2020年上海市中考数学试卷

这是一份2020年上海市中考数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年上海市中考数学试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．18
2．（4分）用换元法解方程x+1x2+x2x+1=2时，若设x+1x2=y，则原方程可化为关于y的方程是（　　）
A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝0
3．（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（　　）
A．条形图 B．扇形图
C．折线图 D．频数分布直方图
4．（4分）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（　　）
A．y=2x B．y=-2x C．y=8x D．y=-8x
5．（4分）下列命题中，真命题是（　　）
A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形
6．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（　　）
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．（4分）计算：2a•3ab＝　 　．
8．（4分）已知f（x）=2x-1，那么f（3）的值是　 　．
9．（4分）已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而　 　．（填“增大”或“减小”）
10．（4分）如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是　 　．
11．（4分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是　 　．
12．（4分）如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　 　．
13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为　 　．
14．（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为　 　米．

15．（4分）如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设BC→=a→，CA→=b→，那么向量BD→用向量a→、b→表示为　 　．

16．（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行　 　米．

17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为　 　．

18．（4分）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是　 　．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：2713+15+2-（12）﹣2+|3-5|．
20．（10分）解不等式组：10x＞7x+6，x-1＜x+73．
21．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝35．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）联结BD，求∠DBC的正切值．

22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．

24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=-12x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．
（1）求线段AB的长；
（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=5，求这条抛物线的表达式；
（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．

25．（14分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．


2020年上海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．18
【解答】解：A.6与3的被开方数不相同，故不是同类二次根式；
B.9=3，与3不是同类二次根式；
C.12=23，与3被开方数相同，故是同类二次根式；
D.18=32，与3被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
2．（4分）用换元法解方程x+1x2+x2x+1=2时，若设x+1x2=y，则原方程可化为关于y的方程是（　　）
A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝0
【解答】解：把x+1x2=y代入原方程得：y+1y=2，转化为整式方程为y2﹣2y+1＝0．
故选：A．
3．（4分）我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（　　）
A．条形图 B．扇形图
C．折线图 D．频数分布直方图
【解答】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图，
故选：B．
4．（4分）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（　　）
A．y=2x B．y=-2x C．y=8x D．y=-8x
【解答】解：设反比例函数解析式为y=kx，
将（2，﹣4）代入，得：﹣4=k2，
解得k＝﹣8，
所以这个反比例函数解析式为y=-8x，
故选：D．
5．（4分）下列命题中，真命题是（　　）
A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形
【解答】解：A、对角线相等的梯形是等腰梯形，故错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
C、正确；
D、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误；
故选：C．
6．（4分）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（　　）
A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆
【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．

∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，
∴平行四边形ABCD是平移重合图形，
故选：A．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．（4分）计算：2a•3ab＝　6a2b　．
【解答】解：2a•3ab＝6a2b．
故答案为：6a2b．
8．（4分）已知f（x）=2x-1，那么f（3）的值是　1　．
【解答】解：∵f（x）=2x-1，
∴f（3）=23-1=1，
故答案为：1．
9．（4分）已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而　减小　．（填“增大”或“减小”）
【解答】解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，
故答案为：减小．
10．（4分）如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是　4　．
【解答】解：依题意，
∵方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，
故答案为：4．
11．（4分）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是　15　．
【解答】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，
∴取到的数恰好是5的倍数的概率是210=15．
故答案为：15．
12．（4分）如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　y＝x2+3　．
【解答】解：抛物线y＝x2向上平移3个单位得到y＝x2+3．
故答案为：y＝x2+3．
13．（4分）为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为　3150名　．
【解答】解：8400×150400=3150（名）．
答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150名．
故答案为：3150名．
14．（4分）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为　7　米．

【解答】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD∥AC，
∴△ACE∽△DBE，
∴ACBD=AEBE，
∴AC1=1.40.2，
∴AC＝7（米），
答：井深AC为7米．
15．（4分）如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设BC→=a→，CA→=b→，那么向量BD→用向量a→、b→表示为　2a→+b→　．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，
∴AD→=BC→=a→，
∵CD→=CA→+AD→=b→+a→，
∴BA→=CD→=b→+a→，
∵BD→=BA→+AD→，
∴BD→=b→+a→+a→=2a→+b→，
故答案为：2a→+b→．
16．（4分）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行　350　米．

【解答】解：当8≤t≤20时，设s＝kt+b，
将（8，960）、（20，1800）代入，得：
8k+b=96020k+b=1800，
解得：k=70b=400，
∴s＝70t+400；
当t＝15时，s＝1450，
1800﹣1450＝350，
∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，
故答案为：350．
17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为　332　．

【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H．

∵BC＝7，CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝4，
∵AB＝4＝BD，∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴ADB＝60°，
∴∠ADC＝∠ADE＝120°，
∴∠EDH＝60°，
∵EH⊥BC，
∴∠EHD＝90°，
∵DE＝DC＝3，
∴EH＝DE•sin60°=332，
∴E到直线BD的距离为332，
故答案为332．
18．（4分）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是　103＜AO＜203　．
【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10，
如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，
则OE⊥AD，
∴OE∥CD，
∴△AOE∽△ACD，
∴OECD=AOAC，
∴AO10=26，
∴AO=103，
如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，
则OF⊥BC，
∴OF∥AB，
∴△COF∽△CAB，
∴OCAC=OFAB，
∴OC10=26，
∴OC=103，
∴AO=203，
∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是103＜AO＜203，
故答案为：103＜AO＜203．


三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：2713+15+2-（12）﹣2+|3-5|．
【解答】解：原式＝（33）13+5-2﹣4+3-5
＝3+5-2﹣4+3-5
＝0．
20．（10分）解不等式组：10x＞7x+6，x-1＜x+73．
【解答】解：10x＞7x+6①x-1＜x+73②，
解不等式①得x＞2，
解不等式②得x＜5．
故原不等式组的解集是2＜x＜5．
21．（10分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝35．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）联结BD，求∠DBC的正切值．

【解答】解：（1）过C作CE⊥AB于E，
∵AB∥DC，∠DAB＝90°，
∴∠D＝90°，
∴∠A＝∠D＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AD＝CE，AE＝CD＝5，
∴BE＝AB﹣AE＝3，
∵BC＝35，
∴CE=BC2-BE2=6，
∴梯形ABCD的面积=12×（5+8）×6＝39；
（2）过C作CH⊥BD于H，
∵CD∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
∵∠CHD＝∠A＝90°，
∴△CDH∽△DBA，
∴CHAD=CDBD，
∵BD=AB2+AD2=82+62=10，
∴CH6=510，
∴CH＝3，
∴BH=BC2-CH2=(35)2-32=6，
∴∠DBC的正切值=CHBH=36=12．

22．（10分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
【解答】解：（1）450+450×12%＝504（万元）．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350（1+x）2＝504，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB，
∵DF＝BE，
∴△CDF≌CBE（SAS），
∴∠DCF＝∠BCE，
∵CD∥BH，
∴∠H＝∠DCF，
∴∠BCE＝∠H，
∵∠B＝∠B，
∴△BEC∽△BCH．

（2）证明：∵BE2＝AB•AE，
∴BEAB=AEEB，
∵AG∥BC，
∴AEBE=AGBC，
∴BEAB=AGBC，
∵DF＝BE，BC＝AB，
∴BE＝AG＝DF，
即AG＝DF．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=-12x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．
（1）求线段AB的长；
（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=5，求这条抛物线的表达式；
（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．

【解答】解：（1）针对于直线y=-12x+5，
令x＝0，y＝5，
∴B（0，5），
令y＝0，则-12x+5＝0，
∴x＝10，
∴A（10，0），
∴AB=52+102=55；

（2）设点C（m，-12m+5），
∵B（0，5），
∴BC=m2+(-12m+5-5)2=52|m|，
∵BC=5，
∴52|m|=5，
∴m＝±2，
∵点C在线段AB上，
∴m＝2，
∴C（2，4），
将点A（10，0），C（2，4）代入抛物线y＝ax2+bx（a≠0）中，得100a+10b=04a+2b=4，
∴a=-14b=52，
∴抛物线y=-14x2+52x；

（3）∵点A（10，0）在抛物线y＝ax2+bx中，得100a+10b＝0，
∴b＝﹣10a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣10ax＝a（x﹣5）2﹣25a，
∴抛物线的顶点D坐标为（5，﹣25a），
将x＝5代入y=-12x+5中，得y=-12×5+5=52，
∵顶点D位于△AOB内，
∴0＜﹣25a＜52，
∴-110＜a＜0；
25．（14分）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．

【解答】（1）证明：连接OA．

∵AB＝AC，
∴AB=AC，
∴OA⊥BC，
∴∠BAO＝∠CAO，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠BAO，
∴∠BAC＝2∠BAD．

（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．

①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠DBC＝2∠ABD，
∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，
∴8∠ABD＝180°，
∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．
②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，
∴∠C＝4∠ABD，
∵∠DBC+∠C+∠CDB＝180°，
∴10∠ABD＝180°，
∴∠BCD＝4∠ABD＝72°．
③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．
综上所述，∠C的值为67.5°或72°．

（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．

则AEBC=ADDC=23，
∴AOOH=EBH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，
∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，
∴25﹣49a2＝16a2﹣9a2，
∴a2=2556，
∴BH=524，
∴BC＝2BH=522．