北京市2022-2023年上学期九年级期末数学试题知识点分类汇编-04二次函数与一元二次方程

这是一份北京市2022-2023年上学期九年级期末数学试题知识点分类汇编-04二次函数与一元二次方程，共17页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北京市2022-2023年上学期期末数学试题知识点分类汇编-04二次函数与一元二次方程

一、填空题
1．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，则点C的坐标为 ．
2．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）二次函数的图象与x轴交点坐标是 ．
3．（2023秋·北京海淀·九年级期末）二次函数的图象与轴的交点坐标为 ．
4．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在之间(包含端点)，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有

5．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知二次函数的对称轴为直线，它的图象经过点，，．对于下列四个结论：
①；
②；
③方程的解为，；
④对于任意实数，总有．
其中正确的结论是 ．（填写序号）．
6．（2023秋·北京海淀·九年级期末）已知抛物线（）．现给出以下结论：①该抛物线与y轴的交点坐标是；②当时，抛物线与直线没有交点；③若该抛物线的顶点在直线与坐标轴围成的三角形内（包括边界），则；④若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点与之间．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
7．（2023秋·北京海淀·九年级期末）抛物线与x轴的交点坐标为 ，与y轴交点坐标为 ．
8．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为 ．

9．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如果二次函数的图象与y轴的交点为，那么 ．
10．（2023秋·北京海淀·九年级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc＞0；②3a﹣c＞0；③若﹣1＜m＜n＜1，则m+n＜；④＜16，其中正确的序号是 ．

11．（2023秋·北京海淀·九年级期末）函数y＝（x+1）2﹣9与x轴交点坐标为 ．
12．（2023秋·北京海淀·九年级期末）若二次函数的最小值是，则它的图象与轴的交点坐标是 ．

二、解答题
13．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）已知二次函数．
(1)求二次函数图象的顶点坐标及函数图象与x轴的交点坐标；
(2)画出二次函数的示意图，结合图象直接写出当函数值时，自变量x的取值范围．
14．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）已知二次函数．

(1)求该二次函数的顶点坐标；
(2)求该二次函数图象与x轴、y轴的交点；
(3)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
(4)结合函数图象，直接写出当时，y的取值范围．
15．（2023·北京海淀·九年级期末）平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：，则称点Q为点P的“可控变点”．
例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点．
(1)点的“可控变点”坐标为_____________．
(2)若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标是7，求出“可控变点”Q的横坐标．
16．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点C，抛物线经过点A，C，与x轴交于另一点B．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若D是抛物线上一点（不与点C重合），且，请求出点D的坐标．
17．（2023·北京海淀·九年级期末）已知二次函数．
(1)求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；
(2)求该二次函数的图象与x轴交点．
18．（2023·北京海淀·九年级期末）在平面直角坐系中，已知抛物线G：．

(1)当时，
①抛物线G的对称轴为直线　 　；
②若抛物线上有两点，，且，m的取值范围是 　 　；
(2)已知点)，若抛物线G与线段恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．

参考答案：
1．
【分析】令，代入抛物线，得到点C的纵坐标，即可得解．
【详解】解：依题意，令，得到，
故抛物线与y轴交于点C的坐标为，
故答案为 ：
【点睛】本题考查了二次函数与y轴交点问题，令，即可得到抛物线与y轴交点的纵坐标．
2．
【分析】设时，求方程的解即可．
【详解】解：设时,
解得
所以，图象与x轴的交点坐标是
故答案为
【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴的交点坐标，解题关键是理解二次函数图象与轴的交点坐标的意义．
3．
【分析】令，求得的值即可.
【详解】令，得，
∴二次函数的图象与轴的交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数与轴的交点，正确计算是解答此题的关键．
4．①③④
【分析】①由抛物线的对称轴为直线x=1，当，利用图象可得，即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定的符号，由对称轴方程求得与的关系是，将其代入，并判定其符号；③利用一元二次方程根与系数的关系可得，然后根据的的取值范围利用不等式的性质来求的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到，利用的取值范围可以求得的取值范围．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴对称轴直线是，
当，
故①正确；
②观察图象得：抛物线开口方向向下，
∴，
∵对称轴，
∴，
∴，即，故②错误；
∵抛物线与轴交于点，
∴方程的两根为，
∴，即，
∵抛物线与y轴的交点在之间(包含端点)，
∴，
∴，即，故③正确；
∵，，
∴，
∵顶点坐标为，
∴当时，，
∵，
∴，即，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定是解题的关键．
5．②③/③②
【分析】根据二次函数的开口向上，距离对称轴越远的点的函数值越大可判断①；由对称轴为 可得 它的图象经过点， 从而可判断②；由二次函数的对称轴为直线，它的图象经过点，可得抛物线与轴的另一个交点的坐标为： 从而可判断③；当时，函数取得最小值 从而可判断④．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴函数图象的开口向上，距离对称轴越远的点的函数值越大，对称轴为直线
∵它的图象经过点，，
而
∴ 故①不符合题意；
由对称轴为 可得
∵它的图象经过点，
∴
∴ 故②符合题意；
∵二次函数的对称轴为直线，它的图象经过点，
∴抛物线与轴的另一个交点的坐标为：
∴方程的解为，；故③符合题意；
当时，函数取得最小值
∴对于任意实数有 即 故④不符合题意；
故答案为：②③
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练的利用二次函数的性质“判断代数式的符号，判断方程的根，代数式的最值”是解本题的关键．
6．③④
【分析】根据二次函数的性质逐个判断即可．
【详解】令则，即该抛物线与y轴的交点坐标是；
①错误；
联立得：
∴当时，，抛物线与直线有交点；
②错误；
抛物线顶点坐标为
直线与坐标轴交点为
∵该抛物线的顶点在直线与坐标轴围成的三角形内（包括边界）
∴
解得
∴
③正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，
∵抛物线经过，且时，，
∴抛物线与x轴一定有一个交点在点与之间．
故④正确；
综上所述，正确的有③④．
故答案为：③④．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建不等式或不等式组解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
7．
【分析】令 则解方程求解抛物线与x轴的交点坐标，令 则 可得抛物线与y轴的交点坐标.
【详解】解：令 则
∴
解得：
∴抛物线与x轴的交点坐标为
令 则
∴抛物线与y轴交点坐标为
故答案为：；
【点睛】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点坐标，掌握“根据坐标轴上点的坐标特点建立方程”是解本题的关键.
8．
【分析】根据函数图象可知抛物线与坐标轴交于点，对称轴为，根据对称性即可求得另一个交点，进而求得方程ax2+bx+c＝0的解．
【详解】解：∵函数图象可知抛物线与坐标轴交于点，对称轴为，
∴另一个交点为，
x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为
故答案为：
【点睛】本题考查了图像法求一元二次方程的解，掌握二次函数的对称性是解题的关键．
9．-1
【分析】把代入函数解析式即可求出的值．
【详解】解：把代入得，
，解得，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是把点的坐标代入求未知系数的值．
10．②③④
【分析】根据二次哈桉树图像可知，对称轴是介于1和2之间，然后得到，进而可分析①和②，然后设图像与x轴的两个焦点横坐标为x1和x2且x1＜x2，然后根据根于系数关系分析③和④即可．
【详解】解：由图易知，
∵对称轴位于y轴右侧，
∴，
∴，
∴，故①错误，
∵，
∴，
令，则＜0
∴，
∴，故②正确
设二次函数图像与x轴的两个焦点横坐标为x1和x2且x1＜x2，则x1+x2＞m+n，
∵x1+x2=，
∴m+n＜，故③正确，
| x1-x2|==
由图可知| x1-x2|＜4，
∴＜4，即，
∴＜16，故④成立，
综上所述，②③④成立．
故答案为：②③④
【点睛】本题主要考查二次函数图像性质换个特征，结合二元一次方程与二次函数的联系，灵活的应用根与系数关系是解题的关键．
11．（﹣4，0），（2，0）．
【分析】令y=0，再解一元二次方程（x+1）2﹣9＝0即可求图象与x轴的交点坐标．
【详解】当y＝0时，（x+1）2﹣9＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2．
所以函数y＝（x+1）2﹣9与x轴交点坐标是（﹣4，0），（2，0）．
故答案为（﹣4，0），（2，0）．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．解题的关键是令y=0，再解一元二次方程．
12．
【分析】根据二次函数最大（小）值的求法，利用公式法直接求得c的值，即可求得图象与y轴的交点坐标．
【详解】∵二次函数y＝x2＋2x＋c的最小值是7，
∴＝＝7，
解得c＝8，
∴图象与y轴的交点坐标是（0，8），
故答案为（0，8）．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
13．(1)顶点坐标为与x轴的交点坐标为和；
(2)图见解析；

【分析】（1）将二次函数一般式改为顶点式即得出其顶点坐标．令，求出x的值，即得出该二次函数图像与x轴的交点坐标；
（2）根据五点法画出图像即可．由求时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图像在x轴下方时x的取值范围，再结合图像即可解答．
【详解】（1）解：二次函数化为顶点式为：，
∴该二次函数图像的顶点坐标为．
令，则，
解得：，
∴该二次函数图像与x轴的交点坐标为和；
（2）令，则；令，则；
∴该二次函数还经过点和，
∴在坐标系中画出图象如下：

求时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图象在x轴下方时x的取值范围，
∵该二次函数图像与x轴的交点坐标为和，
∴当时，二次函数图像在x轴下方，
∴当时，自变量x的取值范围是．
【点睛】本题考查二次函数一般式改为顶点式，二次函数图象与坐标轴的交点坐标，画二次函数图象等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
14．(1)
(2)该二次函数图象与x轴的交点坐标为或，与y轴的交点坐标为
(3)见解析
(4)

【分析】（1）将二次函数表达式化为顶点式，即可进行解答；
（2）分别将，代入二次函数表达式，即可求出与x轴、y轴的交点坐标；
（3）根据列表，描点，连线的步骤即可画出二次函数的图象；
（4）根据图象即可进行解答．
【详解】（1）解：∵，
∴该二次函数的顶点坐标为．
（2）把代入得：，
解得：，，
∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为或，
把代入得：，
∴该二次函数图象与y轴的交点坐标为；
（3）列表：
x
……

0
1
2
3
……
y
……
0



0
……
函数图象如图所示：

（4）由图可知：当时，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握的顶点坐标为，牢记坐标轴上点的坐标特征．
15．(1)
(2)“可控变点”Q的横坐标为： 或．

【分析】（1）根据可控变点的定义，可得答案；
（2）根据可控变点的定义，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
【详解】（1）解：∵点，，
∴，
即点的“可控变点”坐标为，
（2）由题意得的图象上的点P的“可控变点”必在函数的图象上，
∵“可控变点”Q的纵坐标的是7，
当时，则时，解得，
∴“可控变点”Q的横坐标为：，
当时，时，解得，
∴“可控变点”Q的横坐标为：，
∴“可控变点”Q的横坐标为： 或．
【点睛】本题是新定义题，根据可控变点的定义，可得解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案，理解题意是解本题的关键．
16．(1)
(2)或或

【分析】(1)首先可求得点A、C的坐标，再分别把点A、C的坐标代入解析式，即可求解；
(2)当点D在x轴上方时，点D的纵坐标为4，当点D在x轴下方时，点D的纵坐标为，据此进行计算，即可分别求得．
【详解】（1）解：∵直线的解析式为，
∴当时，，当时，，
∴，.
∵抛物线经过点A，，
∴
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，点的纵坐标为，
∴当点D在x轴上方时，点D的纵坐标为4，
将代入，得，
解得，，
∴点的坐标为或.
当点在轴下方时，点的纵坐标为，
此时点与点关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线的对称轴为，点的坐标为，
∴点的坐标为，
综上可得：点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，坐标与图形，准确求得二次函数的解析式是解决本题的关键．
17．(1)直线，
(2)，

【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式，即可求解；
（2）令，有，解出方程，即可求解．
【详解】（1）解：
，
∴二次函数的图象的对称轴为直线和顶点坐标为；
（2）解：令，有，
解得：，，
∴该二次函数的图象与x轴交点为，．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
18．(1)①1；②或
(2)或

【分析】（1）①先确定抛物线解析式，然后根据对称轴的直线解析式求解即可；②根据抛物线的对称性得出关于对称轴对称的点为，再由二次函数的增减性质即可得出结果；
（2）由函数解析式确定对称轴及对称轴与x轴的交点M，然后分别将点A、B、M点的坐标代入抛物线确定出相应的a的值，作出函数图象，结合函数图象即可得出结果．
【详解】（1）解：当时，抛物线解析式为，
①抛物线的对称轴为：，
故答案为：1；
②由①得抛物线的对称轴为，则关于对称轴对称的点为，
∵，
∴当时，y随x增大而减小；当时，y随x增大而增大；
∴时，或，
故答案为：或；
（2）解：根据题意得：抛物线G与线段恰有一个公共点，
的对称轴为，
对称轴与x轴的交点坐标为点，
把点代入，
解得，
∴此时抛物线的解析式为：，作出图象如图所示：

把点代入，
解得，
∴此时抛物线的解析式为：，作出图象如图所示：
把点代入，
解得，作出函数图象如图所示：
结合函数图象得：或时，抛物线G与线段恰有一个公共点．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及确定函数值的取值范围，函数与坐标轴的交点问题等，熟练掌握二次函数的基本性质结合函数图象求解是解题关键．