中考数学真题：2020年兰州市初中学业水平考试

2020年兰州市初中学业水平考试

一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. －的绝对值是(　　)

A. 　　　B. －　　　C. 2　　　D. － 2

2. 如图，该几何体是由5个大小形状相同的正方体组成，它的俯视图是(　　)

3. 智能手机已遍及生活中的各个角落，移动产业链条正处于由4G到5G的转折阶段，据中国移动2020年3月公布的数据显示，中国移动5G用户数量约31720000户．将31720000用科学记数法表示为(　　)

A. 0.3172×108  B. 3.172×108

C. 3.172×107  D. 3.172×109

4. 如图，AB∥CD, AE∥CF，∠A＝50°，则∠C＝(　　)

A. 40°  B. 50°  C. 60°  D. 70°

第4题图

5. 化简： a(a－2)＋4a＝(　　)

A. a2＋2a  B. a2＋6a

C. a2－6a  D. a2＋4a－2

6. 如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝20°， 则∠ADC＝(　　)

A. 40°  B. 60°  C. 70°  D. 80°

第6题图

7. 一元二次方程x(x－2)＝x－2的解是(　　)

A. x1＝x2＝0  B. x1＝x2＝1

C. x1＝0，x2＝2  D. x1＝1，x2＝2

8. 若点4(－4，m－3), B(2n，1)关于x轴对称，则(　　)

A. m＝2, n＝0  B. m＝2，n＝－2

C. m＝4, n＝2  D. m＝4，n＝－2

9. 中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐，若每车乘坐2人，则9人无车可乘．问共有多少辆车，多少人？设共有x辆车，y人，则可列方程组为(　　)

A.   B.

C.   D.

10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC＝ 100°，则∠D＝(　　)

A. 40°  B. 50°  C. 60°  D. 80°

第10题图

11. 已知点A(x1, y1), B(x2, y2)在反比例函数y＝－的图象上，若y1<y2<0，则下列结论正确的是(　　)

A. x1<x2<0  B. x2<x1<0

C. 0<x1<x2  D. 0<x2<x1

12. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B, D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，若AB＝3, AC＝4，则CD＝(　　)

A.  B.   C.   D.

第12题图

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13. 因式分解： m3－6m2＋9m＝________．

14. 点A(－4，3)，B(0，k)在二次函数y＝－(x＋2)2＋h的图象上，则k＝________．

15. 如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心为点O, OC＝6，CC′＝4，AB＝3，则A′B′＝________．

第15题图

16. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, AB＝2，点E在AB的延长线上，且AE＝AC, EF⊥AC于点F，连接BF并延长交CD于点G，则DG＝________．

第16题图

三、解答题：本大题共12小题，共86分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. (5分)计算：×－(＋1)2.

18. (5分)解不等式组：

19. (5分)先化简，再求值(－2－) ÷，其中a＝－.

20. (6 分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AC和AB的中点，

求证： BD＝CE.

第20题图

21. (6分)某学校组织了以“纪念革命先烈，激发爱国热情”为主题的爱国主义教育研学活动，参加活动的学生可从学校提供的四个研学地点中任选一个，地点如下：

A：陇南市宕昌县哈达铺红军长征纪念馆；

B：陇南市两当兵变纪念馆：

C：甘南州迭部县腊子口战役纪念馆：

D：张掖市高台县中国工农红军西路军纪念馆．

小宁和小丽决定通过抽签的方式确定本次研学活动的目的地，请你用树状图或列表的方法求出小宁和小丽抽到同一地点的概率．

22. (7 )如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与反比例函数y＝ (k≠0, x>0) 的图象相交于A(1，5)，B(m, 1)两点，与x轴，y轴分别交于点C，D，连接OA, OB.

(1)求反比例函数y＝ (k≠0, x>0) 和一次函数y＝ ax＋ b(a≠0)的表达式；

(2)求△AOB的面积．

第22题图

23. (7分)如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，点C是AB的中点，以OC为半径作⊙O.

(1)求证： AB是⊙O的切线；

(2)若OC＝2，求OA的长．

第23题图

24. (7分)为培养学生正确劳动价值观和良好劳动品质，加强新时代中学生劳动教育．某校八年级1班对本班35名学生进行了劳动能力量化评估和近一周家务劳动总时间调查，并对相关数据进行了收集、整理和分析，研究过程中的部分数据如下：

信息一：劳动能力量化评估的成绩采用十分制，得分均为整数；

信息二：

劳动能力　化成绩分布图

信息三：

近一周家务劳动总时间分布表

信息四：

劳动能力量化成绩与近一周家务劳动总时间统计表

根据以上信息，解决下列问题：

(1)直接从信息二的统计图中“读”出八年级1班劳动能力量化成绩的平均分为________分；

(2)请你判断下列说法合理吗？ (请在横线上填写“合理”或“不合理”)

①规定劳动能力量化成绩8分及以上为合格，八年级1班超过半数的学生达到了合格要求；________

②班主任对近一周家务劳动总时间在4小时以上，且劳动能力量化成绩取得10分的学生进行表彰奖励，恰有3人获奖；________

③小颖推断劳动能力量化成绩为8分的同学近一周家务劳动总时间主要分布在2<t≤3的时间段；________

(3)结合以上信息，你认为普遍情况下参加家务劳动的时间与劳动能力之间具有怎样的关系？

25. (7分)为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如下表.

根据以上内容，解决问题：

学校要求测温区域的宽度AB为4 m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC.

(结果精确到0.1 m，参考数据： sin73.14°≈0.957, cos73.14°≈0.290，tan73.14°≈3.300，sin30.97°≈0.515，cos30.97°≈0.857，tan30.97°≈0.600)

26. (9分)如图，在△ABC中，AB＝6 cm, AC＝5 cm，∠CAB＝60°， 点D为AB的中点，线段AC上有一动点E，连接DE，作DA关于直线DE的对称图形，得到DF，过点F作FG⊥AB于点G，设A, E两点间的距离为x cm, F, G两点间的距离为y cm.

第26题图①

小军根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小军的探究过程，请补充完整．

(1)列表：下表的已知数据是根据A, E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：

请你通过计算补全表格；

(2)描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(x，y)，并画出y关于x的图象；

第26题图②

(3)探究性质：随着x值的不断增大，y的值是怎样变化的？

(4)解决问题：当AE＋FG＝2时，FG的长度大约是________cm. (保留两位小数)

27. (10 分)如图，在▱ABCD中，DE⊥AC 于点O，交BC于点E, EG＝EC, GF∥AD交DE于点F，连接FC，点H为线段AO上一点，连接HD, HF.

(1)判断四边形GECF的形状，并说明理由；

(2)当∠DHF＝∠HAD时，求证： AH·CH＝ EC·AD.

第27题图

28. (12 分)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(4，－4), B(－2，m)，交y轴于点C(0，－4), 直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB, AD，点E是线段AB上的一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F.

(1)求二次函数y＝x2＋bx＋c的表达式；

(2)判断△ABD的形状，并说明理由；

(3)在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG与BD的数量关系，并求出点E的坐标；

(4)点H是抛物线的顶点，在(3)的条件下，点P是平面内使得∠EPF＝90°的点，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形．若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

第28题图

　2020年兰州市初中学业水平考试

一、选择题

1. A　【解析】负数的绝对值是它的相反数，得|－|＝，故选A.

2. D　【解析】俯视图是从上往下看物体得到的视图，第一行为3个小正方形，第二行为1个小正方形，故选D.

3. C　【解析】 用科学记数法把一个绝对值大于10的数表示为a×10n，其中1≤∣a∣＜10，n是正整数，其值等于原数的整数位数减去1，或等于原数变为a时小数点移动的位数．∴31720000＝3.172×107.

4. B　【解析】 如解图，设CF与AB的交点为G.∵AE∥CF，∴∠FGB＝∠A＝50°.∵AB∥CD，∴∠C＝∠FGB＝50°.

第4题解图

5. A　【解析】 原式＝a2－2a＋4a＝a2＋2a.

6. C　【解析】 ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠BAC＝20°，∴∠ABC＝90°－∠BAC＝70°.∴∠ADC＝∠ABC＝70°.

7. D　【解析】 移项，得x(x－2)－(x－2)＝0，合并同类项，得(x－1)(x－2)＝0，解得x1＝1，x2＝2.

8. B　【解析】 有题意可得，，解得m＝2，n＝－2.

9. A

10. B【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠BAC＝100°，∴∠C＝(180°－∠BAC)＝40°.在△DEC中，∠DEC＝90°，∴∠D＝90°－∠C＝50°.

11. C　【解析】 ∵k＝－3<0，∴y随着x的增大而增大．∵y1<y2<0，∴0<x1<x2.

12. D　【解析】 由题可知，AE垂直平分BD，∴BD＝2BE.∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝5，AE＝＝.∵∠B＋∠BAE＝∠B＋∠C＝90°，∴∠BAE＝∠C.∴△BAE∽△BCA.∴＝，解得BE＝.∴BD＝2BE＝，∴CD＝BC－BD＝.

二、填空题

13. m(m－3)2　【解析】 原式＝m(m2－6m＋9)＝m(m－3)2.

14. 3　【解析】 把点A(－4，3)代入二次函数解析式中，得－(－4＋2)2＋h＝3，解得h＝7.将点B(0，k)代入二次函数解析式中，得－(0＋2)2＋7＝k，解得k＝3.

15. 5　【解析】 ∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，且位似中心为点O，∴＝，＝，解得A'B'＝5.

16. 4－2　【解析】 ∵四边形ABCD为正方形，AB＝2，∴AC＝2，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CGF.∵∠BAC＝45°，EF⊥AC，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝EF＝AE＝AC＝2.∴AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB.∵∠CFG＝∠AFB，∴∠CFG＝∠CGF，∴CG＝FC＝AC－AF＝2－2.∴DG＝CD－CG＝4－2.

三、解答题

17. 解：原式＝2－(3＋2＋1)＝－4.

18. 解：解不等式①，得x＜3，

解不等式②，得x＞，

∴原不等式组的解集为＜x＜3.

19. 解：原式＝(－)·

＝·

＝·

＝a＋4，

当a＝－时，原式＝－＋4＝.

20. 证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB.

∵点D，E分别是AC和AB的中点，

∴BE＝AB，CD＝AC，

∴BE＝CD.

在△BEC和△CDB中，

∴△BEC≌△CDB.

∴BD＝CE.

21. 解：由题意列表，

由表可知，共有16种等可能情况，其中出现在同一个地点的情况有4种，∴P(小宁和小丽抽到同一个地点)＝＝.

22. 解：(1)将点A(1，5)代入反比例函数y＝中，

解得k＝5.

∴反比例函数的表达式为y＝(x＞0)．　　　　　

将点B(m，1)代入反比例函数y＝中，

解得，m＝5.

∴点B(5，1)．

将A(1，5)，B(5，1)代入一次函数y＝ax＋b中，

得，解得.

∴一次函数的表达式为y＝－x＋6；

(2)当x＝0时，y＝6，

∴点D(0，6)．

∴S△AOB＝S△BOD－S△AOD＝×6×5－×6×1＝12.

23. (1)证明：∵OA＝OB，点C是AB的中点，

∴OC⊥AB.

∵OC是⊙O的半径，

∴AB是⊙O的切线；

(2)解：∵OA＝OB，∠AOB＝90°，

∴∠A＝45°.

在Rt△ACO中，OA＝＝2.

24. 解：(1)8；

【解法提示】＝8.

(2)①合理；

②不合理；

③合理；

(3)参加家务劳动时间越长，劳动能力越强．

25. 解：在Rt△ACO中，AC＝，

在Rt△BCO中，BC＝，

∵AC－BC＝AB＝4，

∴－＝4，

∴OC≈2.9.

∴该设备的安装高度OC约为2.9 m.

26. 解：(1)

【解法提示】如解图①，∵点D为AB的中点，∴AD＝AB＝3 cm.∵AE＝1.5 cm，∴ED⊥AC.由折叠的性质可知，AE＝DF＝1.5 cm，∴AF＝3 cm.∴FG＝AF sin 60°＝cm.

第26题解图①

(2)如解图②所示；

第26题解图②

(3)当0≤x≤2.20时，y随x的增大而增大．当x＞2.20时，y随x的增大而减小；

(4)1.30.

【解法提示】如解图③，当x＋y＝2，即y＝x－2，作直线y＝x－2与曲线的交点，得y＝1.30.

第26题解图③

27. (1)解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC.

∵GF∥AD，

∴GF∥BC，

∴∠FGC＝∠ECG.

∵EG＝EC，DE⊥AC，

∴GO＝OC.

在△GOF和△COE中，

，

∴△GOF≌△COE.

∴GF＝EC.

∵GF∥EC，

∴四边形GECF为平行四边形．

∵EG＝EC，

∴四边形GECF为菱形；

(2)证明：∵∠DAH＋∠ADH＝∠DHF＋∠FHC，∠HAD＝∠DHF，

∴∠ADH＝∠FHC.

由(1)易得，∠DAH＝∠FCH，

∴△ADH∽△CHF.

∴＝.

∵EC＝CF，

∴AH·CH＝EC·AD.

28. 解：(1)由题意易得，c＝－4，

将点A(4，－4)代入二次函数y＝x2＋bx－4中，得b＝－1.

∴二次函数的表达式为y＝x2－x－4；

(2)△ABD为直角三角形．

理由：将B(－2，m)代入y＝x2－x－4中，得m＝－1.

∴B(－2，－1)．

设直线BD的表达式为y＝ax，将点B(－2，－1)代入，得a＝.

∴直线BD的表达式为y＝x.

联立，解得或

∴D(8，4)．

∴AD2＝82＋42＝80，AB2＝62＋32＝45，BD2＝102＋52＝125.

∵AD2＋AB2＝BD2，

∴△ABD为直角三角形；

(3)如解图，∵四边形AFGE为矩形，

∴EG∥AD，FG∥AB.

∵EF∥BD，

∴四边形EFDG和四边形FEBG都是平行四边形，

∴EF＝GD，EF＝BG.

∴BG＝GD.

由(2)得△ABD为直角三角形，

∴AG＝BD.

∵EG∥AD，

∴点E是AB的中点，

∴E(1，－)；

第28题解图

(4)Q(2，－4)或Q(2，－)．

【解法提示】有题意可得，H(2，－5)，设Q(2，n)，则P(7＋n，n)，∵E(1，－)，F(6，0)，∴EF2＝，EP2＝(7＋n－1)2＋(n＋)2，FP2＝(7＋n－6)2＋n2.∵EF2＝EP2＋FP2，解得n＝－4或n＝－.∴Q(2，－4)或Q(2，－)．