黑龙江省龙东地区2020年中考数学试卷

这是一份黑龙江省龙东地区2020年中考数学试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


黑龙江省龙东地区2020年中考数学试卷
一、单选题（共10题；共20分）
1.下列各运算中，计算正确的是（    ）
A.             B.             C.             D. 
2.下列图标中是中心对称图形的是（    ）
A.                            B.                            C.                            D. 
3.如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是（    ）

A.                                            B.                                            C.                                            D. 
4.一组从小到大排列的数据: ,3,4,4,6( 为正整数),唯一的众数是4,则该组数据的平均数是（   ）
A. 3.6或4.2                             B. 3.6或3.8                             C. 3.8或4.2                             D. 3.8或4.2
5.已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ，则实数k的取值范围是（    ）
A.                              B.                              C.                              D. 且
6.如图，菱形 的两个顶点A，C在反比例函数 的图象上，对角线 ， 的交点恰好是坐标原点O，已知 ， ，则k的值是（    ）

A. 5                                           B. 4                                           C. 3                                           D. 2
7.已知关于x的分式方程 的解为正数，则c的取值范围是（    ）
A.                  B. 且                  C.                  D. 且
8.如图，菱形 的对角线 、 相交于点O，过点D作 于点H，连接 ，若 ， ，则 的长为（    ）

A. 4                                          B. 5                                          C.                                           D. 6
9.在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（    ）
A. 12种                                    B. 15种                                    C. 16种                                    D. 14种
10.如图，正方形 的边长为a，点E在边 上运动（不与点A，B重合）， ，点 在射线 上，且 ， 与 相交于点G，连接 、 、 ．则下列结论：① ；② 的周长为 ；③ ；④ 的面积的最大值是 ；⑤当 时，G是线段 的中点．其中正确的结论是（    ）

A. ①②③                                B. ②④⑤                                C. ①③④                                D. ①④⑤
二、填空题（共10题；共10分）
11.   5G信号的传播速度为300000000m/s，将300000000用科学记数法表示为________.
12.函数y= 中，自变量x的取值范围是________．
13.如图， 和 中， ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________，使 和 全等．

14.一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为________．
15.若关于x的一元一次不等式组 有2个整数解，则a的取值范围是________．
16.如图， 是 的外接圆 的直径，若 ，则 ________ ．

17.小明在手工制作课上，用面积为 ，半径为 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为________ ．
18.如图，在边长为4的正方形 中将 沿射线 平移，得到 ，连接 、 ．求 的最小值为________．

19.在矩形 中， ， ，点E在边 上，且 ，连接 ，将 沿 折叠．若点B的对应点 落在矩形 的边上，则折痕的长为________．
20.如图，直线 的解析式为 与 轴交于点M，与y轴交于点A，以 为边作正方形 ，点B坐标为 ．过点B作 交 于点E，交x轴于点 ，过点 作x轴的垂线交 于点 以 为边作正方形 ，点 的坐标为 ．过点 作 交 于 ，交x轴于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，以 为边作正方形 ， ，则点 的坐标________．

三、解答题（共8题；共92分）
21.先化简，再求值： ，其中 ．
22.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中， 的三个顶点 、 、 均在格点上

（1）将 向左平移5个单位得到 ，并写出点 的坐标；
（2）画出 绕点 顺时针旋转 后得到的 ，并写出点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，求 在旋转过程中扫过的面积（结果保留 ）．
23.如图，已知二次函数 的图象经过点 ， ，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使 ，若存在请直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由．
24.为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．

求：
（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；
（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；
（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．
25.为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．

（1）求 的函数解析式；
（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．
（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）
26.如图①，在 中， ， ，点D、E分别在 、 边上， ，连接 、 、 ，点M、N、P分别是 、 、 的中点，连接 、 、 ．

（1）与 的数量关系是________．
（2）将 绕点C逆时针旋转到图②和图③的位置，判断 与 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．
27.某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元．求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于 ，求a的最大值．
28.如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 长是方程 的根，连接 ， ，并过点 作 ，垂足为 ，动点P从点B以每秒2个单位长度的速度沿 方向匀速运动到点D为止；点M沿线段 以每秒 个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒

（1）线段 ________；
（2）连接 和 ，求 的面积s与运动时间 的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当 是以 为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

答案解析部分
一、单选题
1.【解析】【解答】A． ，符合题意；
B． ，故B选项不符合题意；
C． ，故C选项不符合题意；
D． ，故D选项不符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据单项式乘法法则、同底数除法法则、完全平方公式、积的乘方运算法则逐项进行分析判断即可．
2.【解析】【解答】A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的概念 对各选项分析判断即可得解．
3.【解析】【解答】解：由题意，由主视图有3层，2列，由左视图可知，第一层最多有4个，第二层最多2个，第三层最多1个，
∴所需的小正方体的个数最多是：4+2+1=7（个）；
故答案为：B．
【分析】这个几何体共有3层，由左视图可得第一层小正方体的最多个数，由主视图可得第二层小正方体的最多个数，以及第三层的最多个数，再相加即可．
4.【解析】【解答】∵数据：a，3，4，4，6（a为正整数），唯一的众数是4，
∴a=1或2，
当a=1时，平均数为 =3.6；
当a=2时，平均数为 =3.8；
故答案为：C.
【分析】根据众数的定义得出正整数a的值，再根据平均数的定义求解可得.
5.【解析】【解答】解： 关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ，
   
 
 
 
 
故答案为：B．
【分析】根据一元二次方程的根的判别式列不等式，再解不等式即可．
6.【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=AD，AC⊥BD，
∵∠ABC=120 ，
∴∠ABO=60 ，
∵点B（-1，1），
∴OB= ，
∵ ，
∴AO= ，
作BF⊥ 轴于F，AE⊥ 轴于E，

∵点B（-1，1），
∴OF=BF=1，
∴∠FOB=∠BOF=45 ，
∵∠BOF+∠AOF=∠AOE+∠AOF=90 ，
∴∠AOE=∠BOF=45 ，
∴△AOE为等腰直角三角形，
∵AO ，
∴AE=OE=AO ，
∴点A的坐标为（ ， ），
∵点A在反比例函数 的图象上，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据勾股定理得到OB的长，利用三角函数得到OA的长，求得∠AOE=∠BOF=45 ，继而求得点A的坐标，即可求解．
7.【解析】【解答】方程两边同时乘以 得， ，
解得： ．
∵ 为正数，
∴ ，解得 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 的取值范围是 且 ．
故答案为：B．
【分析】先解分式方程利用l表示出x的值，再由x为正数求出k的取值范围即可．
8.【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO=6，BO=DO，S菱形ABCD= =48，
∴BD=8，
∵DH⊥AB，BO=DO=4，
∴OH= BD=4．
故答案为：A．
【分析】根据菱形面积=对角线积的一半可求BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
9.【解析】【解答】解：设购买A、B、C三种奖品分别为 个，
根据题意列方程得 ，
即 ，
由题意得 均为正整数．
①当z=1时，
∴ ，
∴y分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，x为正整数；
②当z=2时，
∴ ，
∴y可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，x为正整数；
综上所述：共有8+6=14种购买方案．
故答案为：D
【分析】设购买A、B、C三种奖品分别为 个，根据题意列方程得 ，化简后根据 均为正整数，结合C种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可．
10.【解析】【解答】如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．

∵BE=BH，∠EBH=90°，
∴EH= BE，
∵AF= BE，
∴AF=EH，
∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，
∴∠FAE=∠EHC=135°，
∵BA=BC，BE=BH，
∴AE=HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF=EC，∠AEF=∠ECH，
∵∠ECH+∠CEB=90°，
∴∠AEF+∠CEB=90°，
∴∠FEC=90°，
∴∠ECF=∠EFC=45°，故①符合题意，
如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，

则△CBE≌△CDH（SAS），
∴∠ECB=∠DCH，
∴∠ECH=∠BCD=90°，
∴∠ECG=∠GCH=45°，
∵CG=CG，CE=CH，
∴△GCE≌△GCH（SAS），
∴EG=GH，
∵GH=DG+DH，DH=BE，
∴EG=BE+DG，故③不符合题意，
∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AE+AH= AE +AD+DH =AE +AD+EB =AB+AD=2a，故②不符合题意，
设BE= ，则AE= ，AF= ，
∴S△AEF= ，
∵ ，
∴当 时，，△AEF的面积的最大值为 ，故④符合题意；
如图3，延长AD到H，使得DH=BE，

同理：EG=GH，
∵ ，则 ，
设AG= ，则DG= ，
∴EG=GH = ，
在Rt△AEG中， ，
即 ，
解得： ，
∴当 时，G是线段 的中点，故⑤符合题意；
综上，①④⑤符合题意，
故答案为：D．
【分析】如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS），即可判断①符合题意；如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS），即可判断②③不符合题意；设BE=x，则AE=a-x，AF= ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题即可判断④符合题意；设AG= ，利用前面所证EG=GH，在Rt△AEG中，利用勾股定理求得 ，即可判断⑤符合题意．
二、填空题
11.【解析】【解答】解：300000000的小数点向左移动8位得到3，
所以300000000用科学记数法表示为3×108。
故答案为：3×108。
【分析】用科学记数法表示一个绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式,其中1≤∣a∣＜10,n等于原数的整数位数减去1。
12.【解析】【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
13.【解析】【解答】解：∵ 和 均为直角三角形，
∴ ,
又∵ ，
故要使得 和 全等，
只需添加条件 （ 或 或 等）即可．
故答案为： （ 或 或 等）
【分析】由题意得 和 中， ，故要添加条件需得到一组边相等即可．
14.【解析】【解答】解：画树状图如图所示：

∵共有20种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于6的有8种结果，
∴两次摸出的小球的标号之和大于6的概率为： ；
故答案为： ．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于6的情况，再利用概率公式即可求得答案．
15.【解析】【解答】解：
解不等式①得：x>1，
解不等式②得：x< ，
∴不等式组的解集是1＜x＜ ，
∵x的一元一次不等式组有2个整数解，
∴x只能取2和3，
∴ ，
解得：
故答案为： ．
【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．
16.【解析】【解答】连接BD，如图，

∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠D=90°-∠BAD=90°-40°=50°，
∴∠ACB=∠D=50°．
故答案为：50．
【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，则利用互余计算出∠D=50°，然后再利用圆周角定理得到∠ACB的度数．
17.【解析】【解答】由 得：扇形的弧长= （厘米），
圆锥的底面半径= （厘米）．
故答案是：10．
【分析】根据扇形的面积公式与圆的周长公式，即可求解．
18.【解析】【解答】如图，将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，
 
∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，
∴四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，
∴AE∥BG，CG=DE，
∴AE⊥CC′，
由作图易得，点C与点C′关于AE对称，C′E=CE，
又∵CG=DE，
∴EC+GC=C′E+ED，
当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，
此时，在Rt△C′D′E中，
C′B′=4，B′D=4+4=8， C′D= ，
即EC+GC的最小值为 ，
故答案为： ．
【分析】将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，证出四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，由勾股定理求出C′D的值即为EC+GC的最小值．
19.【解析】【解答】分两种情况：（1）当点 落在AD上时，如图1，

∵四边形ABCD是矩形，
，
∵将 沿AE折叠，点B的对应点 落在AD边上，
，
，
，
∴
在Rt△ABE中，AB=1，BE=1，
∴AE= （2）当点 落在CD上，如图2，

∵四边形ABCD是矩形，
， ，
∵将 沿AE折叠，点B的对应点 落在CD边上，
， ， ，
，
，
在 和 中，

，
，即 ，
解得， （负值舍去）
∴
在Rt△ABE中，AB=1，BE= ，
∴AE=
故答案为： 或 .
【分析】分两种情况：点 落在AD上和CD上，首先求出a的值，再根据勾股定理求出抓痕的长即可．
20.【解析】【解答】解：∵ 的解析式为 ，
∴M（-1，0），A（0，1），
即AO=MO=1，∠AMO=45°，
由题意得：MO=OC=CO1=1，
O1A1=MO1=3，
∵四边形 是正方形，
∴O1C1=C1O2=MO1=3，
∴OC1=2×3-1=5，B1C1=O1C1=3，B1（5，3），
∴A2O2=3C1O2=9，B2C2=9，OO2=OC2-MO=9-1=8，
综上，MCn=2×3n ， OCn=2×3n-1，BnCn=AnOn=3n ，
当n=2020时，OC2020=2×32020-1，B2020C2020 =32020 ，
点B ，
故答案为： ．
【分析】根据题意得出三角形AMO为等腰直角三角形，∠AMO=45°，分别求出个线段的长度，表示出B1和B2的坐标，发现一般规律，代入2020即可求解
三、解答题
21.【解析】【分析】括号内先通分进行分式的减法运算，然后进行分式的除法运算，将特殊角的三角函数值代入 求出x的值，然后代入化简后的结果进行计算即可．
22.【解析】【分析】（1）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点 的坐标；（2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点 的坐标；（3）根据题意可以求得BC的长，从而可以求得 在旋转过程中扫过的面积．
23.【解析】【分析】（1）把点AB的坐标代入 即可求解；（2）分点P在x轴下方和下方两种情况讨论，求解即可．
24.【解析】【分析】（1）观察直方图，用每组的最低成绩，根据加权平均数公式计算可得该班一分钟跳绳的最少平均次数，再与校平均成绩比较即可得答案；（2）根据中位数意义，确定中位数的范围即可；（3）先确定出该班一分钟跳绳成绩大于或等于100次的人数，然后利用概率公式进行求解即可．
25.【解析】【分析】（1）由图象可知点M和点E的坐标，运用待定系数法求ME的解析式即可；（2）运用待定系数法求出BC，CD，FG的解析式，分别联立方程组，求出交点坐标即可得到结果；（3）由（2）知两车最后一次相遇时快递车行驶1小时，根据路程=速度×时间可得结论.
26.【解析】【解答】解：（1）∵ 中， ， ，
∴∠BAC=∠ABC=45°
∵ ， ，
∴AD=BE，
∵点 、 、 分别是 、 、 的中点，
∴PM，PN分别为△ABE，△BAD中位线，
∴PM∥BE,PM= BE,PN∥AC,PN= AD,
∴PM=PN, ∠APM=∠BPN=45°，
∴∠PMN=90°，
∴△PMN为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
即 ；
【分析】（1）先证明AD=BE，根据中位线定理证明△PMN为等腰直角三角形，得到 ，再进行代换即可；（2）：如图（2）连接 ，延长 交 于 ，交 于 ，先证明 ，得到，AD=BE， ，根据中位线定理证明△PMN为等腰直角三角形，得到 ，再进行代换即可．
27.【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值；（2）根据题意，列出一元一次不等式组，解方程组即可得到购买方案；（3）分别求出三种方案的利润，然后列出不等式，即可求出答案．
28.【解析】【解答】解：（1）解方程 得： (舍去)，
∴AB=6，
∵四边形 是矩形， ，
∴AB=CD=6，BD=2AB=12，
∴BC=AD= ，
∵ ，
∴ ，
故答数为： ；
【分析】（1）解方程求出AB的长，由直角三角形的性质可求BD，BC的长，CN的长；（2）分三种情况讨论，由三角形的面积可求解；（3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．