中考数学真题：2019年青海省初中毕业升学考试

这是一份中考数学真题：2019年青海省初中毕业升学考试，共13页。试卷主要包含了填空题，单项选择题．等内容，欢迎下载使用。

一、填空题(本大题共12小题15空，每空2分，共30分)
1. －5的绝对值是________；eq \f(27,8)的立方根是________．
2. 分解因式：ma2－6ma＋9m＝________； 分式方程eq \f(3,x－3)＝eq \f(2,x)的解为________．
3. 世界科技不断发展，人们制造出晶体管长度越来越短，某公司研发出长度只有0.000000006米的晶体管，该数用科学记数法表示为________米．
4. 某种药品原价每盒60元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为________．
5. 如图，P是反比例函数y＝eq \f(k,x)图象上的一点，过点P向x轴作垂线交于点A，连接OP，若图中阴影部分的面积是1，则此反比例函数的解析式为____________．

第5题图 第6题图
6. 如图，在直角坐标系中，已知点A(3，2)，将△ABO绕点O逆时针方向旋转180°后得到△CDO，则点C的坐标是________．
7. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°.则CD的长为______米．(结果保留根号)
第7题图
8. 一只不透明的布袋中有三种珠子(除颜色以外没有任何区别)，分别有3个红株子4个白珠子和5个黑珠子，每次只摸出一个珠子，观察后均放回搅匀，在连续9次摸出的都是红珠子的情况下，第10次摸出红珠子的概率是________．
9. 如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动，现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上10 cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5 ∶1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压________cm.
第9题图
10. 根据如图所示的程度，计算y的值，若输入x的值是1时，则输出的y值等于________．
第10题图
11. 如图在正方形ABCD中，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点，若圆的半径等于1，则图中阴影部分的面积为________．
第11题图
12. 如图，将图(1)中的菱形剪开得到图(2)，图中共有4个菱形；将图(2)中的一个菱形剪开得到图(3)，图中共有7个菱形；如此剪下去，第(5)图中共有________个菱形，……，第n个图中共有________个菱形．
第12题图
二、单项选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，请将正确的选项序号填入下面相应题号的表格内)．
13. 下面几何体中，俯视图为三角形的是( )
14. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放；两个三角板的一直角边重合，含30°角的三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是( )
A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45°
第14题图
15. 如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的重量相等，每个果冻的重量也相等，则每块巧克力和果冻的重量分别为( )
第15题图
A. 10 g，40 g B. 15 g，35 g
C. 20 g，30 g D. 30 g，20 g
16. 为了了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班50名学生进行了调查，有关数据如右表，这组数据的中位数和众数为( )
A. 2.5和2.5 B. 2.25和3 C. 2.5和3 D. 10和13
17. 如图，小莉从A点出发，沿直线前进10米后左转20°，再沿直线前进10米，又向左转20°，……，照这样走下去，她第一次回到出发点A时，一共走的路程是( )
A. 150米 B. 160米 C. 180米 D. 200米

第17题图 第18题图
18. 如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则DF的长为( )
A. 3.6 B. 4.8 C. 5 D. 5.2
19. 如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝6，则eq \(BC,\s\up8(︵))的长为( )
A. eq \f(4π,3) B. eq \f(8π,3) C. 2eq \r(3)π D. 2π

第19题图
20. 大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水，从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间变量为x，水位高度变量为y，下列图象中最符合故事情景的大致图象是( )
第20题图
三、(本大题共3小题，第21题5分，第22题5分，第23题8分，共18分)．
21. 计算(eq \r(8)－1)0＋(－eq \f(1,3))＋|eq \r(2)－1|－2cs45°．
22. 化简求值：(eq \f(3,m＋2)＋m－2)÷eq \f(m2－2m＋1,m＋2)；其中m＝eq \r(2)＋1．
23. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)证明四边形ADCF是菱形．
第23题图

四、(本大题共3小题，第24题9分，第25题8分，第26题9分，共26分)．
24. 某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共30辆调拨不超过190吨蔬菜162吨肉制品补充当地市场，已知一辆大型车可运蔬菜8吨和肉制品5吨；一辆中型车可运蔬菜3吨和肉制品6吨．
(1)符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来；
(2)若一辆大型车的运费是900元，一辆中型车的运费为600元，试说明(1)中那种运输方案费用最低？最低费用是多少元？
25. 如图，在⊙O中，点C、D分别是半径OB、弦AB的中点，过点A作AE⊥CD于点E.
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若AE＝2，sin∠ADE＝eq \f(2,3)，求⊙O的半径．
第25题图
26. “只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间”，某大学利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“A、B、AB、O”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如下两幅不完整统计图表：

第26题图
(1)本次随机抽取献血者人数为________人，图中m＝________；
(2)补全表中的数据；
(3)若这次活动中该校有1300人义务献血，估计大约有多少人是A型血？
(4)现有4个自愿献血者，2人为O型，1人为A型，1人为B型，若在4人中随机挑选2人，利用树状图或列表法求两人血型均为O型的概率．
五、(本大题共2小题；第27题10分，第28题12分，共22分)
27. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b，c为三角形三边，S为面积，则S＝eq \r(\f(1,4)[a2b2－（\f(（a2＋b2－c2）,2)）])①
这是中国古代数学的瑰宝之一．
而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设p＝eq \f(a＋b＋c,2)(周长的一半)，则S＝eq \r(p（p－a）（p－b）（p－c）)②
(1)尝试验证，这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；
(2)问题探究、经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程(或以从①⇒②或者②⇒①)；
(3)问题引申，三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式，请你证明如个公式；如图，△ABC的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记p＝eq \f(a＋b＋c,2)，S为三角形面积，则S＝pr.
第27题图
28. 如图在直角坐标系中，抛物线经过点A(1，0)、B(5，0)、C(0，4)三点．
(1)求抛物线的解析式和对称轴；
(2)P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA＋PC的值为最小的点P坐标(请在图中探索)；
(3)在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由(请在图中探索)．
图① 图②
第28题图
青海省2019年初中毕业升学考试数学试卷解析
1. 5，eq \f(3,2) 【解析】|－5|＝5，eq \r(3,\f(27,8))＝eq \f(\r(3,27),\r(3,8))＝eq \f(3,2).
2. m(a－3)2，x＝－6 【解析】分解因式：原式＝m(a2－6a＋9)＝m(a－3)2；分式方程去分母得：3x＝2(x－3)，解得x＝－6，经检验，x＝－6是原分式方程的解．
3. 6×10－9
4. 10% 【解析】设平均每次下调的百分率为x，由题意得60(1－x)2＝48.6，解得x1＝0.1，x2＝1.9(舍去)，∴平均每次下调的百分率为10%.
5. y＝eq \f(2,x) 【解析】∵S阴影＝eq \f(1,2)OA·PA＝1，∴OA·PA＝2，∴|k|＝2.∵该反比例函数的图象在第一、三象限，∴k＝2，∴此反比例函数的解析式为y＝eq \f(2,x).
6. (－3，－2) 【解析】由旋转的性质得，点A与点C关于原点O对称，∵点A(3，2)，∴点C(－3，－2)．
7. 4eq \r(3)－4 【解析】在Rt△ADM中，DM＝AM＝4，在Rt△BCM中，tan∠MBC＝eq \f(CM,MB)，∴eq \f(\r(3),3)＝eq \f(4＋CD,4＋8).∴CD＝4eq \r(3)－4.
8. eq \f(1,4) 【解析】P(第10次摸出红珠子)＝eq \f(3,3＋4＋5)＝eq \f(1,4).
9. 50 【解析】如解图，杠杆AB旋转到A′B′处，连接AA′，BB′，由题意得∠ACA′＝∠BCB′，AC＝A′C，BC＝B′C，∴eq \f(AC,BC)＝eq \f(A′C,B′C)，∴△ACA′∽△BCB′，∴eq \f(AA′,BB′)＝eq \f(AC,BC)＝5，∵BB′＝10 cm，∴AA′＝50 cm.
第9题解图
10. －2 【解析】输入x＝1，∵1－eq \r(3)＜0，∴y＝(1－eq \r(3))(1＋eq \r(3))＝1－3＝－2.
11. 1 【解析】如解图，连接DB，由题意得，DB必过点E，∴弓形AE的面积＝弓形BE的面积，∵圆的半径为1，∴AB＝2.∴S阴影＝S△BEC＝eq \f(1,4)S正方形ABCD＝eq \f(1,4)×22＝1.
第11题解图
12. 13，3n－2 【解析】由题图可知，第(1)个图有1个菱形，第(2)个图有3×(2－1)＋1＝4个菱形，第(3)个图有3×(3－1)＋1＝7个菱形，第(4)个图有3×(4－1)＋1＝10个菱形，∴第(5)个图有3×(5－1)＋1＝13个菱形，第(n)个图有3(n－1)＋1＝(3n－2)个菱形．
13. D
14. A 【解析】如解图，由题意得，∠3＝60°，∵两条线是平行线，∴∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝120°，由三角形外角和定理可知，∠1＋∠2＝45°＋90°，∴∠1＝15°.
第14题解图
15. C 【解析】设每块巧克力的重量为x g，每块果冻的重量为y g，由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(3x＝2y,x＋y＝50)))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(x＝20,y＝30)))，∴每块巧克力的重量为20 g，每块果冻的重量为30 g.
16. C 【解析】∵这组数据有50个，∴这组数据的中位数为将这组数据从小到大排列，第25、26个数据的平均数为eq \f(2.5＋2.5,2)＝2.5，即中位数为2.5；这组数据中出现次数最多的数据即为众数，即众数为3.
17. C 【解析】由题意得，小莉走的路是一个正多边形，且每一个外角为20°，∴这个正多边形的边数为eq \f(360°,20°)＝18，∴小莉一共走的路程为18×10＝180米．
18. B 【解析】∵AD∥BE∥CF，∴eq \f(AB,BC)＝eq \f(DE,EF).∴EF＝3.6，∴DF＝DE＋EF＝1.2＋3.6＝4.8.
19. B 【解析】如解图，连接CO，∵OC＝OA，∠CAO＝60°，∴△AOC为等边三角形．∴∠AOC＝60°，∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝80°，∴eq \(BC,\s\up8(︵))的长为eq \f(80×6π,180)＝eq \f(8π,3).
第19题解图
20. D 【解析】用排除法，由“乌鸦沉思一会”可知，开始时，水位高度y保持不变，排除C；石子越来越多，则水位高度y越来越大，排除A；当水位高度y到达瓶口处时，因为瓶口比瓶身的直径小，所以水位上升的速度变快；乌鸦能喝到水后，水位下降，y越来越小，但不可能低于开始时的水位高度，排除B.故选D.
21. 解：原式＝1＋(－3)＋eq \r(2)－1－2×eq \f(\r(2),2)
＝1－3＋eq \r(2)－1－eq \r(2)
＝－3.
22. 解：原式＝eq \f(3＋（m－2）（m＋2）,m＋2)·eq \f(m＋2,（m－1）2)
＝eq \f(m2－1,（m－1）2)
＝eq \f(（m＋1）（m－1）,（m－1）2)
＝eq \f(m＋1,m－1).
当m＝eq \r(2)＋1时，原式＝eq \f(\r(2)＋1＋1,\r(2)＋1－1)＝eq \r(2)＋1.
23. 证明：(1)∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE.
∵AF∥BC，
∴∠EAF＝∠EDB，∠AFE＝∠DBE.
在△AEF和△DEB中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(∠EAF＝∠EDB,∠AFE＝∠DBE，,AE＝DE)))
∴△AEF≌△DEB(AAS)；
(2)∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
∴AD＝BD＝DC.
由(1)知，△AEF≌△DEB.
∴AF＝DB.
∴AF＝DC.
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AD＝DC，
∴四边形ADCF是菱形．
24. 解：(1)设用大型车辆x辆，则中型车辆(30－x)辆．
由题意得，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(8x＋3（30－x）≤190,5x＋6（30－x）≤162))).
解得18≤x≤20，
∵x为正整数，
∴x为18，19，20.
∴共有3种运输方案，①用大型车辆18辆，小型车辆12辆；
②用大型车辆19辆，小型车辆11辆；
③用大型车辆20辆，小型车辆10辆；
(2)设总费用为y元，
由题意得，y＝900x＋600(30－x)＝300x＋18000.
∵300＞0，∴y随x的增大而增大且x可以取18，19，20，
∴当x＝18时，y最小＝300×18＋18000＝23400.
答：用大型车辆18辆，小型车辆12辆时，费用最低，最低为23400元．
25. (1)证明：如解图，连接OA，
第25题解图
∵点C、D分别是OB、AB的中点，
∴CD是△AOB的中位线．
∴CD∥OA.
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE.
∵OA是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线；
(2)解：如解图，连接OD.
在Rt△ADE中，sin∠ADE＝eq \f(AE,AD)＝eq \f(2,3).
∵AE＝2，
∴AD＝3.
∵点D是AB的中点，
∴OD⊥AB.
∵OA∥CE，
∴∠OAD＝∠ADE.
sin∠OAD＝eq \f(OD,OA)＝eq \f(2,3).
设OD＝2x，OA＝3x，
在Rt△ADO中，AD2＋OD2＝OA2，
则32＋(2x)2＝(3x)2，解得x＝eq \f(3\r(5),5).
∴OA＝3×eq \f(3\r(5),5)＝eq \f(9\r(5),5).
即⊙O的半径为eq \f(9\r(5),5).
26. 解：(1)50，20； 【解法提示】本次随机抽取献血者人数为eq \f(5,10%)＝50人；m%＝eq \f(10,50)＝20%，则m＝20.
(2)补全统计表如下：
(3)由题意得，1300×eq \f(12,50)＝312(人)．
答：估计有312人是A型血；
(4)画树状图如解图：
第26题解图
由树状图可知，共有12种等可能出现的结果，其中两人都是O型血的结果有2种，
∴P(两人都是O型血)＝eq \f(2,12)＝eq \f(1,6).
27. 解：(1)令a＝5，b＝7，c＝8，
①由“三斜求积术”可得S＝eq \r(\f(1,4)×[52×72－（\f(52＋72－82,2)）2])＝10eq \r(3) ；
②令p＝eq \f(5＋7＋8,2)＝10，则S＝eq \r(10×（10－5）×（10－7）×（10－8）)＝10eq \r(3)；
(2)①和②是等价的．推导过程如下：
eq \f(1,4)×[a2b2－(eq \f(a2＋b2－c2,2))2]
＝eq \f(1,4)×[(ab＋eq \f(a2＋b2－c2,2))(ab－eq \f(a2＋b2－c2,2))]
＝eq \f(1,4)×[(eq \f(2ab,2)＋eq \f(a2＋b2－c2,2))(eq \f(2ab,2)－eq \f(a2＋b2－c2,2))]
＝eq \f(1,4)×[(eq \f(2ab＋a2＋b2－c2,2))(eq \f(2ab－a2－b2＋c2,2))]
＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)×(2ab＋a2＋b2－c2)(2ab－a2－b2＋c2)
＝eq \f(1,16)×[(a＋b)2－c2]×[c2－(a－b)2]
＝eq \f(1,16)×(a＋b＋c)(a＋b－c)(c＋a－b)(c－a＋b)
∵p＝eq \f(a＋b＋c,2)，∴2p＝a＋b＋c.
∴eq \f(1,16)×(a＋b＋c)(a＋b－c)(c＋a－b)(c－a＋b)
＝eq \f(1,16)×2p×(2p－2c)(2p－2b)(2p－2a)
＝eq \f(1,16)×2p×8×(p－c)(p－b)(p－a)
＝p(p－c)(p－b)(p－a)．
∴S＝eq \r(\f(1,4)[a2＋b2－（\f(a1＋b2－c2,2)）2])
＝eq \r(p（p－a）（p－b）（p－c）)；
(3)如解图，过点O分别作三边的垂线OD、OE、OF，垂足分别为点D、E、F，连接BO、AO、CO.
第27题解图
设AF的长为x，CF的长为y，BD的长为z，则
S＝S△AOC＋S△BOC＋S△AOB
＝eq \f(1,2)r·(x＋y)＋eq \f(1,2)r·(y＋z)＋eq \f(1,2)r·(x＋z)
＝eq \f(r,2)(x＋y＋y＋z＋x＋z)
＝eq \f(r,2)(a＋b＋c)
＝eq \f(a＋b＋c,2)·r
∵p＝eq \f(a＋b＋c,2) ∴S＝pr.
28. 解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－5)，
将点C(0，4)代入得，5a＝4，解得a＝eq \f(4,5).
∴抛物线的解析式为y＝eq \f(4,5)(x－1)(x－5)＝eq \f(4,5)x2－eq \f(24,5)x＋4.
∵点A与点B关于抛物线的对称轴对称，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝3；
(2)如解图，连接BC交抛物线对称轴于点P，连接AP，易知此时AP＋PC的值最小．
第28题解图
∵A、B 关于抛物线对称轴对称，
∴AP＝BP.
则AP＋PC＝BP＋PC＝BC.
设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
将点B、C代入上式得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(b＝4,5k＋b＝0))).
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(4,5),b＝4)))，∴直线BC的解析式为y＝－eq \f(4,5)x＋4.
令x＝3，则y＝－eq \f(4,5)×3＋4＝eq \f(8,5).
则此时点P的坐标为(3，eq \f(8,5))；
(3)存在．设点E的坐标为(m，eq \f(4,5)m2－eq \f(24,5)m＋4)，
∵点E在第四象限，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(yE))＝ －eq \f(4,5)m2＋eq \f(24,5)m－4.
则S平行四边形OEBF＝2S△BOE＝2×eq \f(1,2)OB·|yE|＝－4m2＋24m－20＝12，
解得m1＝2，m2＝4.
当m＝2时，y＝eq \f(4,5)×22－eq \f(24,5)×2＋4＝－eq \f(12,5).
当m＝4时，y＝eq \f(4,5)×42－eq \f(24,5)×4＋4＝－eq \f(12,5).
∴点E的坐标为(2，－eq \f(12,5))或(4，－eq \f(12,5))．
每周做
家务的
时间(h)
0
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
人数(人)
2
2
6
8
12
13
4
3
血型
A
AB
B
O
人数
10
5
血型
A
B
AB
O
人数
12
10
5
23