沪科版 初中数学 九年级上册 21.6 综合与实践　获取最大利润 教案

这是一份沪科版 初中数学 九年级上册 21.6 综合与实践　获取最大利润 教案，共5页。教案主要包含了题后反思等内容，欢迎下载使用。

第21章 二次函数与反比例函数
21.6　综合与实践　获取最大利润
教学目标
1.进一步理解二次函数最值的意义；
2.经历“问题情境一建立模型一求解验证”的过程,利用二次函数解决实际问题,感受函数模型思想和数学的应用价值；
3.能利用二次函数解决最大利润问题,进一步提高分析问题和解决问题的能力,增强数学的应用意识和创新意识.
教学重难点
重点：从实际问题中建立二次函数模型.
难点：设计如何获取最大利润问题的方案.
教学过程
复习巩固
利用二次函数解决实际问题中的最值的一般步骤：
(1)先求出函数表达式和自变量的取值范围；
(2)利用公式求最大值或最小值.
探究新知
【尝试】
例1　某商场销售一种进价为20元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量w (台)与销售单价x(元)满足w＝-2x+80，设销售这种台灯每天的利润为y(元).
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
(3)在保证销售量尽可能大的前提下，该商场每天要想获得150元的利润，应将销售单价定为多少元？
【思考】(1)等量关系：每天的利润＝每台的利润×每天销售量；
(2)利用(1)中得到的函数的性质求最值；
(3)把y＝150代入(1)中的函数表达式，求得x的值.
解： (1)y＝(x-20)(-2x+80)＝-2x2+120x -1 600.
(2)∵ y＝-2x2+120x-1600＝-2(x-30)2+200，
∴ 当x＝30时，最大利润y＝200.
(3)令y＝150，得-2(x-30)2+200＝150，
解得x1＝25，x2＝35.
又销售量w＝-2x+80随单价x的增大而减小，故当x＝25时，既能保证销售量大，又可以每天获得150元的利润.
【思考】(小组讨论，老师引导)求解最大利润问题时要注意什么？
根据题意，舍去不合题意的x的值
例2　(小组讨论)
一个工厂在决定是否要生产某种产品时，往往向市场分析专家咨询该产品的市场情况.一种产品的销售量通常与销售单价有关，当单价上涨时，销售量下降.假设某市场分析专家提供了下列数据：
销售单价x/元
50
100
150
300
年销售量t/件
5 000
4 000
3 000
0
设生产t件该产品的成本为C＝50t+1 000.
回答下列问题：
(1)画图并描出上述表格中各组数据对应的点.
(2)描出的这些点在一条直线上吗？求t和x之间的函数表达式.
(3)问当销售单价x和年销售量t各为多少时，年利润P最大？
【活动】(小组合作，老师指导)
（1） 如图所示.

（2） 这些点在一条直线上，t＝-20x+6 000(0 （3） P＝tx-C＝-20?2+7 000x-301 000＝-20 (?−175)2+311 500,
故当x＝175时，t＝2 500，P最大值＝311 500元.
【题后反思】建立函数模型解获得最大利润问题的步骤
1.在直角坐标系中描出所给的点.
2.观察点的分布的特征，确定对应的模拟函数的类型.
3.根据利润的关系式确定利润的二次函数表达式，并利用对应二次函数的知识解决如何获得最大利润问题.
课堂练习
1.某超市对进价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y(千克)与销售价x(元/千克)存在一次函数关系，如图所示，则最大利润是(　　)
A.180　　　B.220　　　C.190　　　D.200

2.某日6时至10时，某交易平台上一种水果的每千克售价，每千克成本与交易时间之间的关系分别如图①②所示(图①②中的图象分别是线段和抛物线，其中点p是抛物线的顶点).在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻是　　 ，此时每千克的收益是 　　 .
　　
①　　　　　　　　　　　　　　　　　②
3.随着5G技术的发展，人们对各类5G产品充满期待.某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x(x为正整数)个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系.
(1)求y关于x的表达式；
(2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台)，p与x的关系可以用p＝来描述.根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？


4.某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间.经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170~240元之间(含170元，240元)浮动时，每天入住的房间数y(间)与每间标准房的价格x(元)的数据如下表：
x(元)
…
190
200
210
220
…
y(间)
…
65
60
55
50
…

(1)根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象.
(2)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.
(3)设客房的日营业额为w(元)，若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？

参考答案
1.D 2.9时 2.25元
3.解：(1)设y关于x的表达式为y＝kx+b.
把点(1，7 000)，(5，5 000)的坐标代入得
解得 ∴ y＝-500x+7 500.
(2)设销售收入为W元，则W＝yp＝(-500x+7 500)
＝-250x2+3 500x+3 750
＝-250(x2-14x)+3 750
＝-250(x-7)2+16 000.
∵ x为正整数，
∴ 当x＝7时，销售收入最大，
此时该产品每台的销售价格y＝-500×7+7 500＝4 000(元).
答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4 000元.



4.解：(1)如图所示.

(2)设y关于x的函数表达式为y＝kx+b(k≠0).
把(200，60)和(220，50)代入，得
解得
∴ y＝(170≤x≤240).
(3)w＝xy＝
∵ a＝<0，且函数图象的对称轴为直线x＝160.
∴ 在170≤x≤240范围内，w随x的增大而减小.
故当x＝170时，w有最大值，最大值为12 750元.
课堂小结

布置作业
教材P58第10，11 题.
板书设计
建立函数模型解获得最大利润问题的步骤
1.在直角坐标系中描出所给的点.
2.观察点的分布的特征，确定出对应的模拟函数的类型.
3.根据利润的关系式确定利润的二次函数表达式，并利用对应二次函数的知识解决如何获得最大利润问题.
例1 例2
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