中考数学真题：2020年北京市高级中等学校招生考试

这是一份中考数学真题：2020年北京市高级中等学校招生考试，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 右图是某几何体的三视图，该几何体是( )
A. 圆柱 B. 圆锥
C. 三棱柱 D. 长方体
第1题图
2. 2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为( )
A. 0.36×105 B. 3.6×105
C. 3.6×104 D. 36×103
3. 如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是( )
A. ∠1＝∠2 B. ∠2＝∠3
C. ∠1＞∠4＋∠5 D. ∠2＜∠5
第3题图
4. 下列图形中．既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )
5. 正五边形的外角和为( )
A. 180° B. 360° C. 540° D. 720°
6. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足－a第6题图
A. 2 B. －1 C. －2 D. －3
7. 不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是( )
A. eq \f(1,4) B. eq \f(1,3) C. eq \f(1,2) D. eq \f(2,3)
8. 有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10 cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2 cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是( )
第8题图
A. 正比例函数关系
B. 一次函数关系
C. 二次函数关系
D. 反比例函数关系
二、填空题(本题共16分，每小题2分)
9. 若代数式eq \f(1,x－7)有意义，则实数x的取值范围是________．
10. 已知关于x的方程x2＋2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值是________．
11. 写出一个比eq \r(2) 大且比eq \r(15)小的整数________．
12. 方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝1，,3x＋y＝7))的解为________．
13. 在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝eq \f(m,x)交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1＋y2的值为________．
14. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上(不与点B，C重合)．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是________(写出一个即可)．
第14题图
15. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC________S△ABD(填“>”，“＝”或“<”)．
第15题图
16. 下图是某剧场第一排座位分布图．
甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票，若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序________．
三、解答题(本题共68分，第17－20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23－24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28分，每小题7分)
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：(eq \f(1,3))－1＋eq \r(18)＋|－2|－6sin 45°.
18. 解不等式组：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5x－3＞2x，,\f(2x－1,3)＜\f(x,2).))
19. 已知5x2－x－1＝0，求代数式(3x＋2)(3x－2)＋x(x－2)的值．
20. 已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB.
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP＝eq \f(1,2)∠BAC.
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；
②连接BP.
线段BP就是所求作的线段．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
第20题图
(2)完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP＝________．
∵AB＝AC，
∴点B在⊙A上．
又∵点C，P都在⊙A上，
∴∠BPC＝eq \f(1,2)∠BAC(______)(填推理的依据)．
∴∠ABP＝eq \f(1,2)∠BAC.
21. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.
(1)求证：四边形OEFG是矩形；
(2)若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
第21题图
22. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点(1，2)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值大于一次函数y＝kx＋b的值，直接写出m的取值范围．
23. 如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F.
(1)求证：∠ADC＝∠AOF；
(2)若sinC＝eq \f(1,3)，BD＝8，求EF的长．
第23题图
24. 小云在学习过程中遇到一个函数y＝eq \f(1,6)|x|(x2－x＋1)(x≥－2)．
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
(1)当－2≤x＜0时，
对于函数y1＝|x|，即y1＝－x，当－2≤x＜0时，y1随x的增大而________，且y1＞0；
对于函数y2＝x2－x＋1，当－2≤x＜0时，y2随x的增大而________，且y2＞0；
结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当－2≤x＜0时，y随x的增大而________．
(2)当x≥0时，
对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：
结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．
(3)过点(0，m)(m>0)作平行于x轴的直线l，结合(1)(2)的分析，解决问题：若直线l与函数y＝eq \f(1,6)|x|(x2－x＋1)(x≥－2)的图象有两个交点，则m的最大值是________．
25. 小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量(单位：千克)，相关信息如下：
a．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：
b．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：
(1)该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为________(结果取整数)；
(2)已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的________倍(结果保留小数点后一位)；
(3)记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为seq \\al(2,1)，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为seq \\al(2,2)，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为seq \\al(2,3).直接写出seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)，seq \\al(2,3)的大小关系．
26. 在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)上任意两点，其中x1(1)若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
(2)设抛物线的对称轴为x＝t.若对于x1＋x2>3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
27. 在△ABC中，∠C＝90°，AC>BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF.
(1)如图①，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b.求EF的长(用含a，b的式子表示)；
(2)当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图②，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
第27题图
28. 在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1.
给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′(A′，B′分别为点A，B的对应点)，线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
(1)如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是______；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点______的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
第28题图
(2)若点A，B都在直线y＝eq \r(3)x＋2eq \r(3)上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
(3)若点A的坐标为(2，eq \f(3,2))，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
2020北京中考数学解析
1. D 【解析】三个视图都是矩形的几何体是长方体．故选D.
2. C 【解析】36000＝3.6×10000＝3.6×104.故选C.
3. A 【解析】A.∠1和∠2互为对顶角，对顶角相等，故本选项正确；B.∠2＝∠OAD＋∠3，故本选项错误；C.∠1＝∠4＋∠5，故本选项错误；D.∠2＝∠4＋∠5，故本选项错误．故选A.
4. D 【解析】逐项分析如下：
5. B 【解析】任意多边形的外角和为360°.故选B.
6. B 【解析】由数轴可知17. C 【解析】根据题意，画树状图如解图，由树状图可知，共有4种等可能的情况，两次记录的数字之和为3的有2种情况，∴P(两次记录的数字之和为3)＝ eq \f(2,4)＝eq \f(1,2).故选C.
第7题解图
8. B 【解析】容器的底面积不变，上升的高度只与注水速度有关，∵水面高度以每秒0.2 cm的速度匀速增加，∴水面上升高度与注水时间成正比，而容器本就装有水，∴水面高度与注水时间满足一次函数关系．故选B.
9. x≠7 【解析】要使eq \f(1,x－7)有意义，则x－7≠0，解得x≠7.
10. 1 【解析】根据题意得b2－4ac＝22－4k＝0，解得k＝1.
11. 2(或3) 【解析】∵eq \r(2)12. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝1)) 【解析】原方程组为：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝1①,3x＋y＝7②))，①＋②得4x＝8，解得x＝2，把x＝2代入①得2－y＝1，解得y＝1.∴方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝1)).
13. 0 【解析】∵直线y＝x与双曲线y＝eq \f(m,x)交于A，B两点，可得y＝eq \f(m,y)，解得y1＝eq \r(m)，y2＝－eq \r(m)，∴y1＋y2＝eq \r(m)－eq \r(m)＝0.
14. BD＝DC(答案不唯一) 【解析】可以添加条件BD＝DC，∵AD是公共边，∴△ABD≌△ACD(SSS)．(可以添加条件∠BAD＝∠CAD，∵AD是公共边，∴△ABD≌△ACD(SAS)．或者可以添加条件AD⊥BC，∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL))
15. ＝ 【解析】设一个小正方形网格的边长为一个单位，如解图，延长BA，过点D作AB的垂线，可知D点到AB的距离为2eq \r(2)，点C到AB的距离也是2eq \r(2)，两个三角形底边AB相等，高相等，∴两个三角形的面积相等．
第15题解图
16. 丙、甲、丁、乙(答案不唯一) 【解析】如购票顺序为：
丙(3－1－2－4)－甲(5－7)－丁(6－8－10－12－14)－乙(9－11－13)；同理还有其他购票顺序：丙(3－1－2－4)－乙(5－7－9)－丁(6－8－10－12－14)－甲(11－13)；丙(3－1－2－4)－丁(5－7－9－11－13)－甲(6－8)－乙(10－12－14)；丙(3－1－2－4)－丁(5－7－9－11－13)－乙(6－8－10)－甲(12－14)．
17. 解：原式＝3＋3eq \r(2)＋2－6×eq \f(\r(2),2)
＝3＋3eq \r(2)＋2－3eq \r(2)
＝5.
18. 解：原不等式组为：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5x－3>2x①，,\f(2x－1,3)<\f(x,2)②.))
解不等式①，得x>1；
解不等式②，得x<2.
∴不等式组的解集为119. 解：原式＝9x2－4＋x2－2x
＝10x2－2x－4.
∵5x2－x－1＝0，
∴5x2－x＝1.
∴原式＝2(5x2－x)－4＝2－4＝－2.
20. 解：(1)补全图形如解图；
第20题解图
(2)∠CPB；在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
21. (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，
∴O为BD的中点．
又∵E是AD的中点，
∴OE∥AB.
∵EF⊥AB，
∴EF⊥OE.
又∵OG∥EF，
∴OG⊥AB.
∴四边形OEFG是矩形；
(2)解：∵AC⊥BD，点E是AD的中点且AD＝10，
∴AE＝OE＝eq \f(1,2)AD＝5.
∵∠EFA＝90°，EF＝4，
∴在Rt△AEF中，AF＝eq \r(AE2－EF2)＝eq \r(52－42)＝3.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝10.
∵四边形OEFG为矩形，
∴FG＝OE＝5.
∴BG＝AB－AF－FG＝10－3－5＝2.
22. 解：(1)∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象由函数y＝x的图象平移得到，
∴k＝1.
又∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(1，2)，
∴1＋b＝2，解得b＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x＋1；
(2)m＞2.
【解法提示】当x＞1时，函数y＝mx(m≠0)的函数值都大于y＝x＋1的函数值，即函数y＝mx(m≠0)的图象在一次函数y＝x＋1图象的上方，如解图，临界值为当x＝1.当x＝1时，y＝x＋1＝1＋1＝2，当y＝mx过点(1，2)时，解得m＝2，结合函数图象，m的取值范围为m＞2.
第22题解图
23. (1)证明：如解图，连接OD，
第23题解图
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OD，
∴∠ODA＋∠ADC＝90°.
∵OF⊥AD，
∴∠DOF＋∠ODA＝90°，
∴∠ADC＝∠DOF.
∵OD＝OA，OF⊥AD
∴OF平分∠AOD，
∴∠AOF＝∠DOF，
∴∠ADC＝∠AOF；
(2)解：设半径为r，
在Rt△OCD中，sinC＝eq \f(1,3)，
∴eq \f(OD,OC)＝eq \f(1,3).
∴OD＝r，OC＝3r.
∵OA＝r，
∴AC＝OC－OA＝2r.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∴OF∥BD.
∴eq \f(OE,BD)＝eq \f(AO,AB)＝eq \f(1,2).
∴OE＝4.
∵eq \f(OF,BD)＝eq \f(OC,BC)＝eq \f(3,4)，
∴OF＝6.
∴EF＝OF－OE＝2.
24. 解：(1)减小；减小；减小；
【解法提示】当－2≤x<0，y1＝－x，k＝－1<0，y随x的增大而减小．y2＝x2－x＋1＝(x－eq \f(1,2))2－eq \f(1,4)＋1＝(x－eq \f(1,2))2＋eq \f(3,4)，抛物线开口向上，对称轴为x＝eq \f(1,2)，范围－2≤x<0在对称轴的左侧，∴y随x的增大而减小．函数y1和y2在第二象限的函数值大于0，∴两个函数相乘之后的y值也是随x的增大而减小．
(2)由表格描点，画出函数图象如解图①；
第24题解图①
(3)eq \f(7,3) 【解法提示】由(1)可得在－2≤x＜0内y随x的增大而减小，结合(2)易推测出图象如解图②(曲线部分)，当直线l与图象有两个交点，可得直线l需在x轴及直线n之间，只需求得直线n的纵坐标即可，当x＝－2时，代入函数y＝eq \f(1,6)|x|(x2－x＋1)可得y＝eq \f(7,3)，即直线l与函数y＝eq \f(1,6)|x|(x2－x＋1)(x≥－2)的图象有两个交点时，m的最大值为eq \f(7,3).
第24题解图②
25. 解：(1)173；
【解法提示】eq \f(100＋170＋250,3)≈173.
(2)2.9；
【解法提示】173÷60≈2.9.
(3)seq \\al(2,1)＞seq \\al(2,2)＞seq \\al(2,3).
【解法提示】方差的大小反应了数据波动情况．方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小．∴根据题图可得seq \\al(2,1)＞seq \\al(2,2)＞seq \\al(2,2).
26. 解：(1)若抛物线的对称轴为x＝1，则b＝－2a，
故抛物线解析式为y＝ax2－2ax＋c，
令y＝c，则ax2－2x＋c＝c，即x(ax－2)＝0，
∵a＞0，x1＜x2，
故x1＝0，x2＝2；
(2)若y1＜y2，则axeq \\al(2,1)＋bx1＋c＜axeq \\al(2,2)＋bx2＋c，
整理得axeq \\al(2,1)－axeq \\al(2,2)＋bx1－bx2＜0，
即a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(x1－x2)＜0，
∵x1＜x2，故a(x1＋x2)＋b＞0，即a(x1＋x2)＞－b，
∵a＞0，
∴x1＋x2＞－eq \f(b,a).
又∵x1＋x2＞3，
∴－eq \f(b,a)≤3，
∴－eq \f(b,2a)≤eq \f(3,2)，
故t≤eq \f(3,2).
27. 解：(1)∵D，E分别为AB，AC的中点，AE＝a，
∴EC＝AE＝a，DE∥BC，DE＝eq \f(1,2)BC.
∵∠C＝90°，
∴∠DEC＝90°.
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝90°，四边形DECF是矩形，
∴FC＝DE＝BF＝b，
在Rt△EFC中，EF＝eq \r(CE2＋CF2)＝eq \r(a2＋b2)；
(2)补全图形如解图①，

图① 图②
第27题解图
线段AE，EF，BF之间的数量关系为EF2＝AE2＋BF2.
证明：如解图②，延长ED至点M，使得DM＝DE，连接BM，FM，
∵AD＝BD，∠EDA＝∠MDB，
∴△EDA≌△MDB(SAS)，
∴AE＝BM，∠AED＝∠BMD，
∴EC∥BM，∠MBC＝∠BCA＝90°，
在Rt△FBM中，
MF2＝BM2＋BF2＝AE2＋BF2.
∵ED⊥DF，DE＝DM，
∴EF＝MF，
∴EF2＝AE2＋BF2.
28. 解：(1)平行；P3；
(2)如解图①，∵直线y＝eq \r(3)x＋2eq \r(3)与x轴的夹角为60°，线段AB与⊙O的半径都是1，
∴平移之后的弦A′B′的两个端点与圆心组成的三角形为等边三角形，
此时可以确定，平移之后的A′点或者B′点在(－1，0 )或者(1, 0)处，
∵所求“平移距离”最小，
∴最小值d1为点(－1, 0)到直线y＝eq \r(3)x＋2eq \r(3)的距离，
如解图①，A′M＝1，
∴AA′＝eq \f(\r(3),2)，即d1的最小值为eq \f(\r(3),2)；
(3)eq \f(3,2)≤d2≤eq \f(\r(39),2) 【解法提示】①如解图②，连接OA交⊙O于点A′，以OA′为边作等边三角形OA′B′，
再通过平移A′B′可确定B点，
则d2的最小值为AA′＝OA－OA′＝eq \f(5,2)－1＝eq \f(3,2)；

图① 图②
第28题解图
②线段AB经过平移可以得到两条弦A1B1和弦A2B2，其点A平移轨迹为AA1、AA2，根据定义可知：线段AA′的最小值即为线段AB到⊙O的“平移距离”，此时，线段AB到⊙O的“平移距离”d2.应为线段AA1、AA2中的较小值，
∴当AA1＝AA2时，线段AB到⊙O“平移距离”d2取得最大值．
如解图③，延长AO交A1A2于点M，
第28题解图③
∵AA1＝AA2，∴AM⊥A1A2.
又∵△A1OB1为等边三角形，
∴∠A1OM＝60°.
∴OM＝eq \f(1,2)，A1M＝eq \f(\r(3),2).
∵A(2，eq \f(3,2))，
∴OA＝eq \r(22＋（\f(3,2)）2)＝eq \f(5,2)，
∴AM＝OA＋OM＝eq \f(5,2)＋eq \f(1,2)＝3.
∴在Rt△A1AM中，AA1＝eq \r(A1M2＋AM2)＝eq \r(\f(3,4)＋9)＝eq \f(\r(39),2).
∴综上所述，d2取值范围是：eq \f(3,2)≤d2≤eq \f(\r(39),2).
x
0
eq \f(1,2)
1
eq \f(3,2)
2
eq \f(5,2)
3
…
y
0
eq \f(1,16)
eq \f(1,6)
eq \f(7,16)
1
eq \f(95,48)
eq \f(7,2)
…
时 段
1日至10日
11日至20日
21日至30日
平均数
100
170
250
选项
逐项分析
正误
A
不是中心对称图形，是轴对称图形

B
既不是中心对称图形，也不是轴对称图形

C
是中心对称图形，不是轴对称图形

D
是中心对称图形，也是轴对称图形
√