中考数学真题：2021浙江台州

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欢迎参加考试！请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平，答题时，请注意以下几点：
1. 全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2. 答案必写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效。
3. 答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题。
4. 本次考试不得使用计算器。
一、选择题(本题有10小题，每小题4分，共40分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选多选、错选，均不给分)
1. 用五个相同的正方体搭成如图所示的立体图形，则该立体图形的主视图是( )
第1题图
2. 小光准备从A地去往B地，打开导航、显示两地距离为37.7km，但导航提供的三条可选路线长却分别为45km，50km，51km(如图). 能解释这一现象的数学知识是( )
A. 两点之间，线段最短
B. 垂线段最短
C. 三角形两边之和大于第三边
D. 两点确定一条直线
第2题图
3. 大小在 eq \r(2) 和 eq \r(5) 之间的整数有( )
A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个
4. 下列运算中，正确的是( )
A. a2＋a＝a3 B.(－ab)2＝－ab2
C. a5÷a2＝a3 D.a5·a2＝a10
5. 关于x的方程x2－4x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A. m>2 B.m<2
C. m>4 D.m<4
6. 超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量(单位：g)平均数和方差分别为x，s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差x1，s eq \\al(2,1) ，则下列结论一定成立的是( )
A. xx1
C. s2>s eq \\al(2,1) D.s27. 一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝( )
第7题图
A. 40° B.43° C.45° D.47°
8. 已知(a＋b)2＝49，a2＋b2＝25，则ab＝( )
A. 24 B.48 C.12 D.2 eq \r(6)
9. 将x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖( )
A. 20% B. eq \f(x＋y,2) ×100%
C. eq \f(x＋3y,20) ×100% D. eq \f(x＋3y,10x＋10y) ×100%
10. 如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P.若∠α＝60°，则折叠后的图案(阴影部分)面积为( )
第10题图
A. (36－6 eq \r(3) )cm2 B.(36－12 eq \r(3) )cm2
C. 24cm2 D.36cm2
二、填空题(本题有6小题，每小题5分，共30分)
11. 因式分解：xy－y2＝ .
12. 一个不透明布袋中有2个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机模出一个小球，该小球是红色的概率为 .
13. 如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC.若AB＝12，则点B经过的路径 eq \(BC,\s\up8(︵)) 长度为 . (结果保留π)
第13题图
14. 如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG.若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝ .
第14题图
15. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC第15题图
16. 以初速度v(单位：m/s)从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝vt－4.9t2.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1(如图1)；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2(如图2). 若h1＝2h2，则t1∶t2＝ .
第16题图1
第16题图2
三、解答题(本题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24分14分，共80分)
17. 计算：|－2|＋ eq \r(12) － eq \r(3) .
18. 解方程： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＝4,x－y＝－1))
19. 图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图. 支撑杆AB垂直于地l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处，若∠AED＝48°，BE＝110cm，DE＝80cm，求活动杆端点D离地面的高度DF.(结果精确到1cm，参考数据：sin48°≈0.74，cs48°≈0.67，tan48°≈1.11)
第19题图
20. 小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”. 输液开始时，药液流速为75滴/分钟. 小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升.
(1)求输液10分钟时瓶中的药液余量；
(2)求小华从输液开始到结束所需的时间.
第20题图
21. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10 eq \r(2)
(1)求证：△ABC≌△ADC；
(2)当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数.
第21题图
22. 杨梅果实成熟期正值梅雨季节，雨水过量会导致杨梅树大量落果，给果农造成损失. 为此，市农科所开展了用防雨布保护杨梅果实的实验研究. 在某杨梅果园随机选择40棵杨梅树，其中20棵加装防雨布(甲组)，另外20棵不加装防雨布(乙组). 在杨梅成熟期，统计了甲、乙两组中每一棵杨梅树的落果率(落地的杨梅颗数占树上原有杨梅颗数的百分比)，绘制成如下统计图表(数据分组包含左端值不包含右端值).
甲组杨梅树落果率频数分布表
乙组杨梅树落果率频数分布直方图
(1)甲、乙两组分别有几棵杨梅树的落果率低于20%?
(2)请用落果率的中位数或平均数，评价市农科所“用防雨布保护杨梅果实”的实际效果；
(3)若该果园的杨梅树全部加装这种防雨布，落果率可降低多少？说出你的推断依据.
23. 电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便. 某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板(踏板质量忽略不计)的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b(其中k，b为常数，0≤m≤120)，其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝ eq \f(U,R) ；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压.
第23题图
(1)求k，b的值；
(2)求R1关于U0的函数解析式；
(3)用含U0的代数式表示m；
(4)若电压表量程为0～6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量.
24. 如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4 eq \r(2) ，点A是⊙O上的一个动点(不与点B，D重合)，以A，B，D为顶点作▱ABCD.
(1)如图2，若点A是劣弧 eq \(BD,\s\up8(︵)) 的中点.
①求证：▱ABCD是菱形；
②求▱ABCD的面积.
(2)若点A运动到优弧 eq \(BD,\s\up8(︵)) 上，且▱ABCD有一边与⊙O相切.
①求AB的长；
②直接写出▱ABCD对角线所夹锐角的正切值.
第24题图
2021年浙江省初中毕业学业考试(台州卷)参考答案
1. B 【解析】图A为从左面看到的图形，是左视图；图B是从正对面看到的图形，是主视图；图C是上面看到的图形，是俯视图；图D是从右面看到的图形，不是三视图中的图．故选B.
2. A 【解析】导航显示的A、B两点之间线段的长度，可提供的三条路线都是折线，根据两点之间线段最短，故导航显示的路程最短．
3. B 【解析】eq \r(2)4. C 【解析】a2＋a中，其中的运算符号是加号，不能化简，所以A错误；(－ab)2＝(ab)2＝a2b2，所以B错误；a5÷a2＝a5－2＝a3，所以C正确；a5·a2＝a5＋2＝a7，所以D错误．故选C.
5. D 【解析】∵关于x的方程x2－4x＋m＝0有两个不相等的实数根，∴(－4)2－4m>0，解得m<4.
6. C 【解析】超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量(单位：g)平均数和方差分别为x，s2，顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差为x1，seq \\al(2,1)，因为该顾客选购的鸡蛋大小均匀，所以方差相对较原来的小，即s2>seq \\al(2,1).但平均数无法比较．
7. B 【解析】过点A作c//a，∴∠1＝∠3.又∠1＝47°，∴∠3＝47°.∵a//b，∴b//c.∴∠2＝∠4.又∠3＋∠4＝90°，∴47°＋∠4＝90°，解得∠4＝43°.
第7题解图
8. C 【解析】(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，∵(a＋b)2＝49，a2＋b2＝25，∴25＋2ab＝49，解得x＝12.
9. D 【解析】x克含糖10%的糖水中含糖10%x克，y克含糖30%的糖水中含糖30%y克，两者混合共(x＋y)克，混合后的糖水含糖eq \f(10%x＋30%y,x＋y)×100%＝eq \f(x＋3y,10x＋10y)×100%.
10. A 【解析】过点B作BD⊥MN于点D，过点C作CE⊥MN于点E，由纸片为长方形，可知，MN//BC，∴DB⊥BC，∴四边形MECB是矩形．∵长方形纸片长、宽分别为12 cm，3 cm，∴EC＝3 cm.由点A为DE上一点，∵MN//BC，∴∠α＝60°，∴∠MAB＝180°－∠BAC－∠α＝180°－90°－60°＝30°，∴AB＝eq \f(3,sin30°)＝6(cm)，AC＝eq \f(3,sin60°)＝2eq \r(3)(cm)，∴阴影部分的面积＝S长方形－S△ABC＝12×3－eq \f(1,2)×6×2eq \r(3)＝(36－6eq \r(3))(cm2)．
第10题解图
11. y(x－y) 【解析】xy－y2＝x·y－y·y＝y(x－y)．
12. eq \f(2,3) 【解析】∵一个不透明布袋中有2个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，
∴P(摸出一个小球是红色)＝eq \f(2,2＋1)＝eq \f(2,3).
13. 2π 【解析】∵将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC，AB＝12，
∴点B经过的路径eq \(BC,\s\up8(︵))的长度为eq \f(30π×122,360)＝2π.
14. eq \f(5,4) 【解析】如解图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠B＝90°.∴∠AGE＋∠GAH＝90°，∠FAB＋∠GAH＝90°.∴∠AGE＝∠FAB.∴△ABF∽△GAE，∴eq \f(AB,AG)＝eq \f(BF,AE)，∴eq \f(AB,AD－GD)＝eq \f(BF,AE)，∵AB＝5，AE＝GD＝1，∴eq \f(5,5－1)＝eq \f(BF,1)，解得BF＝eq \f(5,4).
第14题解图
15. 6 【解析】由基本作图方法得出：DE垂直平分AB，则AF＝BF，可得AF＝AH，AC⊥FH，∴FC＝CH，∴AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC＝3，∴△AFH的周长为：AF＋FC＋CH＋AH＝2BC＝6.
16. eq \r(2) 【解析】由题意，t1＝eq \f(v1,4.9)，t2＝eq \f(v2,4.9)，h1＝eq \f(－veq \\al(2,1),－4×4.9)＝eq \f(veq \\al(2,1),4×4.9)，h2＝eq \f(－veq \\al(2,2),－4×4.9)＝eq \f(veq \\al(2,2),4×4.9)，∵h1＝2h2，∴v1＝eq \r(2)v2，∴t1：t2＝v1：v2＝eq \r(2).
17. 原式＝2＋2eq \r(3)－eq \r(3)，
＝2＋eq \r(3).
18. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＝4， ①,x－y＝－1. ②))
解：①＋②，得 3x＝3，
x＝1.
把x＝1代入②，得y＝2.
∴原方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))
19. 解：
如图，作EG⊥DF于点G，
∵DF⊥I，AB⊥I，EG⊥DF，∴∠GFB＝∠EBF＝∠EGF＝90°.
∴四边形BEGF是矩形．
∴DF∥AB，GF＝EB＝110，∴∠D＝∠AED＝48°.
在Rt△DEG中，DE＝80，∠D＝48°，
∴DG＝DE·cs48°≈80×0.67＝53.6.
又∵GF＝BE＝110，
∴DF＝DG＋GF＝110＋53.6＝163.6≈164.
∴点D离地面的高度为164 cm.
(第19题图)
20. 解：(1)由题意可得，药液流速为75÷15＝5(毫升/分钟)
10分钟后剩余药液量为250－5×10＝200(毫升)
(2)调整后的药液流速为(200－160)÷10＝4(毫升/分钟)
设小华从输液开始到结束所需的时间为x分钟．
得4(x－10)＝200.解方程，得x＝60.
∴小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟.
21. (1)证明：在△ABC和△ADC中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝AD，,BC＝DC，,AC＝AC，))
∴△ABC≌△ADC(SSS).
(2)解：连结BD.由(1)△ABC≌△ADC，∴∠ACB＝∠ACD.
∴∠BCD＝2∠ACB＝90°.
∵BC＝DC＝10eq \r(2)，∴BD＝20.
∵AB＝AD＝20，∴△ABD是等边三角形.
∴∠BAD＝60°.
22. (1)甲、乙两组中，落果率低于20%的分别有16棵和2棵.
(2)甲组的中位数位于0≤x<10%，
乙组的中位数位于30%≤x<40%.
所以用防雨布保护杨梅树果实的效果很明显.
说明：用平均数说明效果的相应给分(x甲＝12.5%，x乙＝33.5%)．
(3)x甲－x乙＝12. 5%－33.5%＝－21%.
根据样本估计总体，可推断落果率降低了21个百分点.
23. (1)因为图象经过点(120，0)与点(0，240)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(120k＋b＝0，,b＝240.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－2，,b＝240.))
说明：直接写出解析式，同样给．
(2)由题意，得eq \f(8,R1＋30)＝eq \f(U0,30).
化简，得R1＝eq \f(240,U0)－30.
(3)把R1＝－2m＋240代人R1＝eq \f(240,U0)－30.化简，得m＝－eq \f(120,U0)＋135.
(4)当U0>0时，eq \f(－120,U0)随U0的增大而增大，∴m随U0的增大而增大．
当U0＝6时，m有最大值，m最大＝－20＋135＝115.
所以最大可称体重为115千克．
24. (1)①证明：∵点A是eq \(BD,\s\up8(︵))的中点，∴eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AD,\s\up8(︵)).
∴AB＝AD.
②解：如图1，连结AC交BD于点E，连结OB，OD.
∵四边形ABCD是菱形，∴AC垂直平分BD.
又∵OB＝OD，点O在AC上.
∵BD＝4eq \r(2)，∴DE＝2eq \r(2).
在Rt△ODE中，OE＝eq \r(32－（2\r(2)）2)＝1，
∴AE＝OA－OE＝3－1＝2.∴AC＝4.
∴S四边形ABCD＝4eq \r(2)×4×eq \f(1,2)＝8eq \r(2).
图1
(2)①解：∵AB，AD是弦，∴只有BC，DC可能与⊙O相切．
(a)如图2，当BC与⊙O相切时．
连结BO并延长，交AD于点G.∵BC∥AD，∴∠AGB＝∠CBG.
又∵BC与⊙O相切，∴∠CBG＝90°.∴∠AGB＝90°，即BG⊥AD.
∴BG垂直平分AD，∴AB＝BD＝4eq \r(2).
(b)如图3，当CD与⊙O相切时，连结DO并延长，交AB于点H.
同情况(a)，易证AD＝BD＝4eq \r(2)，DH⊥AB.
解法一：如图3，作OM⊥BD，垂足为M.由sin∠ODM＝eq \f(1,3)，
∴BH＝BD·sin∠ODM＝4eq \r(2)×eq \f(1,3)＝eq \f(4\r(2),3)，∴AB＝2BH＝eq \f(8\r(2),3).
图3－1
图3－2
综上所述，AB的长为4eq \r(2)或eq \f(8\r(2),3).
②解：如图3－1中，过点A作AJ⊥BD于J.
∵eq \f(1,2)·AB·DP＝eq \f(1,2)·BD·AJ，
∴AJ＝eq \f(32,9)，
∴BJ＝eq \r(AB2－AJ2)＝eq \r(（\f(8\r(2),3)）2－（\f(32,9)）2)＝eq \f(8\r(2),9)，
∴JH＝BH＝BJ＝2eq \r(2)－eq \f(8\r(2),9)＝eq \f(10\r(2),9)，
∴tan∠AHJ＝eq \f(AJ,HJ)＝eq \f(\f(32,9),\f(10\r(2),9))＝eq \f(8\r(2),5)，
如图3－2中，同法可得▱ABCD对角线所夹锐角的正切值为eq \f(8\r(2),5)，
综上所述，▱ABCD对角线所夹锐角的正切值为eq \f(8\r(2),5).
落果率
组中值
频数(棵)
0≤x<10%
5%
12
10%≤x<20%
15%
4
20%≤x<30%
25%
2
30%≤x<40%
35%
1
40%≤x<50%
45%
1