2019荆门中考数学

这是一份2019荆门中考数学，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019年荆门市初中学业水平考试·数学
一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. －的倒数的平方是(　　)
A. 2　　　B. 　　　C. －2　　　D. －
2. 已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒．用科学记数法表示31536000正确的是(　　)
A. 3.1536×106 B. 3.1536×107
C. 31.536×106 D. 0.31536×108
3. 已知实数x，y满足方程组则x2－2y2的值为(　　)
A. －1 B. 1 C. 3 D. －3
4. 将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是(　　)
A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°

第4题图
5. 抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. 不等式组的解集为(　　)
A. － C. －≤x<0 D. －≤x≤0
7. 投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b.那么方程x2＋ax＋b＝0有解的概率是(　　)
A. B. C. D.
8. 欣欣服装店某天用相同的价格a(a>0)卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是(　　)
A. 盈利 B. 亏损
C. 不盈不亏 D. 与售价a有关
9. 如果函数y＝kx＋b(k，b是常数)的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是(　　)
A. k≥0且b≤0 B. k>0且b≤0
C. k≥0且b<0 D. k>0且b<0
10. 如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B′，则B点的对应点B′的坐标是(　　)
A. (，－1) B. (1，－)
C. (2，0) D. (，0)

第10题图 第12题图
11. 下列运算不正确的是(　　)
A. xy＋x－y－1＝(x－1)(y＋1)
B. x2＋y2＋z2＋xy＋yz＋zx＝(x＋y＋z)2
C. (x＋y)(x2－xy＋y2)＝x3＋y3
D. (x－y)3＝x3－3x2y＋3xy2－y3
12. 如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是(　　)
A. DI＝DB B. DI>DB
C. DI 二、填空题(本题共5小题，每小题3分，共15分)
13. 计算＋|sin30°－π0|＋3＝________．
14. 已知x1，x2是关于x的方程x2＋(3k＋1)x＋2k2＋1＝0的两个不相等的实数根，且满足(x1－1)(x2－1)＝8k2，则k的值为________．
15. 如图，在平面直角坐标系中，函数y＝(k>0，x>0)的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么点N的横坐标为________．

第15题图 第16题图
16. 如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于点D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于点F，连接EF，那么图中阴影部分的面积为________．
17. 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的顶点为P，且抛物线经过点A(－1，0)，B(m，0)，C(－2，n)(1 ①abc>0；②3a＋c<0；③a(m－1)＋2b>0；④a＝－1时，存在点P使△PAB为直角三角形．
其中正确结论的序号为________．
三、解答题(共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
18. (本小题8分)
先化简，再求值：
()2·－÷，其中a＝，b＝.

19. (本小题9分)
如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2.
(1)求平行四边形ABCD的面积；
(2)求证：BD⊥BC.

第19题图














20. (本小题10分)
高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图．其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据．
(1)求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数；
(2)根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数；
(3)若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？

第20题图








21. (本小题10分)
已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R.
(1)求证：＝2R；
(2)若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝，求BC的长及sinC的值．

第21题图








22. (本小题10分)
如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O，A，B，C，D在同一条直线上)．测得AC＝2 m，BD＝2.1 m，如果小明眼睛距地面高度BF，DG为1.6 m，试确定楼的高度OE.

第22题图










23. (本小题10分)
为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据市场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m(元/公斤)与第x天之间满足m＝(x为正整数)，销售量n(公斤)与第x天之间的函数关系如图所示：

第23题图
如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．
(1)求销售量n与第x天之间的函数关系式：
(2)求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；(日销售利润＝日销售额－日维护费)
(3)求日销售利润y的最大值及相应的x.





24. (本小题12分)
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c顶点(2，－1)，经过点(0，3)，且与直线y＝x－1交于A，B两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；
(3)在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
(坐标平面内两点M(x1，y1)，N(x2，y2)之间的距离MN＝)
2019年湖北省荆门市中考数学试卷
参考答案与试题解析
1．B【解析】﹣的倒数的平方为：．
2．B【解析】将31536000用科学记数法表示为3.1536×107．
3．A【解析】，
①+②×2，得5x＝5，解得x＝1，
把x＝1代入②得，1+y＝2，解得y＝1，
∴x2﹣2y2＝12﹣2×12＝1﹣2＝﹣1．
4．C【解析】如解图，由题意得，∠2＝45°，∠4＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝∠2＝45°，
由三角形的外角性质可知，∠1＝∠3+∠4＝105°．

第4题解图
5．C【解析】当x＝0时，y＝﹣x2+4x﹣4＝﹣4，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣4），
当y＝0时，﹣x2+4x﹣4＝0，解得x1＝x2＝2，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），
所以抛物线与坐标轴有2个交点．
6．C【解析】，
解①得：x≥﹣，
解②得x＜0，
则不等式组的解集为﹣≤x＜0．
7．D【解析】画树状图如解图：

第7题解图
共有36种等可能的结果数，其中使a2﹣4b≥0，即a2≥4b的有19种，
∴方程x2+ax+b＝0有解的概率是．
8．B【解析】设第一件衣服的进价为x元，
依题意得：x（1+20%）＝a，
设第二件衣服的进价为y元，
依题意得：y（1﹣20%）＝a，
∴x（1+20%）＝y（1﹣20%），
整理得：3x＝2y，
该服装店卖出这两件服装的盈利情况为：0.2x﹣0.2y＝0.2x﹣0.3x＝﹣0.1x，
即赔了0.1x元．
9．A【解析】∵y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，
当k＝0，b≤0时成立；
当k＞0，b≤0时成立；
综上所述，k≥0，b≤0．
10．A【解析】如解图，在Rt△OCB中，∵∠BOC＝30°，∴BC＝OC＝×＝1，
∵Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，
∴OC′＝OC＝，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，
∴点B′的坐标为（，﹣1）．

第10题解图
11．B【解析】xy+x﹣y﹣1＝x（y+1）﹣（y+1）＝（x﹣1）（y+1），A正确，不符合题意；
x2+y2+z2+xy+yz+zx＝[（x+y）2+（x+z）2+（y+z）2]，B错误，符合题意；
（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3，C正确，不符合题意；
（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3，D正确，不符合题意；
12．A【解析】如解图，连接BI，
∵△ABC内心为I，
∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，
∵∠3＝∠1，
∴∠3＝∠2，
∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5，
即∠4＝∠DBI，
∴DI＝DB．

第12题解图
13．1﹣【解析】原式＝2﹣+1﹣﹣＝1﹣．
14．1【解析】∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，
∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，
整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，
解得：k1＝﹣，k2＝1．
∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，
∴Δ＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，
解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，
∴k＝1．
15．【解析】过点N、M分别作NC⊥OB，MD⊥OB，垂足为C、D，
∵△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝3，∠AOB＝60°
∵又OM＝2MA，
∴OM＝2，MA＝1，
在Rt△MOD中，
OD＝OM＝1，MD＝，
∴M（1，）；
∴反比例函数的关系式为：y＝，
设OC＝a，则BC＝3﹣a，NC＝，
在Rt△BCN中，
NC＝BC，
∴＝（3﹣a），
解得：a＝，x＝（舍去）.

第15题解图
16．+﹣【解析】如解图，过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，
∵等边三角形ABC的边长为2，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴AM＝BC＝×2＝，
∵AD＝AE＝1，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴EN＝AM＝，
∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ADE﹣S△CEF﹣（S△BCD﹣S扇形DCF）＝×2×﹣﹣×﹣（×﹣）＝+﹣．

第16题解图
17．②③【解析】将A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）代入解析式y＝ax2+bx+c，
∴对称轴x＝，
∴﹣＝m﹣1，
∵1＜m＜3，
∴ab＜0，
∵n＜0，
∴a＜0，
∴b＞0，
∵a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a＞0
①abc＜0；错误；
②当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＝9a+3（a+c）+c＝12a+4c＝4（3a+c）＜0，②正确；
③a（m﹣1）+2b＝﹣b+2b＝b＞0，③正确；
④a＝﹣1时，y＝﹣x2+bx+c，
∴P（，b+1+），
若△PAB为直角三角形，则△PAB为等腰直角三角形，
∴AP的直线解析式是y＝x+1，
∴b+1+＝+1，
∴b＝﹣2或0，
∵b＞0，
∴不存在点P使△PAB为直角三角形．
④错误．
18．解：原式＝
＝
＝，
当a＝，b＝ 时，
原式＝．
19．解：（1）如解图，作CE⊥AB交AB的延长线于点E，

第19题解图
设BE＝x，CE＝h
在Rt△CEB中：x2+h2＝9①
在Rt△CEA中：（5+x）2+h2＝52②
联立①②解得：x＝，h＝
∴平行四边形ABCD的面积＝AB•h＝12；
（2）作DF⊥AB，垂足为F
∴∠DFA＝∠CEB＝90°
∵平行四边形ABCD
∴AD＝BC，AD∥BC
∴∠DAF＝∠CBE
又∵∠DFA＝∠CEB＝90°，AD＝BC
∴△ADF≌△BCE（AAS）
∴AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝
在Rt△DFB中：BD2＝DF2+BF2＝（）2+（）2＝16
∴BD＝4
∵BC＝3，DC＝5
∴CD2＝DB2+BC2
∴BD⊥BC．
20．解：（1）设阅读5册书的人数为x，由统计图可知：＝30%，
∴x＝14，
∴条形图中丢失的数据是14，阅读书册数的众数是5，中位数是5；
（2）该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数为1200×＝420（人），
答：该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数是420人；
（3）设补查了y人，
根据题意得，12+6+y＜8+14，
∴y＜4，
∴最多补查了3人．
21．解：（1）如解图①，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，

第21题解图①
则∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，
∵sin∠ABC＝sin∠ADC＝，
∴＝2R；
（2）∵＝2R，
同理可得：＝＝2R，
∴2R＝＝2，
∴BC＝2R•sinA＝2sin45°＝，
如解图②，过C作CE⊥AB于E，
∴BE＝BC•cosB＝cos60°＝，AE＝AC•cos45°＝，
∴AB＝AE+BE＝，
∵AB＝2R•sinC，
∴sinC＝＝．

第21题解图
22．解：令OE＝a，AO＝b，CB＝x，
则由△GDC∽△EOC得，
即，
整理得：3.2+1.6b＝2.1a﹣ax①，
由△FBA∽△EOA得，
即，
整理得：1.6b＝2a﹣ax②，
将②代入①得：
3.2+2a﹣ax＝2.1a﹣ax，
∴a＝32，
即OE＝32米，
答：楼的高度OE为32米．
23．解：（1）当1≤x≤10时，设n＝kx+b，由图可知，
，解得，
∴n＝2x+10，
同理得，当10＜x≤30时，n＝﹣1.4x+44，
∴销售量n与第x天之间的函数关系式：n＝；
（2）∵y＝mn﹣80，
∴y＝，
整理得，y＝，
（3）当1≤x≤10时，
∵y＝6x2+60x+70的对称轴x＝＝＝﹣5，
∴此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∴x＝10时，y取最大值，则y10＝1270，
当10＜x＜15时，
∵y＝﹣4.2x2+111x+580的对称轴是直线x＝＝≈13.2＜13.5，
∴x＝13时，y取得最大值，此时y＝1313.2，
当15≤x≤30时，
∵y＝1.4x2﹣149x+3220的对称轴为直线x＝＞30，
∴此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，
∴x＝15时，y取最大值，y的最大值是y15＝1300，
综上，草莓销售第13天时，日销售利润y最大，最大值是1313.2元.
24．解：（1）∵抛物线的顶点为（2，﹣1），
∴顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
∵抛物线经过点C（0，3），
∴4a﹣1＝3，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3；

（2）， 解得：，，
∴A（1，0），B（4，3），
∴AB＝，
设直线y＝x﹣1与y轴交于点E，则E（0，﹣1），
∴OA＝OE＝1，
∴∠AEO＝45°，
∵S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，
∴点Q、M、N到直线AB的距离相等，
如解图，假设点M、N在直线AB上方，点Q在直线AB下方，

第24题解图
∴MN∥AB时，总有S△MAB＝S△NAB＝S，
要使只有一个点Q在直线AB下方满足S△QAB＝S，则Q到AB距离必须最大，
过点Q作QC∥y轴交AB于点C，QD⊥AB于点D，
∴∠CDQ＝90°，∠DCQ＝∠AEO＝45°，
∴△CDQ是等腰直角三角形，
∴DQ＝CQ，
设Q（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜4），则C（t，t﹣1），
∴CQ＝t﹣1﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+5t﹣4＝﹣（t﹣）2+，
∴t＝时，CQ最大值为，
∴DQ最大值为，
∴S＝S△QAB＝AB•DQ＝；
（3）存在点P满足∠APB＝90°，
∵∠APB＝90°，AB＝3，
∴AP2+BP2＝AB2，
设P（p，p2﹣4p+3）（1＜p＜4），
∴AP2＝（p﹣1）2+（p2﹣4p+3）2＝p4﹣8p3+23p2﹣26p+10，BP2＝（p﹣4）2+（p2﹣4p+3﹣3）2＝p4﹣8p3+17p2﹣8p+16，
∴p4﹣8p3+23p2﹣26p+10+p4﹣8p3+17p2﹣8p+16＝（3）2，
整理得：p4﹣8p3+20p2﹣17p+4＝0，
p2（p2﹣8p+16）+4p2﹣17p+4＝0，
p2（p﹣4）2+（4p﹣1）（p﹣4）＝0，
（p﹣4）[p2（p﹣4）+（4p﹣1）]＝0，
∵p＜4，
∴p﹣4≠0，
∴p2（p﹣4）+（4p﹣1）＝0，
展开得：p3﹣4p2+4p﹣1＝0，
（p3﹣1）﹣（4p2﹣4p）＝0，
（p﹣1）（p2+p+1）﹣4p（p﹣1）＝0，
（p﹣1）（p2+p+1﹣4p）＝0，
∵p＞1，
∴p﹣1≠0，
∴p2+p+1﹣4p＝0，
解得：p1＝，p2＝（舍去），
∴点P横坐标为时，满足∠APB＝90°．