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2022-2023学年山东省济宁市梁山县八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省济宁市梁山县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济宁市梁山县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 5，4，3 B. 5，12，13 C. 6，8，10 D. 6，4，7
2. 要使二次根式 x−2有意义，x必须满足( )
A. x≤2 B. x≥2 C. x>2 D. x<2
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，CD是AB边上的中线，则CD的长是( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
4. 若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是( )
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
5. 与 32−22−12结果相同的是( )
A. 3−2+1 B. 3+2−1 C. 3+2+1 D. 3−2−1
6. 图中边长为12的正方形的是( )
A. B.
C. D.
7. 下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A. 9 B. 7 C. 20 D. 13
8. 在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是( )
A. ①，对角相等 B. ③，有一组邻边相等
C. ②，对角线互相垂直 D. ④，有一个角是直角
9. 化简二次根式除了利用二次根式的性质外，还可以借助图形解释验证.如：化简 8时，我们可以构造如图所示的图形，其中图1是一个面积为8的正方形，图2是一个面积为2的正方形，根据两图的关系我们可以得到： 8=2 2.这种分析问题的方法所体现的数学思想是( )
A. 分类讨论 B. 数形结合 C. 公理化 D. 类比
10. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )
A. 150cm2
B. 200cm2
C. 225cm2
D. 无法计算
11. 如图，矩形ABCD中，P为AB边上一动点(含端点)，E为CD中点，F为CP中点，当点P由B向A运动时，下面对EF变化情况描述正确的是( )
A. 由小变大
B. 由大变小
C. 先变大后边小
D. 先变小后变大
12. 如图1，▱ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角.要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案为( )
A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 化简： 20= ______ ．
14. 数轴上的两个点a，b如图所示，则式子a+ (a−b)2的值为______ ．
15. 如图，带阴影的矩形面积是______ cm2．
16. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=4cm，则AC的长为______ cm．
17. 如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB= ______ ．
18. 如图，数轴上放置的正方形的周长为8个单位，它的两个顶点A，B分别与数轴上表示−1和−3的两个点重合.现将该正方形绕顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动的翻滚，当正方形翻滚一周后，点A落在数轴上所对应的数为7.如此继续下去，当正方形翻滚n周后(n表示正整数)，用含n的式子表示点A落在数轴上所对应的数为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(1)计算： 32+ 8− 50；
(2)下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：
解：( 3− 2)2×(5+2 6)=(3−2 6+2)×(5+2 6)…第1步
=(5−2 6)×(5+2 6)…第2步
=25−12…第3步
=13.…第4步
任务：
①上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为______ (用字母表示)；
②上述解答过程，从第______ 步开始出错，具体的错误是______ ；
③计算的正确结果为______ ．
20. (本小题8.0分)
(1)在如图1的数轴上作出表示 17的点.(不写作法，保留作图痕迹)
(2)正方形网格中的每个小正方边长都是1，在图2中以AB为一边，画一个边长均为无理数的直角三角形.(说明：直角三角形的顶点均为小正方形的顶点)
21. (本小题7.0分)
如图，一块平行四边形场地中，道路AFCE的两条边AE，CF分别平分▱ABCD的两个对角．这条道路的形状是平行四边形吗？证明你的判断．
22. (本小题7.0分)
如图，AB=BC=CD=DE=EF，∠CBA=∠DCA=∠EDA=∠FEA=90°，以A点为圆心，AF长为半径作圆弧与数轴交于点P.若点A表示的数为0，点B表示的数为1，试确定点P表示的数．
23. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，AD=8，CD=6，∠BAD的平分线AE交DC延长线于点E，连接BE，过点C作CF//BE交AB于点F，求AF的长.请将下列解答过程补充完整：
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ______ // ______ ．
∴∠1=∠2．
∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠3．
∴∠ ______ =∠ ______ ．
∴DA=DE(______ ).填理论根据．
∵AD=8，CD=6，
∴CE=DE−DC=8−6=2．
又∵CF//BE，BF//CE，
∴四边形BFCE是______ ．
∴BF=CE=2．
∵AB=CD=6，
∴AF= ______ − ______ =6−2=4．
24. (本小题7.0分)
如图，由太原到北京的“和谐号”动车在距离铁轨300米的点C处(即CD=300米，CD⊥AB)，当动车车头在点A处时，恰好位于点C处的北偏东45°的方向上，14秒后，动车车头由A处到达点B处，此时测得B，C两点间的距离为500米，求这列动车的平均速度．
25. (本小题10.0分)
综合与实践：
学习新知：若一条直线平分一个图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分周长线”．
探究新知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3．
(1)如图①，直线CD是△ABC的一条“等分周长线”，则AD= ______ ；
(2)如图②，点D是AB边的中点，点E是AC边上一点，直线DE是△ABC的一条“等分周长线”，求△ADE的面积．
26. (本小题11.0分)
如图1，分别是可活动的菱形和平行四边形学具.已知平行四边形较短的边的长度与菱形的边长相等．
(1)将菱形的一边与平行四边形的较短边重合，摆拼成如图2所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M.求证：点M是DE的中点；
(2)如图3，在(1)的条件下，当∠ABE=120°时，延长AD，EF交于点N，可推导得出EN=2AM，请写出此结论的推导过程．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、32+42=52，故是直角三角形，不符合题意；
B、52+122=132，故是直角三角形，不符合题意；
C、62+82=102，故是直角三角形，不符合题意；
D、62+42≠72，故不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
2.【答案】B
【解析】解：根据题意得：x−2≥0，解得：x≥2．
故选B．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
3.【答案】B
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，CD是AB边上的中线，
∴CD=12AB=2，
故选B．
根据直角三角形斜边上的中线性质得出CD=12AB，代入求出即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质的应用，能根据性质得出CD=12AB是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
4.【答案】C
【解析】解：∵平行四边形两个内角的度数比为1：2，
∴设较大内角为2x，较小内角为x，
∴2x+x=180°，
∴x=60°，
∴2x=120°，
故选：C．
设较大内角为2x，较小内角为x，由平行四边形的性质列出等式可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解： 32−22−12= 9−4−1= 4=2，
∵3−2+1=2，故A符合题意；
∵3+2−1=4，故B不符合题意；
∵3+2+1=6，故C不符合题意；
∵3−2−1=0，故D不符合题意．
故选：A．
化简 32−22−12= 9−4−1= 4=2，再逐个选项判断即可．
本题考查了二次根式的运算性质，熟悉二次根式的运算性质是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、正方形A的边长= 400−225=5 7，不符合题意；
B、正方形B的边长= 225+400=25，不符合题意；
C、正方形C的边长= 256−112=12，符合题意；
D、正方形D的边长= 400−120=2 70，不符合题意；
故选：C．
根据勾股定理、正方形的面积公式计算，判断即可．
本题考查的是勾股定理，正方形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
7.【答案】B
【解析】解：A、 9=3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 7是最简二次根式，符合题意；
C、 20= 4×5=2 5，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 13= 33，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
8.【答案】A
【解析】解：A、对角相等的平行四边形不一定是矩形，故A符合题意；
B、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故B不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，故C不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，正确，故D不符合题意．
故选：A．
由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断．
本题考查矩形，菱形，正方形的判定，关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法．
9.【答案】B
【解析】解：借助几何图形解释数量关系是数形结合，
故选：B．
根据题意得出是数形结合思想．
本题考查二次根式的乘法、二次根式的性质与化简，掌握图形的转化是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：正方形ADEC的面积为：AC2，
正方形BCFG的面积为：BC2；
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=15cm，
则AC2+BC2=225cm2．
故选：C．
小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方．两正方形面积的和为AC2+BC2，对于Rt△ABC，由勾股定理得AB2=AC2+BC2,AB长度已知，故可以求出两正方形面积的和．
本题考查了勾股定理．勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
11.【答案】B
【解析】解：连接DP，
∵E为CD中点，F为CP中点，
∴EF为△CDP的中位线，
∴EF=12DP，
在Rt△DAP中，由勾股定理得，
DP= DA2+AP2，
当点P由B向A运动时，
AP的长度逐渐减小，
∴DP减小，
∴EF由大变小，
故选：B．
连接DP，则EF为△CDP的中位线，当点P由B向A运动时，DP由大变小，利用中位线的性质即可得到结论．
本题考查了矩形的性质和中位线的性质，解题的关键是连接DP，构造三角形中位线．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
方案甲，连接AC，由平行四边形的性质得OB=OD，OA=OC，则NO=OM，得四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；
方案乙：证△ABN≌△CDM(AAS)，得AN=CM，再由AN//CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；
方案丙：证△ABN≌△CDM(ASA)，得AN=CM，∠ANB=∠CMD，则∠ANM=∠CMN，证出AN//CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【解答】
解：方案甲中：
连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，
∴OB=OD，OA=OC，
∵BN=NO，OM=MD，
∴NO=OM，
∴四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；
方案乙中：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABN=∠CDM，
∵AN⊥BD，CM⊥BD，
∴AN//CM，∠ANB=∠CMD，
在△ABN和△CDM中，
∠ABN=∠CDM∠ANB=∠CMDAB=CD,
∴△ABN≌△CDM(AAS)，
∴AN=CM，
又∵AN//CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；
方案丙中：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，AB=CD，AB//CD，
∴∠ABN=∠CDM，
∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，
∴∠BAN=∠DCM，
在△ABN和△CDM中，
∠ABN=∠CDMAB=CD∠BAN=∠DCM，
∴△ABN≌△CDM(ASA)，
∴AN=CM，∠ANB=∠CMD，
∴∠ANM=∠CMN，
∴AN//CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确；
故选：A．
13.【答案】2 5
【解析】解： 20= 4×5= 4× 5=2 5，
故答案为：2 5．
根据算术平方根的定义进行计算即可．
本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
14.【答案】b
【解析】解：由a、b在数轴上的位置可知，a<0b，
∴a−b<0，
∴原式=a−(a−b)
=a−a+b
=b．
故答案为：b．
先根据各点在数轴上的位置判断出a−b的符号，再进行计算即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意判断出a，b的符号是解题的关键．
15.【答案】15
【解析】解：根据勾股定理知，图中直角三角形的另一直角边的长度为： 172−82=15(cm)，
则矩形ABCD的面积=3×15=45(cm2).
故答案为：15．
首先根据勾股定理推出下面的直角三角形的另一条直角边的长度为15cm，然后根据矩形的面积公式即可推出结果．
本题主要考查矩形的性质，矩形的面积公式，勾股定理的应用等知识点，关键在于正确的运用勾股定理求出矩形的长度．
16.【答案】8
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，∠ABC=90°，
∴OA=OB=OC=OD，
又∵∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠BAO=60°，
在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠BAO=60°，
∴∠ACB=30°，
∵AB=4cm，
则AC=2AB=8cm．
故答案为：8
由四边形ABCD为矩形，根据矩形的对角线互相平分且相等，可得OA=OB，又∠AOB=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得三角形AOB为等边三角形，根据等边三角形的每一个角都相等都为60°可得出∠BAO为60°，在直角三角形ABC中，根据直角三角形的两个锐角互余可得∠ACB为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的半径，由AB的长可得出AC的长．
此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，以及含30°角直角三角形的性质，矩形的性质有：矩形的四个角都为直角；矩形的对边平行且相等；矩形的对角线互相平分且相等，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．
17.【答案】22.5°
【解析】解：在正方形ABCD中，∠ADB=12∠ADC=12×90°=45°，
在菱形BDFE中，BD=DF，
所以，∠DBF=∠AFB，
在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°，
解得∠AFB=22.5°．
故答案为：22.5°．
根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解．
本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键．
18.【答案】−1+8n
【解析】解：∵正方形的周长为8个单位，
∴当正方形翻滚n周后，点A落在数轴上所对应的数为−1+8n；
故答案为：−1+8n．
用−1加上正方形的周长的n倍即可．
本题考查了数轴上的数字规律，找到循环规律，是解题的关键．
19.【答案】(a±b)2=a2±2ab+b2 三 (2 6)2计算错误 1
【解析】解：(1)原式=4 2+2 2−5 2= 2；
(2)①根据题意第1步依据的乘法公式为完全平方公式，
故答案为：(a±b)2=a2±2ab+b2；
②上述解答过程，从第三步开始出错，具体的错误是(2 6)2计算错误，
故答案为：三，(2 6)2计算错误；
③( 3− 2)2×(5+2 6)
=(3−2 6+2)×(5+2 6)
=(5−2 6)(5+2 6)
=52−(2 6)2
=25−24
=1，
∴计算的正确结果为1，
故答案为：1．
(1)根据二次根式的加减运算法则进行计算即可；
(2)根据平方差公式以及完全平方公式进行解答即可．
本题考查了二次根式的混合运算以及乘法公式，熟练掌握相关运算法则以及乘法公式的结构特点是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图1：点A表示的数为 17；
(2)如图2，△ABC即为所求作(答案不唯一)．
【解析】(1)过4对应的点B作数轴的垂线l，在l上截取BC=1，则以原点为圆心，OC为半径画弧交数轴的正半轴于点A，则点A为所作．
(2)根据直角三角形的定义画出图形即可(答案不唯一)．
本题考查作图−应用与设计作图，实数与数轴，勾股定理，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
21.【答案】解：四边形AECF是平行四边形，
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，∠DAB=∠DCB，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE，CF分别平分∠DAB，∠DCB，
∴∠EAB=12∠DAB，∠DCF=12∠DCB，
∴∠EAB=∠DCF，
∴∠DEA=∠DCF，
∴AE//CF，且AF//CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】由平行四边形的性质可得AB//CD，∠DAB=∠DCB，由角平分线的性质可得∠EAB=12∠DAB=∠DCF=12∠DCB，可证AE//CF，可得结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，灵活运用平行四边形的判定是本题的关键．
22.【答案】解：在Rt△ABC中，AC= 12+12= 2，
同理，AD= ( 2)2+12= 3，
AE= ( 3)2+12=2，
AF= 22+12= 5，
由题意知，AP=AF= 5，
∴点P表示的数是− 5．
【解析】根据勾股定理依次求出AC、AD、AE、AF的长，从而得出AP的长即可求解．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23.【答案】AB CD 2 3 等角对等边 平行四边形 AB BF
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD．
∴∠1=∠2．
∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴DA=DE.(等角对等边)，
∵AD=8，CD=6，
∴CE=DE−DC=8−6=2．
又∵CF//BE，BF//CE，
∴四边形BECF是平行四边形．
∴BF=CE=2．
∵AB=CD=6，
∴AF=AB−BF=6−2=4．
故答案为：AB，CD，2，3，等角对等边，四边形BECF是平行四边形，AB，BF．
首先判定四边形BECF是平行四边形；然后利用该平行四边形的对边相等和线段间的和差关系解答．
本题主要考查了平行四边形的性质．平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
24.【答案】解：在Rt△BCD中，BC=500米，CD=300米，
∴BD= BC2−CD2= 5002−3002=400(米)，
在Rt△ADC中，∠ACD=45°，
∴CD=DA=300(米)，
∴AB=BD+AD=400+300=700(米)，
∴运动速度=70014=50(米/秒)．
【解析】解直角三角形求出BD，AD，再根据速度=路程÷时间求解．
本题考查勾股定理的应用，路程速度，时间的关系等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25.【答案】2
【解析】解：(1)∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= 32+42=5，
∵直线CD是△ABC的一条“等分周长线”，
∴AC+AD=BC+BD=BC+AB−AD，即：4+AD=3+5−AD，
∴AD=2；
故答案为：2；
(2)∵点D是AB边的中点，
∴AD=BD，
∵直线DE是△ABC的一条“等分周长线”，
∴AE+AD=CE+BC+BD=AC−AE+BC+AD，即：2AE=AC+BC，
∴AE=12×(3+4)=72；
取AC的中点F，连接DF，
则：DF=12BC=32，DF//BC，
∴∠AFD=∠ACB=90°，
∴DF⊥AE，
∴S△ADE=12AE⋅DF=12×72×32=218．
(1)利用勾股定理求出AB的长，根据题意，得到AC+AD=BC+BD，结合AD+BD=AB，进行求解即可；
(2)根据题意，得到AE+AD=CE+BC+BD，结合AE+CE=AC，求出AE的长，取AC的中点F，连接DF，根据三角形的中位线定理，得到DF=12BC，DF//BC，进而得到DF⊥AE，利用面积公式进行求解即可．
本题考查勾股定理，三角形的中位线定理．理解并掌握“等分周长线”，是解题的关键．
26.【答案】证明：(1)∵四边形ABEF是平行四边形，
∴EF//AB、EF=AB，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD、AB=CD，
∴EF//CD、EF=CD，
∴∠FEM=∠CDM，
在△EFM和△DCM中，
∠FEM=∠CDMEF=DC∠EMF=∠DMC，
∴△EFM≌△DCM(ASA)，
∴EM=DM，即点M是DE的中点；
(2)∵∠ABE=120°，BE//AF，
∴∠BAC=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC=AD=DC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=AD=DC，
∴△ACD是等边三角形，
设AC=AD=a，CM=b，
则AB=DC=EF=a，
∵△EFM≌△DCM，
∴CM=FM=b，CF=2b，
则AF=a+2b，
∵EN//DC，
∴∠N=∠ADC=60°，
∵∠DAC=60°，
∴△ANF是等边三角形，
∴NF=AF=a+2b，
则EN=EF+FN=a+a+2b=2(a+b)，
∵AM=AC+CM=a+b，
∴EN=2AM．
【解析】(1)由▱ABEF知EF//AB、EF=AB，由四边形ABCD是菱形知AB//CD、AB=CD，据此可得EF//CD、EF=CD，证△EFM≌△DCM即可得；
(2)由∠ABE=120°结合平行四边形和菱形的性质得出△ACD和△ANF是等边三角形，设AC=CD=a、CM=MF=b，据此可得EF=AB=CD=a、AF=NF=a+2b，继而可得EN=EF+NF=2(a+b)=2AM，即可得证．
本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握平行四边形和菱形的性质、全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质．
2022-2023学年山东省济宁市梁山县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 5，4，3 B. 5，12，13 C. 6，8，10 D. 6，4，7
2. 要使二次根式 x−2有意义，x必须满足( )
A. x≤2 B. x≥2 C. x>2 D. x<2
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，CD是AB边上的中线，则CD的长是( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
4. 若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是( )
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
5. 与 32−22−12结果相同的是( )
A. 3−2+1 B. 3+2−1 C. 3+2+1 D. 3−2−1
6. 图中边长为12的正方形的是( )
A. B.
C. D.
7. 下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A. 9 B. 7 C. 20 D. 13
8. 在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是( )
A. ①，对角相等 B. ③，有一组邻边相等
C. ②，对角线互相垂直 D. ④，有一个角是直角
9. 化简二次根式除了利用二次根式的性质外，还可以借助图形解释验证.如：化简 8时，我们可以构造如图所示的图形，其中图1是一个面积为8的正方形，图2是一个面积为2的正方形，根据两图的关系我们可以得到： 8=2 2.这种分析问题的方法所体现的数学思想是( )
A. 分类讨论 B. 数形结合 C. 公理化 D. 类比
10. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )
A. 150cm2
B. 200cm2
C. 225cm2
D. 无法计算
11. 如图，矩形ABCD中，P为AB边上一动点(含端点)，E为CD中点，F为CP中点，当点P由B向A运动时，下面对EF变化情况描述正确的是( )
A. 由小变大
B. 由大变小
C. 先变大后边小
D. 先变小后变大
12. 如图1，▱ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角.要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案为( )
A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 化简： 20= ______ ．
14. 数轴上的两个点a，b如图所示，则式子a+ (a−b)2的值为______ ．
15. 如图，带阴影的矩形面积是______ cm2．
16. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=60°，AB=4cm，则AC的长为______ cm．
17. 如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB= ______ ．
18. 如图，数轴上放置的正方形的周长为8个单位，它的两个顶点A，B分别与数轴上表示−1和−3的两个点重合.现将该正方形绕顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动的翻滚，当正方形翻滚一周后，点A落在数轴上所对应的数为7.如此继续下去，当正方形翻滚n周后(n表示正整数)，用含n的式子表示点A落在数轴上所对应的数为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(1)计算： 32+ 8− 50；
(2)下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：
解：( 3− 2)2×(5+2 6)=(3−2 6+2)×(5+2 6)…第1步
=(5−2 6)×(5+2 6)…第2步
=25−12…第3步
=13.…第4步
任务：
①上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为______ (用字母表示)；
②上述解答过程，从第______ 步开始出错，具体的错误是______ ；
③计算的正确结果为______ ．
20. (本小题8.0分)
(1)在如图1的数轴上作出表示 17的点.(不写作法，保留作图痕迹)
(2)正方形网格中的每个小正方边长都是1，在图2中以AB为一边，画一个边长均为无理数的直角三角形.(说明：直角三角形的顶点均为小正方形的顶点)
21. (本小题7.0分)
如图，一块平行四边形场地中，道路AFCE的两条边AE，CF分别平分▱ABCD的两个对角．这条道路的形状是平行四边形吗？证明你的判断．
22. (本小题7.0分)
如图，AB=BC=CD=DE=EF，∠CBA=∠DCA=∠EDA=∠FEA=90°，以A点为圆心，AF长为半径作圆弧与数轴交于点P.若点A表示的数为0，点B表示的数为1，试确定点P表示的数．
23. (本小题8.0分)
如图，在▱ABCD中，AD=8，CD=6，∠BAD的平分线AE交DC延长线于点E，连接BE，过点C作CF//BE交AB于点F，求AF的长.请将下列解答过程补充完整：
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ ______ // ______ ．
∴∠1=∠2．
∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠3．
∴∠ ______ =∠ ______ ．
∴DA=DE(______ ).填理论根据．
∵AD=8，CD=6，
∴CE=DE−DC=8−6=2．
又∵CF//BE，BF//CE，
∴四边形BFCE是______ ．
∴BF=CE=2．
∵AB=CD=6，
∴AF= ______ − ______ =6−2=4．
24. (本小题7.0分)
如图，由太原到北京的“和谐号”动车在距离铁轨300米的点C处(即CD=300米，CD⊥AB)，当动车车头在点A处时，恰好位于点C处的北偏东45°的方向上，14秒后，动车车头由A处到达点B处，此时测得B，C两点间的距离为500米，求这列动车的平均速度．
25. (本小题10.0分)
综合与实践：
学习新知：若一条直线平分一个图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分周长线”．
探究新知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3．
(1)如图①，直线CD是△ABC的一条“等分周长线”，则AD= ______ ；
(2)如图②，点D是AB边的中点，点E是AC边上一点，直线DE是△ABC的一条“等分周长线”，求△ADE的面积．
26. (本小题11.0分)
如图1，分别是可活动的菱形和平行四边形学具.已知平行四边形较短的边的长度与菱形的边长相等．
(1)将菱形的一边与平行四边形的较短边重合，摆拼成如图2所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M.求证：点M是DE的中点；
(2)如图3，在(1)的条件下，当∠ABE=120°时，延长AD，EF交于点N，可推导得出EN=2AM，请写出此结论的推导过程．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、32+42=52，故是直角三角形，不符合题意；
B、52+122=132，故是直角三角形，不符合题意；
C、62+82=102，故是直角三角形，不符合题意；
D、62+42≠72，故不是直角三角形，符合题意．
故选：D．
知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
2.【答案】B
【解析】解：根据题意得：x−2≥0，解得：x≥2．
故选B．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
3.【答案】B
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，CD是AB边上的中线，
∴CD=12AB=2，
故选B．
根据直角三角形斜边上的中线性质得出CD=12AB，代入求出即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质的应用，能根据性质得出CD=12AB是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
4.【答案】C
【解析】解：∵平行四边形两个内角的度数比为1：2，
∴设较大内角为2x，较小内角为x，
∴2x+x=180°，
∴x=60°，
∴2x=120°，
故选：C．
设较大内角为2x，较小内角为x，由平行四边形的性质列出等式可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解： 32−22−12= 9−4−1= 4=2，
∵3−2+1=2，故A符合题意；
∵3+2−1=4，故B不符合题意；
∵3+2+1=6，故C不符合题意；
∵3−2−1=0，故D不符合题意．
故选：A．
化简 32−22−12= 9−4−1= 4=2，再逐个选项判断即可．
本题考查了二次根式的运算性质，熟悉二次根式的运算性质是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、正方形A的边长= 400−225=5 7，不符合题意；
B、正方形B的边长= 225+400=25，不符合题意；
C、正方形C的边长= 256−112=12，符合题意；
D、正方形D的边长= 400−120=2 70，不符合题意；
故选：C．
根据勾股定理、正方形的面积公式计算，判断即可．
本题考查的是勾股定理，正方形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
7.【答案】B
【解析】解：A、 9=3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 7是最简二次根式，符合题意；
C、 20= 4×5=2 5，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 13= 33，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
8.【答案】A
【解析】解：A、对角相等的平行四边形不一定是矩形，故A符合题意；
B、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故B不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，故C不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，正确，故D不符合题意．
故选：A．
由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断．
本题考查矩形，菱形，正方形的判定，关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法．
9.【答案】B
【解析】解：借助几何图形解释数量关系是数形结合，
故选：B．
根据题意得出是数形结合思想．
本题考查二次根式的乘法、二次根式的性质与化简，掌握图形的转化是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：正方形ADEC的面积为：AC2，
正方形BCFG的面积为：BC2；
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=15cm，
则AC2+BC2=225cm2．
故选：C．
小正方形的面积为AC的平方，大正方形的面积为BC的平方．两正方形面积的和为AC2+BC2，对于Rt△ABC，由勾股定理得AB2=AC2+BC2,AB长度已知，故可以求出两正方形面积的和．
本题考查了勾股定理．勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
11.【答案】B
【解析】解：连接DP，
∵E为CD中点，F为CP中点，
∴EF为△CDP的中位线，
∴EF=12DP，
在Rt△DAP中，由勾股定理得，
DP= DA2+AP2，
当点P由B向A运动时，
AP的长度逐渐减小，
∴DP减小，
∴EF由大变小，
故选：B．
连接DP，则EF为△CDP的中位线，当点P由B向A运动时，DP由大变小，利用中位线的性质即可得到结论．
本题考查了矩形的性质和中位线的性质，解题的关键是连接DP，构造三角形中位线．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
方案甲，连接AC，由平行四边形的性质得OB=OD，OA=OC，则NO=OM，得四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；
方案乙：证△ABN≌△CDM(AAS)，得AN=CM，再由AN//CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；
方案丙：证△ABN≌△CDM(ASA)，得AN=CM，∠ANB=∠CMD，则∠ANM=∠CMN，证出AN//CM，得四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【解答】
解：方案甲中：
连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，O为BD的中点，
∴OB=OD，OA=OC，
∵BN=NO，OM=MD，
∴NO=OM，
∴四边形ANCM为平行四边形，方案甲正确；
方案乙中：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABN=∠CDM，
∵AN⊥BD，CM⊥BD，
∴AN//CM，∠ANB=∠CMD，
在△ABN和△CDM中，
∠ABN=∠CDM∠ANB=∠CMDAB=CD,
∴△ABN≌△CDM(AAS)，
∴AN=CM，
又∵AN//CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，方案乙正确；
方案丙中：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，AB=CD，AB//CD，
∴∠ABN=∠CDM，
∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，
∴∠BAN=∠DCM，
在△ABN和△CDM中，
∠ABN=∠CDMAB=CD∠BAN=∠DCM，
∴△ABN≌△CDM(ASA)，
∴AN=CM，∠ANB=∠CMD，
∴∠ANM=∠CMN，
∴AN//CM，
∴四边形ANCM为平行四边形，方案丙正确；
故选：A．
13.【答案】2 5
【解析】解： 20= 4×5= 4× 5=2 5，
故答案为：2 5．
根据算术平方根的定义进行计算即可．
本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
14.【答案】b
【解析】解：由a、b在数轴上的位置可知，a<0
∴a−b<0，
∴原式=a−(a−b)
=a−a+b
=b．
故答案为：b．
先根据各点在数轴上的位置判断出a−b的符号，再进行计算即可．
本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意判断出a，b的符号是解题的关键．
15.【答案】15
【解析】解：根据勾股定理知，图中直角三角形的另一直角边的长度为： 172−82=15(cm)，
则矩形ABCD的面积=3×15=45(cm2).
故答案为：15．
首先根据勾股定理推出下面的直角三角形的另一条直角边的长度为15cm，然后根据矩形的面积公式即可推出结果．
本题主要考查矩形的性质，矩形的面积公式，勾股定理的应用等知识点，关键在于正确的运用勾股定理求出矩形的长度．
16.【答案】8
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，∠ABC=90°，
∴OA=OB=OC=OD，
又∵∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠BAO=60°，
在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，∠BAO=60°，
∴∠ACB=30°，
∵AB=4cm，
则AC=2AB=8cm．
故答案为：8
由四边形ABCD为矩形，根据矩形的对角线互相平分且相等，可得OA=OB，又∠AOB=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得三角形AOB为等边三角形，根据等边三角形的每一个角都相等都为60°可得出∠BAO为60°，在直角三角形ABC中，根据直角三角形的两个锐角互余可得∠ACB为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的半径，由AB的长可得出AC的长．
此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，以及含30°角直角三角形的性质，矩形的性质有：矩形的四个角都为直角；矩形的对边平行且相等；矩形的对角线互相平分且相等，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．
17.【答案】22.5°
【解析】解：在正方形ABCD中，∠ADB=12∠ADC=12×90°=45°，
在菱形BDFE中，BD=DF，
所以，∠DBF=∠AFB，
在△BDF中，∠ADB=∠DBF+∠AFB=2∠AFB=45°，
解得∠AFB=22.5°．
故答案为：22.5°．
根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=45°，再根据菱形的四条边都相等可得BD=DF，根据等边对等角可得∠DBF=∠DFB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行计算即可得解．
本题考查了正方形的四个角都是直角，对角线平分一组对角的性质，菱形的四条边都相等的性质，以及等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难度不大，熟记各性质是解题的关键．
18.【答案】−1+8n
【解析】解：∵正方形的周长为8个单位，
∴当正方形翻滚n周后，点A落在数轴上所对应的数为−1+8n；
故答案为：−1+8n．
用−1加上正方形的周长的n倍即可．
本题考查了数轴上的数字规律，找到循环规律，是解题的关键．
19.【答案】(a±b)2=a2±2ab+b2 三 (2 6)2计算错误 1
【解析】解：(1)原式=4 2+2 2−5 2= 2；
(2)①根据题意第1步依据的乘法公式为完全平方公式，
故答案为：(a±b)2=a2±2ab+b2；
②上述解答过程，从第三步开始出错，具体的错误是(2 6)2计算错误，
故答案为：三，(2 6)2计算错误；
③( 3− 2)2×(5+2 6)
=(3−2 6+2)×(5+2 6)
=(5−2 6)(5+2 6)
=52−(2 6)2
=25−24
=1，
∴计算的正确结果为1，
故答案为：1．
(1)根据二次根式的加减运算法则进行计算即可；
(2)根据平方差公式以及完全平方公式进行解答即可．
本题考查了二次根式的混合运算以及乘法公式，熟练掌握相关运算法则以及乘法公式的结构特点是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)如图1：点A表示的数为 17；
(2)如图2，△ABC即为所求作(答案不唯一)．
【解析】(1)过4对应的点B作数轴的垂线l，在l上截取BC=1，则以原点为圆心，OC为半径画弧交数轴的正半轴于点A，则点A为所作．
(2)根据直角三角形的定义画出图形即可(答案不唯一)．
本题考查作图−应用与设计作图，实数与数轴，勾股定理，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
21.【答案】解：四边形AECF是平行四边形，
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，∠DAB=∠DCB，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE，CF分别平分∠DAB，∠DCB，
∴∠EAB=12∠DAB，∠DCF=12∠DCB，
∴∠EAB=∠DCF，
∴∠DEA=∠DCF，
∴AE//CF，且AF//CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】由平行四边形的性质可得AB//CD，∠DAB=∠DCB，由角平分线的性质可得∠EAB=12∠DAB=∠DCF=12∠DCB，可证AE//CF，可得结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，灵活运用平行四边形的判定是本题的关键．
22.【答案】解：在Rt△ABC中，AC= 12+12= 2，
同理，AD= ( 2)2+12= 3，
AE= ( 3)2+12=2，
AF= 22+12= 5，
由题意知，AP=AF= 5，
∴点P表示的数是− 5．
【解析】根据勾股定理依次求出AC、AD、AE、AF的长，从而得出AP的长即可求解．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23.【答案】AB CD 2 3 等角对等边 平行四边形 AB BF
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD．
∴∠1=∠2．
∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴DA=DE.(等角对等边)，
∵AD=8，CD=6，
∴CE=DE−DC=8−6=2．
又∵CF//BE，BF//CE，
∴四边形BECF是平行四边形．
∴BF=CE=2．
∵AB=CD=6，
∴AF=AB−BF=6−2=4．
故答案为：AB，CD，2，3，等角对等边，四边形BECF是平行四边形，AB，BF．
首先判定四边形BECF是平行四边形；然后利用该平行四边形的对边相等和线段间的和差关系解答．
本题主要考查了平行四边形的性质．平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
24.【答案】解：在Rt△BCD中，BC=500米，CD=300米，
∴BD= BC2−CD2= 5002−3002=400(米)，
在Rt△ADC中，∠ACD=45°，
∴CD=DA=300(米)，
∴AB=BD+AD=400+300=700(米)，
∴运动速度=70014=50(米/秒)．
【解析】解直角三角形求出BD，AD，再根据速度=路程÷时间求解．
本题考查勾股定理的应用，路程速度，时间的关系等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25.【答案】2
【解析】解：(1)∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= 32+42=5，
∵直线CD是△ABC的一条“等分周长线”，
∴AC+AD=BC+BD=BC+AB−AD，即：4+AD=3+5−AD，
∴AD=2；
故答案为：2；
(2)∵点D是AB边的中点，
∴AD=BD，
∵直线DE是△ABC的一条“等分周长线”，
∴AE+AD=CE+BC+BD=AC−AE+BC+AD，即：2AE=AC+BC，
∴AE=12×(3+4)=72；
取AC的中点F，连接DF，
则：DF=12BC=32，DF//BC，
∴∠AFD=∠ACB=90°，
∴DF⊥AE，
∴S△ADE=12AE⋅DF=12×72×32=218．
(1)利用勾股定理求出AB的长，根据题意，得到AC+AD=BC+BD，结合AD+BD=AB，进行求解即可；
(2)根据题意，得到AE+AD=CE+BC+BD，结合AE+CE=AC，求出AE的长，取AC的中点F，连接DF，根据三角形的中位线定理，得到DF=12BC，DF//BC，进而得到DF⊥AE，利用面积公式进行求解即可．
本题考查勾股定理，三角形的中位线定理．理解并掌握“等分周长线”，是解题的关键．
26.【答案】证明：(1)∵四边形ABEF是平行四边形，
∴EF//AB、EF=AB，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD、AB=CD，
∴EF//CD、EF=CD，
∴∠FEM=∠CDM，
在△EFM和△DCM中，
∠FEM=∠CDMEF=DC∠EMF=∠DMC，
∴△EFM≌△DCM(ASA)，
∴EM=DM，即点M是DE的中点；
(2)∵∠ABE=120°，BE//AF，
∴∠BAC=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC=AD=DC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=AD=DC，
∴△ACD是等边三角形，
设AC=AD=a，CM=b，
则AB=DC=EF=a，
∵△EFM≌△DCM，
∴CM=FM=b，CF=2b，
则AF=a+2b，
∵EN//DC，
∴∠N=∠ADC=60°，
∵∠DAC=60°，
∴△ANF是等边三角形，
∴NF=AF=a+2b，
则EN=EF+FN=a+a+2b=2(a+b)，
∵AM=AC+CM=a+b，
∴EN=2AM．
【解析】(1)由▱ABEF知EF//AB、EF=AB，由四边形ABCD是菱形知AB//CD、AB=CD，据此可得EF//CD、EF=CD，证△EFM≌△DCM即可得；
(2)由∠ABE=120°结合平行四边形和菱形的性质得出△ACD和△ANF是等边三角形，设AC=CD=a、CM=MF=b，据此可得EF=AB=CD=a、AF=NF=a+2b，继而可得EN=EF+NF=2(a+b)=2AM，即可得证．
本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握平行四边形和菱形的性质、全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质．
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