中考数学真题:2020年北京市高级中等学校招生考试
展开第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.
1. 右图是某几何体的三视图,该几何体是( )
A. 圆柱 B. 圆锥
C. 三棱柱 D. 长方体
第1题图
2. 2020年6月23日,北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空,6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道.将36000用科学记数法表示应为( )
A. 0.36×105 B. 3.6×105
C. 3.6×104 D. 36×103
3. 如图,AB和CD相交于点O,则下列结论正确的是( )
A. ∠1=∠2 B. ∠2=∠3
C. ∠1>∠4+∠5 D. ∠2<∠5
第3题图
4. 下列图形中.既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )
5. 正五边形的外角和为( )
A. 180° B. 360° C. 540° D. 720°
6. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示,若实数b满足-a第6题图
A. 2 B. -1 C. -2 D. -3
7. 不透明的袋子中有两个小球,上面分别写着数字“1”,“2”,除数字外两个小球无其他差别,从中随机摸出一个小球,记录其数字,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,记录其数字,那么两次记录的数字之和为3的概率是( )
A. eq \f(1,4) B. eq \f(1,3) C. eq \f(1,2) D. eq \f(2,3)
8. 有一个装有水的容器,如图所示.容器内的水面高度是10 cm,现向容器内注水,并同时开始计时,在注水过程中,水面高度以每秒0.2 cm的速度匀速增加,则容器注满水之前,容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是( )
第8题图
A. 正比例函数关系
B. 一次函数关系
C. 二次函数关系
D. 反比例函数关系
二、填空题(本题共16分,每小题2分)
9. 若代数式eq \f(1,x-7)有意义,则实数x的取值范围是________.
10. 已知关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根,则k的值是________.
11. 写出一个比eq \r(2) 大且比eq \r(15)小的整数________.
12. 方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x-y=1,,3x+y=7))的解为________.
13. 在平面直角坐标系xOy中,直线y=x与双曲线y=eq \f(m,x)交于A,B两点.若点A,B的纵坐标分别为y1,y2,则y1+y2的值为________.
14. 如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上(不与点B,C重合).只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD,这个条件可以是________(写出一个即可).
第14题图
15. 如图所示的网格是正方形网格,A,B,C,D是网格线交点,则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为:S△ABC________S△ABD(填“>”,“=”或“<”).
第15题图
16. 下图是某剧场第一排座位分布图.
甲、乙、丙、丁四人购票,所购票数分别为2,3,4,5.每人选座购票时,只购买第一排的座位相邻的票,同时使自己所选的座位号之和最小.如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票,那么甲购买1,2号座位的票,乙购买3,5,7号座位的票,丙选座购票后,丁无法购买到第一排座位的票,若丙第一个购票,要使其他三人都能购买到第一排座位的票,写出一种满足条件的购票的先后顺序________.
三、解答题(本题共68分,第17-20题,每小题5分,第21题6分,第22题5分,第23-24题,每小题6分,第25题5分,第26题6分,第27-28分,每小题7分)
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17. 计算:(eq \f(1,3))-1+eq \r(18)+|-2|-6sin 45°.
18. 解不等式组:eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5x-3>2x,,\f(2x-1,3)<\f(x,2).))
19. 已知5x2-x-1=0,求代数式(3x+2)(3x-2)+x(x-2)的值.
20. 已知:如图,△ABC为锐角三角形,AB=AC,CD∥AB.
求作:线段BP,使得点P在直线CD上,且∠ABP=eq \f(1,2)∠BAC.
作法:①以点A为圆心,AC长为半径画圆,交直线CD于C,P两点;
②连接BP.
线段BP就是所求作的线段.
(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);
第20题图
(2)完成下面的证明.
证明:∵CD∥AB,
∴∠ABP=________.
∵AB=AC,
∴点B在⊙A上.
又∵点C,P都在⊙A上,
∴∠BPC=eq \f(1,2)∠BAC(______)(填推理的依据).
∴∠ABP=eq \f(1,2)∠BAC.
21. 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG∥EF.
(1)求证:四边形OEFG是矩形;
(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.
第21题图
22. 在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到,且经过点(1,2).
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)当x>1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值,直接写出m的取值范围.
23. 如图,AB为⊙O的直径,C为BA延长线上一点,CD是⊙O的切线,D为切点,OF⊥AD于点E,交CD于点F.
(1)求证:∠ADC=∠AOF;
(2)若sinC=eq \f(1,3),BD=8,求EF的长.
第23题图
24. 小云在学习过程中遇到一个函数y=eq \f(1,6)|x|(x2-x+1)(x≥-2).
下面是小云对其探究的过程,请补充完整:
(1)当-2≤x<0时,
对于函数y1=|x|,即y1=-x,当-2≤x<0时,y1随x的增大而________,且y1>0;
对于函数y2=x2-x+1,当-2≤x<0时,y2随x的增大而________,且y2>0;
结合上述分析,进一步探究发现,对于函数y,当-2≤x<0时,y随x的增大而________.
(2)当x≥0时,
对于函数y,当x≥0时,y与x的几组对应值如下表:
结合上表,进一步探究发现,当x≥0时,y随x的增大而增大.在平面直角坐标系xOy中,画出当x≥0时的函数y的图象.
(3)过点(0,m)(m>0)作平行于x轴的直线l,结合(1)(2)的分析,解决问题:若直线l与函数y=eq \f(1,6)|x|(x2-x+1)(x≥-2)的图象有两个交点,则m的最大值是________.
25. 小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量(单位:千克),相关信息如下:
a.小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图:
b.小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下:
(1)该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为________(结果取整数);
(2)已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60,则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的________倍(结果保留小数点后一位);
(3)记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为seq \\al(2,1),5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为seq \\al(2,2),5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为seq \\al(2,3).直接写出seq \\al(2,1),seq \\al(2,2),seq \\al(2,3)的大小关系.
26. 在平面直角坐标系xOy中,M(x1,y1),N(x2,y2)为抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点,其中x1
(2)设抛物线的对称轴为x=t.若对于x1+x2>3,都有y1<y2,求t的取值范围.
27. 在△ABC中,∠C=90°,AC>BC,D是AB的中点,E为直线AC上一动点,连接DE,过点D作DF⊥DE,交直线BC于点F,连接EF.
(1)如图①,当E是线段AC的中点时,设AE=a,BF=b.求EF的长(用含a,b的式子表示);
(2)当点E在线段CA的延长线上时,依题意补全图②,用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系,并证明.
第27题图
28. 在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1,A,B为⊙O外两点,AB=1.
给出如下定义:平移线段AB,得到⊙O的弦A′B′(A′,B′分别为点A,B的对应点),线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”.
(1)如图,平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4,则这两条弦的位置关系是______;在点P1,P2,P3,P4中,连接点A与点______的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”;
第28题图
(2)若点A,B都在直线y=eq \r(3)x+2eq \r(3)上,记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1,求d1的最小值;
(3)若点A的坐标为(2,eq \f(3,2)),记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2,直接写出d2的取值范围.
2020北京中考数学解析
1. D 【解析】三个视图都是矩形的几何体是长方体.故选D.
2. C 【解析】36000=3.6×10000=3.6×104.故选C.
3. A 【解析】A.∠1和∠2互为对顶角,对顶角相等,故本选项正确;B.∠2=∠OAD+∠3,故本选项错误;C.∠1=∠4+∠5,故本选项错误;D.∠2=∠4+∠5,故本选项错误.故选A.
4. D 【解析】逐项分析如下:
5. B 【解析】任意多边形的外角和为360°.故选B.
6. B 【解析】由数轴可知17. C 【解析】根据题意,画树状图如解图,由树状图可知,共有4种等可能的情况,两次记录的数字之和为3的有2种情况,∴P(两次记录的数字之和为3)= eq \f(2,4)=eq \f(1,2).故选C.
第7题解图
8. B 【解析】容器的底面积不变,上升的高度只与注水速度有关,∵水面高度以每秒0.2 cm的速度匀速增加,∴水面上升高度与注水时间成正比,而容器本就装有水,∴水面高度与注水时间满足一次函数关系.故选B.
9. x≠7 【解析】要使eq \f(1,x-7)有意义,则x-7≠0,解得x≠7.
10. 1 【解析】根据题意得b2-4ac=22-4k=0,解得k=1.
11. 2(或3) 【解析】∵eq \r(2)
13. 0 【解析】∵直线y=x与双曲线y=eq \f(m,x)交于A,B两点,可得y=eq \f(m,y),解得y1=eq \r(m),y2=-eq \r(m),∴y1+y2=eq \r(m)-eq \r(m)=0.
14. BD=DC(答案不唯一) 【解析】可以添加条件BD=DC,∵AD是公共边,∴△ABD≌△ACD(SSS).(可以添加条件∠BAD=∠CAD,∵AD是公共边,∴△ABD≌△ACD(SAS).或者可以添加条件AD⊥BC,∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL))
15. = 【解析】设一个小正方形网格的边长为一个单位,如解图,延长BA,过点D作AB的垂线,可知D点到AB的距离为2eq \r(2),点C到AB的距离也是2eq \r(2),两个三角形底边AB相等,高相等,∴两个三角形的面积相等.
第15题解图
16. 丙、甲、丁、乙(答案不唯一) 【解析】如购票顺序为:
丙(3-1-2-4)-甲(5-7)-丁(6-8-10-12-14)-乙(9-11-13);同理还有其他购票顺序:丙(3-1-2-4)-乙(5-7-9)-丁(6-8-10-12-14)-甲(11-13);丙(3-1-2-4)-丁(5-7-9-11-13)-甲(6-8)-乙(10-12-14);丙(3-1-2-4)-丁(5-7-9-11-13)-乙(6-8-10)-甲(12-14).
17. 解:原式=3+3eq \r(2)+2-6×eq \f(\r(2),2)
=3+3eq \r(2)+2-3eq \r(2)
=5.
18. 解:原不等式组为:eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5x-3>2x①,,\f(2x-1,3)<\f(x,2)②.))
解不等式①,得x>1;
解不等式②,得x<2.
∴不等式组的解集为1
=10x2-2x-4.
∵5x2-x-1=0,
∴5x2-x=1.
∴原式=2(5x2-x)-4=2-4=-2.
20. 解:(1)补全图形如解图;
第20题解图
(2)∠CPB;在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
21. (1)证明:∵四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于点O,
∴O为BD的中点.
又∵E是AD的中点,
∴OE∥AB.
∵EF⊥AB,
∴EF⊥OE.
又∵OG∥EF,
∴OG⊥AB.
∴四边形OEFG是矩形;
(2)解:∵AC⊥BD,点E是AD的中点且AD=10,
∴AE=OE=eq \f(1,2)AD=5.
∵∠EFA=90°,EF=4,
∴在Rt△AEF中,AF=eq \r(AE2-EF2)=eq \r(52-42)=3.
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=AD=10.
∵四边形OEFG为矩形,
∴FG=OE=5.
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2.
22. 解:(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到,
∴k=1.
又∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(1,2),
∴1+b=2,解得b=1,
∴一次函数的解析式为y=x+1;
(2)m>2.
【解法提示】当x>1时,函数y=mx(m≠0)的函数值都大于y=x+1的函数值,即函数y=mx(m≠0)的图象在一次函数y=x+1图象的上方,如解图,临界值为当x=1.当x=1时,y=x+1=1+1=2,当y=mx过点(1,2)时,解得m=2,结合函数图象,m的取值范围为m>2.
第22题解图
23. (1)证明:如解图,连接OD,
第23题解图
∵CD是⊙O的切线,
∴CD⊥OD,
∴∠ODA+∠ADC=90°.
∵OF⊥AD,
∴∠DOF+∠ODA=90°,
∴∠ADC=∠DOF.
∵OD=OA,OF⊥AD
∴OF平分∠AOD,
∴∠AOF=∠DOF,
∴∠ADC=∠AOF;
(2)解:设半径为r,
在Rt△OCD中,sinC=eq \f(1,3),
∴eq \f(OD,OC)=eq \f(1,3).
∴OD=r,OC=3r.
∵OA=r,
∴AC=OC-OA=2r.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
∴OF∥BD.
∴eq \f(OE,BD)=eq \f(AO,AB)=eq \f(1,2).
∴OE=4.
∵eq \f(OF,BD)=eq \f(OC,BC)=eq \f(3,4),
∴OF=6.
∴EF=OF-OE=2.
24. 解:(1)减小;减小;减小;
【解法提示】当-2≤x<0,y1=-x,k=-1<0,y随x的增大而减小.y2=x2-x+1=(x-eq \f(1,2))2-eq \f(1,4)+1=(x-eq \f(1,2))2+eq \f(3,4),抛物线开口向上,对称轴为x=eq \f(1,2),范围-2≤x<0在对称轴的左侧,∴y随x的增大而减小.函数y1和y2在第二象限的函数值大于0,∴两个函数相乘之后的y值也是随x的增大而减小.
(2)由表格描点,画出函数图象如解图①;
第24题解图①
(3)eq \f(7,3) 【解法提示】由(1)可得在-2≤x<0内y随x的增大而减小,结合(2)易推测出图象如解图②(曲线部分),当直线l与图象有两个交点,可得直线l需在x轴及直线n之间,只需求得直线n的纵坐标即可,当x=-2时,代入函数y=eq \f(1,6)|x|(x2-x+1)可得y=eq \f(7,3),即直线l与函数y=eq \f(1,6)|x|(x2-x+1)(x≥-2)的图象有两个交点时,m的最大值为eq \f(7,3).
第24题解图②
25. 解:(1)173;
【解法提示】eq \f(100+170+250,3)≈173.
(2)2.9;
【解法提示】173÷60≈2.9.
(3)seq \\al(2,1)>seq \\al(2,2)>seq \\al(2,3).
【解法提示】方差的大小反应了数据波动情况.方差越大,数据波动越大,方差越小,数据波动越小.∴根据题图可得seq \\al(2,1)>seq \\al(2,2)>seq \\al(2,2).
26. 解:(1)若抛物线的对称轴为x=1,则b=-2a,
故抛物线解析式为y=ax2-2ax+c,
令y=c,则ax2-2x+c=c,即x(ax-2)=0,
∵a>0,x1<x2,
故x1=0,x2=2;
(2)若y1<y2,则axeq \\al(2,1)+bx1+c<axeq \\al(2,2)+bx2+c,
整理得axeq \\al(2,1)-axeq \\al(2,2)+bx1-bx2<0,
即a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2)<0,
∵x1<x2,故a(x1+x2)+b>0,即a(x1+x2)>-b,
∵a>0,
∴x1+x2>-eq \f(b,a).
又∵x1+x2>3,
∴-eq \f(b,a)≤3,
∴-eq \f(b,2a)≤eq \f(3,2),
故t≤eq \f(3,2).
27. 解:(1)∵D,E分别为AB,AC的中点,AE=a,
∴EC=AE=a,DE∥BC,DE=eq \f(1,2)BC.
∵∠C=90°,
∴∠DEC=90°.
∵DE⊥DF,
∴∠EDF=90°,四边形DECF是矩形,
∴FC=DE=BF=b,
在Rt△EFC中,EF=eq \r(CE2+CF2)=eq \r(a2+b2);
(2)补全图形如解图①,
图① 图②
第27题解图
线段AE,EF,BF之间的数量关系为EF2=AE2+BF2.
证明:如解图②,延长ED至点M,使得DM=DE,连接BM,FM,
∵AD=BD,∠EDA=∠MDB,
∴△EDA≌△MDB(SAS),
∴AE=BM,∠AED=∠BMD,
∴EC∥BM,∠MBC=∠BCA=90°,
在Rt△FBM中,
MF2=BM2+BF2=AE2+BF2.
∵ED⊥DF,DE=DM,
∴EF=MF,
∴EF2=AE2+BF2.
28. 解:(1)平行;P3;
(2)如解图①,∵直线y=eq \r(3)x+2eq \r(3)与x轴的夹角为60°,线段AB与⊙O的半径都是1,
∴平移之后的弦A′B′的两个端点与圆心组成的三角形为等边三角形,
此时可以确定,平移之后的A′点或者B′点在(-1,0 )或者(1, 0)处,
∵所求“平移距离”最小,
∴最小值d1为点(-1, 0)到直线y=eq \r(3)x+2eq \r(3)的距离,
如解图①,A′M=1,
∴AA′=eq \f(\r(3),2),即d1的最小值为eq \f(\r(3),2);
(3)eq \f(3,2)≤d2≤eq \f(\r(39),2) 【解法提示】①如解图②,连接OA交⊙O于点A′,以OA′为边作等边三角形OA′B′,
再通过平移A′B′可确定B点,
则d2的最小值为AA′=OA-OA′=eq \f(5,2)-1=eq \f(3,2);
图① 图②
第28题解图
②线段AB经过平移可以得到两条弦A1B1和弦A2B2,其点A平移轨迹为AA1、AA2,根据定义可知:线段AA′的最小值即为线段AB到⊙O的“平移距离”,此时,线段AB到⊙O的“平移距离”d2.应为线段AA1、AA2中的较小值,
∴当AA1=AA2时,线段AB到⊙O“平移距离”d2取得最大值.
如解图③,延长AO交A1A2于点M,
第28题解图③
∵AA1=AA2,∴AM⊥A1A2.
又∵△A1OB1为等边三角形,
∴∠A1OM=60°.
∴OM=eq \f(1,2),A1M=eq \f(\r(3),2).
∵A(2,eq \f(3,2)),
∴OA=eq \r(22+(\f(3,2))2)=eq \f(5,2),
∴AM=OA+OM=eq \f(5,2)+eq \f(1,2)=3.
∴在Rt△A1AM中,AA1=eq \r(A1M2+AM2)=eq \r(\f(3,4)+9)=eq \f(\r(39),2).
∴综上所述,d2取值范围是:eq \f(3,2)≤d2≤eq \f(\r(39),2).
x
0
eq \f(1,2)
1
eq \f(3,2)
2
eq \f(5,2)
3
…
y
0
eq \f(1,16)
eq \f(1,6)
eq \f(7,16)
1
eq \f(95,48)
eq \f(7,2)
…
时 段
1日至10日
11日至20日
21日至30日
平均数
100
170
250
选项
逐项分析
正误
A
不是中心对称图形,是轴对称图形
B
既不是中心对称图形,也不是轴对称图形
C
是中心对称图形,不是轴对称图形
D
是中心对称图形,也是轴对称图形
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