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2020龙东地区中考数学试卷
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这是一份2020龙东地区中考数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题．等内容，欢迎下载使用。
黑龙江省龙东地区2020年初中毕业学业统一考试
数学试题
一、选择题(每题3分，满分30分)
1. 下列各运算中，计算正确的是( )
A. a2·2a2＝2a4 B. x8÷x2＝x4
C. (x－y)2＝x2－xy＋y2 D. (－3x2)3＝－9x6
2. 下列图标中是中心对称图形的是( )
3. 如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是( )
第3题图
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
4. 一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5(x为正整数)，唯一的众数是4，则该组数据的平均数是( )
A. 3.6 B. 3.8或3.2 C. 3.6或3.4 D. 3.6或3.2
5. 已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是( )
A. k＜ B. k≤
C. k＞4 D. k≤且k≠0
6. 如图，菱形ABCD的两个顶点A, C在反比例函数y＝的图象上，对角线AC, BD的交点恰好是坐标原点O，已知B (－1, 1)，∠ABC＝120°，则k的值是( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
第6题图
7. 已知关于x的分式方程－4＝的解为正数，则k的取值范围是( )
A. －8－8且k≠－2
C. k>－8且k≠2 D. k<4且k≠－2
8. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为( )
A. 4 B. 8 C. D. 6
第8题图
9. 在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案( )
A. 12种 B. 15种
C. 16种 D. 14种
10. 如图，正方形ABCD的边长为a, 点E在边AB上运动(不与点A，B重合)，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG. 则下列结论：
①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为(1＋)a；③BE2＋DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．
第10题图
其中正确的结论是( )
A. ①②③
B. ②④⑤
C. ①③④
D. ①④⑤
二、填空题(每题3分，满分30分)
11. 5G信号的传播速度为300000000 m/s将数据300000000用科学记数法表示为________．
12. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是________．
第13题图
13. 如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________，使Rt△ABC和Rt△EDF全等.
14. 一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为________．
15. 若关于x的一元一次不等式组有2个整数解，则a的取值范围是________．
16. 如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝40°，则∠ACB＝________°.
第16题图 第18题图
17. 小明在手工制作课上，用面积为150 π cm2，半径为15 cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为________cm.
18. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC，GC.求EC＋GC的最小值为________．
19. 在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a，连接AE，将△ABE沿AE折叠．若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上．则折痕的长为________．
20. 如图，直线AM的解析式为y＝x＋1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为(1，1)．过点B作EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1.以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为(5, 3)．过点B1作E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2，以O2A2为边作正方形O2A2B2C2，…，则点B2020的坐标________．
第20题图
三、解答题(满分60分)．
21. (本题满分5分)
先化简，再求值：(2－)÷，其中x＝3tan30°－3.
22. (本题满分6分)
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A(5, 2)、B(5，5)、C(1，1)均在格点上．
(1)将△ABC向左平移5个单位得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C1, 并写出点A2的坐标；
(3)在(2)的条件下，求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积(结果保留π)．
第22题图
23. (本题满分6分)
如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0), B(3，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
第23题图
24. (本题满分7分)
为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，(每个小组包括左端点，不包括右端点)．
求：(1)该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；
(2)该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；
(3)从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．
第24题图
25. (本题满分8分)
为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y(单位：千米)与快递车所用时间x(单位：时)的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时.
(1)求ME的函数解析式；
(2)求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间；
(3)求两车最后一次相遇时离武汉的距离．(直接写出答案)
第25题图
26. (本题满分8分)
如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AC＝BC，点D、E分别在AC、BC边上，DC＝EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN.
(1)BE与MN的数量关系是________；
(2)将△DEC绕点C逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
第26题图
27. (本题满分10分)
某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
(1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元．求m, n的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案；
(3)在(2)的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值.
28. (本题满分10分)
如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB长是方程x2－3x－18＝0的根，连接BD，∠DBC＝30°，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，动点P从点B以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到点D为止；点M沿线段DA以每秒个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒(t＞0)．
(1)线段CN＝________；
(2)连接PM和MN，求△PMN的面积S与运动时间t的函数关系式；
(3)在整个运动过程中，当△PMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
第28题图
黑龙江龙东地区2020年初中毕业学业统一考试
数学试题解析
1. A 【解析】逐项分析如下：
选项
逐项分析
正误
A
a2·2a2＝2a2＋2＝2a4
√
B
x8÷x2＝x8－2＝x6≠x4
×
C
(x－y)2＝x2－2xy＋y2≠x2－xy＋y2
×
D
(－3x2)3＝－27x2×3＝－27x6≠－9x6
×
2. B 【解析】逐项分析如下：
选项
逐项分析
正误
A
绕中心点旋转180度不能与自身完全重合，不是中心对称图形
×
B
绕中心点旋转180度能与自身完全重合，是中心对称图形
√
C
绕中心点旋转180度不能与自身完全重合，不是中心对称图形
×
D
绕中心点旋转180度不能与自身完全重合，不是中心对称图形
×
3. B 【解析】根据主视图和左视图可知，所需小正方体在各个位置的最多数目如解图，∴所需的小正方体的个数最多为3＋2＋1＋1＝7个.
3
1
2
1
第3题解图
4. C 【解析】根据题意，众数为4，排列顺序由小到大，且x是正整数，∴x＝1或2均可满足题意，∴平均数为：x－＝＝＝3.4或x－＝＝＝3.6.
5. B 【解析】∵一元二次方程有两个实数根，∴b2－4ac＝(2k＋1)2－4(k2＋2k)≥0，解得k≤.
6. C 【解析】如解图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，BC∥AD，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝180°－∠ABC＝60°，∴∠DAC＝∠BAC＝30°，∵B(－1，1)，∴ON＝BN＝1，∴∠BON＝45°，OB＝，∴OA＝＝，∵∠AOM＝180°－∠BON－∠AOB＝180°－45°－90°＝45°，∴AM＝OM＝OA＝，∴A(，)，∴k＝×＝3.
第6题解图
7. B 【解析】去分母得x－4x＋8＝－k，∴k＝3x－8，∵原方程的解为正数，∴x>0，且x－2≠0，即x>0且x≠2，∴3x－8>－8，且3x－8≠－2，即k>－8且k≠－2.
8. A 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OA＝OC＝6，∵S菱形ABCD＝AC·BD＝48，∴BD＝8，∵DH⊥AB，∴OH＝BD＝4.
9. D 【解析】设A种奖品购买a个，B种奖品购买b个，C种奖品购买c个，根据题意得，10a＋20b＋30c＝200，化简为a＋2b＋3c＝20，∵0
第10题解图
11. 3×108 【解析】300000000＝3×108.
12. x>2 【解析】由题意得，x－2>0，解得x>2.
13. AB＝ED 【解析】因为已知中有两对角相等，∠B＝∠D，∠BAC＝∠DEF＝90°，可以添加其中一组对应角的对边相等，或两组对应角的夹边相等，便可根据AAS或ASA得两个三角形全等，因此可添加：AB＝ED或AC＝EF或BC＝DF或AE＝CF中任意一个条件．
14. 【解析】列表分析如下：
和
1
2
3
4
5
1
3
4
5
6
2
3
5
6
7
3
4
5
7
8
4
5
6
7
9
5
6
7
8
9
由上表可知，共有20种等可能的结果，其中和大于6的有8种结果，∴P(和大于6)＝＝ .
15. 60 ，得x>1，解不等式2x－a<0，得x
17. 10 【解析】设扇形的弧长为l cm，则由S扇形＝lr得，150π＝l×15，解得l＝20π，设围成的圆锥的底面半径为x cm，由圆周长公式得，2πx＝20π，解得x＝10，故答案为10.
18. 4 【解析】如解图，连接AE并延长，作点D关于射线AE的对称点H，连接EH，ED，过点H作HM⊥CD，与CD的延长线交于点M，则DE＝EH，∵△ABD沿射线BD平移得△EGF，∴AE∥BD，AB＝EG，AB∥EG，∵AB∥CD，AB＝CD＝4，∴EG∥CD，EG＝CD＝4，∴四边形CDEG是平行四边形，∴CG＝DE＝EH，∴当点C，E，H三点共线时，CH是CE＋CG的最小值，∵∠DAM＝45°，∴∠ADH＝45°，∴∠MDH＝45°，∴DM＝HM，∵AE∥BD，AB∥CD，∴四边形ABDM为平行四边形，∴MH＝DM＝AB＝4，∴CM＝CD＋DM＝8，∴CH＝＝＝4，即CE＋CG的最小值为4.
第18题解图
19. 或 【解析】如解图①，当点B′落在CD边上时，则B′E＝BE＝a，CE＝BC－BE＝a，由勾股定理得，B′C＝a，∴B′D＝CD－B′C＝1－a，由折叠知，AB′＝AB＝1，∵AD2＋B′D2＝AB′2，即a2＋(1－a)2＝12，解得a＝，∴BE＝，∴AE＝＝；如解图②，当点B′落在AD边上时，由折叠知，AB＝AB′＝1，∠BAD＝∠B＝∠AB′E＝90°，∴四边形ABEB′为正方形，∴AE＝AB＝.综上所述，折痕的长为或.
第19题解图
20. (2×32020－1，32020) 【解析】∵B(1，1)，∴OC＝O1C＝1，∴A1(2，3)，∴A1O1＝A1B1＝B1C1＝C1O2＝3，∴B1(5，3)；A2(8，9)，A2O2＝A2B2＝B2C2＝C2O3＝9，∴B2(17，9)；同理可得B3(53，27)；…，由上可得Bn(2×3n－1，3n)，∴当n＝2020时，有B2020(2×32020－1，32020)．
21. 解：原式＝·
＝，
当x＝3tan 30°－3＝－3时，
原式＝＝＝.
22. (1)解：△ABC向左平移5个单位得到的△A1B1C1如解图所示，A1(0，2)；
(2)将△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C1如解图所示，A2(－3，－3)；
第22题解图
(3)根据题意得，S＝S扇形B1C1B2＋S△A1B1C1＝＋A1B1·|xC1|＝＋×3×4＝ 8π＋6.
23. (1)解：把A(－1，0)，B(3，0)代入y＝－x2＋bx＋c中，得
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)存在，点P的坐标为(2，3)或(4，－5)．
【解法提示】∵抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，∴C(0，3)∵B(3，0)，∴OB＝OC＝3，∴∠ABC＝45°，∵A(－1，0)，∴如解图，在y轴上取点D(0，1)和点E(0，－1)，作直线AD与AE，两直线分别与抛物线的交点为P和P′，则∠PAB＝∠P′AB＝45°＝∠ABC，易求AD的解析式为y＝x＋1，直线AE的解析式为y＝－x－1，联立方程组，解得(舍)或，∴P(2，3)；联立方程组，解得(舍)或，∴P′(4，－5)；综上所述，点P的坐标为(2，3)或(4，－5)．
第23题解图
24. 解：(1)当每个小组都取最小，即左端点时，该班一分钟跳绳的平均次数最小；
∴x－＝×(60×4＋80×13＋100×19＋120×7＋140×5＋160×2)＝100.8>99.
∵100.8>99，
∴该班一分钟跳绳的最小平均次数超过全校的平均次数；
(2)由统计图可知，该班50名同学跳绳次数由小到大排列，位于最中间两个数据，即第25个和第26个，都在大于等于100次且小于120次范围内，
∴该生跳绳成绩所在范围是大于等于100次且小于120次；
(3)根据统计图可知，该班50名学生中有19＋7＋5＋2＝33(名)学生的成绩超过全校平均成绩99次，
∴P(任选一人的跳绳次数超过全校平均数)＝.
25. 解：(1)设ME的解析式为y＝kx＋b(0
∴，解得，
∴ME的函数解析式为y＝50x＋50(0
∴，解得，
∴BC的解析式为y＝100x－400(4
∴，解得，
∴CD的解析式为y＝－100x＋800(6
∴，解得，
∴FG的解析式为y＝－50x＋450(5
解得或，
答：快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间为h或7 h.
(3)100 km.
【解法提示】由(2)知最后一次是7 h相遇，离物流公司距离为y＝－50×7＋450＝100，∴在7 h相遇时，离武汉的距离为200－100＝100(km)．
26. 解：(1)BE＝MN；
【解法提示】∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵DC＝EC，∴AD＝BE，∵M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，∴PM∥BC，PN∥AC，PM＝BE，PN＝AD，∴∠APM＝∠ABC＝∠BPN＝∠BAC＝45°，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形，∴PM＝MN，∵BE＝2PM，∴BE＝2×MN＝MN.
(2)图②的猜想为BE＝MN，
图③的猜想为BE＝MN.
选择图②证明：如解图①，连接AD，
第26题解图①
∵∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，
∵M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，
∴PM∥BE，PN∥AD，PM＝BE，PN＝AD，
∴∠APM＝∠ABE，∠BPN＝∠BAD，PM＝PN，
∴∠APM＋∠BPN＝∠ABE＋∠BAD＝∠ABE＋∠CAD＋∠BAC，
∵∠CAD＝∠CBE，
∴∠APM＋∠BPN＝∠ABE＋∠CBE＋∠BAC＝∠ABC＋∠BAC＝90°
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴PM＝MN，
∵BE＝2PM，
∴BE＝2×MN＝MN.
选择图③证明：如解图②， 连接AD，
∵∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，
∵M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，
∴PM∥BE，PN∥AD，PM＝BE，PN＝AD，
∴∠APM＝∠ABE，∠BPN＝∠BAD，PM＝PN，
∴∠APM＋∠BPN＝∠ABE＋∠BAD＝∠ABE＋∠CAD＋∠BAC，
∵∠CAD＝∠CBE，
∴∠APM＋∠BPN＝∠ABE＋∠CBE＋∠BAC＝∠ABC＋∠BAC＝90°
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴PM＝MN，
∵BE＝2PM，
∴BE＝2×MN＝MN.
第26题解图②
27. 解：(1)根据题意列出方程组，
解得
(2)根据题意得，，
解得58≤x≤60，
∵x为整数，
∴x＝58或59或60，
∴有三种购买方案：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；
购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；
购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克；
(3)设总利润为w元，根据题意得，
w＝(16－10)x＋(18－14)(100－x)＝6x＋400－4x＝2x＋400，
∵w随x的增大而增大，
∴当x＝60时，w的值最大，
根据题意得，(16－10－2a)×60＋(18－14－a)×40≥20%×(10×60＋14×40)，
解得a≤1.8，
∴a的最大值为1.8元．
28. 解：(1)3；
【解法提示】∵x2－3x－18＝0，解得x1＝－3(舍去)或x2＝6，∴AB＝6，∵矩形ABCD中，∠BCD＝90°，∠DBC＝30°，∴BC＝＝＝6，∵CN⊥BD于点N，∴CN＝BC＝3.
(2)如解图①，过点N作NE⊥AD于点E，过点P作PF⊥AD于点F，
第28题解图①
∵BD＝2CD＝12，DN＝CD＝3，BP＝2t，DM＝t，
∴DP＝12－2t，
∵∠ADB＝∠DBC＝30°，
∴EN＝DN＝，
PF＝DP＝6－t，
当P点还没经过N点时，
S＝S△PDM－S△NDM＝DM·PF－DM·NE＝×t×(6－t－)＝－t2＋t(0
S＝S△NDM－S△PDM＝DM·NE－DM·PF＝×t(－6＋t)＝t2－t(4.5≤t<6)．
综上所述，S与t的函数关系为
S＝；
(3)P的坐标为(3，3)或(，)．
【解法提示】如解图②，过点P作PE⊥x轴于点E，过点N作NF⊥x轴于点F，则BN＝9，PN＝9－2t，BE＝BP＝t，NF＝BN＝，BF＝BN＝，∴P(t，t)，N(，)，M(6－t，6)，①当PN＝PM时，有(9－2t)2＝(2t－6)2＋(t－6)2，解得t＝3或，此时P(3，3)或(，)；②当PN＝MN时，有(9－2t)2＝(t－)2＋(－6)2，解得t＝3，或t＝24(舍)，此时P(3，3)．综上，P点的坐标为(3，3)或P(，).
第28题解图②
黑龙江省龙东地区2020年初中毕业学业统一考试
数学试题
一、选择题(每题3分，满分30分)
1. 下列各运算中，计算正确的是( )
A. a2·2a2＝2a4 B. x8÷x2＝x4
C. (x－y)2＝x2－xy＋y2 D. (－3x2)3＝－9x6
2. 下列图标中是中心对称图形的是( )
3. 如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是( )
第3题图
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
4. 一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5(x为正整数)，唯一的众数是4，则该组数据的平均数是( )
A. 3.6 B. 3.8或3.2 C. 3.6或3.4 D. 3.6或3.2
5. 已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是( )
A. k＜ B. k≤
C. k＞4 D. k≤且k≠0
6. 如图，菱形ABCD的两个顶点A, C在反比例函数y＝的图象上，对角线AC, BD的交点恰好是坐标原点O，已知B (－1, 1)，∠ABC＝120°，则k的值是( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
第6题图
7. 已知关于x的分式方程－4＝的解为正数，则k的取值范围是( )
A. －8
C. k>－8且k≠2 D. k<4且k≠－2
8. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为( )
A. 4 B. 8 C. D. 6
第8题图
9. 在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案( )
A. 12种 B. 15种
C. 16种 D. 14种
10. 如图，正方形ABCD的边长为a, 点E在边AB上运动(不与点A，B重合)，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG. 则下列结论：
①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为(1＋)a；③BE2＋DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是a2；⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．
第10题图
其中正确的结论是( )
A. ①②③
B. ②④⑤
C. ①③④
D. ①④⑤
二、填空题(每题3分，满分30分)
11. 5G信号的传播速度为300000000 m/s将数据300000000用科学记数法表示为________．
12. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是________．
第13题图
13. 如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________，使Rt△ABC和Rt△EDF全等.
14. 一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为________．
15. 若关于x的一元一次不等式组有2个整数解，则a的取值范围是________．
16. 如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝40°，则∠ACB＝________°.
第16题图 第18题图
17. 小明在手工制作课上，用面积为150 π cm2，半径为15 cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为________cm.
18. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC，GC.求EC＋GC的最小值为________．
19. 在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a，连接AE，将△ABE沿AE折叠．若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上．则折痕的长为________．
20. 如图，直线AM的解析式为y＝x＋1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为(1，1)．过点B作EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1.以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为(5, 3)．过点B1作E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2，以O2A2为边作正方形O2A2B2C2，…，则点B2020的坐标________．
第20题图
三、解答题(满分60分)．
21. (本题满分5分)
先化简，再求值：(2－)÷，其中x＝3tan30°－3.
22. (本题满分6分)
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A(5, 2)、B(5，5)、C(1，1)均在格点上．
(1)将△ABC向左平移5个单位得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C1, 并写出点A2的坐标；
(3)在(2)的条件下，求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积(结果保留π)．
第22题图
23. (本题满分6分)
如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0), B(3，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
第23题图
24. (本题满分7分)
为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，(每个小组包括左端点，不包括右端点)．
求：(1)该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；
(2)该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；
(3)从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．
第24题图
25. (本题满分8分)
为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y(单位：千米)与快递车所用时间x(单位：时)的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时.
(1)求ME的函数解析式；
(2)求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间；
(3)求两车最后一次相遇时离武汉的距离．(直接写出答案)
第25题图
26. (本题满分8分)
如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AC＝BC，点D、E分别在AC、BC边上，DC＝EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN.
(1)BE与MN的数量关系是________；
(2)将△DEC绕点C逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
第26题图
27. (本题满分10分)
某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查，甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
(1)该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元．求m, n的值；
(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案；
(3)在(2)的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值.
28. (本题满分10分)
如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB长是方程x2－3x－18＝0的根，连接BD，∠DBC＝30°，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，动点P从点B以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到点D为止；点M沿线段DA以每秒个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒(t＞0)．
(1)线段CN＝________；
(2)连接PM和MN，求△PMN的面积S与运动时间t的函数关系式；
(3)在整个运动过程中，当△PMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
第28题图
黑龙江龙东地区2020年初中毕业学业统一考试
数学试题解析
1. A 【解析】逐项分析如下：
选项
逐项分析
正误
A
a2·2a2＝2a2＋2＝2a4
√
B
x8÷x2＝x8－2＝x6≠x4
×
C
(x－y)2＝x2－2xy＋y2≠x2－xy＋y2
×
D
(－3x2)3＝－27x2×3＝－27x6≠－9x6
×
2. B 【解析】逐项分析如下：
选项
逐项分析
正误
A
绕中心点旋转180度不能与自身完全重合，不是中心对称图形
×
B
绕中心点旋转180度能与自身完全重合，是中心对称图形
√
C
绕中心点旋转180度不能与自身完全重合，不是中心对称图形
×
D
绕中心点旋转180度不能与自身完全重合，不是中心对称图形
×
3. B 【解析】根据主视图和左视图可知，所需小正方体在各个位置的最多数目如解图，∴所需的小正方体的个数最多为3＋2＋1＋1＝7个.
3
1
2
1
第3题解图
4. C 【解析】根据题意，众数为4，排列顺序由小到大，且x是正整数，∴x＝1或2均可满足题意，∴平均数为：x－＝＝＝3.4或x－＝＝＝3.6.
5. B 【解析】∵一元二次方程有两个实数根，∴b2－4ac＝(2k＋1)2－4(k2＋2k)≥0，解得k≤.
6. C 【解析】如解图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，BC∥AD，∠BAC＝∠DAC＝∠BAD，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝180°－∠ABC＝60°，∴∠DAC＝∠BAC＝30°，∵B(－1，1)，∴ON＝BN＝1，∴∠BON＝45°，OB＝，∴OA＝＝，∵∠AOM＝180°－∠BON－∠AOB＝180°－45°－90°＝45°，∴AM＝OM＝OA＝，∴A(，)，∴k＝×＝3.
第6题解图
7. B 【解析】去分母得x－4x＋8＝－k，∴k＝3x－8，∵原方程的解为正数，∴x>0，且x－2≠0，即x>0且x≠2，∴3x－8>－8，且3x－8≠－2，即k>－8且k≠－2.
8. A 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，OA＝OC＝6，∵S菱形ABCD＝AC·BD＝48，∴BD＝8，∵DH⊥AB，∴OH＝BD＝4.
9. D 【解析】设A种奖品购买a个，B种奖品购买b个，C种奖品购买c个，根据题意得，10a＋20b＋30c＝200，化简为a＋2b＋3c＝20，∵0
第10题解图
11. 3×108 【解析】300000000＝3×108.
12. x>2 【解析】由题意得，x－2>0，解得x>2.
13. AB＝ED 【解析】因为已知中有两对角相等，∠B＝∠D，∠BAC＝∠DEF＝90°，可以添加其中一组对应角的对边相等，或两组对应角的夹边相等，便可根据AAS或ASA得两个三角形全等，因此可添加：AB＝ED或AC＝EF或BC＝DF或AE＝CF中任意一个条件．
14. 【解析】列表分析如下：
和
1
2
3
4
5
1
3
4
5
6
2
3
5
6
7
3
4
5
7
8
4
5
6
7
9
5
6
7
8
9
由上表可知，共有20种等可能的结果，其中和大于6的有8种结果，∴P(和大于6)＝＝ .
15. 6
17. 10 【解析】设扇形的弧长为l cm，则由S扇形＝lr得，150π＝l×15，解得l＝20π，设围成的圆锥的底面半径为x cm，由圆周长公式得，2πx＝20π，解得x＝10，故答案为10.
18. 4 【解析】如解图，连接AE并延长，作点D关于射线AE的对称点H，连接EH，ED，过点H作HM⊥CD，与CD的延长线交于点M，则DE＝EH，∵△ABD沿射线BD平移得△EGF，∴AE∥BD，AB＝EG，AB∥EG，∵AB∥CD，AB＝CD＝4，∴EG∥CD，EG＝CD＝4，∴四边形CDEG是平行四边形，∴CG＝DE＝EH，∴当点C，E，H三点共线时，CH是CE＋CG的最小值，∵∠DAM＝45°，∴∠ADH＝45°，∴∠MDH＝45°，∴DM＝HM，∵AE∥BD，AB∥CD，∴四边形ABDM为平行四边形，∴MH＝DM＝AB＝4，∴CM＝CD＋DM＝8，∴CH＝＝＝4，即CE＋CG的最小值为4.
第18题解图
19. 或 【解析】如解图①，当点B′落在CD边上时，则B′E＝BE＝a，CE＝BC－BE＝a，由勾股定理得，B′C＝a，∴B′D＝CD－B′C＝1－a，由折叠知，AB′＝AB＝1，∵AD2＋B′D2＝AB′2，即a2＋(1－a)2＝12，解得a＝，∴BE＝，∴AE＝＝；如解图②，当点B′落在AD边上时，由折叠知，AB＝AB′＝1，∠BAD＝∠B＝∠AB′E＝90°，∴四边形ABEB′为正方形，∴AE＝AB＝.综上所述，折痕的长为或.
第19题解图
20. (2×32020－1，32020) 【解析】∵B(1，1)，∴OC＝O1C＝1，∴A1(2，3)，∴A1O1＝A1B1＝B1C1＝C1O2＝3，∴B1(5，3)；A2(8，9)，A2O2＝A2B2＝B2C2＝C2O3＝9，∴B2(17，9)；同理可得B3(53，27)；…，由上可得Bn(2×3n－1，3n)，∴当n＝2020时，有B2020(2×32020－1，32020)．
21. 解：原式＝·
＝，
当x＝3tan 30°－3＝－3时，
原式＝＝＝.
22. (1)解：△ABC向左平移5个单位得到的△A1B1C1如解图所示，A1(0，2)；
(2)将△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C1如解图所示，A2(－3，－3)；
第22题解图
(3)根据题意得，S＝S扇形B1C1B2＋S△A1B1C1＝＋A1B1·|xC1|＝＋×3×4＝ 8π＋6.
23. (1)解：把A(－1，0)，B(3，0)代入y＝－x2＋bx＋c中，得
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)存在，点P的坐标为(2，3)或(4，－5)．
【解法提示】∵抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，∴C(0，3)∵B(3，0)，∴OB＝OC＝3，∴∠ABC＝45°，∵A(－1，0)，∴如解图，在y轴上取点D(0，1)和点E(0，－1)，作直线AD与AE，两直线分别与抛物线的交点为P和P′，则∠PAB＝∠P′AB＝45°＝∠ABC，易求AD的解析式为y＝x＋1，直线AE的解析式为y＝－x－1，联立方程组，解得(舍)或，∴P(2，3)；联立方程组，解得(舍)或，∴P′(4，－5)；综上所述，点P的坐标为(2，3)或(4，－5)．
第23题解图
24. 解：(1)当每个小组都取最小，即左端点时，该班一分钟跳绳的平均次数最小；
∴x－＝×(60×4＋80×13＋100×19＋120×7＋140×5＋160×2)＝100.8>99.
∵100.8>99，
∴该班一分钟跳绳的最小平均次数超过全校的平均次数；
(2)由统计图可知，该班50名同学跳绳次数由小到大排列，位于最中间两个数据，即第25个和第26个，都在大于等于100次且小于120次范围内，
∴该生跳绳成绩所在范围是大于等于100次且小于120次；
(3)根据统计图可知，该班50名学生中有19＋7＋5＋2＝33(名)学生的成绩超过全校平均成绩99次，
∴P(任选一人的跳绳次数超过全校平均数)＝.
25. 解：(1)设ME的解析式为y＝kx＋b(0
∴，解得，
∴ME的函数解析式为y＝50x＋50(0
∴，解得，
∴BC的解析式为y＝100x－400(4
∴，解得，
∴CD的解析式为y＝－100x＋800(6
∴，解得，
∴FG的解析式为y＝－50x＋450(5
解得或，
答：快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间为h或7 h.
(3)100 km.
【解法提示】由(2)知最后一次是7 h相遇，离物流公司距离为y＝－50×7＋450＝100，∴在7 h相遇时，离武汉的距离为200－100＝100(km)．
26. 解：(1)BE＝MN；
【解法提示】∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵DC＝EC，∴AD＝BE，∵M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，∴PM∥BC，PN∥AC，PM＝BE，PN＝AD，∴∠APM＝∠ABC＝∠BPN＝∠BAC＝45°，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形，∴PM＝MN，∵BE＝2PM，∴BE＝2×MN＝MN.
(2)图②的猜想为BE＝MN，
图③的猜想为BE＝MN.
选择图②证明：如解图①，连接AD，
第26题解图①
∵∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，
∵M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，
∴PM∥BE，PN∥AD，PM＝BE，PN＝AD，
∴∠APM＝∠ABE，∠BPN＝∠BAD，PM＝PN，
∴∠APM＋∠BPN＝∠ABE＋∠BAD＝∠ABE＋∠CAD＋∠BAC，
∵∠CAD＝∠CBE，
∴∠APM＋∠BPN＝∠ABE＋∠CBE＋∠BAC＝∠ABC＋∠BAC＝90°
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴PM＝MN，
∵BE＝2PM，
∴BE＝2×MN＝MN.
选择图③证明：如解图②， 连接AD，
∵∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，
∵M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，
∴PM∥BE，PN∥AD，PM＝BE，PN＝AD，
∴∠APM＝∠ABE，∠BPN＝∠BAD，PM＝PN，
∴∠APM＋∠BPN＝∠ABE＋∠BAD＝∠ABE＋∠CAD＋∠BAC，
∵∠CAD＝∠CBE，
∴∠APM＋∠BPN＝∠ABE＋∠CBE＋∠BAC＝∠ABC＋∠BAC＝90°
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∴PM＝MN，
∵BE＝2PM，
∴BE＝2×MN＝MN.
第26题解图②
27. 解：(1)根据题意列出方程组，
解得
(2)根据题意得，，
解得58≤x≤60，
∵x为整数，
∴x＝58或59或60，
∴有三种购买方案：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；
购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；
购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克；
(3)设总利润为w元，根据题意得，
w＝(16－10)x＋(18－14)(100－x)＝6x＋400－4x＝2x＋400，
∵w随x的增大而增大，
∴当x＝60时，w的值最大，
根据题意得，(16－10－2a)×60＋(18－14－a)×40≥20%×(10×60＋14×40)，
解得a≤1.8，
∴a的最大值为1.8元．
28. 解：(1)3；
【解法提示】∵x2－3x－18＝0，解得x1＝－3(舍去)或x2＝6，∴AB＝6，∵矩形ABCD中，∠BCD＝90°，∠DBC＝30°，∴BC＝＝＝6，∵CN⊥BD于点N，∴CN＝BC＝3.
(2)如解图①，过点N作NE⊥AD于点E，过点P作PF⊥AD于点F，
第28题解图①
∵BD＝2CD＝12，DN＝CD＝3，BP＝2t，DM＝t，
∴DP＝12－2t，
∵∠ADB＝∠DBC＝30°，
∴EN＝DN＝，
PF＝DP＝6－t，
当P点还没经过N点时，
S＝S△PDM－S△NDM＝DM·PF－DM·NE＝×t×(6－t－)＝－t2＋t(0
S＝S△NDM－S△PDM＝DM·NE－DM·PF＝×t(－6＋t)＝t2－t(4.5≤t<6)．
综上所述，S与t的函数关系为
S＝；
(3)P的坐标为(3，3)或(，)．
【解法提示】如解图②，过点P作PE⊥x轴于点E，过点N作NF⊥x轴于点F，则BN＝9，PN＝9－2t，BE＝BP＝t，NF＝BN＝，BF＝BN＝，∴P(t，t)，N(，)，M(6－t，6)，①当PN＝PM时，有(9－2t)2＝(2t－6)2＋(t－6)2，解得t＝3或，此时P(3，3)或(，)；②当PN＝MN时，有(9－2t)2＝(t－)2＋(－6)2，解得t＝3，或t＝24(舍)，此时P(3，3)．综上，P点的坐标为(3，3)或P(，).
第28题解图②
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