＝.

∴BE·AG＝AB·AE.

∵BE2＝AB·AE，

∴BE2＝BE·AG.

∴BE＝AG.

∵BE＝DF，

∴AG＝DF.

24. 解：(1)在y＝－x＋5中，令x＝0，得y＝5，令y＝0，得x＝10，

∴A(10，0)，B(0，5)．

∴OA＝10，OB＝5.

∴AB＝＝＝5；

(2)如解图，过点C 作CH⊥y轴于点H，则CH∥AO，

　第24题解图

∴△BHC∽△BOA.

∴＝＝＝＝.

∴BH＝BO＝1，CH＝AO＝2.

∴OH＝4.

∴点C的坐标为(2，4)，

∵抛物线y＝ax2＋bx经过点A、C，

∴，解得.

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x；

(3)∵抛物线y＝ax2＋bx经过点A(10，0)，

∴100a＋10b＝0，即b＝－10a.

∴y＝ax2－10ax，即y＝a(x－5)2－25a.

∴顶点D的坐标为(5，－25a)，

将x＝5代入y＝－x＋5，得y＝，

∵抛物线y＝ax2＋bx的顶点D位于△AOB内，

∴0＜－25a＜，解得－＜a＜0.

∴a的取值范围为－＜a＜0.

25. (1)证明：如解图①，连接AO，并延长交BC于点H，

∵AB＝AC，⊙O为△ABC的外接圆，

∴AH⊥BC，

∴∠BAO＝∠CAO＝α，即∠BAC＝2α.

∵OA＝OB，

∴∠BAO＝∠OBA＝α.

∴∠BAC＝2∠ABD；

(2)解：如解图①，分两种情况：

①若BC＝BD，则∠BCD＝∠BDC＝3α，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝3α.

∴∠DBC＝2α.

在△CBD中，3α＋3α＋2α＝180°，解得α＝22.5°，

∴∠BCD＝3α＝67.5°；

　第25题解图①

②若BC＝CD，则∠CBD＝∠CDB＝3α，

∴∠ACB＝∠ABC＝4α，

在△CBD中，4α＋3α＋3α＝180°，解得α＝18°，

∴∠BCD＝4α＝72°；

综上所述，∠BCD＝67.5°或72°；

(3)解：设OA＝OB＝r，

∵AD＝2，CD＝3，

∴AB＝AC＝5.

∵∠ADB＝∠ODA，∠OAD＝∠ABD，

∴△DOA∽△DAB.

∴＝＝，

　第25题解图②

∴＝，

∴OD＝r，

又∵AD2＝DO·BD，

∴22＝r·(r＋r)，解得r＝.

如解图②，过O作OM⊥AB于点M，则AM＝AB＝，

在Rt△AOM中，由勾股定理得OM＝＝＝，

∴sin∠OAM＝＝，即sinα＝.

∴BH＝AB·sinα＝5×＝.

∴BC＝2BH＝.