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中考数学一轮知识点梳理 方程、不等式及其应用课件
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这是一份中考数学一轮知识点梳理 方程、不等式及其应用课件，共60页。PPT课件主要包含了系数a，公共解，一元一次方程，等量关系，不等关系，未知数，取值范围，数或整式，去括号，合并同类项等内容，欢迎下载使用。
第5课时 一次方程(组)及其应用
1. 掌握等式的基本性质,能解一元一次方程.2. 掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组,并能列方程(组) 解决实际问题.3. 能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理.
知识点1 一元一次方程及其解法1. 一元一次方程:在整式方程中,只含有 个未知数,并且未知数 的次数是 ,这样的方程叫做一元一次方程.它的一般形式为 . 2. 方程的解:使方程左右两边 的未知数的值,叫做方程的解,又 叫做方程的根. 3. 等式的基本性质: (1) 等式两边 ,所得的结果 仍是等式; (2) 等式两边 ,所得的结果 仍是等式.
ax+b=0(a≠0)
同时加上(或减去)同一个数或整式
同时乘(或除以)一个不为0的数
4. 一元一次方程的解法:
知识点2 二元一次方程(组)及其解法1. 二元一次方程:含有 个未知数(元),并且未知数的次数都是 的整式方程,叫做二元一次方程. 2. 二元一次方程组:含有两个未知数,每个未知数的项的次数都是1,并 且一共有 方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组. 3. 二元一次方程的解:适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个 二元一次方程的一组解,一个二元一次方程有 组解. 4. 二元一次方程组的解:二元一次方程组中的 ,叫做二元一次 方程组的解. 5. 二元一次方程组解法的基本思想:解二元一次方程组的基本思想是 ,把二元一次方程组转化为 .
知识点3 一次方程(组)的应用1. 列方程(组)解应用题的一般步骤:
2. 一次方程(组)常考应用类型及重要等量关系:
[误区警示] 解一元一次方程时要注意以下几点:(1) 去分母时不要漏乘不含有分母的项.(2) 分数线有两层意义:① 它是除号;② 它起到括号的作用,所以在去分母时,应该将分子用括号括上.(3) 去括号时,要防止漏乘某一项或符号错误.(4) 移项时要变号.(5) 系数化为1时,分子、分母不能颠倒.
考点三 利用一次方程(组)解决实际问题例4 (2022·娄底)科学研究表明:树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg,一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg.(1) 请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量;(2) 一森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树,据估计三棵银杏树共有50000片树叶,则这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约为多少千克?[思路点拨] (1) 题目中的数量关系:一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg,一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg,根据上述数量关系设未知数列出二元一次方程组求解;(2) 由(1)的结果列式计算即可.
[误区警示] 列二元一次方程组解决实际问题的注意事项:(1) 单位必须统一;(2) 等式两边的意义必须相同;(3) 解方程后要检验,不合题意的解要舍去;(4) 作答时要包含单位.
考点四 古诗文中的方程(组)例5 (2022·连云港)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何?”其大意如下:今有几个人共同出钱购买一件物品,每人出8钱,剩余3钱;每人出7钱,还缺4钱.问人数、物品的价格各是多少?请你求出以上问题中的人数和物品的价格.[思路点拨] 设有x人,物品的价格为y钱,由“每人出8钱,剩余3钱;每人出7钱,还缺4钱”列出二元一次方程组,解方程组即可.[非常点评] 古诗文中的方程(组)是中考常考内容,解题的关键是要明确题意,捕捉题目中的数量关系,进而列出方程(组).
7. (2022·泰安)某茶叶店第一次购进了A种茶叶30盒,B种茶叶20盒,共 花费6000元;第二次购进时,两种茶叶每盒的价格都提高了20%,该店 又购进了A种茶叶20盒,B种茶叶15盒,共花费5100元.求第一次购进的 A,B两种茶叶每盒的价格.
8. (2021·镇江)《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”.其中记 载了一个关于“盈不足”的问题:“今有共买金,人出四百,盈三千四 百;人出三百,盈一百.问人数、金价各几何?”其大意如下:现在有人 合伙买金,每人出400钱,会剩余3400钱;每人出300钱,会剩余100钱. 合伙人数、金价各是多少?请你求出以上问题中的合伙人数和金价.
第6课时 一次不等式(组)及其应用
1. 能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,探索并掌握不 等式的基本性质.2. 能运用不等式的基本性质解一元一次不等式(组),能在数轴上表 示一元一次不等式的解集,会用数轴确定一元一次不等式组的解 集.3. 能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式或一元一次不 等式组,解决简单的实际问题.
知识点1 不等式及其性质1. 不等式的相关概念: (1) 用“>”“<”等不等号表示 的式子,叫做不等式; (2) 使不等式成立的 的值叫做不等式的解; (3) 使不等式成立的未知数的 叫做不等式的解集; (4) 求不等式的 的过程叫做解不等式.
2. 不等式的基本性质:
[温馨提示] 运用不等式的性质2的第(2)点解题时,切记要改变不等号的方向.
知识点2 一元一次不等式及其解法1. 一元一次不等式:只含有 个未知数,且未知数的次数是 的 不等式. 2. 解一元一次不等式的基本步骤:(1) 去分母;(2) ;(3) ; (4) ;(5) 系数化为1. 3. 解集的表示:
知识点3 一元一次不等式组及其解法1. 一元一次不等式组的概念:把几个含有同一个未知数的一次不等式联 立在一起,就组成了一个一元一次不等式组.2. 不等式组的解集:不等式组中所有不等式的解集的 部分叫做 这个不等式组的解集. 3. 解不等式组:求不等式组解集的过程叫做解不等式组.4. 不等式组的解集的求法:解不等式组时一般先分别求出不等式组中各 个不等式的解集并表示在数轴上,再求出它们的公共部分就得到不等 式组的 .
5. 不等式组的解集情况(假设a
[温馨提示] 对于列不等式解决实际问题,一般所求问题中含有“至少(≥)”“最大(≤)”“不超过(≤)”“不少于(≥)”“不小于(≥)”“不大于(≤)”等词时,要正确理解这些词的含义.
考点一 不等式的性质例1 (2022·宿迁)如果xy-1 D. x+1>y+1
由不等式的基本性质1,可知x-1-2y,故选项A符合题意,选项B不合题意.故选A.
[误区警示] 运用不等式的性质对不等式进行变形时,要特别注意性质2,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清这个数是正数还是负数,如果是负数,那么不等号的方向要改变.
[非常点评] 在数轴上表示不等式的解集需要遵循的规律:大于时向右,小于时向左;不等式的解集中含有等号时,这个点用实心点表示,否则用空心圈表示.
去分母,得4x-2>3x-1.移项,得4x-3x>-1+2.合并同类项,得x>1.将不等式的解集表示在数轴上如图所示.
[误区警示] 在去分母和系数化为1时,如果不等式两边同时乘或除以一个负数,那么不等号方向要改变.利用不等式的基本性质进行变形时,要注意去括号、移项过程中各项的符号及不等号的变化.在把未知数的系数化为1时,若系数为正,则不等号的方向不变;若系数为负,则不等号的方向必须改变.
[方法归纳] 求不等式组的解集的方法 求不等式组的解集就是求组成不等式组的几个不等式的解集的公共部分,确定解集的公共部分可利用数轴,也可利用口诀“同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小无处找”进行验证.
由3x-6>0,得x>2.∵ 不等式组的解集为x>2,∴ m≤2.
[误区警示] 对于这类题我们可用解不等式组的口诀来求解不等式组中参数的取值范围,而最容易出错的地方是不知其是否带等号.一般地,我们先设定能带等号,再看是否满足题意,若不满足题意,则这个等号一定要舍去.
考点七 一元一次不等式的应用例9 (2022·湘西州)为了传承雷锋精神,某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动,准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品.已知篮球的单价为100元,足球的单价为80元.(1) 原计划募捐5600元,全部用于购买篮球和足球.如果恰好能够购买篮球和足球共60个,那么原计划篮球和足球各购买多少个?(2) 在募捐活动中,由于师生的捐款积极性高涨,实际收到捐款共6890元.如果购买篮球和足球共80个,且支出不超过6890元,那么篮球最多能购买多少个?[思路点拨] (1) 根据“购买篮球和足球共60个”及“原计划募捐5600元”,设未知数列方程组即可解答;(2) 设篮球购买a个,则足球购买(80-a)个,根据“支出不超过6890元”列不等式求解即可解答.
[非常点评] 对于方程组与不等式的综合问题,解题的关键是找到相应的等量关系和不等关系来分别列出方程组和不等式.另外,在实际问题情境中还会涉及整数性和非负性等知识.
由5x-10≤0,得x≤2;由x+3>-2x,得x>-1.∴ 不等式组的解集为-1
(1) 解析:∵ 10×30=300(元),300<400,∴ 在甲超市的购物金额为300元,在乙超市的购物金额为300×0.8=240(元).
(2) 设购买x件这种文化用品.当08x,∴ 选择乙超市支付的费用较少.当x>40时,在甲超市的购物金额为400+0.6(10x-400)=(6x+160)元,在乙超市的购物金额为0.8×10x=8x(元).若6x+160>8x,则x<80;若6x+160=8x,则x=80;若6x+160<8x,则x>80.综上所述,当购买数量不足80件时,选择乙超市支付的费用较少;当购买数量为80件时,选择甲、乙两家超市支付的费用相同;当购买数量超过80件时,选择甲超市支付的费用较少
第7课时 分式方程及其应用
1. 会解可化为一元一次方程的分式方程,并能注意验根.2. 能根据具体问题中的数量关系列出分式方程,能根据具体问题的 实际意义检验结果是否合理.
知识点1 分式方程及其解法1. 分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程. 2. 解分式方程的步骤: (1) 两边都乘各分式的最简公分母,把分式方程转化为 方程; (2) 解这个整式方程; (3) 把整式方程的解代入最简公分母或原分式方程的各分母中进行 检验.3. 增根的产生:一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可 能使原方程中的分母为0,因此应进行如下检验:将整式方程的解代入 ,如果 ,那么整式方程的解是原 分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解,是增根.
[温馨提示] 分式方程的增根与无解并非同一个概念,分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解;分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母为0的根.
知识点2 分式方程的应用列分式方程解实际问题与列一次方程(组)解应用题不一样的是:要检验 次,既要检验求出来的解是否为原方程的根,又要检验是否 .
(1) 方程两边同乘x-2,得2x=x-2+1,解得x=-1.检验:当x=-1时,x-2≠0.∴ 原分式方程的解是x=-1.(2) 方程两边同乘x-4,得3-x=-1-2(x-4),解得x=4.检验:当x=4时,x-4=0.∴ x=4不是原方程的解,原分式方程无解.
考点三 列分式方程解应用题例3 (2022·西藏)某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中,给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品.已知笔记本的单价比钢笔的单价多2元,用240元购买笔记本的数量与用200元购买钢笔的数量相同.(1) 笔记本和钢笔的单价各是多少元?(2) 若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品,要使购买纪念品的总费用不超过540元,则最多可以购买多少本笔记本?[思路点拨] (1) 可设钢笔的单价为x元,则笔记本的单价为(x+2)元,根据“用240元购买笔记本的数量与用200元购买钢笔的数量相同”列出方程求解;(2) 根据“总费用不超过540元”列一元一次不等式求解即可.
[方法归纳] 列方程或不等式解应用题的基本方法 首先审题,找出题中的未知量和所有的已知量,直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含x的代数式表示相关的量,找出量之间的相等或不等关系列方程或不等式,再求解、检验、作答,即审、设、列、解、验、答.对于列分式方程解应用题,一定要注意检验,检验要考虑两个方面:一是方程的解是否为原方程的解,二是方程的解是否符合题意.
解析:方程两边同时乘x-1,得2x-m+3=x-1,解得x=m-4.∵ 方程的解是正数,∴ m-4>0,解得m>4.∵ x≠1,∴ m-4≠1,即m≠5.∴ m的取值范围是m>4且m≠5.故选C.
6. 某工程队承担了某道路1800米长的建造任务.该工程队在建造完720米 道路后,引进了新设备,平均每天的工作效率比原来提高了20%,结果共 用27天完成了任务,则引进新设备前该工程队平均每天建造多少米道 路?
7. (2022·辽宁)麦收时节,为确保小麦颗粒归仓,某农场安排A,B两种型号的收割机进行小麦收割作业.已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦,一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同.(1) 一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割多少公顷小麦?(2) 该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业,为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务,至少要安排几台A型收割机?
第8课时 一元二次方程及其应用
1. 了解一元二次方程的定义及一般形式.2. 理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3. 会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根和两个实数 根是否相等.4. 了解一元二次方程的根与系数的关系.5. 能根据具体问题的实际意义检验方程的解是否合理.
知识点1 一元二次方程及其解法1. 一元二次方程:只含有 个未知数,并且未知数的最高次数是 的 式方程叫做一元二次方程. 2. 一元二次方程的一般形式是 (a 0),其中ax2叫做 项,a是 ,bx叫做 项,b是 , c叫做 项.
3. 一元二次方程的解法:
知识点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1. 根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为 .2. 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系: (1) 当b2-4ac>0时,方程有两个 的实数根; (2) 当b2-4ac=0时,方程有两个 的实数根; (3) 当b2-4ac<0时,方程没有实数根.3. 一元二次方程根与系数的关系: 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2= , x1·x2= .
知识点3 一元二次方程的应用1. 一般步骤:审、设、列、解、验、答.2. 列一元二次方程解应用题的常见类型: (1) 增长(下降)率问题; (2) 面积问题; (3) 销售利润问题.
考点一 一元二次方程根的定义例1 (2022·连云港)若关于x的一元二次方程mx2+nx-1=0(m≠0)的一个解是x=1,则m+n的值是 .
把x=1代入方程mx2+nx-1=0,得m+n-1=0,解得m+n=1.
[误区警示] 对于这类问题可根据方程根的定义直接代入方程,得到含有字母的方程,解之即可.当二次项系数为字母时,要注意求出的字母的值要满足二次项系数不为0.
考点二 一元二次方程的解法例2 解方程:(1) (2022·无锡)x2-2x-5=0;(2) (2022·齐齐哈尔)(2x+3)2=(3x+2)2.
[非常点评] 若一次项系数为0(如ax2+c=0),则应选用直接开平方法;若常数项为0(如ax2+bx=0)或方程两边有共同的因式,则应选用因式分解法;若一次项系数和常数项都不为0(如ax2+bx+c=0)且不宜分解因式,则应考虑公式法;若方程的二次项系数为1,一次项系数为偶数,则用配方法较为简便.需要注意的是,用公式法需先将方程化为一般式,然后确定b2-4ac的值;用配方法需注意等号两边要同时加上相同的数.另外,解一元二次方程时,在没有指定方法的情况下,一般按以下顺序选择:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,具体题目还要看方程的特点.
考点三 一元二次方程根的判别式例3 (2022·威海)若关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 .
由题意,得b2-4ac=(-4)2-4×1×(m-1)=20-4m>0,解得m<5.
[误区警示] 一元二次方程有实数根的条件是b2-4ac≥0,从而列出有关的不等式,还应分清一元二次方程有两个不相等的实数根与有两个实数根的区别.
例5 (2022·南充)已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根.(1) 求实数k的取值范围;(2) 设方程的两个实数根分别为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=-1,求k的值.[思路点拨] (1) 根据题意,知b2-4ac≥0,则可得与k有关的不等式,解之即可;(2) 将(x1+1)(x2+1)=-1转化为x1x2+(x1+x2)+1=-1,根据根与系数的关系得到x1+x2=-3,x1x2=k-2,将它们代入上述式子可得与k有关的方程,从而求出k的值.
[误区警示] 在解决根的判别式和根与系数的关系的综合题时,必须注意以下两个方面:(1) 一元二次方程的二次项系数不为0;(2) 用根与系数的关系的前提是根的判别式为非负数,这往往是最容易被忽略的.
考点五 一元二次方程的实际应用例6 (2022·眉山)建设美丽城市,改造老旧小区.某市2019年投入资金1000万元,2021年投入资金1440万元,假定每年投入资金的增长率相同.(1) 求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率.(2) 2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2022年为提高老旧小区品质,每个小区改造费用增加15%.若投入资金的年平均增长率保持不变,求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区.[思路点拨] (1) 设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x,利用2021年投入资金金额=2019年投入资金金额×(1+年平均增长率)2,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论;(2) 设该市在2022年可以改造y个老旧小区,根据2022年改造老旧小区所需资金不多于2022年投入资金金额,即可得出关于y的一元一次不等式,解之取其中的最大整数值即可得出结论.
[非常点评] 对于增长率问题,我们可以总结出一个常用的知识点:若某个量原来的值是a,每次增长的百分率是x,则增长1次后的值是a(1+x),增长2次后的值是a(1+x)2……增长n次后的值是a(1+x)n,这是增长率公式.同样,若某个量原来的值是a,每次降低的百分率是x,则降低n次后的值是a(1-x)n,这是降低率公式.
考点六 一元二次方程与几何的综合应用例8 (2021·枣庄)已知等腰三角形的一边长是4,另两边的长是关于x的方程x2-6x+n=0的两个根,求n的值.[思路点拨] 当4为腰长时,将x=4代入方程可求出n的值;当4为底边长时,利用等腰三角形的性质可得出根的判别式b2-4ac=0,解之可得出n的值.最后要检验两种情况下的n的值是否满足题意.[非常点评] 本题是一元二次方程根的定义、解一元二次方程及三角形三边关系的综合应用,在求出三角形三边的长度之后必须检验所求结果是否满足“两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”.
当4为腰长时,将x=4代入x2-6x+n=0,得42-6×4+n=0,解得n=8.当n=8时,原方程为x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4.∵ 2+4>4,∴ n=8符合题意.当4为底边长时,关于x的方程x2-6x+n=0有两个相等的实数根,∴ b2-4ac=(-6)2-4×1×n=0,解得n=9.当n=9时,原方程为x2-6x+9=0,解得x1=x2=3.∵ 3+3>4,∴ n=9符合题意.综上所述,n的值为8或9.
1. (2022·武威)用配方法解方程x2-2x=2时,配方后正确的是 ( ) A. (x+1)2=3B. (x+1)2=6 C. (x-1)2=3D. (x-1)2=62. (2022·益阳)若x=-1是方程x2+x+m=0的一个根,则此方程的另一个根 是( ) A. x=-1B. x=0 C. x=1D. x=23. (2022·河南)一元二次方程x2+x-1=0的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根D. 只有一个实数根
第5课时 一次方程(组)及其应用
1. 掌握等式的基本性质,能解一元一次方程.2. 掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组,并能列方程(组) 解决实际问题.3. 能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理.
知识点1 一元一次方程及其解法1. 一元一次方程:在整式方程中,只含有 个未知数,并且未知数 的次数是 ,这样的方程叫做一元一次方程.它的一般形式为 . 2. 方程的解:使方程左右两边 的未知数的值,叫做方程的解,又 叫做方程的根. 3. 等式的基本性质: (1) 等式两边 ,所得的结果 仍是等式; (2) 等式两边 ,所得的结果 仍是等式.
ax+b=0(a≠0)
同时加上(或减去)同一个数或整式
同时乘(或除以)一个不为0的数
4. 一元一次方程的解法:
知识点2 二元一次方程(组)及其解法1. 二元一次方程:含有 个未知数(元),并且未知数的次数都是 的整式方程,叫做二元一次方程. 2. 二元一次方程组:含有两个未知数,每个未知数的项的次数都是1,并 且一共有 方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组. 3. 二元一次方程的解:适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个 二元一次方程的一组解,一个二元一次方程有 组解. 4. 二元一次方程组的解:二元一次方程组中的 ,叫做二元一次 方程组的解. 5. 二元一次方程组解法的基本思想:解二元一次方程组的基本思想是 ,把二元一次方程组转化为 .
知识点3 一次方程(组)的应用1. 列方程(组)解应用题的一般步骤:
2. 一次方程(组)常考应用类型及重要等量关系:
[误区警示] 解一元一次方程时要注意以下几点:(1) 去分母时不要漏乘不含有分母的项.(2) 分数线有两层意义:① 它是除号;② 它起到括号的作用,所以在去分母时,应该将分子用括号括上.(3) 去括号时,要防止漏乘某一项或符号错误.(4) 移项时要变号.(5) 系数化为1时,分子、分母不能颠倒.
考点三 利用一次方程(组)解决实际问题例4 (2022·娄底)科学研究表明:树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg,一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg.(1) 请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量;(2) 一森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树,据估计三棵银杏树共有50000片树叶,则这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约为多少千克?[思路点拨] (1) 题目中的数量关系:一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg,一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg,根据上述数量关系设未知数列出二元一次方程组求解;(2) 由(1)的结果列式计算即可.
[误区警示] 列二元一次方程组解决实际问题的注意事项:(1) 单位必须统一;(2) 等式两边的意义必须相同;(3) 解方程后要检验,不合题意的解要舍去;(4) 作答时要包含单位.
考点四 古诗文中的方程(组)例5 (2022·连云港)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何?”其大意如下:今有几个人共同出钱购买一件物品,每人出8钱,剩余3钱;每人出7钱,还缺4钱.问人数、物品的价格各是多少?请你求出以上问题中的人数和物品的价格.[思路点拨] 设有x人,物品的价格为y钱,由“每人出8钱,剩余3钱;每人出7钱,还缺4钱”列出二元一次方程组,解方程组即可.[非常点评] 古诗文中的方程(组)是中考常考内容,解题的关键是要明确题意,捕捉题目中的数量关系,进而列出方程(组).
7. (2022·泰安)某茶叶店第一次购进了A种茶叶30盒,B种茶叶20盒,共 花费6000元;第二次购进时,两种茶叶每盒的价格都提高了20%,该店 又购进了A种茶叶20盒,B种茶叶15盒,共花费5100元.求第一次购进的 A,B两种茶叶每盒的价格.
8. (2021·镇江)《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”.其中记 载了一个关于“盈不足”的问题:“今有共买金,人出四百,盈三千四 百;人出三百,盈一百.问人数、金价各几何?”其大意如下:现在有人 合伙买金,每人出400钱,会剩余3400钱;每人出300钱,会剩余100钱. 合伙人数、金价各是多少?请你求出以上问题中的合伙人数和金价.
第6课时 一次不等式(组)及其应用
1. 能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,探索并掌握不 等式的基本性质.2. 能运用不等式的基本性质解一元一次不等式(组),能在数轴上表 示一元一次不等式的解集,会用数轴确定一元一次不等式组的解 集.3. 能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式或一元一次不 等式组,解决简单的实际问题.
知识点1 不等式及其性质1. 不等式的相关概念: (1) 用“>”“<”等不等号表示 的式子,叫做不等式; (2) 使不等式成立的 的值叫做不等式的解; (3) 使不等式成立的未知数的 叫做不等式的解集; (4) 求不等式的 的过程叫做解不等式.
2. 不等式的基本性质:
[温馨提示] 运用不等式的性质2的第(2)点解题时,切记要改变不等号的方向.
知识点2 一元一次不等式及其解法1. 一元一次不等式:只含有 个未知数,且未知数的次数是 的 不等式. 2. 解一元一次不等式的基本步骤:(1) 去分母;(2) ;(3) ; (4) ;(5) 系数化为1. 3. 解集的表示:
知识点3 一元一次不等式组及其解法1. 一元一次不等式组的概念:把几个含有同一个未知数的一次不等式联 立在一起,就组成了一个一元一次不等式组.2. 不等式组的解集:不等式组中所有不等式的解集的 部分叫做 这个不等式组的解集. 3. 解不等式组:求不等式组解集的过程叫做解不等式组.4. 不等式组的解集的求法:解不等式组时一般先分别求出不等式组中各 个不等式的解集并表示在数轴上,再求出它们的公共部分就得到不等 式组的 .
5. 不等式组的解集情况(假设a
[温馨提示] 对于列不等式解决实际问题,一般所求问题中含有“至少(≥)”“最大(≤)”“不超过(≤)”“不少于(≥)”“不小于(≥)”“不大于(≤)”等词时,要正确理解这些词的含义.
考点一 不等式的性质例1 (2022·宿迁)如果x
由不等式的基本性质1,可知x-1
[误区警示] 运用不等式的性质对不等式进行变形时,要特别注意性质2,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清这个数是正数还是负数,如果是负数,那么不等号的方向要改变.
[非常点评] 在数轴上表示不等式的解集需要遵循的规律:大于时向右,小于时向左;不等式的解集中含有等号时,这个点用实心点表示,否则用空心圈表示.
去分母,得4x-2>3x-1.移项,得4x-3x>-1+2.合并同类项,得x>1.将不等式的解集表示在数轴上如图所示.
[误区警示] 在去分母和系数化为1时,如果不等式两边同时乘或除以一个负数,那么不等号方向要改变.利用不等式的基本性质进行变形时,要注意去括号、移项过程中各项的符号及不等号的变化.在把未知数的系数化为1时,若系数为正,则不等号的方向不变;若系数为负,则不等号的方向必须改变.
[方法归纳] 求不等式组的解集的方法 求不等式组的解集就是求组成不等式组的几个不等式的解集的公共部分,确定解集的公共部分可利用数轴,也可利用口诀“同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小无处找”进行验证.
由3x-6>0,得x>2.∵ 不等式组的解集为x>2,∴ m≤2.
[误区警示] 对于这类题我们可用解不等式组的口诀来求解不等式组中参数的取值范围,而最容易出错的地方是不知其是否带等号.一般地,我们先设定能带等号,再看是否满足题意,若不满足题意,则这个等号一定要舍去.
考点七 一元一次不等式的应用例9 (2022·湘西州)为了传承雷锋精神,某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动,准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品.已知篮球的单价为100元,足球的单价为80元.(1) 原计划募捐5600元,全部用于购买篮球和足球.如果恰好能够购买篮球和足球共60个,那么原计划篮球和足球各购买多少个?(2) 在募捐活动中,由于师生的捐款积极性高涨,实际收到捐款共6890元.如果购买篮球和足球共80个,且支出不超过6890元,那么篮球最多能购买多少个?[思路点拨] (1) 根据“购买篮球和足球共60个”及“原计划募捐5600元”,设未知数列方程组即可解答;(2) 设篮球购买a个,则足球购买(80-a)个,根据“支出不超过6890元”列不等式求解即可解答.
[非常点评] 对于方程组与不等式的综合问题,解题的关键是找到相应的等量关系和不等关系来分别列出方程组和不等式.另外,在实际问题情境中还会涉及整数性和非负性等知识.
由5x-10≤0,得x≤2;由x+3>-2x,得x>-1.∴ 不等式组的解集为-1
(1) 解析:∵ 10×30=300(元),300<400,∴ 在甲超市的购物金额为300元,在乙超市的购物金额为300×0.8=240(元).
(2) 设购买x件这种文化用品.当0
第7课时 分式方程及其应用
1. 会解可化为一元一次方程的分式方程,并能注意验根.2. 能根据具体问题中的数量关系列出分式方程,能根据具体问题的 实际意义检验结果是否合理.
知识点1 分式方程及其解法1. 分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程. 2. 解分式方程的步骤: (1) 两边都乘各分式的最简公分母,把分式方程转化为 方程; (2) 解这个整式方程; (3) 把整式方程的解代入最简公分母或原分式方程的各分母中进行 检验.3. 增根的产生:一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可 能使原方程中的分母为0,因此应进行如下检验:将整式方程的解代入 ,如果 ,那么整式方程的解是原 分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解,是增根.
[温馨提示] 分式方程的增根与无解并非同一个概念,分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解;分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母为0的根.
知识点2 分式方程的应用列分式方程解实际问题与列一次方程(组)解应用题不一样的是:要检验 次,既要检验求出来的解是否为原方程的根,又要检验是否 .
(1) 方程两边同乘x-2,得2x=x-2+1,解得x=-1.检验:当x=-1时,x-2≠0.∴ 原分式方程的解是x=-1.(2) 方程两边同乘x-4,得3-x=-1-2(x-4),解得x=4.检验:当x=4时,x-4=0.∴ x=4不是原方程的解,原分式方程无解.
考点三 列分式方程解应用题例3 (2022·西藏)某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中,给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品.已知笔记本的单价比钢笔的单价多2元,用240元购买笔记本的数量与用200元购买钢笔的数量相同.(1) 笔记本和钢笔的单价各是多少元?(2) 若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品,要使购买纪念品的总费用不超过540元,则最多可以购买多少本笔记本?[思路点拨] (1) 可设钢笔的单价为x元,则笔记本的单价为(x+2)元,根据“用240元购买笔记本的数量与用200元购买钢笔的数量相同”列出方程求解;(2) 根据“总费用不超过540元”列一元一次不等式求解即可.
[方法归纳] 列方程或不等式解应用题的基本方法 首先审题,找出题中的未知量和所有的已知量,直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含x的代数式表示相关的量,找出量之间的相等或不等关系列方程或不等式,再求解、检验、作答,即审、设、列、解、验、答.对于列分式方程解应用题,一定要注意检验,检验要考虑两个方面:一是方程的解是否为原方程的解,二是方程的解是否符合题意.
解析:方程两边同时乘x-1,得2x-m+3=x-1,解得x=m-4.∵ 方程的解是正数,∴ m-4>0,解得m>4.∵ x≠1,∴ m-4≠1,即m≠5.∴ m的取值范围是m>4且m≠5.故选C.
6. 某工程队承担了某道路1800米长的建造任务.该工程队在建造完720米 道路后,引进了新设备,平均每天的工作效率比原来提高了20%,结果共 用27天完成了任务,则引进新设备前该工程队平均每天建造多少米道 路?
7. (2022·辽宁)麦收时节,为确保小麦颗粒归仓,某农场安排A,B两种型号的收割机进行小麦收割作业.已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦,一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同.(1) 一台A型收割机和一台B型收割机平均每天各收割多少公顷小麦?(2) 该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业,为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务,至少要安排几台A型收割机?
第8课时 一元二次方程及其应用
1. 了解一元二次方程的定义及一般形式.2. 理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3. 会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根和两个实数 根是否相等.4. 了解一元二次方程的根与系数的关系.5. 能根据具体问题的实际意义检验方程的解是否合理.
知识点1 一元二次方程及其解法1. 一元二次方程:只含有 个未知数,并且未知数的最高次数是 的 式方程叫做一元二次方程. 2. 一元二次方程的一般形式是 (a 0),其中ax2叫做 项,a是 ,bx叫做 项,b是 , c叫做 项.
3. 一元二次方程的解法:
知识点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1. 根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为 .2. 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系: (1) 当b2-4ac>0时,方程有两个 的实数根; (2) 当b2-4ac=0时,方程有两个 的实数根; (3) 当b2-4ac<0时,方程没有实数根.3. 一元二次方程根与系数的关系: 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则x1+x2= , x1·x2= .
知识点3 一元二次方程的应用1. 一般步骤:审、设、列、解、验、答.2. 列一元二次方程解应用题的常见类型: (1) 增长(下降)率问题; (2) 面积问题; (3) 销售利润问题.
考点一 一元二次方程根的定义例1 (2022·连云港)若关于x的一元二次方程mx2+nx-1=0(m≠0)的一个解是x=1,则m+n的值是 .
把x=1代入方程mx2+nx-1=0,得m+n-1=0,解得m+n=1.
[误区警示] 对于这类问题可根据方程根的定义直接代入方程,得到含有字母的方程,解之即可.当二次项系数为字母时,要注意求出的字母的值要满足二次项系数不为0.
考点二 一元二次方程的解法例2 解方程:(1) (2022·无锡)x2-2x-5=0;(2) (2022·齐齐哈尔)(2x+3)2=(3x+2)2.
[非常点评] 若一次项系数为0(如ax2+c=0),则应选用直接开平方法;若常数项为0(如ax2+bx=0)或方程两边有共同的因式,则应选用因式分解法;若一次项系数和常数项都不为0(如ax2+bx+c=0)且不宜分解因式,则应考虑公式法;若方程的二次项系数为1,一次项系数为偶数,则用配方法较为简便.需要注意的是,用公式法需先将方程化为一般式,然后确定b2-4ac的值;用配方法需注意等号两边要同时加上相同的数.另外,解一元二次方程时,在没有指定方法的情况下,一般按以下顺序选择:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,具体题目还要看方程的特点.
考点三 一元二次方程根的判别式例3 (2022·威海)若关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 .
由题意,得b2-4ac=(-4)2-4×1×(m-1)=20-4m>0,解得m<5.
[误区警示] 一元二次方程有实数根的条件是b2-4ac≥0,从而列出有关的不等式,还应分清一元二次方程有两个不相等的实数根与有两个实数根的区别.
例5 (2022·南充)已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根.(1) 求实数k的取值范围;(2) 设方程的两个实数根分别为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=-1,求k的值.[思路点拨] (1) 根据题意,知b2-4ac≥0,则可得与k有关的不等式,解之即可;(2) 将(x1+1)(x2+1)=-1转化为x1x2+(x1+x2)+1=-1,根据根与系数的关系得到x1+x2=-3,x1x2=k-2,将它们代入上述式子可得与k有关的方程,从而求出k的值.
[误区警示] 在解决根的判别式和根与系数的关系的综合题时,必须注意以下两个方面:(1) 一元二次方程的二次项系数不为0;(2) 用根与系数的关系的前提是根的判别式为非负数,这往往是最容易被忽略的.
考点五 一元二次方程的实际应用例6 (2022·眉山)建设美丽城市,改造老旧小区.某市2019年投入资金1000万元,2021年投入资金1440万元,假定每年投入资金的增长率相同.(1) 求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率.(2) 2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2022年为提高老旧小区品质,每个小区改造费用增加15%.若投入资金的年平均增长率保持不变,求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区.[思路点拨] (1) 设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x,利用2021年投入资金金额=2019年投入资金金额×(1+年平均增长率)2,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论;(2) 设该市在2022年可以改造y个老旧小区,根据2022年改造老旧小区所需资金不多于2022年投入资金金额,即可得出关于y的一元一次不等式,解之取其中的最大整数值即可得出结论.
[非常点评] 对于增长率问题,我们可以总结出一个常用的知识点:若某个量原来的值是a,每次增长的百分率是x,则增长1次后的值是a(1+x),增长2次后的值是a(1+x)2……增长n次后的值是a(1+x)n,这是增长率公式.同样,若某个量原来的值是a,每次降低的百分率是x,则降低n次后的值是a(1-x)n,这是降低率公式.
考点六 一元二次方程与几何的综合应用例8 (2021·枣庄)已知等腰三角形的一边长是4,另两边的长是关于x的方程x2-6x+n=0的两个根,求n的值.[思路点拨] 当4为腰长时,将x=4代入方程可求出n的值;当4为底边长时,利用等腰三角形的性质可得出根的判别式b2-4ac=0,解之可得出n的值.最后要检验两种情况下的n的值是否满足题意.[非常点评] 本题是一元二次方程根的定义、解一元二次方程及三角形三边关系的综合应用,在求出三角形三边的长度之后必须检验所求结果是否满足“两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”.
当4为腰长时,将x=4代入x2-6x+n=0,得42-6×4+n=0,解得n=8.当n=8时,原方程为x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4.∵ 2+4>4,∴ n=8符合题意.当4为底边长时,关于x的方程x2-6x+n=0有两个相等的实数根,∴ b2-4ac=(-6)2-4×1×n=0,解得n=9.当n=9时,原方程为x2-6x+9=0,解得x1=x2=3.∵ 3+3>4,∴ n=9符合题意.综上所述,n的值为8或9.
1. (2022·武威)用配方法解方程x2-2x=2时,配方后正确的是 ( ) A. (x+1)2=3B. (x+1)2=6 C. (x-1)2=3D. (x-1)2=62. (2022·益阳)若x=-1是方程x2+x+m=0的一个根,则此方程的另一个根 是( ) A. x=-1B. x=0 C. x=1D. x=23. (2022·河南)一元二次方程x2+x-1=0的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根D. 只有一个实数根
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